כוח על תיל נושא זרם בשדה מגנטי
גזירת הנוסחה
נזכיר את צפיפות הכוח:
\[\vec{f} = \rho \vec{E} + \vec{j} \times \vec{B}\]במקרה של תיל מוליך אין שדה חשמלי (נעלם מהר כי אין הצטברות מטענים), לכן:
\[\vec{f} = \vec{j} \times \vec{B}\]אלמנט כוח אינפיניטסימלי על אורך $dl$ של התיל:
\[d\vec{F} = \vec{f} \cdot A \, dl = (\vec{j} \times \vec{B}) A \, dl\]כאשר:
- $A$ - שטח חתך של התיל
- $\vec{j} \cdot A = I \hat{l}$ - הזרם בתיל
- $\hat{l} \, dl = d\vec{l}$ - וקטור האורך של מקטע התיל
לכן נקבל את נוסחת הכוח על תיל נושא זרם בשדה מגנטי חיצוני:
\[\boxed{d\vec{F} = I \, d\vec{l} \times \vec{B}}\]הכוח הכולל על התיל מתקבל מאינטגרציה:
\[\boxed{\vec{F} = I \int d\vec{l} \times \vec{B}}\]המקרה של שדה מגנטי קבוע
כאשר $\vec{B}$ קבוע (אחיד במרחב), הוא יוצא מהאינטגרל:
\[\vec{F} = I \vec{L} \times \vec{B}\]כאשר $\vec{L}$ הוא וקטור התיל: גודלו שווה לאורך התיל, וכיוונו הוא כיוון זרימת הזרם.
חשוב: לכיוון הזרם יש משמעות קריטית - הכוח המגנטי תלוי בזווית בין כיוון הזרם לשדה המגנטי. אם הזרם מקביל לשדה - אין כוח.
כוח בין שני תיילים מקבילים
הגדרת הבעיה
שני תיילים מקבילים במרחק $d$ זה מזה, בשניהם זורם זרם $I$.
כיוון הכוח
- זרמים באותו כיוון: התיילים נמשכים זה לזה
- זרמים בכיוונים מנוגדים: התיילים נדחים זה מזה
חישוב הכוח
השדה המגנטי שתיל 2 יוצר במיקום תיל 1:
\[B_2(r=d) = \frac{\mu_0 I}{2\pi d}\]הכוח שתיל 2 מפעיל על תיל 1:
\[F_{2,1} = I_1 L \times B_2 = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d} \cdot L\]הכוח ליחידת אורך:
\[\boxed{\frac{F}{L} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d}}\]סימטריה וחוק ניוטון השלישי
הכוח סימטרי: $\frac{F_{1,2}}{L} = \frac{F_{2,1}}{L}$
הערה חשובה: במקרה הסימטרי של תיילים מקבילים, הכוחות מצייתים לחוק השלישי של ניוטון. אולם, בסיטואציות כלליות של כוחות מגנטיים (למשל שני חלקיקים נעים בכיוונים שונים), החוק השלישי עלול להישבר!
דוגמה מספרית
עבור $I_1 = I_2 = 1 \text{ A}$ ו-$d = 1 \text{ cm}$:
\[\frac{F}{L} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 1 \times 1}{2\pi \times 10^{-2}} = 2 \times 10^{-5} \, \frac{\text{N}}{\text{m}}\]זהו כוח שניתן להרגיש ולמדוד בניסוי.
מגנטים קבועים - מקור השדה המגנטי
מודל אטומי של מגנטיות
בכל אטום, האלקטרונים “מסתובבים” סביב הגרעין ויוצרים זרם חשמלי מיקרוסקופי. זרם זה יוצר שדה מגנטי קטן - כל אטום הוא למעשה מגנט זעיר (דיפול מגנטי).
למה חומרים רגילים אינם מגנטיים?
בטמפרטורת החדר, האטומים רוטטים ומסתובבים באופן אקראי. כתוצאה מכך, השדות המגנטיים של האטומים השונים מכוונים לכיוונים אקראיים והממוצע שלהם מתאפס.
יצירת מגנט קבוע
- מחממים חומר פרומגנטי (כמו ברזל) עד למצב נוזלי
- מציבים אותו בשדה מגנטי חיצוני חזק
- האטומים מסתדרים בכיוון השדה החיצוני (מצב אנרגטי מועדף)
- מקררים את החומר - הסידור נשמר גם לאחר הסרת השדה החיצוני
התוצאה: שדה מגנטי מקרוסקופי קבוע - מגנט.
יצירת שדה מגנטי אחיד באמצעות סלילונית
בתוך סלילונית (סליל ארוך) זורם זרם $I$. השדה המגנטי בתוך הסלילונית:
\[\vec{B} = \mu_0 n I \hat{z}\]כאשר $n$ היא צפיפות הכריכות (מספר כריכות ליחידת אורך).
תכונות:
- בתוך הסלילונית: שדה אחיד וקבוע
- מחוץ לסלילונית: שדה אפס (בקירוב)
יישום: כור היתוך גרעיני (טוקמק)
בכור היתוך משתמשים בשדה מגנטי חזק כדי לכלוא פלזמה בטמפרטורות של עשרות מיליוני מעלות:
- בונים סליל בצורת טורוס (צורת בייגל)
- מעבירים זרם חזק מאוד - נוצר שדה מגנטי חזק בתוך הטורוס
- הפרוטונים החמים משתחלים על קווי השדה ונשארים בתוך המתקן
- כך ניתן להגיע לתנאים הדרושים להיתוך גרעיני מבלי להתיך את דפנות המתקן
דוגמה: מסגרת מסתובבת נכנסת לשדה מגנטי
תיאור הבעיה
מסגרת מלבנית (רוחב $L$) עם התנגדות $R$:
- נכנסת לאזור שדה מגנטי אחיד $\vec{B}$ (יוצא מהדף)
- מאיצה בתאוצה $g$ לכיוון השדה
- מסתובבת סביב צירה בתדירות זוויתית $\omega$
ניתוח השטף
שטח המסגרת בתוך השדה:
\[S(t) = L \cdot z(t) = L \left( v_0 t + \frac{1}{2}gt^2 \right)\]בשילוב הסיבוב (השטח האפקטיבי משתנה):
\[S_{\text{eff}}(t) = S(t) \cdot \cos(\omega t) = L \left( v_0 t + \frac{1}{2}gt^2 \right) \cos(\omega t)\]השטף המגנטי:
\[\Phi = B \cdot S_{\text{eff}}(t)\]הכא”מ המושרה
\[\varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt}\]הזרם במסגרת
\[I = \frac{\varepsilon}{R}\]שני גורמים מתחרים
- כניסה לשדה: מגדילה את השטף (שטח גדל)
- סיבוב: מקטינה את השטף (כשהמסגרת “מתהפכת”)
כדי לקבוע את כיוון הזרם, יש לבדוק האם השטף גדל או קטן - לגזור את $S_{\text{eff}}(t)$ ולבדוק את הסימן.
כיוון הזרם לפי חוק לנץ
- שטף גדל ← זרם יוצר שדה מגנטי נגד השדה החיצוני ← זרם עם כיוון השעון
- שטף קטן ← זרם יוצר שדה מגנטי בכיוון השדה החיצוני ← זרם נגד כיוון השעון
חוק לנץ במילים: הזרם שנוצר ייצר שדה מגנטי שמטרתו להתנגד לשינוי בשטף שיצר אותו.
מקרים מיוחדים (ללא סיבוב)
| מצב | שינוי שטף | כיוון זרם |
|---|---|---|
| כניסה לשדה | גדל | עם כיוון השעון |
| בתוך השדה | קבוע | אין זרם |
| יציאה מהשדה | קטן | נגד כיוון השעון |