שאלה 1: הולך רגל ונער על קרוסלה
הולך רגל נע בקו ישר כך שאורך ציר האיקס כתלות בזמן הוא:
\[x(t) = 4 + 4t\]נער יושב על קרוסלה שמסתובבת כך שוקטור המקום שלו נתון על ידי:
\[\vec{r}(t) = \left( 2 \sin(3t),\ 2 \cos(3t) \right)\]א. מהן היחידות של שתי הספרות ארבע בביטוי $x(t) = 4 + 4t$?
ב. מהן מהירות ותאוצת הולך הרגל כפונקציה של הזמן?
ג. קבלו את וקטור ההעתק $\Delta \vec{r}(t)$ בין הולך הרגל לבין הנער בכל זמן. מה המרחק ביניהם בזמן $t = 0$?
ד. קבלו את וקטור המהירות היחסית:
\[\vec{v}_{P \to B}(t)\]מהו גודל המהירות היחסית בכל רגע כפי שנראה על ידי הולך הרגל?
א. מציאת היחידות של המקדמים בפונקציית המיקום
נתון: $x(t) = 4 + 4t$
- $x(t)$ מייצג מיקום, לכן היחידות שלו הן מטרים [m]
- $t$ מייצג זמן, יחידות של שניות [s]
עבור האיבר הראשון $4$:
- מכיוון ש-$x(t)$ הוא במטרים, המקדם $4$ חייב להיות גם במטרים $[m]$
עבור האיבר השני $4t$:
- $[4t] = [4] \times [t] = [4] \times [s]$
- אם $[4t]$ צריך להיות במטרים, אז $[4]$ חייב להיות ביחידות של $[m/s]$
תשובה: המקדם 4 בביטוי הקבוע $4$ הוא ביחידות של $[m]$, והמקדם 4 בביטוי $4t$ הוא ביחידות של $[m/s]$.
ב. מציאת מהירות ותאוצה של הולך הרגל
מהירות היא הנגזרת הראשונה של המיקום ביחס לזמן:
\[v(t) = \frac{dx(t)}{dt} = 4 \; [m/s]\]תאוצה היא הנגזרת השנייה של המיקום (או הנגזרת הראשונה של המהירות):
\[a(t) = \frac{dv(t)}{dt} = 0 \; [m/s^2]\]
מסקנה: הולך הרגל נע במהירות קבועה של 4 מטרים לשנייה, ללא תאוצה.
ג. וקטור ההעתק בין הולך הרגל לנער
וקטור המקום של הולך הרגל:
\[\vec{r}_{\text{Pedestrian}}(t) = (4 + 4t, 0)\][הולך רק על ציר ה-x]
וקטור המקום של הנער:
\[\vec{r}_{\text{Boy}}(t) = (2\sin(3t), 2\cos(3t))\]וקטור ההעתק מהולך הרגל לנער:
\[\begin{aligned} \Delta\vec{r} &= \vec{r}_{\text{Pedestrian}}(t) - \vec{r}_{\text{Boy}}(t) \\ &= (4 + 4t - 2\sin(3t), -3\cos(3t)) \end{aligned}\]בזמן $t = 0$:
- $\vec{r}_{\text{Pedestrian}}(0) = (4 + 4 \times 0, 0) = (4, 0)$
- $\vec{r}_{\text{Boy}}(0) = (2\sin(0), 2\cos(0)) = (0, 2)$
לכן, $\Delta\vec{r}(0) = (4, -2)$
המרחק ביניהם בזמן $t = 0$ הוא
\[|\Delta\vec{r}(0)| = \sqrt{4^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \approx 4.47\]מטרים.
ד. וקטור המהירות היחסית
וקטור המהירות של הולך הרגל: $\vec{v}_{\text{Pedestrian}}(t) = (4, 0)$
וקטור המהירות של הנער (נגזרת של וקטור המקום שלו):
\[\vec{v}_{\text{Boy}}(t) = (6\cos(3t), -6\sin(3t))\]המהירות היחסית שבה רואה הולך הרגל את הנער:
\[\vec{v}_{P \to B} = \vec{v}_{\text{Boy}}(t) - \vec{v}_{\text{Pedestrian}}(t) = (6\cos(3t) - 4, -6\sin(3t))\]
גודל המהירות היחסית:
\[\begin{aligned} |\vec{v}_{P \to B}| &= \sqrt{(6\cos(3t) - 4)^2 + (-6\sin(3t))^2} \\ &= \sqrt{(6\cos(3t) - 4)^2 + 36\sin^2(3t)} \\ &= \sqrt{(6\cos(3t) - 4)^2 + 36(1 - \cos^2(3t))} \\ &= \sqrt{(6\cos(3t) - 4)^2 + 36 - 36\cos^2(3t)} \\ &= \sqrt{36\cos^2(3t) - 48\cos(3t) + 16 + 36 - 36\cos^2(3t)} \\ &= \sqrt{-48\cos(3t) + 52} \\ &= \sqrt{52 - 48\cos(3t)} \end{aligned}\]זהו גודל המהירות היחסית בכל רגע ורגע, כפונקציה של הזמן $t$.
שאלה 2: חלקיק הנע לאורך מסלול
חלקיק מסויים נע לאורך מסלול שמתואר ע”י וקטור המקום:
\[\vec{r}(t) = x_0 e^{-\alpha t}\cos(\alpha t)\hat{x} + y_0 e^{-\alpha t}\hat{y}\]כאשר $x_0$, $y_0$, $\alpha$ הם פרמטרים קבועים.
א. מהן היחידות של שלושת הפרמטרים הללו?
ב. מה מרחק החלקיק מהראשית בזמן $t = 0$?
ג. היכן ממוקם החלקיק בזמן:
\[t = \frac{2\pi}{\omega}\]ד. מהו וקטור מהירות החלקיק בזמן $t = 0$?
ה. מה גודל וכיוון וקטור המהירות (וקטור יחידה) בזמן $t = 0$?
ו. מהו וקטור מהירות החלקיק בזמן:
\[t = \frac{2\pi}{\omega}\]ז. מהו וקטור תאוצת החלקיק בזמן $t = 0$?
ח. מהו גודל וכיוון התאוצה (וקטור יחידה) בזמן $t = 0$?
ט. מהו וקטור תאוצת החלקיק בזמן:
\[t = \frac{2\pi}{\omega}\]י. מהו כיוון תאוצת החלקיק (וקטור יחידה) בזמן:
\[t = \frac{2\pi}{\omega}\]
א. יחידות הפרמטרים
נתון:
\[\vec{r}(t) = x_0 e^{-\alpha t}\cos(\alpha t)\hat{x} + y_0 e^{-\alpha t}\hat{y}\]וקטור המקום $\vec{r}$ נמדד במטרים [m]. נבדוק את היחידות של כל פרמטר:
-
$e^{-\alpha t}$ חייב להיות חסר יחידות (ספרה טהורה). לכן $\alpha t$ חייב להיות חסר יחידות, מה שאומר ש-$\alpha$ צריך להיות ביחידות של $[1/s]$ או $[s^{-1}]$.
-
עבור הרכיב $x_0 e^{-\alpha t}\cos(\alpha t)$, מאחר ש-$e^{-\alpha t}\cos(\alpha t)$ הוא חסר יחידות, $x_0$ חייב להיות ביחידות של [m] כדי שהרכיב יהיה במטרים.
-
באופן דומה, $y_0$ גם חייב להיות ביחידות של [m].
תשובה: $x_0$ ו-$y_0$ הם ביחידות של מטרים [m], ו-$\alpha$ הוא ביחידות של $[s^{-1}]$.
ב. מרחק החלקיק מהראשית בזמן $t = 0$
בזמן $t = 0$:
\[\begin{aligned} \vec{r}(0) &= x_0 e^0 \cos(0)\hat{x} + y_0 e^0 \hat{y} \\ &= x_0 (1)(1)\hat{x} + y_0 (1)\hat{y} \\ &= x_0 \hat{x} + y_0 \hat{y} = (x_0, y_0) \end{aligned}\]המרחק מהראשית:
\[|\vec{r}(0)| = \sqrt{x_0^2 + y_0^2}\]ג. מיקום החלקיק בזמן $t = \frac{2\pi}{\omega}$
\[\vec{r}\left(\frac{2\pi}{\alpha}\right) = x_0 e^{-\alpha \cdot \frac{2\pi}{\alpha}}\cos\left(\alpha \cdot \frac{2\pi}{\alpha}\right)\hat{x} + y_0 e^{-\alpha \cdot \frac{2\pi}{\alpha}}\hat{y}\]לאחר פישוט:
\[\vec{r}\left(\frac{2\pi}{\alpha}\right) = x_0 e^{-2\pi}\cos(2\pi)\hat{x} + y_0 e^{-2\pi}\hat{y} = e^{-2\pi}(x_0\hat{x} + y_0\hat{y})\]מכיוון ש-$\cos(2\pi) = 1$, אז:
\[\vec{r}\left(\frac{2\pi}{\alpha}\right) = e^{-2\pi}(x_0, y_0)\]החלקיק ממוקם באותו כיוון כמו בזמן $t = 0$, אבל במרחק קטן יותר מהראשית.
ד. וקטור מהירות החלקיק בזמן $t = 0$
המהירות היא הנגזרת של וקטור המקום:
\[\vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}}{dt}\]לרכיב ה-x:
\[\begin{aligned} \frac{dx}{dt} &= \frac{d}{dt}[x_0 e^{-\alpha t}\cos(\alpha t)] \\ &= x_0[(-\alpha)e^{-\alpha t}\cos(\alpha t) + e^{-\alpha t}(-\alpha\sin(\alpha t))] \\ &= -x_0 \alpha e^{-\alpha t}[\cos(\alpha t) + \sin(\alpha t)] \end{aligned}\]לרכיב ה-y:
\[\begin{aligned} \frac{dy}{dt} &= \frac{d}{dt}[y_0 e^{-\alpha t}] \\ &= y_0(-\alpha)e^{-\alpha t} \\ &= -y_0 \alpha e^{-\alpha t} \end{aligned}\]בזמן $t = 0$:
\[\begin{aligned} \vec{v}(0) &= (-x_0 \alpha[\cos(0) + \sin(0)], -y_0 \alpha e^0) \\ &= (-x_0 \alpha[1 + 0], -y_0 \alpha) \\ &= (-x_0 \alpha, -y_0 \alpha) \end{aligned}\]ה. גודל וכיוון המהירות בזמן $t = 0$
גודל המהירות בזמן $t = 0$:
\[\begin{aligned} |\vec{v}(0)| &= \sqrt{(-x_0 \alpha)^2 + (-y_0 \alpha)^2} \\ &= \sqrt{x_0^2 \alpha^2 + y_0^2 \alpha^2} \\ &= \alpha\sqrt{x_0^2 + y_0^2} \end{aligned}\]כיוון המהירות (וקטור יחידה) בזמן $t = 0$:
\[\begin{aligned} \hat{v}(0) &= \frac{\vec{v}(0)}{|\vec{v}(0)|} \\ &= \frac{(-x_0 \alpha, -y_0 \alpha)}{\alpha\sqrt{x_0^2 + y_0^2}} \\ &= \frac{(-x_0, -y_0)}{\sqrt{x_0^2 + y_0^2}} \end{aligned}\]ו. וקטור מהירות החלקיק בזמן $t = \pi/(2\alpha)$
בזמן $t = \pi/(2\alpha)$:
\[\vec{v}(\pi/(2\alpha)) = (-x_0 \alpha e^{-\pi/2}[\cos(\pi/2) + \sin(\pi/2)], -y_0 \alpha e^{-\pi/2})\]מכיוון ש-$\cos(\pi/2) = 0$ ו-$\sin(\pi/2) = 1$:
\[\vec{v}(\pi/(2\alpha)) = (-x_0 \alpha e^{-\pi/2}[0 + 1], -y_0 \alpha e^{-\pi/2})\] \[= (-x_0 \alpha e^{-\pi/2}, -y_0 \alpha e^{-\pi/2})\]ז. וקטור תאוצת החלקיק בזמן $t = 0$
התאוצה היא הנגזרת של וקטור המהירות:
\[\vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}}{dt}\]לרכיב ה-x, נגזור את $v_x = -x_0 \alpha e^{-\alpha t}[\cos(\alpha t) + \sin(\alpha t)]$:
\[\begin{aligned} a_x(t) &= \frac{d}{dt}(-x_0 \alpha e^{-\alpha t}[\cos(\alpha t) + \sin(\alpha t)]) \\ &= -x_0 \alpha[(-\alpha)e^{-\alpha t}[\cos(\alpha t) + \sin(\alpha t)] + e^{-\alpha t}[(-\alpha)\sin(\alpha t) + \alpha\cos(\alpha t)]] \\ &= x_0 \alpha^2 e^{-\alpha t}[\cos(\alpha t) + \sin(\alpha t)] - x_0 \alpha e^{-\alpha t}[\alpha\cos(\alpha t) - \alpha\sin(\alpha t)] \\ &= x_0 \alpha^2 e^{-\alpha t}[\cos(\alpha t) + \sin(\alpha t)] - x_0 \alpha^2 e^{-\alpha t}[\cos(\alpha t) - \sin(\alpha t)] \\ &= 2x_0 \alpha^2 e^{-\alpha t}\sin(\alpha t) \end{aligned}\]לרכיב ה-y, נגזור את $v_y = -y_0 \alpha e^{-\alpha t}$:
\[\begin{aligned} a_y(t) &= \frac{d}{dt}(-y_0 \alpha e^{-\alpha t}) \\ &= -y_0 \alpha[(-\alpha)e^{-\alpha t}] \\ &= y_0 \alpha^2 e^{-\alpha t} \end{aligned}\]בזמן $t = 0$:
\[\begin{aligned} \vec{a}(0) &= (2x_0 \alpha^2 \sin(0), y_0 \alpha^2 e^0) \\ &= (0, y_0 \alpha^2) \end{aligned}\]ח. גודל וכיוון התאוצה בזמן $t = 0$
גודל התאוצה בזמן $t = 0$:
\[|\vec{a}(0)| = \sqrt{0^2 + (y_0 \alpha^2)^2} = |y_0 \alpha^2|\]כיוון התאוצה (וקטור יחידה) בזמן $t = 0$:
\[\hat{a}(0) = \frac{\vec{a}(0)}{|\vec{a}(0)|} = \frac{(0, y_0 \alpha^2)}{|y_0 \alpha^2|} = (0, \text{sgn}(y_0))\]כאשר $\text{sgn}(y_0)$ הוא הסימן של $y_0$ (1 אם $y_0 > 0$, -1 אם $y_0 < 0$).
ט. וקטור תאוצת החלקיק בזמן $t = \pi/(2\alpha)$
בזמן $t = \pi/(2\alpha)$:
\[\vec{a}(\pi/(2\alpha)) = (2x_0 \alpha^2 e^{-\pi/2}\sin(\pi/2), y_0 \alpha^2 e^{-\pi/2})\]מכיוון ש-$\sin(\pi/2) = 1$:
\[\vec{a}(\pi/(2\alpha)) = (2x_0 \alpha^2 e^{-\pi/2}, y_0 \alpha^2 e^{-\pi/2})\]י. כיוון תאוצת החלקיק בזמן $t = \pi/(2\alpha)$
כיוון התאוצה (וקטור יחידה) בזמן $t = \pi/(2\alpha)$:
\[\begin{aligned} \hat{a}(\pi/(2\alpha)) &= \frac{\vec{a}(\pi/(2\alpha))}{|\vec{a}(\pi/(2\alpha))|} \\ &= \frac{(2x_0 \alpha^2 e^{-\pi/2}, y_0 \alpha^2 e^{-\pi/2})}{\sqrt{(2x_0 \alpha^2 e^{-\pi/2})^2 + (y_0 \alpha^2 e^{-\pi/2})^2}} \\ &= \frac{(2x_0 \alpha^2 e^{-\pi/2}, y_0 \alpha^2 e^{-\pi/2})}{(\alpha^2 e^{-\pi/2})\sqrt{4x_0^2 + y_0^2}} \\ &= \frac{(2x_0, y_0)}{\sqrt{4x_0^2 + y_0^2}} \end{aligned}\]שאלה 3: גוף שמבצע תנועה
גוף מסויים נע כך שוקטור המקום שלו נתון על ידי:
\[\vec{r}(t) = \vec{A} \cos(\omega t) + \vec{B} \sin(\omega t)\]כאשר $\vec{A}$ ו-$\vec{B}$ הם וקטורים קבועים כלשהם.
א. הראו שוקטור המקום מקיים את המשוואה הדיפרנציאלית:
\[\ddot{\vec{r}} + \omega^2 \vec{r} = \vec{0}\]ב. נתון:
\[\vec{A} = (1, -1),\quad \vec{B} = (0, 1)\]חשבו את $\vec{r}(t = \pi/3\ \text{שניות})$ ואת $\vec{v}(t = \pi/3\ \text{שניות})$.
א. הוכחת משוואה דיפרנציאלית
נתון: $\vec{r}(t) = \vec{a}\cos(\omega t) + \vec{b}\sin(\omega t)$
נחשב את הנגזרת הראשונה (מהירות):
\[\vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}}{dt} = -\vec{a}\omega\sin(\omega t) + \vec{b}\omega\cos(\omega t)\]נחשב את הנגזרת השנייה (תאוצה):
\(\vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}}{dt} = -\vec{a}\omega^2\cos(\omega t) - \vec{b}\omega^2\sin(\omega t)\) \(= -\omega^2[\vec{a}\cos(\omega t) + \vec{b}\sin(\omega t)]\) \(= -\omega^2\vec{r}(t)\)
לכן:
\[\ddot{\vec{r}} + \omega^2\vec{r} = -\omega^2\vec{r} + \omega^2\vec{r} = \vec{0}\]זה מוכיח שוקטור המקום מקיים את המשוואה הדיפרנציאלית.
ב. חישוב $\vec{r}(t = \pi/3)$ ו-$\vec{v}(t = \pi/3)$
נתון: $\vec{a} = (1, -1)$, $\vec{b} = (0, 1)$
נחשב $\vec{r}(\pi/3)$:
\[\begin{aligned} \vec{r}(\pi/3) &= \vec{a}\cos(\pi/3) + \vec{b}\sin(\pi/3) \\ &= (1, -1)(1/2) + (0, 1)(\sqrt{3}/2) \\ &= (1/2, -1/2) + (0, \sqrt{3}/2) \\ &= (1/2, -1/2 + \sqrt{3}/2) \\ &= (1/2, (\sqrt{3}-1)/2) \end{aligned}\]נחשב $\vec{v}(\pi/3)$:
\[\begin{aligned} \vec{v}(t) &= -\vec{a}\omega\sin(\omega t) + \vec{b}\omega\cos(\omega t) \\ \vec{v}(\pi/3) &= -(1, -1)\omega(\sqrt{3}/2) + (0, 1)\omega(1/2) \\ &= (-\omega\sqrt{3}/2, \omega\sqrt{3}/2) + (0, \omega/2) \\ &= (-\omega\sqrt{3}/2, \omega\sqrt{3}/2 + \omega/2) \\ &= \omega(-\sqrt{3}/2, (\sqrt{3}+1)/2) \end{aligned}\]בעיית הקליע — נתונים מלאים
קליע נורה ממקור הצירים במהירות התחלתית
\[v_0 = 2\;\text{m/s}, \qquad \theta_0 = 30^{\circ}.\]המערכת ללא התנגדות אוויר; הציר $x$ אופקי, הציר $y$ אנכי כלפי מעלה, והאצת הכובד $g = 9.81\;\text{m/s}^2$. נוסחאות התנועה הבליסטית מופיעות בתרגיל 2 של החוברת .
1. פירוק המהירות לגורמים
\[\begin{aligned} v_{0x} &= v_0\cos\theta_0 = 2\cdot\frac{\sqrt3}{2}=1.732\;\text{m/s},\\[6pt] v_{0y} &= v_0\sin\theta_0 = 2\cdot\frac12 =1.000\;\text{m/s}. \end{aligned}\]2. משוואות המקום כפונקציה של הזמן
\[\boxed{\; \begin{aligned} x(t) &= v_{0x}\,t = 1.732\,t,\\[4pt] y(t) &= v_{0y}\,t-\frac12gt^{2}=t-4.905\,t^{2}. \end{aligned}}\tag{1}\]הנגזרת לפי $t$ תֵּתן לנו את רכיבי המהירות; הנגזרת השנייה את התאוצה ($-g\hat y$) – בדיוק כמתואר בתרגיל 3 .
3. זמן המעוף הכולל
הקליע נוחת כאשר $y(t)=0$ (מעבר מלבד $t=0$):
\[t_{\!\text{land}}=\frac{2v_{0y}}{g}=\frac{2}{9.81}=0.2039\;\text{s}.\]4. טווח אופקי (range)
\[R = x(t_{\!\text{land}})= v_{0x}t_{\!\text{land}} =1.732\cdot 0.2039 = 0.353\;\text{m}.\]5. גובה מירבי
ה‐$y$ ‑מהירות מתאפסת בשיא:
\[t_{h}=\frac{v_{0y}}{g}=0.1019\;\text{s}.\]גובה:
\[y_{\max}=v_{0y}t_h-\tfrac12gt_h^{2} =0.102-4.905\cdot(0.102)^{2}=0.051\;\text{m}.\]מיקום אופקי בשיא: $x_h=v_{0x}t_h=1.732\cdot0.102=0.177\;\text{m}$.
6. מרחק מהראשית وزווית הנטייה בזמן כלשהו
עבור כל $t$:
\[\begin{aligned} r(t) &= \sqrt{x^{2}(t)+y^{2}(t)},\\[6pt] \varphi(t) &= \tan^{-1}\!\Bigl(\tfrac{y(t)}{x(t)}\Bigr). \end{aligned}\tag{2}\]לדוגמה בשיא הגובה:
\[r_h=\sqrt{0.177^{2}+0.051^{2}}=0.184\;\text{m},\qquad \varphi_h=\tan^{-1}\!\Bigl(\tfrac{0.051}{0.177}\Bigr)=16.0^{\circ}.\]7. טבלת ערכים אופייניים
| $t$ (s) | $x$ (m) | $y$ (m) | $v_x$ (m/s) | $v_y$ (m/s) | $r$ (m) | $\varphi$ (°) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1.732 | 1.000 | 0 | – |
| 0.05 | 0.087 | 0.048 | 1.732 | 0.51 | 0.100 | 28.2 |
| 0.102 | 0.177 | 0.051 | 1.732 | 0.00 | 0.184 | 16.0 |
| 0.15 | 0.260 | 0.001 | 1.732 | –0.47 | 0.260 | 0.22 |
| 0.204 | 0.353 | 0.000 | 1.732 | –1.00 | 0.353 | 0.00 |
8. הערות פיזיקליות
- טווח קטן – בגלל המהירות הנמוכה (2 m/s) הקליע נוחת ~35 ס״מ ממקום הירי; זו דוגמה טובה ליישום הקשר הפרבולי לפני שחיכוך אוויר נעשה משמעותי.
- שיא נמוך – רק 5.1 ס״מ, מחיש עד כמה הגובה תלוי בריבוע מהירות $v_{0y}^{2}/2g$.
- ווקטור המקום – (2) משחזר במדויק את הגדרת הקואורדינטות הקוטביות מן החוברת: הרדיוס הוא גודל הווקטור, הזווית היא נטייתו .
9. סיכום תוצאות מספריות
- זמן מעוף: $0.204\;\text{s}$
- טווח אופקי: $0.353\;\text{m}$
- גובה מירבי: $0.051\;\text{m}$
- מרחק מירבי מהראשית: $0.184\;\text{m}$
- זווית מעל האופק בשיא: $16.0^{\circ}$
תרגיל 5 – הולך‑רגל וקרוסלה
נתוני השאלה
הולך‑רגל:
\[\boxed{\;\vec r_1(t)=\bigl(4t,\;0\bigr)\;}\]כלומר מהירות קבועה $v_p=4\;\text{m/s}$ לאורך ציר $x$.
הנער על הקרוסלה:
\[\boxed{\;\vec r_2(t)=\bigl(2\sin 3t,\;2\cos 3t\bigr)\;}\]תנועה מעגלית ברדיוס $R=2\;\text{m}$ ומהירות זוויתית $\omega=3\;\text{rad/s}$.
- מה מייצגתת כאן הספרה $4$ ומה יחידותיה?
- מה מייצגתת כאן הספרה $2$ ומה יחידותיה, מה מייצגת הספרה $3$ ומה יחידותיה?
- קבלו את הוקטור $r_{2\to1}$ (מ‑$2$ אל $1$) המייצג את האופן שבו רואה הנער את הולך הרגל.
- קבלו את הזווית שבה רואה הולך הרגל את הנער בכל רגע ורגע.
א-ב. פירוש הקבועים ויחידותיהם
| קבוע | משמעות | יחידות |
|---|---|---|
| $4$ | מהירות קווית של ההולך‑רגל $v_p$ | $\text{m·s}^{-1}$ |
| $2$ | רדיוס מסלול הקרוסלה $R$ | $\text{m}$ |
| $3$ | מהירות זוויתית של הנער $\omega$ | $\text{rad·s}^{-1}$ |
טיפ מה-AI: הפונקציות $\sin,\cos$ “מצפות” לארגומנט ברדיאנים, ולכן $\omega$ ב‑$\text{rad/s}$.
ג. וקטור המקום היחסי — “איך רואה הנער (2) את הולך-הרגל (1)”
הגדרה והמשמעות הפיזיקלית
וקטור המקום היחסי $\vec{r}_{2\to1}$ מתאר את המיקום של גוף אחד ביחס לגוף אחר. הוא מוגדר כדלקמן:
\[\boxed{\vec{r}_{2\to1}(t) = \vec{r}_1(t) - \vec{r}_2(t)}\]כאשר:
- $\vec{r}_{2\to1}$ הוא וקטור המקום מהנער (2) אל הולך-הרגל (1)
- קצה החץ בנער ← ראשו בהולך-הרגל
יישום על המקרה שלנו
בהינתן וקטורי המקום של שני הגופים:
- הולך-הרגל (1) נע בקו ישר: $\vec{r}_1(t) = (4t, 0)$
- הנער (2) נע במסלול מעגלי: $\vec{r}_2(t) = (2\sin(3t), 2\cos(3t))$
נחשב את וקטור המקום היחסי:
\[\begin{aligned} \vec{r}_{2\to1}(t) &= \vec{r}_1(t) - \vec{r}_2(t) \\ &= (4t, 0) - (2\sin(3t), 2\cos(3t)) \\ &= (4t - 2\sin(3t), -2\cos(3t)) \end{aligned}\]ניתוח רכיבי הווקטור היחסי
\[\boxed{\vec{r}_{2\to1}(t) = (4t - 2\sin(3t), -2\cos(3t))}\]| רכיב וקטורי | ביטוי מתמטי | המשמעות הפיזיקלית |
|---|---|---|
| $x_{2\to1}(t)$ | $4t - 2\sin(3t)$ | שילוב של תנועה קווית ותנודה מחזורית |
| $y_{2\to1}(t)$ | $-2\cos(3t)$ | תנודה מחזורית טהורה (מעלה-מטה) |
הדגמה חזותית
וקטור המקום היחסי מתאר כיצד הולך-הרגל נראה מנקודת המבט של הנער. כפי שניתן לראות באיור, הוא מחושב על ידי החסרת וקטור המקום של הנער מווקטור המקום של הולך-הרגל.
ד. פתרון: הזווית שבה רואה הולך-הרגל את הנער
א. הגדרת הבעיה
עלינו לחשב את הזווית שבה רואה הולך-הרגל את הנער בכל רגע נתון. כזכור:
- הולך-הרגל (1) נמצא במיקום: $\vec{r}_1(t) = (4t, 0)$
- הנער (2) נמצא במיקום: $\vec{r}_2(t) = (2\sin(3t), 2\cos(3t))$
ב. גישה לפתרון
בדומה לחישוב הקודם, נצטרך למצוא את וקטור המקום היחסי, אבל הפעם מנקודת המבט של הולך-הרגל:
\[\vec{r}_{1\to2}(t) = \vec{r}_2(t) - \vec{r}_1(t)\]הזווית שאנו מחפשים היא הזווית בין וקטור זה לבין הכיוון החיובי של ציר ה-$x$ (שהוא כיוון הייחוס מנקודת מבטו של הולך-הרגל).
ג. חישוב וקטור המקום היחסי
מציבים את וקטורי המקום של שני הגופים:
\[\begin{aligned} \vec{r}_{1\to2}(t) &= \vec{r}_2(t) - \vec{r}_1(t) \\ &= (2\sin(3t), 2\cos(3t)) - (4t, 0) \\ &= (2\sin(3t) - 4t, 2\cos(3t)) \end{aligned}\]ד. חישוב הזווית
הזווית בין וקטור לציר ה-$x$ החיובי נתונה על ידי:
\[\theta(t) = \arctan2(y, x) = \arctan2(2\cos(3t), 2\sin(3t) - 4t)\]כאשר הפונקציה $\arctan2$ מחזירה זווית בטווח $[-\pi, \pi]$ בהתאם לרביע שבו נמצא הוקטור.
ה. טבלת ערכים לזוויות בזמנים שונים
| זמן (t) | וקטור מהולך-הרגל אל הנער | זווית (במעלות) |
|---|---|---|
| 0.0 | (0.00, 2.00) | 90.00° |
| 0.1 | (0.19, 1.91) | 84.29° |
| 0.2 | (0.33, 1.65) | 78.72° |
| 0.5 | (-0.01, 0.14) | 92.03° |
| 1.0 | (-3.72, -1.98) | 208.04° |
| 1.5 | (-7.96, -0.42) | 183.03° |
| 2.0 | (-8.56, 1.92) | 167.35° |
| 3.0 | (-11.18, -1.82) | 189.26° |
| 4.0 | (-17.07, 1.69) | 174.35° |
| 5.0 | (-18.70, -1.52) | 184.65° |
ו. ניתוח מעמיק של התוצאות
ערכי קיצון של הזווית
- הזווית המקסימלית: 225.13° בזמן t = 0.60
- הזווית המינימלית: 69.98° בזמן t = 0.40
ערכי הזווית בזמנים מיוחדים (בנקודות קרדינליות)
- בזמן t = 0:
- הנער נמצא בנקודה $(0, 2)$
- וקטור יחסי: $(0, 2)$
- זווית: 90.00° (בדיוק מעל הולך-הרגל)
- בזמן t = π/6 ≈ 0.524:
- הנער נמצא בנקודה $(2, 0)$
- וקטור יחסי: $(-0.09, 0)$
- זווית: 180.00° (כמעט ישירות מאחורי הולך-הרגל)
- בזמן t = π/3 ≈ 1.047:
- הנער נמצא בנקודה $(0, -2)$
- וקטור יחסי: $(-4.19, -2.00)$
- זווית: 205.52° (מאחורי ומתחת להולך-הרגל)
- בזמן t = π/2 ≈ 1.571:
- הנער נמצא בנקודה $(-2, 0)$
- וקטור יחסי: $(-8.28, 0)$
- זווית: 180.00° (ישירות מאחורי הולך-הרגל)
ז. מסקנות
-
בזמן t = 0, הנער נראה בדיוק מעל הולך-הרגל (זווית של 90°).
- ככל שהזמן חולף, הזווית משתנה באופן לא לינארי בגלל שילוב התנועות:
- תנועה קווית של הולך-הרגל לאורך ציר ה-x
- תנועה מעגלית של הנער
-
הזווית נעה בטווח של כ-70° עד 225°, כלומר הנער נראה תמיד בחצי המישור הקדמי-עליון, האחורי-עליון והאחורי-תחתון יחסית להולך-הרגל.
-
יש זמנים בהם הנער נראה בדיוק מאחורי הולך-הרגל (זווית של 180°).
- הנוסחה הכללית לחישוב הזווית בכל זמן t: \(\theta(t) = \arctan2(2\cos(3t), 2\sin(3t) - 4t)\)
פתרון זה מדגים את השימוש בוקטורים יחסיים לניתוח נקודת מבט של גוף אחד על גוף אחר הנע במרחב, וממחיש כיצד הזווית משתנה בצורה מורכבת כתוצאה משילוב תנועות שונות.
לשיעור בנושא קינמטיקה
צפה בשיעור הבא