נוסחאות מונפשות - משפטי ערך הביניים

נוסחאות שחשוב להכיר לצורך התרגיל

משפט ערך הביניים של רול

משפט רול קובע כי אם פונקציה $f(x)$ רציפה בקטע $[a,b]$, גזירה בקטע הפתוח $(a,b)$, ו-$f(a) = f(b)$, אז קיים $c \in (a,b)$ כך ש-$f'(c) = 0$.

משפט לגראנג' (משפט ערך הביניים או משפט הערך הממוצע)

משפט לגראנג' הוא הכללה של משפט רול. הוא קובע כי אם $f(x)$ רציפה בקטע $[a,b]$ וגזירה בקטע הפתוח $(a,b)$, אז קיים $c \in (a,b)$ כך ש: \[ f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}. \] משפט זה אומר שבנקודה מסוימת בקטע, שיפוע הפונקציה (הנגזרת) שווה לשיפוע הקו הישר המחבר את $f(a)$ ו-$f(b)$.

משפט קושי - משפט ערך הביניים המוכלל

משפט קושי קובע כי אם $f(x)$ ו-$g(x)$ פונקציות רציפות בקטע $[a,b]$ וגזירות בקטע הפתוח $(a,b)$, וקיים $g'(x) \neq 0$ בכל $x \in (a,b)$, אז קיים $c \in (a,b)$ כך ש: \[ \frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}. \]