הדף עדיין בכתיבה.
1. תנועה בשני ממדים עם כוח תלוי זמן
נתון גוף בעל מסה $m = 1.5 \, \mathrm{kg}$ הנע במישור $(x,y)$ מתחיל בתנועתו מהנקודה $(0,0)$. המישור חסר חיכוך. מהירות הגוף נתונה ביחידות של מטר לשנטייה:
\[\begin{aligned} \vec{v}_x(t) &= (1 - 2t)\hat{x} \\[5pt] \vec{v}_y(t) &= (2t - 3t^2)\hat{y} \end{aligned}\]
- חשבו את מהירות הגוף כאשר הוא מגיע בחזרה לנקודת המוצא $(0,0)$.
- חשבו את הזמן $t_m$ שבו גודל הכוח הפועל על הגוף הוא מינימלי.
- כמה עבודה עשה הכוח הפועל על הגוף מתחילת התנועה עד לזמן $t = 2 \, \mathrm{s}$?
- האם הכוח הפועל על הגוף הוא כוח משמר? נמקו בצורה ברורה ותמציתית.
1.1 מציאת המהירות כאשר הגוף חוזר לנקודת המוצא
נמצא את הזמן שבו הגוף חוזר לראשית ואז נוכל לחשב את המהירות שלו באותו זמן.
לא תמיד מובטח שיש זמן $t \ne 0$ שבו $ֿ\vec{r}(t) = \left(x(t), y(t)\right) = (0, 0)$, אבל במקרה הזה זה עולה מהשאלה.
נחשב את $\vec{r}(t)$ על ידי אינטגרציה של $\vec{v}(t)$.
עבור רכיב $x$:
\[x(t) = x(0) + \int_0^t v_x(s)\,ds = 0 + \int_0^t (1 - 2s)\,ds = t - t^2\]עבור רכיב $y$:
\[y(t) = y(0) + \int_0^t v_y(s)\,ds = 0 + \int_0^t (2s-3s^2)\,ds = t^2 - t^3\]מציאת זמן החזרה לראשית:
הגוף חוזר לראשית כאשר $x(t) = 0$ ו-$y(t) = 0$ (עבור $t > 0$).
מהתנאי $x(t) = 0$:
\[t - t^2 = 0 \implies t(t - 1) = 0\]לכן, $t = 0$ או $t = 1$.
מהתנאי $y(t) = 0$:
\[t^2 - t^3 = 0 \implies t^2(1 - t) = 0\]לכן, $t = 0$ או $t = 1$.
לכן, הגוף חוזר לראשית ב-$t = 1 \, \mathrm{s}$.
המהירות בזמן החזרה:
נחשב את המהירות בזמן $t = 1$:
\[\begin{aligned} \vec{v}(1) &= \left(1 - 2(1)\right)\hat{x} + \left(2(1) - 3(1)^2\right)\hat{y} \\[10pt] &= (-1)\hat{x} + (-1)\hat{y} \\[10pt] &= -\hat{x} - \hat{y} \end{aligned}\]גודל המהירות:
\[|\vec{v}(1)| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} \, \mathrm{m/s}\]הערה: נראה שבמקרה הזה דווקא התכוונה לווקטור של המהירות ולא לגודל.
סך הכל:
\[\boxed{\vec{v}(t=1) = \left(v_x(1), v_y(1)\right) = (-1, -1) \, \mathrm{m/s}}\]1.2 הזמן שבו גודל הכוח מינימלי
כיוון שהמסה קבועה הכוח מתכונתי לתאוצה, שהיא נגזרת המהירות.
\[\begin{aligned} \vec{a}(t) &= \frac{d\vec{v}}{dt} = \left(\frac{d}{dt}(1 - 2t), \frac{d}{dt}(2t - 3t^2)\right) \\[10pt] &= \boxed{(-2, 2 - 6t)} \end{aligned}\]גודל הכוח:
\[|\vec{F}(t)| = m|\vec{a}(t)| = m\sqrt{(-2)^2 + (2 - 6t)^2} = m\sqrt{4 + (2 - 6t)^2}\]$\vert{F}(t)$ הוא מינימלי כאשר רכיב ה-$y$ של התאוצה הוא אפס, כלומר:
\[2 - 6t = 0 \implies \boxed{t_m = \frac{1}{3} \, \mathrm{s}}\]1.3 העבודה שביצע הכוח
העבודה שביצע הכוח מ-$t = 0$ עד $t = 2$ שניות ניתנת על ידי משפט עבודה-אנרגיה:
\[W = \Delta E_k = \frac{1}{2}m|\vec{v}(2)|^2 - \frac{1}{2}m|\vec{v}(0)|^2\]נחשב את המהירויות:
-
$\vec{v}(0) = (1, 0) \, \mathrm{m/s}$, לכן
\[|\vec{v}(0)|^2 = 1\] -
$\vec{v}(2) = (1 - 4, 4 - 12) = (-3, -8) \, \mathrm{m/s}$, לכן
\[|\vec{v}(2)|^2 = (-3)^2 + (-8)^2 = 9 + 64 = 73\]
לכן:
\[W = \frac{1}{2}m(73 - 1) = \frac{1}{2}(1.5)(72) = 54 \, \mathrm{J}\]1.4 האם הכוח משמר?
שאלה: האם הכוח הפועל על הגוף הוא כוח משמר?
כוח משמר מוגדר ככוח שעבורו העבודה הנעשית על מסלול סגור שווה לאפס. במקרה שלנו, הגוף חוזר לנקודת המוצא ב-$t = 1$, ולכן נבדוק את העבודה על המסלול הסגור מ-$t = 0$ עד $t = 1$:
\[W_{0\to1} = \Delta E_k = \frac{1}{2}m[|\vec{v}(1)|^2 - |\vec{v}(0)|^2]\]כבר חישבנו:
\[\begin{aligned} |\vec{v}(1)|^2 &= 2 \\[5pt] |\vec{v}(0)|^2 &= 1 \end{aligned}\]לכן:
\[W_{0\to1} = \frac{1}{2}(1.5)(2 - 1) = 0.75 \mathrm{ J} \neq 0\]מסקנה: הכוח אינו משמר, מכיוון שהעבודה על מסלול סגור שונה מאפס.
היה אפשר להגיע למסקנה הזאת גם משיקולים נוספים, למשל הגודל של המהירות היה שונה באפס ובשנייה הראשונה.
2. התנגשויות במערכת מטוטלת
משקולת בעלת מסה $m$ מחוברת למטוטלת בעלת אורך חוט מתוח $\ell$. המשקולדת משוררת ממנוחה מגובה $\ell$ ופוגעת בקוביה במנוחה בתחתית בעלת מסה $2m$. לאחר הפגיעה המטוטלת והקוביה נעות. הטוטלת עולה חזרה בגובה.
לאיזה גובה תעלה המטוטלת ($m$) לאחר הפגיעה?
- אם ההתנגשות אלסטית.
- אם ההתנגשות לא-אלסטית והקוביה נעה לאחר ההתנגשות במהירות ההתנגשות של המשקולת לפני ההתנגשות. לאיזה גובה תעלה המטוטלת לאחר הפגיעה?
- אם ההתנגשות היא פלסטית (הכדור והקוביה מתאחדים לחלוטין לאחר הפגיעה) לאיזה גובה יעלו הגופים המאוחדים לאחר ההתנגשות?
2.1 התנגשות אלסטית
לפני ההתנגשות כדור הארץ מבצע עבודה על המשקולת $m$ שגודל הוא $mgh= mg\ell$, כאשר $h = \ell$ הוא הגובה שממנו נפלה המשקולת.
מציאת מהירות המטוטלת לפני ההתנגשות:
משימור אנרגיה במהלך הנפילה:
\[mgL = \frac{1}{2}mv_1^2\]מכאן: $v_1 = \sqrt{2gL}$
ניתוח ההתנגשות האלסטית:
בהתנגשות אלסטית מתקיימים שימור תנע ושימור אנרגיה קינטית.
שימור תנע:
\[mv_1 = mu_1 + 2mu_2\]לאחר צמצום: $v_1 = u_1 + 2u_2$ … (1)
שימור אנרגיה קינטית:
\[\frac{1}{2}mv_1^2 = \frac{1}{2}mu_1^2 + \frac{1}{2}(2m)u_2^2\]לאחר צמצום: $v_1^2 = u_1^2 + 2u_2^2$ … (2)
מהצבת $v_1 = \sqrt{2gL}$ ופתרון המערכת משוואות (1) ו-(2), נקבל:
\[u_1 = \frac{v_1}{3}(2 \pm \sqrt{1 + \frac{8}{9}})\]הפתרון הפיזיקלי (המטוטלת נעה אחורה) נותן ערך שלילי ל-$u_1$.
הגובה המקסימלי:
משימור אנרגיה לאחר ההתנגשות:
\[\frac{1}{2}mu_1^2 = mgh_{max}\]מכאן: $h_{max} = \frac{u_1^2}{2g}$
2.2 התנגשות לא-אלסטית עם תנאי מיוחד
נתון שלאחר ההתנגשות הקוביה נעה במהירות השווה למהירות המטוטלת לפני ההתנגשות.
כלומר: $u_2 = v_1 = \sqrt{2gL}$
משימור תנע:
\[mv_1 = mu_1 + 2mv_1\]מכאן: $u_1 = -v_1$
המטוטלת מוחזרת באותה מהירות (בכיוון ההפוך) ולכן תגיע לאותו גובה התחלתי $L$.
הערה: מצב זה אינו ריאלי מבחינה פיזיקלית, שכן הוא דורש הוספת אנרגיה למערכת.
2.3 התנגשות פלסטית
בהתנגשות פלסטית שני הגופים נדבקים זה לזה.
משימור תנע:
\[mv_1 = (m + 2m)u\]מכאן: $u = \frac{v_1}{3} = \frac{\sqrt{2gL}}{3}$
הגובה המקסימלי אליו תגיע המערכת המשולבת:
\[\frac{1}{2}(3m)u^2 = 3mgh_{max}\]הצבת $u$:
\[\frac{1}{2}(3m)\frac{2gL}{9} = 3mgh_{max}\]לאחר פישוט: $h_{max} = \frac{L}{9}$
תרגול מיום 26 ביוני 2025.
מהירות בריחה
אנרגיית הכבידה הפועלת בין שני גופים מחוץ לכדור הארץ היא:
\[U = -\frac{G M m}{r}\]כאשר $r$ הוא המרחק בין הגופים, $m$ מסה של הגוף הנע, $M$ מסה של הגוף המושך (כדור הארץ), ו-$G = 6.67 \, \frac{m^3}{s^2 \cdot kg}$ הוא קבוע הכבידה.
- מה הסיבה לסימן מינוס, איך זה מסביר את העבודה שכוח בין שני גופים הוא כוח משיכה.
הראו שכוח הכבידה הוא:
\[\vec{F} = -\frac{G M m}{r^2} \hat{r}\]הראו שכוח הכבידה סמוך לכדור הארץ הוא:
\[\vec{F} = -mg \hat{r}\]כאשר $R = 6400 \, \text{km}$ הוא רדיוס כדור הארץ ו-$M = 6 \times 10^{24} \, \text{kg}$, ו-$g \approx 10 \, \frac{m}{s^2}$
- מצא את השינוי באנרגיה הנדרשת להביא גוף מפני כדור הארץ הרחק מאוד ממנו (במרחק אינסופי מכדור הארץ). מה צריכה להיות מהירותו על מנת שיוכל להימלט מהפלנט?
- צייר גרף של האנרגיה הפוטנציאלית כתלות במרחק, מה מייצג בגרף את האנרגיה הקינטית שצריכה להיות לגוף, על מנת להימלט מהפלנטה.
…
כלומר כדי להרחיק 2 גופים מסיביים נדרשת עבודה.
דרך נוספת לראות את זה הוא מהגדרת העבודה כאינטגרל:
\[W = \int_{r_0}^{\infty} \vec{F} dr = \int_{r_0}^{\infty} -\frac{G M m}{r^2} \hat{r} dr\]כלומר קטן מאפס
\[=\Delta U = U(\infty) - U(r_0) = 0 - \left(-\frac{G M m}{r_0}\right) = \frac{G M m}{r_0}\]סעיף 2 - להראות שכוח הכבידה הוא
\[\vec{F} = -\frac{G M m}{r^2} \hat{r}\]מההגדרה בקואורדינטות כדוריות על פונקציה שתלויה רק באר:
\[F = - \frac{dU}{dr} = -\frac{d}{dr}\left(-\frac{G M m}{r}\right) = -\left(\frac{G M m}{r^2}\right)\]גודל הכוח הוא:
\[|\vec{F}| = \frac{G M m}{r^2}\]ורוצים להראות של :
\[\frac{G M_E m}{R^2} \approx 10 \, \frac{m}{s^2} = g\]אם נצליח נקבל ש
\[\vert F \vert = mg\]קרוב לכדור הארץ.
נכתוב ונפשט את המשוואה כדי לקבל בערך 10
…
קרוב לכדור הארץ:
\[F = -|\vec{F}| \hat{r} = -mg \hat{r}\]סעיף 4 - מציאת השינוי באנרגיה הנדרשת להביא גוף מפני כדור הארץ הרחק מאוד ממנו.
\[\Delta U = U_{final} - U_{initial} = \cancel{-\frac{G M m}{\infty}} - \left(-\frac{G M m}{R}\right) = \frac{G M m}{R}\]\[\Delta U \tag{Potential Energy}\]\[= \frac{G\cancel{M} m}{R_E} = -\Delta E_k = \frac{1}{2}mv_0^2\] \[\implies v_0 = \sqrt{\frac{2G M}{R_E}} = \sqrt{\frac{2gR_E}{1}} \approx 10 \, \mathrm{km/s}\]
…
שאלה 2 - חישוב עבודה
נתון גרף של כוח בניוטון הפועל בכיוון $x$ על גוף הנע מ $x= 1 \mathrm{m}$ ל $x= 2 \mathrm{m}$.
העריכו מהי העבודה הפועל על הגוף.
מהנוסחה:
\[W = \int_{x_0}^{x_1} F(x) dx\]שאלה 3 - שימוש במשפט עבודה אנרגיה
דור פסקלכדור בעל מסה $m$ מחליק על המשטר המתואר באיור על משטח חלק למעט מקעט באורך $L$ עם מקדם חיכוך $\mu$ כמתואר באיור. בסוף ישנו קפיץ עם קבוע קפיץ $K$. נתון $H$. הכדור מתחיל מהנקודה השמאלית כפי שמופיע באיור.
- מה המהירות המינימלית ההתחלתית שיש להקנות לכדור בהתחלה על מנת שיגיע למישור המחוספר?
- עבור הנתונים של סעיף, 2, בכמה הקפיץ מתכווץ? אם ההתנגשות היא אלסטית (משמרת אנרגיה), הנח שהכדור פוגע נע ביחד עם הקפיץ עד קצה הכיווץ.
- האם האנרגיה נשמרת במקרה בו הכדור מתגלגל ולא מחליק על המשטר עם החיכוך? נמק.