שאלה 1: הולך רגל ונער על קרוסלה

הולך רגל נע בקו ישר כך שאורך ציר האיקס כתלות בזמן הוא:

\[x(t) = 4 + 4t\]

נער יושב על קרוסלה שמסתובבת כך שוקטור המקום שלו נתון על ידי:

\[\vec{r}(t) = \left( 2 \sin(3t),\ 2 \cos(3t) \right)\]

א. מהן היחידות של שתי הספרות ארבע בביטוי $x(t) = 4 + 4t$?

ב. מהן מהירות ותאוצת הולך הרגל כפונקציה של הזמן?

ג. קבלו את וקטור ההעתק $\Delta \vec{r}(t)$ בין הולך הרגל לבין הנער בכל זמן. מה המרחק ביניהם בזמן $t = 0$?

ד. קבלו את וקטור המהירות היחסית:

\[\vec{v}_{P \to B}(t)\]

מהו גודל המהירות היחסית בכל רגע כפי שנראה על ידי הולך הרגל?

alt text

א. מציאת היחידות של המקדמים בפונקציית המיקום

נתון: $x(t) = 4 + 4t$

  • $x(t)$ מייצג מיקום, לכן היחידות שלו הן מטרים [m]
  • $t$ מייצג זמן, יחידות של שניות [s]

עבור האיבר הראשון $4$:

  • מכיוון ש-$x(t)$ הוא במטרים, המקדם $4$ חייב להיות גם במטרים $[m]$

עבור האיבר השני $4t$:

  • $[4t] = [4] \times [t] = [4] \times [s]$
  • אם $[4t]$ צריך להיות במטרים, אז $[4]$ חייב להיות ביחידות של $\mathrm{[m/s]}$

תשובה: המקדם 4 בביטוי הקבוע $4$ הוא ביחידות של $[m]$, והמקדם 4 בביטוי $4t$ הוא ביחידות של $\mathrm{[m/s]}$.

ב. מציאת מהירות ותאוצה של הולך הרגל

מהירות היא הנגזרת הראשונה של המיקום ביחס לזמן:

\[v(t) = \frac{dx(t)}{dt} = 4 \; \mathrm{[m/s]}\]

תאוצה היא הנגזרת השנייה של המיקום (או הנגזרת הראשונה של המהירות):

\[a(t) = \frac{dv(t)}{dt} = 0 \; [m/s^2]\]

מסקנה: הולך הרגל נע במהירות קבועה של 4 מטרים לשנייה, ללא תאוצה.

ג. וקטור ההעתק בין הולך הרגל לנער

וקטור המקום של הולך הרגל:

\[\vec{r}_{\text{Pedestrian}}(t) = (4 + 4t, 0)\]

[הולך רק על ציר ה-x]

וקטור המקום של הנער:

\[\vec{r}_{\text{Boy}}(t) = (2\sin(3t), 2\cos(3t))\]

וקטור ההעתק מהולך הרגל לנער:

\[\begin{aligned} \Delta\vec{r} &= \vec{r}_{\text{Pedestrian}}(t) - \vec{r}_{\text{Boy}}(t) \\[10pt] &= (4 + 4t - 2\sin(3t), -3\cos(3t)) \end{aligned}\]

בזמן $t = 0$:

  • $\vec{r}_{\text{Pedestrian}}(0) = (4 + 4 \times 0, 0) = (4, 0)$
  • $\vec{r}_{\text{Boy}}(0) = (2\sin(0), 2\cos(0)) = (0, 2)$

לכן, $\Delta\vec{r}(0) = (4, -2)$

המרחק ביניהם בזמן $t = 0$ הוא

\[|\Delta\vec{r}(0)| = \sqrt{4^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \approx 4.47\]

מטרים.

ד. וקטור המהירות היחסית

וקטור המהירות של הולך הרגל: $\vec{v}_{\text{Pedestrian}}(t) = (4, 0)$

וקטור המהירות של הנער (נגזרת של וקטור המקום שלו):

\[\vec{v}_{\text{Boy}}(t) = (6\cos(3t), -6\sin(3t))\]

המהירות היחסית שבה רואה הולך הרגל את הנער:

\[\vec{v}_{P \to B} = \vec{v}_{\text{Boy}}(t) - \vec{v}_{\text{Pedestrian}}(t) = (6\cos(3t) - 4, -6\sin(3t))\]

גודל המהירות היחסית:

\[\begin{aligned} |\vec{v}_{P \to B}| &= \sqrt{(6\cos(3t) - 4)^2 + (-6\sin(3t))^2} \\[10pt] &= \sqrt{(6\cos(3t) - 4)^2 + 36\sin^2(3t)} \\[10pt] &= \sqrt{(6\cos(3t) - 4)^2 + 36(1 - \cos^2(3t))} \\[10pt] &= \sqrt{(6\cos(3t) - 4)^2 + 36 - 36\cos^2(3t)} \\[10pt] &= \sqrt{36\cos^2(3t) - 48\cos(3t) + 16 + 36 - 36\cos^2(3t)} \\[10pt] &= \sqrt{-48\cos(3t) + 52} \\[10pt] &= \sqrt{52 - 48\cos(3t)} \end{aligned}\]

זהו גודל המהירות היחסית בכל רגע ורגע, כפונקציה של הזמן $t$.

שאלה 2: חלקיק הנע לאורך מסלול

alt text

חלקיק מסויים נע לאורך מסלול שמתואר ע”י וקטור המקום:

\[\vec{r}(t) = x_0 e^{-\alpha t}\cos(\alpha t)\hat{x} + y_0 e^{-\alpha t}\hat{y}\]

כאשר $x_0$, $y_0$, $\alpha$ הם פרמטרים קבועים.

א. מהן היחידות של שלושת הפרמטרים הללו?

ב. מה מרחק החלקיק מהראשית בזמן $t = 0$?

ג. היכן ממוקם החלקיק בזמן:

\[t = \frac{2\pi}{\omega}\]

ד. מהו וקטור מהירות החלקיק בזמן $t = 0$?

ה. מה גודל וכיוון וקטור המהירות (וקטור יחידה) בזמן $t = 0$?

ו. מהו וקטור מהירות החלקיק בזמן:

\[t = \frac{2\pi}{\omega}\]

ז. מהו וקטור תאוצת החלקיק בזמן $t = 0$?

ח. מהו גודל וכיוון התאוצה (וקטור יחידה) בזמן $t = 0$?

ט. מהו וקטור תאוצת החלקיק בזמן:

\[t = \frac{2\pi}{\omega}\]

י. מהו כיוון תאוצת החלקיק (וקטור יחידה) בזמן:

\[t = \frac{2\pi}{\omega}\]

א. יחידות הפרמטרים

נתון:

\[\vec{r}(t) = x_0 e^{-\alpha t}\cos(\alpha t)\hat{x} + y_0 e^{-\alpha t}\hat{y}\]

וקטור המקום $\vec{r}$ נמדד במטרים $\mathrm{[m]}$. נבדוק את היחידות של כל פרמטר:

  • $e^{-\alpha t}$ חייב להיות חסר יחידות (ספרה טהורה). לכן $\alpha t$ חייב להיות חסר יחידות, מה שאומר ש-$\alpha$ צריך להיות ביחידות של $[1/s]$ או $[s^{-1}]$.

  • עבור הרכיב $x_0 e^{-\alpha t}\cos(\alpha t)$, מאחר ש-$e^{-\alpha t}\cos(\alpha t)$ הוא חסר יחידות, $x_0$ חייב להיות ביחידות של $\mathrm{[m]}$ כדי שהרכיב יהיה במטרים.

  • באופן דומה, $y_0$ גם חייב להיות ביחידות של $\mathrm{[m]}$.

תשובה: $x_0$ ו-$y_0$ הם ביחידות של מטרים $\mathrm{[m]}$, ו-$\alpha$ הוא ביחידות של $[s^{-1}]$.

ב. מרחק החלקיק מהראשית בזמן $t = 0$

בזמן $t = 0$:

\[\begin{aligned} \vec{r}(0) &= x_0 e^0 \cos(0)\hat{x} + y_0 e^0 \hat{y} \\[10pt] &= x_0 (1)(1)\hat{x} + y_0 (1)\hat{y} \\[10pt] &= x_0 \hat{x} + y_0 \hat{y} = (x_0, y_0) \end{aligned}\]

המרחק מהראשית:

\[|\vec{r}(0)| = \sqrt{x_0^2 + y_0^2}\]

ג. מיקום החלקיק בזמן $t = \frac{2\pi}{\omega}$

\[\vec{r}\left(\frac{2\pi}{\omega}\right) \overset{\star}{=} \vec{r}\left(\frac{2\pi}{\alpha}\right) = x_0 e^{-\alpha \cdot \frac{2\pi}{\alpha}}\cos\left(\alpha \cdot \frac{2\pi}{\alpha}\right)\hat{x} + y_0 e^{-\alpha \cdot \frac{2\pi}{\alpha}}\hat{y}\]

$\star$ הבהרה בנוגע לסימונים: בסעיף המקורי של השאלה, שאלו על $t = \frac{2\pi}{\omega}$, אך מכיוון ש-$\omega = \alpha$, השתמשנו ב-$t = \frac{2\pi}{\alpha}$.

  • המשתנה $\alpha$ בדרך כלל מסמן קצב דעיכה, ומופיע בחזקה של $e^{-\alpha t}$.
  • המשתנה $\omega$ מסמן תדירות זוויתית, כלומר, בכמה מעלות משתנה הזווית במחזור, ובדרך כלל מופיע בתוך הפונקציה $\cos(\omega t)$ או $\sin(\omega t)$. הנוסחה הכללי של זמן המחזור $T$ היא:
\[T = \frac{2\pi}{\omega}\]

לאחר פישוט:

\[\vec{r}\left(\frac{2\pi}{\alpha}\right) = x_0 e^{-2\pi}\cos(2\pi)\hat{x} + y_0 e^{-2\pi}\hat{y} = e^{-2\pi}(x_0\hat{x} + y_0\hat{y})\]

מכיוון ש-$\cos(2\pi) = 1$, נקבל:

\[\vec{r}\left(\frac{2\pi}{\alpha}\right) = e^{-2\pi}(x_0, y_0)\]

החלקיק ממוקם באותו כיוון כמו בזמן $t = 0$, אבל במרחק קטן יותר מהראשית.

ד. וקטור מהירות החלקיק בזמן $t = 0$

המהירות היא הנגזרת של וקטור המקום:

\[\vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}}{dt}\]

לרכיב ה-x:

\[\begin{aligned} \frac{dx}{dt} &= \frac{d}{dt}[x_0 e^{-\alpha t}\cos(\alpha t)] \\[10pt] &= x_0[(-\alpha)e^{-\alpha t}\cos(\alpha t) + e^{-\alpha t}(-\alpha\sin(\alpha t))] \\[10pt] &= -x_0 \alpha e^{-\alpha t}[\cos(\alpha t) + \sin(\alpha t)] \end{aligned}\]

לרכיב ה-y:

\[\begin{aligned} \frac{dy}{dt} &= \frac{d}{dt}[y_0 e^{-\alpha t}] \\[10pt] &= y_0(-\alpha)e^{-\alpha t} \\[10pt] &= -y_0 \alpha e^{-\alpha t} \end{aligned}\]

בזמן $t = 0$:

\[\begin{aligned} \vec{v}(0) &= (-x_0 \alpha[\cos(0) + \sin(0)], -y_0 \alpha e^0) \\[10pt] &= (-x_0 \alpha[1 + 0], -y_0 \alpha) \\[10pt] &= (-x_0 \alpha, -y_0 \alpha) \end{aligned}\]

ה. גודל וכיוון המהירות בזמן $t = 0$

גודל המהירות בזמן $t = 0$:

\[\begin{aligned} |\vec{v}(0)| &= \sqrt{(-x_0 \alpha)^2 + (-y_0 \alpha)^2} \\[10pt] &= \sqrt{x_0^2 \alpha^2 + y_0^2 \alpha^2} \\[10pt] &= \alpha\sqrt{x_0^2 + y_0^2} \end{aligned}\]

כיוון המהירות (וקטור יחידה) בזמן $t = 0$:

\[\begin{aligned} \hat{v}(0) &= \frac{\vec{v}(0)}{|\vec{v}(0)|} \\[10pt] &= \frac{(-x_0 \alpha, -y_0 \alpha)}{\alpha\sqrt{x_0^2 + y_0^2}} \\[10pt] &= \frac{(-x_0, -y_0)}{\sqrt{x_0^2 + y_0^2}} \end{aligned}\]

ו. וקטור מהירות החלקיק בזמן $t = \pi/(2\alpha)$

בזמן $t = \pi/(2\alpha)$:

\[\vec{v}(\pi/(2\alpha)) = (-x_0 \alpha e^{-\pi/2}[\cos(\pi/2) + \sin(\pi/2)], -y_0 \alpha e^{-\pi/2})\]

מכיוון ש-$\cos(\pi/2) = 0$ ו-$\sin(\pi/2) = 1$:

\[\vec{v}(\pi/(2\alpha)) = (-x_0 \alpha e^{-\pi/2}[0 + 1], -y_0 \alpha e^{-\pi/2})\] \[= (-x_0 \alpha e^{-\pi/2}, -y_0 \alpha e^{-\pi/2})\]

ז. וקטור תאוצת החלקיק בזמן $t = 0$

התאוצה היא הנגזרת של וקטור המהירות:

\[\vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}}{dt}\]

לרכיב ה-x, נגזור את $v_x = -x_0 \alpha e^{-\alpha t}[\cos(\alpha t) + \sin(\alpha t)]$:

\[\begin{aligned} a_x(t) &= \frac{d}{dt}(-x_0 \alpha e^{-\alpha t}[\cos(\alpha t) + \sin(\alpha t)]) \\[10pt] &= -x_0 \alpha[(-\alpha)e^{-\alpha t}[\cos(\alpha t) + \sin(\alpha t)] + e^{-\alpha t}[(-\alpha)\sin(\alpha t) + \alpha\cos(\alpha t)]] \\[10pt] &= x_0 \alpha^2 e^{-\alpha t}[\cos(\alpha t) + \sin(\alpha t)] - x_0 \alpha e^{-\alpha t}[\alpha\cos(\alpha t) - \alpha\sin(\alpha t)] \\[10pt] &= x_0 \alpha^2 e^{-\alpha t}[\cos(\alpha t) + \sin(\alpha t)] - x_0 \alpha^2 e^{-\alpha t}[\cos(\alpha t) - \sin(\alpha t)] \\[10pt] &= 2x_0 \alpha^2 e^{-\alpha t}\sin(\alpha t) \end{aligned}\]

לרכיב ה-y, נגזור את $v_y = -y_0 \alpha e^{-\alpha t}$:

\[\begin{aligned} a_y(t) &= \frac{d}{dt}(-y_0 \alpha e^{-\alpha t}) \\[10pt] &= -y_0 \alpha[(-\alpha)e^{-\alpha t}] \\[10pt] &= y_0 \alpha^2 e^{-\alpha t} \end{aligned}\]

בזמן $t = 0$:

\[\begin{aligned} \vec{a}(0) &= (2x_0 \alpha^2 \sin(0), y_0 \alpha^2 e^0) \\[10pt] &= (0, y_0 \alpha^2) \end{aligned}\]

ח. גודל וכיוון התאוצה בזמן $t = 0$

גודל התאוצה בזמן $t = 0$:

\[|\vec{a}(0)| = \sqrt{0^2 + (y_0 \alpha^2)^2} = |y_0 \alpha^2|\]

כיוון התאוצה (וקטור יחידה) בזמן $t = 0$:

\[\hat{a}(0) = \frac{\vec{a}(0)}{|\vec{a}(0)|} = \frac{(0, y_0 \alpha^2)}{|y_0 \alpha^2|} = (0, \text{sgn}(y_0))\]

כאשר $\text{sgn}(y_0)$ הוא הסימן של $y_0$ (1 אם $y_0 > 0$, -1 אם $y_0 < 0$).

ט. וקטור תאוצת החלקיק בזמן $t = \pi/(2\alpha)$

בזמן $t = \pi/(2\alpha)$:

\[\vec{a}(\pi/(2\alpha)) = (2x_0 \alpha^2 e^{-\pi/2}\sin(\pi/2), y_0 \alpha^2 e^{-\pi/2})\]

מכיוון ש-$\sin(\pi/2) = 1$:

\[\vec{a}(\pi/(2\alpha)) = (2x_0 \alpha^2 e^{-\pi/2}, y_0 \alpha^2 e^{-\pi/2})\]

י. כיוון תאוצת החלקיק בזמן $t = \pi/(2\alpha)$

כיוון התאוצה (וקטור יחידה) בזמן $t = \pi/(2\alpha)$:

\[\begin{aligned} \hat{a}(\pi/(2\alpha)) &= \frac{\vec{a}(\pi/(2\alpha))}{|\vec{a}(\pi/(2\alpha))|} \\[10pt] &= \frac{(2x_0 \alpha^2 e^{-\pi/2}, y_0 \alpha^2 e^{-\pi/2})}{\sqrt{(2x_0 \alpha^2 e^{-\pi/2})^2 + (y_0 \alpha^2 e^{-\pi/2})^2}} \\[10pt] &= \frac{(2x_0 \alpha^2 e^{-\pi/2}, y_0 \alpha^2 e^{-\pi/2})}{(\alpha^2 e^{-\pi/2})\sqrt{4x_0^2 + y_0^2}} \\[10pt] &= \frac{(2x_0, y_0)}{\sqrt{4x_0^2 + y_0^2}} \end{aligned}\]

שאלה 3: גוף שמבצע תנועה

גוף מסויים נע כך שוקטור המקום שלו נתון על ידי:

\[\vec{r}(t) = \vec{a} \cos(\omega t) + \vec{b} \sin(\omega t)\]

כאשר $\vec{a}$ ו-$\vec{b}$ הם וקטורים קבועים כלשהם.

א. הראו שוקטור המקום מקיים את המשוואה הדיפרנציאלית:

\[\ddot{\vec{r}} + \omega^2 \vec{r} = \vec{0}\]

ב. נתון:

\[\vec{a} = (1, -1),\quad \vec{b} = (0, 1)\]

חשבו את $\vec{r}(t = \pi/3\ \, \mathrm{s})$ ואת $\vec{v}(t = \pi/3\ \, \mathrm{s})$.

א. הוכחת משוואה דיפרנציאלית

נחשב את הנגזרת הראשונה (מהירות):

\[\vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}}{dt} = -\vec{a}\omega\sin(\omega t) + \vec{b}\omega\cos(\omega t)\]

נחשב את הנגזרת השנייה (תאוצה):

\[\vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}}{dt} = -\vec{a}\omega^2\cos(\omega t) - \vec{b}\omega^2\sin(\omega t)\] \[= -\omega^2\left[\vec{a}\cos(\omega t) + \vec{b}\sin(\omega t)\right]\] \[= -\omega^2\vec{r}(t)\]

כלומר:

\[\boxed{\ddot{\vec{r}}(t) = -\omega^2\vec{r}(t)}\]

לכן:

\[\ddot{\vec{r}} + \omega^2\vec{r} = -\omega^2\vec{r} + \omega^2\vec{r} = \vec{0}\]

זה מוכיח שוקטור המקום מקיים את המשוואה הדיפרנציאלית.

ב. חישוב $\vec{r}(t = \pi/3)$ ו-$\vec{v}(t = \pi/3)$

נתון: $\vec{a} = (1, -1)$, $\vec{b} = (0, 1)$

נחשב $\vec{r}(\pi/3)$:

\[\begin{aligned} \vec{r}\left(\frac{\pi}{3}\right) &= \vec{a} \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + \vec{b} \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \\[10pt] &= (1, -1) \cdot \frac{1}{2} + (0, 1) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \\[10pt] &= \left( \frac{1}{2}, -\frac{1}{2} \right) + \left( 0, \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \\[10pt] &= \left( \frac{1}{2}, -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \\[10pt] &= \left( \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3} - 1}{2} \right) \end{aligned}\]

נחשב $\vec{v}\left(t = \frac{\pi}{3}\right)$:

\[\begin{aligned} \vec{v}(t) &= -\vec{a} \, \omega \sin(\omega t) + \vec{b} \, \omega \cos(\omega t) \\[10pt] \vec{v}\left( \frac{\pi}{3} \right) &= - (1, -1) \cdot \omega \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + (0, 1) \cdot \omega \cdot \frac{1}{2} \\[10pt] &= \left( -\omega \frac{\sqrt{3}}{2}, \, \omega \frac{\sqrt{3}}{2} \right) + \left( 0, \, \frac{\omega}{2} \right) \\[10pt] &= \left( -\omega \frac{\sqrt{3}}{2}, \, \omega \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \right) \right) \\[10pt] &= \omega \left( -\frac{\sqrt{3}}{2}, \, \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \right) \end{aligned}\]

שאלה 3 מהבלוג - בעיית הקליע

קליע נורה ממקור הצירים במהירות התחלתית

\[v_0 = 2\;\mathrm{m/s}, \qquad \theta_0 = 30^{\circ}.\]

המערכת ללא התנגדות אוויר; הציר $x$ אופקי, הציר $y$ אנכי כלפי מעלה, והאצת הכובד $g \approx 9.81\;\mathrm{m/s}^2$.

נוסחאות התנועה הבליסטית מופיעות בתרגיל 2 של החוברת:

\[\begin{aligned} x(t) &= v_{0x}\,t,\\[10pt] y(t) &= v_{0y}\,t-\frac12gt^{2}. \end{aligned}\]

קבלו את מרחקו של הקליע מהראשית ואת זווית נטייתו מעל האופק בכל רגע ורגע.

1. פירוק המהירות לגורמים

\[\begin{aligned} v_{0x} &= v_0\cos\theta_0 = 2\cdot\frac{\sqrt3}{2}=1.732\;\mathrm{m/s},\\[10pt] v_{0y} &= v_0\sin\theta_0 = 2\cdot\frac12 =1.000\;\mathrm{m/s}. \end{aligned}\]

2. משוואות המקום כפונקציה של הזמן

\[\boxed{\; \begin{aligned} x(t) &= v_{0x}\,t = 1.732\,t,\\[10pt] y(t) &= v_{0y}\,t-\frac12gt^{2}=t-4.905\,t^{2}. \end{aligned}}\tag{1}\]

הנגזרת לפי $t$ תֵּתן לנו את רכיבי המהירות; הנגזרת השנייה את התאוצה ($-g\hat y$) – בדיוק כמתואר בתרגיל 3 .

3. זמן המעוף הכולל

הקליע נוחת כאשר $y(t)=0$ (מעבר מלבד $t=0$):

\[t_{\!\text{land}}=\frac{2v_{0y}}{g}=\frac{2}{9.81}=0.2039\;\text{s}.\]

4. טווח אופקי (range)

\[R = x(t_{\!\text{land}})= v_{0x}t_{\!\text{land}} =1.732\cdot 0.2039 = 0.353\;\text{m}.\]

5. גובה מירבי

ה‐$y$ ‑מהירות מתאפסת בשיא:

\[t_{h}=\frac{v_{0y}}{g}=0.1019\;\text{s}.\]

גובה:

\[y_{\max}=v_{0y}t_h-\tfrac12gt_h^{2} =0.102-4.905\cdot(0.102)^{2}=0.051\;\text{m}.\]

מיקום אופקי בשיא: $x_h=v_{0x}t_h=1.732\cdot0.102=0.177\;\text{m}$.

6. מרחק מהראשית וזווית הנטייה בזמן כלשהו

עבור כל $t$:

\[\begin{aligned} r(t) &= \sqrt{x^{2}(t)+y^{2}(t)},\\[10pt] \varphi(t) &= \tan^{-1}\!\Bigl(\tfrac{y(t)}{x(t)}\Bigr). \end{aligned}\tag{2}\]

לדוגמה בשיא הגובה:

\[r_h=\sqrt{0.177^{2}+0.051^{2}}=0.184\;\text{m},\qquad \varphi_h=\tan^{-1}\!\Bigl(\tfrac{0.051}{0.177}\Bigr)=16.0^{\circ}.\]

שאלה 5 מהבלוג - הולך‑רגל וקרוסלה (2)

נתוני השאלה

  • הולך‑רגל:

    \[\boxed{\;\vec r_1(t)=\bigl(4t,\;0\bigr)\;}\]

    כלומר מהירות קבועה $v_p=4\;\text{m/s}$ לאורך ציר $x$.

  • הנער על הקרוסלה:

    \[\boxed{\;\vec r_2(t)=\bigl(2\sin 3t,\;2\cos 3t\bigr)\;}\]

    תנועה מעגלית ברדיוס $R=2\;\text{m}$ ומהירות זוויתית $\omega=3\;\text{rad/s}$.

  1. מה מייצגתת כאן הספרה $4$ ומה יחידותיה?
  2. מה מייצגתת כאן הספרה $2$ ומה יחידותיה, מה מייצגת הספרה $3$ ומה יחידותיה?
  3. קבלו את הוקטור $r_{2\to1}$ (מ‑$2$ אל $1$) המייצג את האופן שבו רואה הנער את הולך הרגל.
  4. קבלו את הזווית שבה רואה הולך הרגל את הנער בכל רגע ורגע.

א-ב. פירוש הקבועים ויחידותיהם

קבוע משמעות יחידות
$4$ מהירות קווית של ההולך‑רגל $v_p$ $\text{m·s}^{-1}$
$2$ רדיוס מסלול הקרוסלה $R$ $\text{m}$
$3$ מהירות זוויתית של הנער $\omega$ $\text{rad·s}^{-1}$

טיפ מה-AI: הפונקציות $\sin,\cos$ “מצפות” לארגומנט ברדיאנים, ולכן $\omega$ ב‑$\mathrm{rad/s}$.

ג. וקטור המקום היחסי — “איך רואה הנער (2) את הולך-הרגל (1)”

הגדרה והמשמעות הפיזיקלית

וקטור המקום היחסי $\vec{r}_{2\to1}$ מתאר את המיקום של גוף אחד ביחס לגוף אחר. הוא מוגדר כדלקמן:

\[\boxed{\vec{r}_{2\to1}(t) = \vec{r}_1(t) - \vec{r}_2(t)}\]

כאשר:

  • $\vec{r}_{2\to1}$ הוא וקטור המקום מהנער (2) אל הולך-הרגל (1)
  • קצה החץ בנער ← ראשו בהולך-הרגל

יישום על המקרה שלנו

בהינתן וקטורי המקום של שני הגופים:

  • הולך-הרגל (1) נע בקו ישר: $\vec{r}_1(t) = (4t, 0)$
  • הנער (2) נע במסלול מעגלי: $\vec{r}_2(t) = (2\sin(3t), 2\cos(3t))$

נחשב את וקטור המקום היחסי:

\[\begin{aligned} \vec{r}_{2\to1}(t) &= \vec{r}_1(t) - \vec{r}_2(t) \\[10pt] &= (4t, 0) - (2\sin(3t), 2\cos(3t)) \\[10pt] &= (4t - 2\sin(3t), -2\cos(3t)) \end{aligned}\]

ניתוח רכיבי הווקטור היחסי

\[\boxed{\vec{r}_{2\to1}(t) = (4t - 2\sin(3t), -2\cos(3t))}\]
רכיב וקטורי ביטוי מתמטי המשמעות הפיזיקלית
$x_{2\to1}(t)$ $4t - 2\sin(3t)$ שילוב של תנועה קווית ותנודה מחזורית
$y_{2\to1}(t)$ $-2\cos(3t)$ תנודה מחזורית טהורה (מעלה-מטה)

הדגמה חזותית

וקטור המקום היחסי מתאר כיצד הולך-הרגל נראה מנקודת המבט של הנער. כפי שניתן לראות באיור, הוא מחושב על ידי החסרת וקטור המקום של הנער מווקטור המקום של הולך-הרגל.

alt text

ד. פתרון: הזווית שבה רואה הולך-הרגל את הנער

א. הגדרת הבעיה

עלינו לחשב את הזווית שבה רואה הולך-הרגל את הנער בכל רגע נתון. כזכור:

  • הולך-הרגל (1) נמצא במיקום: $\vec{r}_1(t) = (4t, 0)$
  • הנער (2) נמצא במיקום: $\vec{r}_2(t) = (2\sin(3t), 2\cos(3t))$

ב. גישה לפתרון

בדומה לחישוב הקודם, נצטרך למצוא את וקטור המקום היחסי, אבל הפעם מנקודת המבט של הולך-הרגל:

\[\vec{r}_{1\to2}(t) = \vec{r}_2(t) - \vec{r}_1(t)\]

הזווית שאנו מחפשים היא הזווית בין וקטור זה לבין הכיוון החיובי של ציר ה-$x$ (שהוא כיוון הייחוס מנקודת מבטו של הולך-הרגל).

ג. חישוב וקטור המקום היחסי

מציבים את וקטורי המקום של שני הגופים:

\[\begin{aligned} \vec{r}_{1\to2}(t) &= \vec{r}_2(t) - \vec{r}_1(t) \\[10pt] &= (2\sin(3t), 2\cos(3t)) - (4t, 0) \\[10pt] &= (2\sin(3t) - 4t, 2\cos(3t)) \end{aligned}\]

ד. חישוב הזווית

הזווית בין וקטור לציר ה-$x$ החיובי נתונה על ידי:

\[\theta(t) = \arctan2(y, x) = \arctan2(2\cos(3t), 2\sin(3t) - 4t)\]

כאשר הפונקציה $\arctan2$ מחזירה זווית בטווח $[-\pi, \pi]$ בהתאם לרביע שבו נמצא הוקטור.

הנוסחה הכללית לחישוב הזווית בכל זמן t:

\[\theta(t) = \arctan2(2\cos(3t), 2\sin(3t) - 4t)\]
דור פסקל
המשך לשיעור בנושא קינמטיקה
המשך לשיעור הבא