שאלה 1: הולך רגל ונער על קרוסלה
הולך רגל נע בקו ישר כך שאורך ציר האיקס כתלות בזמן הוא:
\[x(t) = 4 + 4t\]נער יושב על קרוסלה שמסתובבת כך שוקטור המקום שלו נתון על ידי:
\[\vec{r}(t) = \left( 2 \sin(3t),\ 2 \cos(3t) \right)\]א. מהן היחידות של שתי הספרות ארבע בביטוי $x(t) = 4 + 4t$?
ב. מהן מהירות ותאוצת הולך הרגל כפונקציה של הזמן?
ג. קבלו את וקטור ההעתק $\Delta \vec{r}(t)$ בין הולך הרגל לבין הנער בכל זמן. מה המרחק ביניהם בזמן $t = 0$?
ד. קבלו את וקטור המהירות היחסית:
\[\vec{v}_{P \to B}(t)\]מהו גודל המהירות היחסית בכל רגע כפי שנראה על ידי הולך הרגל?
א. מציאת היחידות של המקדמים בפונקציית המיקום
נתון: $x(t) = 4 + 4t$
- $x(t)$ מייצג מיקום, לכן היחידות שלו הן מטרים [m]
- $t$ מייצג זמן, יחידות של שניות [s]
עבור האיבר הראשון $4$:
- מכיוון ש-$x(t)$ הוא במטרים, המקדם $4$ חייב להיות גם במטרים $[m]$
עבור האיבר השני $4t$:
- $[4t] = [4] \times [t] = [4] \times [s]$
- אם $[4t]$ צריך להיות במטרים, אז $[4]$ חייב להיות ביחידות של $[m/s]$
תשובה: המקדם 4 בביטוי הקבוע $4$ הוא ביחידות של $[m]$, והמקדם 4 בביטוי $4t$ הוא ביחידות של $[m/s]$.
ב. מציאת מהירות ותאוצה של הולך הרגל
מהירות היא הנגזרת הראשונה של המיקום ביחס לזמן:
\[v(t) = \frac{dx(t)}{dt} = 4 \; [m/s]\]תאוצה היא הנגזרת השנייה של המיקום (או הנגזרת הראשונה של המהירות):
\[a(t) = \frac{dv(t)}{dt} = 0 \; [m/s^2]\]
מסקנה: הולך הרגל נע במהירות קבועה של 4 מטרים לשנייה, ללא תאוצה.
ג. וקטור ההעתק בין הולך הרגל לנער
וקטור המקום של הולך הרגל:
\[\vec{r}_{\text{Pedestrian}}(t) = (4 + 4t, 0)\][הולך רק על ציר ה-x]
וקטור המקום של הנער:
\[\vec{r}_{\text{Boy}}(t) = (2\sin(3t), 2\cos(3t))\]וקטור ההעתק מהולך הרגל לנער:
\[\begin{aligned} \Delta\vec{r} &= \vec{r}_{\text{Pedestrian}}(t) - \vec{r}_{\text{Boy}}(t) \\ &= (4 + 4t - 2\sin(3t), -3\cos(3t)) \end{aligned}\]בזמן $t = 0$:
- $\vec{r}_{\text{Pedestrian}}(0) = (4 + 4 \times 0, 0) = (4, 0)$
- $\vec{r}_{\text{Boy}}(0) = (2\sin(0), 2\cos(0)) = (0, 2)$
לכן, $\Delta\vec{r}(0) = (4, -2)$
המרחק ביניהם בזמן $t = 0$ הוא
\[|\Delta\vec{r}(0)| = \sqrt{4^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \approx 4.47\]מטרים.
ד. וקטור המהירות היחסית
וקטור המהירות של הולך הרגל: $\vec{v}_{\text{Pedestrian}}(t) = (4, 0)$
וקטור המהירות של הנער (נגזרת של וקטור המקום שלו):
\[\vec{v}_{\text{Boy}}(t) = (6\cos(3t), -6\sin(3t))\]המהירות היחסית שבה רואה הולך הרגל את הנער:
\[\vec{v}_{P \to B} = \vec{v}_{\text{Boy}}(t) - \vec{v}_{\text{Pedestrian}}(t) = (6\cos(3t) - 4, -6\sin(3t))\]
גודל המהירות היחסית:
\[\begin{aligned} |\vec{v}_{P \to B}| &= \sqrt{(6\cos(3t) - 4)^2 + (-6\sin(3t))^2} \\ &= \sqrt{(6\cos(3t) - 4)^2 + 36\sin^2(3t)} \\ &= \sqrt{(6\cos(3t) - 4)^2 + 36(1 - \cos^2(3t))} \\ &= \sqrt{(6\cos(3t) - 4)^2 + 36 - 36\cos^2(3t)} \\ &= \sqrt{36\cos^2(3t) - 48\cos(3t) + 16 + 36 - 36\cos^2(3t)} \\ &= \sqrt{-48\cos(3t) + 52} \\ &= \sqrt{52 - 48\cos(3t)} \end{aligned}\]זהו גודל המהירות היחסית בכל רגע ורגע, כפונקציה של הזמן $t$.
שאלה 2: חלקיק הנע לאורך מסלול
חלקיק מסויים נע לאורך מסלול שמתואר ע”י וקטור המקום:
\[\vec{r}(t) = x_0 e^{-\alpha t}\cos(\alpha t)\hat{x} + y_0 e^{-\alpha t}\hat{y}\]כאשר $x_0$, $y_0$, $\alpha$ הם פרמטרים קבועים.
א. מהן היחידות של שלושת הפרמטרים הללו?
ב. מה מרחק החלקיק מהראשית בזמן $t = 0$?
ג. היכן ממוקם החלקיק בזמן:
\[t = \frac{2\pi}{\omega}\]ד. מהו וקטור מהירות החלקיק בזמן $t = 0$?
ה. מה גודל וכיוון וקטור המהירות (וקטור יחידה) בזמן $t = 0$?
ו. מהו וקטור מהירות החלקיק בזמן:
\[t = \frac{2\pi}{\omega}\]ז. מהו וקטור תאוצת החלקיק בזמן $t = 0$?
ח. מהו גודל וכיוון התאוצה (וקטור יחידה) בזמן $t = 0$?
ט. מהו וקטור תאוצת החלקיק בזמן:
\[t = \frac{2\pi}{\omega}\]י. מהו כיוון תאוצת החלקיק (וקטור יחידה) בזמן:
\[t = \frac{2\pi}{\omega}\]
א. יחידות הפרמטרים
נתון:
\[\vec{r}(t) = x_0 e^{-\alpha t}\cos(\alpha t)\hat{x} + y_0 e^{-\alpha t}\hat{y}\]וקטור המקום $\vec{r}$ נמדד במטרים [m]. נבדוק את היחידות של כל פרמטר:
-
$e^{-\alpha t}$ חייב להיות חסר יחידות (ספרה טהורה). לכן $\alpha t$ חייב להיות חסר יחידות, מה שאומר ש-$\alpha$ צריך להיות ביחידות של $[1/s]$ או $[s^{-1}]$.
-
עבור הרכיב $x_0 e^{-\alpha t}\cos(\alpha t)$, מאחר ש-$e^{-\alpha t}\cos(\alpha t)$ הוא חסר יחידות, $x_0$ חייב להיות ביחידות של [m] כדי שהרכיב יהיה במטרים.
-
באופן דומה, $y_0$ גם חייב להיות ביחידות של [m].
תשובה: $x_0$ ו-$y_0$ הם ביחידות של מטרים [m], ו-$\alpha$ הוא ביחידות של $[s^{-1}]$.
ב. מרחק החלקיק מהראשית בזמן $t = 0$
בזמן $t = 0$:
\[\begin{aligned} \vec{r}(0) &= x_0 e^0 \cos(0)\hat{x} + y_0 e^0 \hat{y} \\ &= x_0 (1)(1)\hat{x} + y_0 (1)\hat{y} \\ &= x_0 \hat{x} + y_0 \hat{y} = (x_0, y_0) \end{aligned}\]המרחק מהראשית:
\[|\vec{r}(0)| = \sqrt{x_0^2 + y_0^2}\]ג. מיקום החלקיק בזמן $t = \frac{2\pi}{\omega}$
\[\vec{r}\left(\frac{2\pi}{\alpha}\right) = x_0 e^{-\alpha \cdot \frac{2\pi}{\alpha}}\cos\left(\alpha \cdot \frac{2\pi}{\alpha}\right)\hat{x} + y_0 e^{-\alpha \cdot \frac{2\pi}{\alpha}}\hat{y}\]לאחר פישוט:
\[\vec{r}\left(\frac{2\pi}{\alpha}\right) = x_0 e^{-2\pi}\cos(2\pi)\hat{x} + y_0 e^{-2\pi}\hat{y} = e^{-2\pi}(x_0\hat{x} + y_0\hat{y})\]מכיוון ש-$\cos(2\pi) = 1$, אז:
\[\vec{r}\left(\frac{2\pi}{\alpha}\right) = e^{-2\pi}(x_0, y_0)\]החלקיק ממוקם באותו כיוון כמו בזמן $t = 0$, אבל במרחק קטן יותר מהראשית.
ד. וקטור מהירות החלקיק בזמן $t = 0$
המהירות היא הנגזרת של וקטור המקום:
\[\vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}}{dt}\]לרכיב ה-x:
\[\begin{aligned} \frac{dx}{dt} &= \frac{d}{dt}[x_0 e^{-\alpha t}\cos(\alpha t)] \\ &= x_0[(-\alpha)e^{-\alpha t}\cos(\alpha t) + e^{-\alpha t}(-\alpha\sin(\alpha t))] \\ &= -x_0 \alpha e^{-\alpha t}[\cos(\alpha t) + \sin(\alpha t)] \end{aligned}\]לרכיב ה-y:
\[\begin{aligned} \frac{dy}{dt} &= \frac{d}{dt}[y_0 e^{-\alpha t}] \\ &= y_0(-\alpha)e^{-\alpha t} \\ &= -y_0 \alpha e^{-\alpha t} \end{aligned}\]בזמן $t = 0$:
\[\begin{aligned} \vec{v}(0) &= (-x_0 \alpha[\cos(0) + \sin(0)], -y_0 \alpha e^0) \\ &= (-x_0 \alpha[1 + 0], -y_0 \alpha) \\ &= (-x_0 \alpha, -y_0 \alpha) \end{aligned}\]ה. גודל וכיוון המהירות בזמן $t = 0$
גודל המהירות בזמן $t = 0$:
\[\begin{aligned} |\vec{v}(0)| &= \sqrt{(-x_0 \alpha)^2 + (-y_0 \alpha)^2} \\ &= \sqrt{x_0^2 \alpha^2 + y_0^2 \alpha^2} \\ &= \alpha\sqrt{x_0^2 + y_0^2} \end{aligned}\]כיוון המהירות (וקטור יחידה) בזמן $t = 0$:
\[\begin{aligned} \hat{v}(0) &= \frac{\vec{v}(0)}{|\vec{v}(0)|} \\ &= \frac{(-x_0 \alpha, -y_0 \alpha)}{\alpha\sqrt{x_0^2 + y_0^2}} \\ &= \frac{(-x_0, -y_0)}{\sqrt{x_0^2 + y_0^2}} \end{aligned}\]ו. וקטור מהירות החלקיק בזמן $t = \pi/(2\alpha)$
בזמן $t = \pi/(2\alpha)$:
\[\vec{v}(\pi/(2\alpha)) = (-x_0 \alpha e^{-\pi/2}[\cos(\pi/2) + \sin(\pi/2)], -y_0 \alpha e^{-\pi/2})\]מכיוון ש-$\cos(\pi/2) = 0$ ו-$\sin(\pi/2) = 1$:
\[\vec{v}(\pi/(2\alpha)) = (-x_0 \alpha e^{-\pi/2}[0 + 1], -y_0 \alpha e^{-\pi/2})\] \[= (-x_0 \alpha e^{-\pi/2}, -y_0 \alpha e^{-\pi/2})\]ז. וקטור תאוצת החלקיק בזמן $t = 0$
התאוצה היא הנגזרת של וקטור המהירות:
\[\vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}}{dt}\]לרכיב ה-x, נגזור את $v_x = -x_0 \alpha e^{-\alpha t}[\cos(\alpha t) + \sin(\alpha t)]$:
\[\begin{aligned} a_x(t) &= \frac{d}{dt}(-x_0 \alpha e^{-\alpha t}[\cos(\alpha t) + \sin(\alpha t)]) \\ &= -x_0 \alpha[(-\alpha)e^{-\alpha t}[\cos(\alpha t) + \sin(\alpha t)] + e^{-\alpha t}[(-\alpha)\sin(\alpha t) + \alpha\cos(\alpha t)]] \\ &= x_0 \alpha^2 e^{-\alpha t}[\cos(\alpha t) + \sin(\alpha t)] - x_0 \alpha e^{-\alpha t}[\alpha\cos(\alpha t) - \alpha\sin(\alpha t)] \\ &= x_0 \alpha^2 e^{-\alpha t}[\cos(\alpha t) + \sin(\alpha t)] - x_0 \alpha^2 e^{-\alpha t}[\cos(\alpha t) - \sin(\alpha t)] \\ &= 2x_0 \alpha^2 e^{-\alpha t}\sin(\alpha t) \end{aligned}\]לרכיב ה-y, נגזור את $v_y = -y_0 \alpha e^{-\alpha t}$:
\[\begin{aligned} a_y(t) &= \frac{d}{dt}(-y_0 \alpha e^{-\alpha t}) \\ &= -y_0 \alpha[(-\alpha)e^{-\alpha t}] \\ &= y_0 \alpha^2 e^{-\alpha t} \end{aligned}\]בזמן $t = 0$:
\[\begin{aligned} \vec{a}(0) &= (2x_0 \alpha^2 \sin(0), y_0 \alpha^2 e^0) \\ &= (0, y_0 \alpha^2) \end{aligned}\]ח. גודל וכיוון התאוצה בזמן $t = 0$
גודל התאוצה בזמן $t = 0$:
\[|\vec{a}(0)| = \sqrt{0^2 + (y_0 \alpha^2)^2} = |y_0 \alpha^2|\]כיוון התאוצה (וקטור יחידה) בזמן $t = 0$:
\[\hat{a}(0) = \frac{\vec{a}(0)}{|\vec{a}(0)|} = \frac{(0, y_0 \alpha^2)}{|y_0 \alpha^2|} = (0, \text{sgn}(y_0))\]כאשר $\text{sgn}(y_0)$ הוא הסימן של $y_0$ (1 אם $y_0 > 0$, -1 אם $y_0 < 0$).
ט. וקטור תאוצת החלקיק בזמן $t = \pi/(2\alpha)$
בזמן $t = \pi/(2\alpha)$:
\[\vec{a}(\pi/(2\alpha)) = (2x_0 \alpha^2 e^{-\pi/2}\sin(\pi/2), y_0 \alpha^2 e^{-\pi/2})\]מכיוון ש-$\sin(\pi/2) = 1$:
\[\vec{a}(\pi/(2\alpha)) = (2x_0 \alpha^2 e^{-\pi/2}, y_0 \alpha^2 e^{-\pi/2})\]י. כיוון תאוצת החלקיק בזמן $t = \pi/(2\alpha)$
כיוון התאוצה (וקטור יחידה) בזמן $t = \pi/(2\alpha)$:
\[\begin{aligned} \hat{a}(\pi/(2\alpha)) &= \frac{\vec{a}(\pi/(2\alpha))}{|\vec{a}(\pi/(2\alpha))|} \\ &= \frac{(2x_0 \alpha^2 e^{-\pi/2}, y_0 \alpha^2 e^{-\pi/2})}{\sqrt{(2x_0 \alpha^2 e^{-\pi/2})^2 + (y_0 \alpha^2 e^{-\pi/2})^2}} \\ &= \frac{(2x_0 \alpha^2 e^{-\pi/2}, y_0 \alpha^2 e^{-\pi/2})}{(\alpha^2 e^{-\pi/2})\sqrt{4x_0^2 + y_0^2}} \\ &= \frac{(2x_0, y_0)}{\sqrt{4x_0^2 + y_0^2}} \end{aligned}\]שאלה 3: גוף שמבצע תנועה
גוף מסויים נע כך שוקטור המקום שלו נתון על ידי:
\[\vec{r}(t) = \vec{A} \cos(\omega t) + \vec{B} \sin(\omega t)\]כאשר $\vec{A}$ ו-$\vec{B}$ הם וקטורים קבועים כלשהם.
א. הראו שוקטור המקום מקיים את המשוואה הדיפרנציאלית:
\[\ddot{\vec{r}} + \omega^2 \vec{r} = \vec{0}\]ב. נתון:
\[\vec{A} = (1, -1),\quad \vec{B} = (0, 1)\]חשבו את $\vec{r}(t = \pi/3\ \text{שניות})$ ואת $\vec{v}(t = \pi/3\ \text{שניות})$.
א. הוכחת משוואה דיפרנציאלית
נתון: $\vec{r}(t) = \vec{a}\cos(\omega t) + \vec{b}\sin(\omega t)$
נחשב את הנגזרת הראשונה (מהירות):
\[\vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}}{dt} = -\vec{a}\omega\sin(\omega t) + \vec{b}\omega\cos(\omega t)\]נחשב את הנגזרת השנייה (תאוצה):
\(\vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}}{dt} = -\vec{a}\omega^2\cos(\omega t) - \vec{b}\omega^2\sin(\omega t)\) \(= -\omega^2[\vec{a}\cos(\omega t) + \vec{b}\sin(\omega t)]\) \(= -\omega^2\vec{r}(t)\)
לכן:
\[\ddot{\vec{r}} + \omega^2\vec{r} = -\omega^2\vec{r} + \omega^2\vec{r} = \vec{0}\]זה מוכיח שוקטור המקום מקיים את המשוואה הדיפרנציאלית.
ב. חישוב $\vec{r}(t = \pi/3)$ ו-$\vec{v}(t = \pi/3)$
נתון: $\vec{a} = (1, -1)$, $\vec{b} = (0, 1)$
נחשב $\vec{r}(\pi/3)$:
\[\begin{aligned} \vec{r}(\pi/3) &= \vec{a}\cos(\pi/3) + \vec{b}\sin(\pi/3) \\ &= (1, -1)(1/2) + (0, 1)(\sqrt{3}/2) \\ &= (1/2, -1/2) + (0, \sqrt{3}/2) \\ &= (1/2, -1/2 + \sqrt{3}/2) \\ &= (1/2, (\sqrt{3}-1)/2) \end{aligned}\]נחשב $\vec{v}(\pi/3)$:
\[\begin{aligned} \vec{v}(t) &= -\vec{a}\omega\sin(\omega t) + \vec{b}\omega\cos(\omega t) \\ \vec{v}(\pi/3) &= -(1, -1)\omega(\sqrt{3}/2) + (0, 1)\omega(1/2) \\ &= (-\omega\sqrt{3}/2, \omega\sqrt{3}/2) + (0, \omega/2) \\ &= (-\omega\sqrt{3}/2, \omega\sqrt{3}/2 + \omega/2) \\ &= \omega(-\sqrt{3}/2, (\sqrt{3}+1)/2) \end{aligned}\] דור פסקלחזרה לעמוד הראשי