להלן מבחן מג׳ונרט שנוצר על ידי קלוד, יחד עם הצעת פתרון מפורטת לכל שאלה. לא בטוח שהשאלות או התשובות נכונות. בהצלחה!

הנחיות

  • משך הבחינה: שעתיים וחצי
  • השימוש בכל חומר עזר כתוב או מצולם מותר
  • בבחינה 9 שאלות ברירה, יש לענות על כולן
  • בכל שאלת ברירה יש ארבע תשובות לבחירה. יש לבחור תשובה אחת בלבד

שאלות 3-1

חצי כדור מוליך חלול בעל רדיוס $R$ טעון במטען כולל $+Q$ המפוזר באופן אחיד על פניו. מרכז בסיס חצי הכדור נמצא בראשית הצירים, וציר הסימטריה של חצי הכדור מונח לאורך ציר $z$ החיובי.

נקודה $A$ נמצאת על ציר $z$ במרחק $\frac{R}{2}$ מהראשית (בתוך החלל הפנוי של חצי הכדור).

נקודה $B$ נמצאת על ציר $z$ במרחק $2R$ מהראשית (מחוץ לחצי הכדור).

שאלה 1

הפוטנציאל החשמלי בנקודה $B$ הוא בקירוב:

  1. $V = \frac{KQ}{2R}$
  2. $V = \frac{KQ}{R}$
  3. $V = \frac{2KQ}{R}$
  4. $V = 0$

שאלה 2

אם מציבים מטען נקודתי $-q$ בראשית הצירים, הכוח הפועל עליו יהיה:

  1. בכיוון $+\hat{z}$

  2. בכיוון $-\hat{z}$

  3. $\vec{F} = 0$

  4. בכיוון רדיאלי כלפי חוץ

שאלה 3

מטען קטן $+q$ בעל מסה $m$ משתחרר ממנוחה מנקודה $B$. מה תהא מהירותו כאשר יגיע לאינסוף?

  1. $v = \sqrt{\frac{KQq}{mR}}$

  2. $v = \sqrt{\frac{2KQq}{mR}}$

  3. $v = \sqrt{\frac{KQq}{2mR}}$

  4. $v = 0$

שאלות 5-4

שני גלילים מוליכים קואקסיאליים (בעלי ציר משותף) אינסופיים: הגליל הפנימי בעל רדיוס $a$ טעון בצפיפות מטען אורכית $+\lambda$, והגליל החיצוני בעל רדיוס $b$ טעון בצפיפות מטען אורכית $-\lambda$.

שאלה 4

השדה החשמלי באזור $a < r < b$ הוא:

  1. $\boxed{E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}}$
  2. $E = \frac{\lambda}{\pi\varepsilon_0 r^2}$
  3. $E = \frac{2\lambda}{\pi\varepsilon_0 r}$
  4. $E = 0$

בהתחלה חשבתי שהתשובה היא ד׳ מפני שבתוך מוליך אין שדה חשמלי, אבל אז הבנתי שהאזור שנשאל לא נחשב ״בתוך מוליך״ אלא בין המוליכים.

צריך להשתמש כאן בחוק גאוס.

תובנה חשובה: המשטח שכלוא בחלל הגאוסי שאנחנו צריכים לבנות הוא רק הגליל הפנימי!

\[E_r \cdot 2\pi r L = \frac{\lambda L}{\epsilon_0} \implies E_r = \frac{\lambda}{2\pi \epsilon_0 r}\]

התשובה הנכונה היא א.

למה הגליל החיצוני לא משפיע?

התשובה הקצרה

באזור $a < r < b$, משטח גאוס לא מקיף את הגליל החיצוני, ולכן המטען שלו לא נכלל ב-$Q_{inside}$.

הסבר עם חוק גאוס

כשבונים משטח גאוס גלילי ברדיוס $r$ (כאשר $a < r < b$):

        ─────────────────────
       |                     | ← גליל חיצוני (רדיוס b), מטען −λ
       |   ┌─────────────┐   |
       |   |             |   |
       |   |   ┌─────┐   |   |
       |   |   |  +  | ← גליל פנימי (רדיוס a), מטען +λ
       |   |   └─────┘   |   |
       |   |             | ← משטח גאוס (רדיוס r)
       |   └─────────────┘   |
       |                     |
        ─────────────────────
\[Q_{inside} = +\lambda L \text{ (Only the Inner Flux!)}\]

הגליל החיצוני נמצא מחוץ למשטח גאוס, אז הוא לא תורם ל-$Q_{inside}$.

עקרון חשוב

חוק גאוס מתייחס רק למטען שבתוך המשטח הסגור. מטענים מבחוץ יוצרים שדה שנכנס ויוצא מהמשטח, אבל התרומה הכוללת שלהם לשטף היא אפס.

שאלה 5

הפרש הפוטנציאלים בין הגליל הפנימי לחיצוני הוא:

  1. $\boxed{\Delta V = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0} \ln\left(\frac{b}{a}\right)}$

  2. $\Delta V = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0} \left(\frac{1}{a} - \frac{1}{b}\right)$

  3. $\Delta V = \frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0} \ln\left(\frac{a}{b}\right)$

  4. $\Delta V = \frac{\lambda}{\pi\varepsilon_0} \left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right)$

תובנה חשובה: אלה לא כדורים! להזהר מקיצורי דרך מוכרים.

פוטנציאל על גליל מתקבל על ידי הנוסחה:

\[V(r) = -\int E \, dr = -\int \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 r} \, dr = -\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0} \ln(r) + C\]

נציב בנתוני השאלה ונקבל:

\[V_{big}= -\frac{(-\lambda)}{2\pi \epsilon_0}\ln(b)\] \[V_{small}= - \frac{\lambda}{2\pi \epsilon_0}\ln(a)\]

אז ההפרש בין הפנימי לחיצוני הוא:

\[- \frac{\lambda}{2\pi \epsilon_0}\ln(a) - \frac{(-\lambda)}{2\pi \epsilon_0}\ln(b) = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0} \ln\left(\frac{b}{a}\right)\]

התשובה הנכונה היא לדעתי א.

שאלות 7-6

שלושה מטענים נקודתיים שווים $+q$ ממוקמים בקודקודי משולש שווה צלעות שאורך צלעו $a$. מרכז המשולש נמצא בראשית הצירים.

נתון:

  • המרחק ממרכז משולש שווה צלעות לכל קודקוד הוא $\frac{a}{\sqrt{3}}$

שאלה 6

הפוטנציאל החשמלי במרכז המשולש הוא:

  1. $\boxed{V = \frac{3\sqrt{3}Kq}{a}}$

  2. $V = \frac{Kq\sqrt{3}}{a}$

  3. $V = \frac{3Kq}{a}$

  4. $V = 0$

צריך לעשות סופרפוזיציה של הפוטנציאלים.

כל מטען תורם:

\[V = \frac{kq}{\frac{a}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}kq}{a}\]

ויש שלושה כאלה, אז התשובה היא א:

\[V = \frac{3\sqrt{3}Kq}{a}\]

שאלה 7

רוצים לשתול מטען $Q$ במרכז המשולש כך שהאנרגיה הפוטנציאלית הכוללת של המערכת תהיה אפס. ערכו של $Q$ הוא:

  1. $\boxed{Q = -\frac{q}{\sqrt{3}}}$

  2. $Q = -\sqrt{3}q$

  3. $Q = -\frac{3q}{2}$

  4. $Q = -q$

טעיתי כאן. חישבתי לפני הנוסחאות של פוטנציאל במקום אנרגיה פוטנציאלית וקביבלתי שהתשובה היא 4.

להלן פתרון מתוקן של קלוד:

פתרון - מטען נדרש לאיפוס אנרגיה פוטנציאלית

יש כאן בלבול בין פוטנציאל לבין אנרגיה פוטנציאלית.

מה ההבדל?

  • פוטנציאל $V$ = אנרגיה ליחידת מטען (סקלר של הנקודה)
  • אנרגיה פוטנציאלית $U$ = האנרגיה הדרושה להרכבת המערכת

חישוב האנרגיה הפוטנציאלית

האנרגיה הכוללת של המערכת כוללת את כל הזוגות:

לפני הוספת $Q$ (3 זוגות של $q$-$q$, מרחק $a$):

\[U_{initial} = 3 \cdot \frac{Kq^2}{a}\]

אחרי הוספת $Q$ (מוסיפים 3 זוגות של $Q$-$q$, מרחק $\frac{a}{\sqrt{3}}$):

\[U_{new} = 3 \cdot \frac{KQq}{\frac{a}{\sqrt{3}}} = \frac{3\sqrt{3}KQq}{a}\]

דרישה: $U_{total} = 0$

\[\frac{3Kq^2}{a} + \frac{3\sqrt{3}KQq}{a} = 0\] \[q + \sqrt{3}Q = 0\] \[Q = -\frac{q}{\sqrt{3}}\]

התשובה הנכונה היא א.

שאלות 9-8

טבעת דקה בעלת רדיוס $R$ עשויה מחומר מבודד וטעונה במטען כולל $Q$ המפוזר באופן אחיד. מרכז הטבעת נמצא בראשית הצירים, והטבעת מונחת במישור $xy$.

שאלה 8

הפוטנציאל החשמלי לאורך ציר $z$ הוא:

  1. $V(z) = \frac{KQ}{z}$

  2. $V(z) = \frac{KQ}{\sqrt{R^2 + z^2}}$

  3. $V(z) = \frac{KQz}{(R^2 + z^2)^{3/2}}$

  4. $V(z) = \frac{KQ}{R} \cdot \frac{z}{\sqrt{R^2 + z^2}}$

שואלים על הפוטנציאל. הטבעת רציפה כנראה נצטרך כאן אינטגרל.

\[\int \frac{kdq}{\sqrt{r^2 + z^2}}dA = k \int \frac{dq}{\sqrt{r^2 + z^2}}\]

בשלה הזה נתקעתי וביקשתי רמז מהקלוד.

רמז

שים לב: כל נקודה על הטבעת נמצאת באותו מרחק מנקודה על ציר $z$.

מה המרחק הזה? (רמז: משפט פיתגורס)

אם המרחק קבוע, מה זה אומר על האינטגרל?

אפשר להוציא קבועים מהאינטגרל!

אם המרחק $\sqrt{R^2 + z^2}$ קבוע, אז:

\[V = \frac{K}{\sqrt{R^2 + z^2}} \int dq = \text{?}\]

מה שווה $\int dq$ על כל הטבעת? $Q$! סך הכל נקבל:

\[\boxed{V(z) = \frac{KQ}{\sqrt{R^2 + z^2}}}\]

התשובה היא ב.

רשמים:

ניסיתי בשלב מסוים גם להציב $dq = \frac{Q}{2\pi R}$ אבל זה לא סייע, כי למעשה זה רק $\lambda = \frac{Q}{2\pi R}$ . עקרונית היה אפשר אולי:

\[dq = \lambda \cdot dl = \frac{Q}{2\pi R} \cdot dl\]

ואז הייתי מקבל:

\[\int dq = \frac{Q}{2\pi R} \int dl = \frac{Q}{2\pi R} \cdot 2\pi R = Q\] \[\implies \frac{K}{\sqrt{R^2 + z^2}} \int dq = \frac{KQ}{\sqrt{R^2 + z^2}}\]

שאלה 9

מחליפים את התפלגות המטען בטבעת כך שצפיפות המטען הזוויתית תהיה:

\[\lambda(\theta) = \lambda_0 \cos(\theta)\]

כאשר $\theta$ היא הזווית מציר $x$ החיובי.

הפוטנציאל החשמלי במרכז הטבעת (בראשית) הוא:

  1. $V = \frac{K\lambda_0 \cdot 2\pi R}{R}$

  2. $V = \frac{K\lambda_0}{R}$

  3. $V = 0$

  4. $V = \frac{K\lambda_0 \pi}{R}$

זה אפס.

הסבר מלא שהתאצלתי לכתוב:

\[V = \int \frac{K \cdot dq}{R} = \frac{K}{R} \int_0^{2\pi} \lambda_0 \cos(\theta) \cdot R \, d\theta = \frac{K\lambda_0}{1} \int_0^{2\pi} \cos(\theta) \, d\theta = 0\]

כי $\int_0^{2\pi} \cos(\theta) \, d\theta = 0$ (מחזור שלם של קוסינוס).

נוסחאות עזר

\[K = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \, \frac{N \cdot m^2}{C^2}\] \[\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + a^2}} = \ln\left(x + \sqrt{x^2 + a^2}\right) + C\] \[\int_0^{2\pi} \cos(\theta) \, d\theta = 0\]

בהצלחה!

דור פסקל
חזור לשיעור בנושא
המשך לשיעור הבא