פתיחה ותיאום ציפיות
המרצה מתחיל בהסבר שהקורס הוא קורס אקדמי בפיזיקה ולא חזרה על חומר מהתיכון. הוא מציין: “אני לא מצפה שבסוף הסמסטר אתם תוכלו לפתור שאלות בגרות בקלות. שאלות הבגרות בפיזיקה הם מאוד מאוד, בשטאנס מאוד מאוד מסוים. ובמשך שנתיים תלמידי תיכון מתאמנים על השטאנס הזה כדי להצליח בבגרות. זאת לא המטרה שלנו כאן.”
המרצה מדגיש שהקורס ילמד פיזיקה אמיתית ולא “בגרות בפיזיקה”. ההדגשים יהיו שונים מהבגרות, למרות שמי שלמד פיזיקה בתיכון ייתכן שירגיש כניסה יותר נוחה לחומר. הקורס דורש נוכחות בכיתה, מעקב שבועי ופתרון תרגילים.
לפי המרצה, פיזיקה להבדיל ממתמטיקה, היא יותר קשה להפנמה ברמת תואר ראשון: “פיזיקה היא הרבה יותר, הייתי אומר, קשה להפנמה ממתמטיקה… היא יותר קשה כי היא דורשת עוד איזשהו לייר, עוד איזושהי שכבה של הבנה והעמקה, כי הפיזיקה היא פחות טכנית והיא יותר דורשת איזשהו הייתי אומר מבט פילוסופי על הדברים.”
הוא אומר שמי שסבור שיוכל לדלג על המאמצים במהלך הסמסטר ולהתכונן רק שלושה שבועות לפני הבחינה, בסבירות גבוהה מאוד לא יצליח: “אחד מכל אלף לומד פיזיקה כמו שאני לומד היסטוריה. כלומר מספיק לי לקרוא טקסט… והדברים הם פחות או יותר אצלי. בפיזיקה ובמתמטיקה זה לא כך, אלא אם אתם אחד מאלף.”
רקע היסטורי ותיאור הקורס
מכניקה ניוטונית
 |  |
|---|---|
| ניוטון (1727-1643) | לייבניץ (1716-1646) |
החומר של הקורס הנוכחי מתמקד במכניקה ניוטונית, שפותחה במאה ה-17 על ידי שני אנשים: לייבניץ וניוטון, שהיו יריבים גדולים.
המרצה מתאר את לייבניץ: “איש אשכולות אמיתי, גם אדם, גם פילוסוף, פילוסוף נחשב ביותר… הפילוסופיה של לייבניץ נלמדת עד היום בחוגים לפילוסופיה והיא עמוקה ורחבה. הוא היה מתמטיקאי, הוא פיתח את החשבון האינפינטסימלי ורוב הסימונים שהשתמשנו בהם בסמסטר שעבר הם הסימונים של לייבניץ.”
לגבי ניוטון, המרצה מתאר: “ניוטון היה יריבו הגדול… ניוטון לא כל כך היה פילוסוף אבל הוא היה תיאולוג, התעסק המון עם התנ”ך, עם נבואות אחרית הימים, יש לו כתבים רבי כרס שקשורים בניסיון להבין את אחרית הימים באמצעות ספר דניאל, ספר יחזקאל, הוא גם ידע עברית על בוריה.”
המרצה מוסיף שניוטון “היה גם מניאק לא קטן במובן זה שידע לדרוך על האנשים שאיימו עליו בכל מקום בכל משרה שהוא לקח, אבל היה מדען בחסד עליון במובן זה שהוא היה מאוד מאוד מדויק וידע לנסח את הדברים בצורה מאוד מאוד מדויקת.”
ניוטון גם התעסק באלכימיה וניסה להפוך קש לזהב, והמרצה מציין שבאופן מעניין, הטבע אכן מצליח לעשות זאת בליבות של כוכבים כבדים מאוד, שם יסודות קלים הופכים ליסודות כבדים יותר.
מכניקה ניוטונית והיחסות
ניוטון הגיע למסקנה שהוא מסוגל לתאר את הדינמיקה והקינמטיקה של גופים באמצעות אוסף של חוקים ומשוואות דיפרנציאליות. המרצה מסביר: “הוא הראה שאותם חוקים ששולטים במעבדה בדינמיקה של גופים במעבדה שולטים גם בעצם בגרמי השמיים שהוא הכיר באותה עת.”
כעבור כ-200 שנה, הגיע איינשטיין והראה שהמכניקה הניוטונית היא קירוב מצוין לטבע, אבל לא הדבר האמיתי. המרצה משתמש באנלוגיה: “כשאנחנו מתבוננים על הסביבה שלנו היא נראית שטוחה, כלומר נראה כאילו אנחנו חיים על גבי משטח… אבל אם אנחנו נתבונן מגבוה… אנחנו רואים שבעצם זה לא יותר מאשר קירוב לדבר האמיתי.”
המרצה מציין שהם לא ילמדו את תורת היחסות אף שהיא “הדבר האמיתי והיפה”, וכי כל פיזיקאי מתחיל את דרכו במכניקה הניוטונית. הוא מזכיר גם שהקורס הבא יעסוק בתורה האלקטרומגנטית.
כלים מתמטיים נדרשים
המרצה מסביר שהכלים של החשבון האינפיניטסימלי לא מספיקים ללימודי הפיזיקה:
“אנחנו נזדקק למשוואות דיפרנציאליות קצת, לא הרבה, אבל ברמת המבוא, כדי ללמוד פיזיקה. ולא למדנו על משוואות דיפרנציאליות בקורס במתמטיקה לרפואנים.”
הוא מציין שיידרשו גם ידע באלגברה לינארית, פונקציות מרובות משתנים, משוואות דיפרנציאליות חלקיות, ואופרטורי גזירה דיפרנציאליים וקטוריים, וכל אלה יילמדו תוך כדי הקורס.
“אנחנו היום לא יודעים לעשות פיזיקה כמו שצריך בלי להיעזר בכלים מתמטיים מאוד מאוד מדויקים. עד שלא הצלחנו לנסח את הבעיה שלנו ואת הפתרון לבעיה באמצעות כלים מתמטיים… עדיין אומר שאנחנו לא מבינים במה מדובר.”
המרחב התלת-ממדי וחשבון וקטורים
המרצה מסביר שהמציאות הפיזיקלית היא תלת-ממדית: “אנחנו חיים בעולם שכדי למקם בו נקודה אנחנו זקוקים לשלושה מספרים, אחרת המיקום של הנקודה אינו מדויק.”
הוא מתאר את הצורך בשלושה צירים ניצבים זה לזה, ואת בחירת ראשית הצירים כנקודת התייחסות.
שלשה ימנית וכלל יד ימין
 |  |
|---|---|
| כלל יד ימין (x יוצא מהלוח, $z$ כלפי מעלה ו-$y$ מסובב) | מערכת צירים תלת-ממדית ימנית ושמאלית (מצד ימין ושמאל בהתאמה) |
המרצה מסביר את הצורך לארגן את הצירים בשלשה ימנית על פי כלל בורג יד ימין:
“אני אשתמש הרבה בכלל בורג יד ימין… הצירים x, y ו-z מייצרים שלשה של בורג יד ימין… בשלשה של בורג יד ימין אני… זה ($x$) כמובן יוצא מהלוח, אתם רואים שזה יוצא מהלוח? אוקיי, אז אני יוצא מהלוח. זה ציר $x$, אני מכוון אותו כלפי y ובוהן מצביע בכיוון ציר $z$.”
הגדרת וקטור
המרצה מגדיר וקטור: “וקטור בשבילנו, כמו שאמרתי, ברמה של ברמה הכי אלמנטרית, וקטור יצוין באמצעות פרמטר כלשהו עם חץ מעל…”
בספרות לפעמים משתמשים באות דגושה (מודגשת) במקום חץ.
וקטור בשלושה ממדים יכול להיות מתואר כשלשה של מספרים, למשל $(2,1,3)$.
מאפייני וקטור
וקטור מאופיין על ידי שני גדלים:
- גודל (אורך הוקטור)
- כיוון (אוריינטציה במרחב)
ייצוג וקטור במערכת צירים
המרצה מדגים כיצד וקטור עם המרכיבים $(2,1,3)$ נראה במערכת צירים: “הלכתי שתי צעדים בציר $x$, הלכתי לכאן. אחרי כן הלכתי צעד אחד בציר $y$, הלכתי לכאן… אחרי כן עליתי שלושה צעדים בציר $z$.”
ניתן לצייר את הוקטור כחץ שהזנב שלו נמצא בראשית הצירים והראש שלו בנקודה המתאימה למרכיבי הוקטור.
וקטורי יחידה
הגדרה:
וקטור יחידה הוא וקטור שאורכו שווה לאחד. נסמן:
\[\hat{r} = \frac{\vec{r}}{|\vec{r}|}\]מתקיים:
\[|\hat{r}| = 1\]
הוא מגדיר שלושה וקטורי יחידה בסיסיים:
- $\hat{x}$ (או $\hat{i}$) - וקטור יחידה בכיוון ציר $x$
- $\hat{y}$ (או $\hat{j}$) - וקטור יחידה בכיוון ציר $y$
- $\hat{z}$ (או $\hat{k}$) - וקטור יחידה בכיוון ציר $z$
במרחב התלת-ממדי, וקטורי היחידה הללו הם:
- $\hat{x} = (1,0,0)$
- $\hat{y} = (0,1,0)$
- $\hat{z} = (0,0,1)$
המרצה מדגיש שוקטורי היחידה הללו מהווים “בסיס סטנדרטי”, וכל וקטור אחר ניתן לפירוס באמצעותם:
\[\vec{a} = a_x\hat{x} + a_y\hat{y} + a_z\hat{z}\]תיאור וקטור בשיטות שונות
תיאור קרטזי
בתיאור הקרטזי של וקטור משתמשים בקואורדינטות ביחס לצירים:
\[\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)\]תיאור פולרי (בדו-ממד)
בתיאור הפולרי, משתמשים באורך הוקטור ובזווית ביחס לציר $x$:
“התיאור הפולרי בשני ממדים… מתייחס למרחק מהראשית ולזווית ביחס לציר $x$.”
הקשר בין התיאור הפולרי לקרטזי:
- $\tan \theta = \frac{a_y}{a_x}$
- $\theta = \arctan(\frac{a_y}{a_x})$
- אורך הוקטור = \(|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}\)
אורך וקטור
ניתן לחשב את אורך הוקטור באמצעות משפט פיתגורס:
\[|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}\]
פעולות על וקטורים
מכפלה של סקאלר בווקטור
נגדיר: “סקאלר זה גודל, זה גודל נטו. גודל נטו בדרך כלל מתואר על ידי מספר… הסקאלר הוא ביטוי כללי לגודל שניתן לתאר אותו באמצעות מספר בלבד.”
נגדיר מכפלה של סקאלר בווקטור:
“יהיה $\alpha$ סקאלר ויהיה $\vec{a}$ שהוא שווה ל-$(a_x, a_y, a_z)$ וקטור… אז $\alpha \vec{a}$ זה הוקטור $(\alpha a_x, \alpha a_y, \alpha a_z)$”
\[\alpha \vec{a} = (\alpha a_x, \alpha a_y, \alpha a_z)\]
המשמעות הגיאומטרית:
- אם $\alpha > 1$: מתיחה של הוקטור
- אם $0 < \alpha < 1$: כיווץ של הוקטור
- אם $\alpha < 0$: שינוי כיוון (פליפ) וגם שינוי באורך
דוגמה למכפלת סקאלר בווקטור
נתון
\[\vec{a} = \left( 3, 2, -1 \right)\]
- מה $2 \vec{a}$?
- מה האורך של $\vec{a}$?
- מה האורך של $2 \vec{a}$?
פתרון
- $2 \vec{a} = 2 \left( 3, 2, -1 \right) = \left( 6, 4, -2 \right)$
- $\left| \vec{a} \right| = \sqrt{3^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{14}$
- $\left| 2 \vec{a} \right| = \sqrt{6^2 + 4^2 + (-2)^2} = \sqrt{56} = 2 \sqrt{14}$
חיבור וקטורים
אם
\[\vec{a} = \left( a_x a_y a_z \right)\] \[\vec{b} = \left( b_x b_y b_z \right)\]אז
\[\vec{a} + \vec{b} = \left( a_x + b_x, a_y + b_y, a_z + b_z \right)\]
באופן דומה ניתן גם להגדיר חיסור של וקטורים:
\[\vec{a} - \vec{b} = \left( a_x - b_x, a_y - b_y, a_z - b_z \right)\]
דוגמה לחיבור וקטורים
נתון
\[\vec{a} = \left( 2, 2 \right) = 2 \hat{x} + 2 \hat{y}\] \[\vec{b} = \left( 1, 3 \right) = \hat{x} + 3 \hat{y}\]מה $\vec{a} + \vec{b}$?
פתרון
\[\begin{aligned} \vec{a} + \vec{b} &= (2,2) + (1,3) \\ &= (2+1, 2+3) \\ &= (3,5) \end{aligned}\]המשמעות הגיאומטרית של חיבור וקטורים
המרצה מסביר את המשמעות הגיאומטרית של חיבור וקטורים בעזרת דוגמה בדו-ממד:
\[\begin{aligned} \vec{a} &= (2,2) \\ \vec{b} &= (1,3) \end{aligned}\]נדגים כיצד מציירים את הוקטורים. המרצה מסביר:
“בחיבור וקטורי, הוקטור הזה הוא האלכסון הגדול במקבילית שפורסים שני הוקטורים הקטנים… לחיבור של שני הוקטורים אני קורא השקול הוקטורי.”
האלכסון הקטן במקבילית מייצג את ההפרש בין הוקטורים ($\vec{b} - \vec{a}$ או $\vec{a} - \vec{b}$, תלוי בכיוון).
 |
|---|
| מקבילית הוקטורים (משמאל) |
משפט פיתגורס במרחב תלת-ממדי
נרחיב את משפט פיתגורס למרחב תלת-ממדי:
\[|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}\]ניתן לצייר נקודה במרחב תלת-ממדי והשתמש במשפט פיתגורס פעמיים כדי לחשב את המרחק מהראשית.
\[\begin{aligned} \vec{a} &= (a_x, a_y, a_z) \\ |\vec{a}| &= \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} \end{aligned}\]אפשר להרחיב את משפט פיתגורס לכל מספר ממדים:
“ב-N ממדים, הגודל של $\vec{a}$… יהיה שווה פשוט ל-$\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + \ldots + a_N^2}$”
סיכום השיעור
המרצה מסכם ומדגיש את חשיבות הפנמת החומר: “תפנימו את הדברים האלו, זה עדיין חומר קל… יש לכם תרגיל שתקבלו, אחרי התרגיל… מתי אתם מתרגלים? ביום חמישי… אז תעברו על השיעור שלי לפני התרגול, תגיעו לתרגול רעננים ותתחילו במה שנקרא ברגל ימין.”
השיעור הבא ימשיך לעסוק בנושאים דומים וירחיב את הידע בחשבון וקטורים.
דור פסקל