פיזיקה לרפואנים - תרגול 3

מבוא לקינמטיקה

קינמטיקה זה כיף! אמנם יש בה אתגרים, אבל היא מעניינת. זה תחום שיש בו לפעמים דברים גאוניים. כשמרצים על קינמטיקה, אפשר לספר כל מיני אגדות מעניינות.

אפשר להבחין בין “קינמטיקה פשוטה” לבין “קינמטיקה למהנדסים”:

• קינמטיקה פשוטה: העקרונות הבסיסיים
• קינמטיקה למהנדסים: כוללת תנועות מורכבות, מדידות, תצפיות ותנועות בהן המשקל משתנה

לדוגמה, תנועת טיל היא דוגמה של קינמטיקה למהנדסים, והיא עבודה מורכבת.

יחידות מדידה

בואו נדבר על יחידות מדידה. יש כל מיני סוגים של יחידות.

היה תיאום בין האירופאים לאמריקאים לגבי יחידות מידה. האמריקאים השתמשו ביחידות שונות (אינצ’ים, פאונדים). במדע הם משתדלים לעבוד בצורה מסודרת, ולכן נוצר הסטנדרט הבינלאומי (International Standard) שמבוסס על מטר, קילוגרם ושנייה.

ככל שמתקדמים בפיזיקה, הדברים מסתבכים. למשל, איינשטיין בתורת היחסות הפרטית מערער על המסה, המטר והשנייה, אבל באופן כללי אלו אותן מדידות רק בסקאלות אחרות.

לגבי מדידות, עדיין יש הבדלים - יש יחידה שלמה של האמריקאים שמטפלת בנושא.

סטנדרט בינלאומי

אנחנו עובדים ב-MKS (מטר-קילוגרם-שנייה), שהוא הסטנדרט הבינלאומי.

ממדים ויחידות

לפעמים אני רוצה לדבר על ממדים, כלומר אני מעוניין ביחידות המדידה. אני מסמן זאת בסוגריים מרובעים [ ].

הממדים הבסיסיים:

• [M] - מסה (קילוגרם)
• [L] - אורך (מטר)
• [T] - זמן (שנייה)

אם שואלים מה הממדים, נותנים את זה באותיות האלה. אם שואלים מה היחידות, עונים על כך בהתאם למערכת המדידה (למשל, מטר לשנייה).

לפעמים אנחנו מעוניינים במה שקורה ברמות אטומיות, ואז עושים חלק מהחישובים ביחידות אחרות ואחר כך ממירים.

חשוב מאוד להכיר יחידות ומעברים ביניהן. זה הבדל מספר אחד בין איש מקצוע (פיזיקאי) לבין מי שלא לומד את זה. פיזיקאי מסתכל על היחידות ומקבל אינטואיציה מהירה על משמעותן, כי יש לו הערכות טובות על המציאות.

הגדרות בקינמטיקה

בואו נכנס להגדרות של קינמטיקה. אני מתחיל איתכם בקינמטיקה חד-ממדית, קרטזית.

זוכרים שלמדנו שיש כמה מערכות קואורדינטות:

• קרטזית
• פולארית
• גלילית
• כדורית

אבל נתחיל עם קינמטיקה חד-ממדית.

מיקום

אנחנו מסמנים מיקום בעזרת $x(t)$ באופן אופייני. אפשר לרשום את זה גם כ-$r(t)$, אפשר לרשום את זה באלף דרכים אחרות. אנחנו סומכים פה על האינטליגנציה של מי שקורא את זה ועובד עם אותה בעיה, שיבין למה הייתה הכוונה.

מהירות

מהירות היא קצב שינוי המיקום. במילים אחרות, זה קצב שינוי של הדיכון (מיקום), כלומר כמה מהר משתנה המיקום. היחידות הן מטרים לשנייה.

אנחנו כבר מכירים נגזרות, אז בעצם קצב שינוי = נגזרת, וזה קצב שינוי מקומי. אנחנו מסמנים את זה ב-$\frac{dx}{dt}$ או $\dot{x}$.

אפשר גם לבדוק שיפוע בין שתי נקודות - להעביר קו בין נקודה 1 ונקודה 2. נניח שיש לנו גרף של מיקום כפונקציה של הזמן, אז לדבר הזה אנחנו יכולים בין שתי נקודות A ו-B להצמיד שיפוע ממוצע.

מה זה שיפוע ממוצע? $\Delta x$ חלקי $\Delta t$ ייתן לנו את המהירות הממוצעת, אבל בכל רגע נתון תהיה מהירות אחרת - זו המהירות הרגעית שמחושבת כנגזרת.

תאוצה

תאוצה היא קצב שינוי המהירות. אם אומרים שהתאוצה של כדור הארץ היא 10 מטרים לשנייה בכל שנייה (10 מטר/שנייה²), זה אומר שהמהירות משתנה ב-10 מטרים לשנייה בכל שנייה.

אם עוזבים חפץ ממגדל פיזה, זו בערך התאוצה שלו. הוא יתחיל מאפס, אחרי שנייה תהיה לו מהירות של 10 מטרים לשנייה, אחרי עוד שנייה - 20 מטרים לשנייה וכן הלאה.

מהירות רגעית לעומת מהירות ממוצעת

מה ההבדל בין מהירות ממוצעת למהירות רגעית?

מהירות ממוצעת: את נוסעת מפרדס חנה לתל אביב, לקח לך 3 שעות (10,800 שניות), והמרחק הוא 120 קילומטר (120,000 מטר). המהירות הממוצעת היא 120,000 מטר חלקי 10,800 שניות. אבל במהלך הדרך, בכל רגע נתון הייתה לך מהירות אחרת - לפעמים 100 קמ”ש, לפעמים 0 כי עמדת ברמזור.

מהירות רגעית: זו המהירות באותו רגע בדיוק. הדרך לחשב אותה פיזית היא כמעט נגזרת, או למשל לבדוק כמה זמן לוקח לגלגל הרכב לעשות סיבוב אחד.

האם יש תאוצה ממוצעת?

תאוצה ממוצעת קיימת אך פחות שימושית. למשל, אם נסעת באוטופילוט בסוף הנסיעה, התאוצה הממוצעת תהיה שינוי המהירות לאורך זמן הנסיעה.

חשוב לציין שעד מהירות הכל די אינטואיטיבי. ברגע שמגיעים לתאוצה, האינטואיציה פחות טובה. כשמגיעים לנגזרות גבוהות יותר (נגזרת שלישית וכו’), זה כבר מעבר ליכולת האינטואיטיבית שלנו, וצריך להסתמך על המתמטיקה.

הדגמה של תנועה

נדמיין מצב שאנחנו ניגשים לרמזור אדום. מה קורה? אתה מתחיל לאט, כי אתה לא רוצה לדפוק את הרכב שלפניך. לפעמים אין ברירה ואתה מגביר את התאוצה.

אפשר לצייר גרף של מהירות כפונקציה של הזמן. נניח שהמהירות יורדת (אתה בולם) ואז השיפוע של הגרף הוא שלילי - זוהי תאוצה שלילית או האטה.

אם נסתכל על מהירות שיורדת מ-10 ל-5, אז התאוצה הממוצעת תהיה:

כלומר תאוצה שלילית של 1 מטר לשנייה בריבוע.

האם יש תאוצה אם חוזרים לאותה נקודה?

אם חוזרים לאותה נקודה, ההעתק הוא אפס, אבל הדרך שעברנו יכולה להיות גדולה. למשל, אם נסעתי לתל אביב וחזרתי, ההעתק שלי הוא אפס, אבל עברתי דרך ארוכה.

קינמטיקה בתלת-ממד

כשעוברים לתלת-ממד, המשוואות נראות יותר מורכבות, אבל הן למעשה אותן משוואות.

כשרואים משוואה בתלת-ממד וקטורית, למשל $\vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}}{dt}$, זו למעשה קבוצה של שלוש משוואות (אחת לכל ציר).

כפי שדיברנו בפעם הראשונה, ציר X לא “יודע” מי זה ציר Y, וציר Y לא “יודע” מי זה ציר X, וכך גם ציר Z. הם לא “מתקשרים” זה עם זה.

אז המשמעות היא: $v_x = \frac{dx}{dt}$ $v_y = \frac{dy}{dt}$ $v_z = \frac{dz}{dt}$

באופן דומה, התאוצה היא נגזרת של המהירות (או נגזרת שנייה של המיקום): $a_x = \frac{dv_x}{dt}$ $a_y = \frac{dv_y}{dt}$ $a_z = \frac{dv_z}{dt}$

אנחנו מסמנים זאת גם ב-$\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d^2\vec{r}}{dt^2} = \ddot{\vec{r}}$

ממהירות למיקום: אינטגרציה

לפעמים אני יודע את התאוצה אבל לא יודע את המיקום. לדוגמה, בטלפון יש חיישן תאוצה (חיישן אינרציאלי) שיכול למדוד תאוצות וסיבובים, אבל קשה להבין ממנו את המיקום.

כדי לעבור מתאוצה למיקום, אני צריך לבצע אינטגרציה כפולה.

המיקום בזמן t פחות המיקום בזמן 0 שווה לאינטגרל מ-0 עד t של המהירות:

$\vec{r}(t) - \vec{r}(0) = \int_0^t \vec{v}(s) ds$

שימו לב שאני משתמש כאן ב-s כמשתנה אינטגרציה כדי שלא יהיה בלבול עם t שכבר מופיע בגבולות האינטגרל.

זו נוסחה לחישוב המיקום שתלויה במיקום ההתחלתי ובאינטגרל של המהירות.

הפרשי מיקום ומהירות

כשאני מסמן $\Delta x$, אני מתכוון ל-$x_2 - x_1$.

משמעותו: המיקום של נקודה 2 מנקודת המבט של מערכת שיושבת ב-1.

בואו נחשוב על זה: נניח שיש לנו שתי נקודות על ציר x, $x_2$ ו-$x_1$.

כשאני מחסר $x_2 - x_1$, אני מקבל מספר חיובי (בהנחה ש-$x_2 > x_1$).

זה לא יכול להיות שאני עומד במערכת 2 ואומר שההפרש בינינו הוא חיובי, כי מבחינתי במערכת 2, הנקודה 1 נמצאת בכיוון השלילי של ציר x.

ולכן, $x_2 - x_1$ מייצג את המיקום של נקודה 2 כפי שרואים אותה מנקודה 1. זה המרחק של 2 מ-1 בכיוון החיובי של ציר x.

הפרשי מהירויות

באופן דומה, הפרש מהירויות $v_2 - v_1$ משמעותו המהירות של נקודה 2 מנקודת המבט של מערכת 1.

נחשוב על שני גופים שנעים ימינה (בכיוון החיובי של ציר x) במהירויות $v_1$ ו-$v_2$, כאשר $v_2 > v_1$. במקרה כזה, $v_1$ מנסה לרדוף אחרי $v_2$, אבל $v_2$ מהיר יותר.

מנקודת המבט של $v_1$, הגוף השני מתרחק ממנו במהירות של $v_2 - v_1$.

יחידות מדידה ימיות

במהלך השיעור דנו בבעיה הקשורה לספינות הנעות במהירויות וכיוונים שונים. הגענו לשאלה חשובה: מהי יחידת ה”קשר”?

קשר (Knot) היא יחידת מהירות ימית:

• קשר אחד = 1.852 קילומטר לשעה (או כ-1.8 קילומטר לשעה בקירוב)
• מקור השם בשיטה עתיקה שבה ימאים היו פורסים חבל עם קשרים במרחקים קבועים כדי למדוד את מהירות הספינה

מערכות צירים ומדידת כיוונים

כאשר עובדים עם כיוונים ימיים, משתמשים במערכת קואורדינטות מיוחדת:

• צפון = 0° (או 360°)
• מזרח = 90°
• דרום = 180°
• מערב = 270°

הזוויות נמדדות בכיוון השעון, בניגוד למערכת הקואורדינטות המתמטית הרגילה שבה הזוויות נמדדות נגד כיוון השעון.

בעיית תנועה יחסית

בבעיה שפתרנו בכיתה:

נתונים:

• ספינת נופשים מפליגה דרומה (180°) במהירות 10 קשרים
• ספינת מטען נוסעת צפונה (0°) במהירות 20 קשרים
• השאלה: באיזו מהירות ובאיזה כיוון רואה צופה בספינת המטען את ספינת הנופשים מתרחקת ממנו?

פתרון הבעיה

1. ניתוח וקטורי של הבעיה

כדי לפתור את הבעיה, עלינו למצוא את וקטור המהירות היחסית. כשאנו רוצים לדעת איך צופה במערכת אחת רואה מערכת שנייה, נשתמש בנוסחה:

כאשר:

• $\vec{v}_{1\rightarrow2}$ היא המהירות של גוף 1 כפי שנראית ממערכת 2
• $\vec{v}_1$ היא מהירות גוף 1 (ספינת הנופשים)
• $\vec{v}_2$ היא מהירות גוף 2 (ספינת המטען)

2. הגדרת מערכת הצירים

עבור פתרון זה, הגדרנו:

• ציר x: מערב-מזרח (חיובי לכיוון מזרח)
• ציר y: דרום-צפון (חיובי לכיוון צפון)

3. מציאת רכיבי הווקטורים

ספינת הנופשים (וקטור $\vec{v}_1$):

• מהירות: 10 קשרים
• כיוון: 180° (דרומה)
• רכיבים:
  • $v_{1x} = 10 \cdot \cos(180°) = 10 \cdot (-1) = -10 \cdot 0 = 0$
  • $v_{1y} = 10 \cdot \sin(180°) = 10 \cdot 0 = 0 \cdot (-1) = -10$

ספינת המטען (וקטור $\vec{v}_2$):

• מהירות: 20 קשרים
• כיוון: 0° (צפונה)
• רכיבים:
  • $v_{2x} = 20 \cdot \cos(0°) = 20 \cdot 1 = 20 \cdot 0 = 0$
  • $v_{2y} = 20 \cdot \sin(0°) = 20 \cdot 0 = 20 \cdot 1 = 20$

4. חישוב וקטור המהירות היחסית

המהירות של ספינת הנופשים יחסית לספינת המטען:

אבל רגע, זה לא הפתרון הסופי שקיבלנו בכיתה. יתכן שהייתה לנו טעות בחישוב או שהנתונים היו מורכבים יותר.

נחזור לחישובים המקוריים שנעשו בכיתה:

מהירות ספינת הנופשים $\vec{v}_1$ הייתה:

• כיוון: 225° (דרום-מערב)
• רכיבים:
  • $v_{1x} = 10 \cdot \cos(225°) = 10 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -5\sqrt{2}$
  • $v_{1y} = 10 \cdot \sin(225°) = 10 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -5\sqrt{2}$

מהירות ספינת המטען $\vec{v}_2$ הייתה 20 קשרים צפונה:

• רכיבים:
  • $v_{2x} = 0$
  • $v_{2y} = 20$

מכאן, המהירות היחסית:

5. חישוב גודל וכיוון המהירות היחסית

גודל המהירות היחסית:

קשרים

כיוון המהירות היחסית:

או בשפה ימית: 15° מערבה מהדרום, או 195° לפי הספירה של הימאים.

מסקנות פיזיקליות

1. תנועה יחסית - מה שספינה אחת רואה תלוי במהירות וכיוון שלה עצמה
2. שינוי מערכת ייחוס - כאשר עוברים ממערכת ייחוס אחת לאחרת, מהירויות וכיוונים משתנים
3. חישוב וקטורי - בבעיות תנועה יחסית, ניתוח וקטורי מאפשר לפתור בעיות מורכבות

הערות נוספות

• באנגלית, המונח “speed” מתייחס לגודל המהירות בלבד, בעוד “velocity” מתייחס למהירות כווקטור (עם גודל וכיוון)
• כאשר עובדים עם פונקציית ארקטנגנס (tan⁻¹), יש לשים לב לרביע שבו נמצא הווקטור כדי לקבל את הזווית הנכונה
• לפעמים נוח יותר לעבוד במערכת קואורדינטות מתמטית סטנדרטית ואז להמיר את התוצאה למערכת הימית

ניתוח ממדים (Dimensional Analysis)

כשאנחנו מנתחים משוואות פיזיקליות, חשוב לוודא שהיחידות של כל צד במשוואה מתאימות. הנה ניתוח של יחידות התאוצה:

הממדים של $x$ הם $[L]$ (אורך), והממדים של זמן בריבוע הם $[T^2]$ (זמן בריבוע). לכן, ממדי התאוצה $a$ הם $[L]/[T^2] = [L/T^2]$ (אורך חלקי זמן בריבוע).

כיצד מחשבים תאוצה?

אם נבצע ניתוח ממדים:

וזה מתאים למה שציפינו.

אינטגרציה של תנועה הרמונית

כאשר יש לנו תאוצה משתנה בזמן, למשל בתנועה הרמונית, אנחנו צריכים לבצע אינטגרציה כדי למצוא את המהירות והמיקום.

נניח שהתאוצה היא:

לחשב את המהירות, נבצע אינטגרציה:

לחשב את המיקום, נבצע אינטגרציה נוספת:

כאשר אנו מבצעים אינטגרציה, אנו משתמשים בכלל ניוטון-לייבניץ: האינטגרל של נגזרת שווה לפונקציה בקצה העליון פחות הפונקציה בקצה התחתון.

תנועה מעגלית והרמונית

תנועה מעגלית קשורה באופן הדוק לתנועה הרמונית. בואו נבחן כמה מושגים בסיסיים:

זמן מחזור ($T$)

זמן מחזור הוא הזמן הדרוש להשלמת סיבוב שלם. למשל, אם זמן המחזור הוא 3 שניות, פירוש הדבר שנדרשות 3 שניות להשלים סיבוב שלם.

תדירות ($f$)

תדירות היא מספר הסיבובים ליחידת זמן, בדרך כלל לשנייה. התדירות מתקשרת לזמן המחזור באופן הבא:

אם זמן המחזור הוא 3 שניות, אז התדירות היא $\frac{1}{3}$ סיבובים לשנייה.

מהירות זוויתית ($\omega$)

המהירות הזוויתית היא קצב שינוי הזווית ביחס לזמן:

במערכת הרדיאנים, סיבוב שלם הוא $2\pi$ רדיאנים. לכן, הקשר בין המהירות הזוויתית לתדירות הוא:

תנועה הרמונית פשוטה

בתנועה הרמונית פשוטה, המיקום ניתן על ידי:

כאשר:

• $A$ הוא המשרעת (האמפליטודה)
• $\omega$ היא המהירות הזוויתית
• $\phi$ היא פאזת ההתחלה

התנועה מחזורית עם זמן מחזור $T = \frac{2\pi}{\omega}$. כאשר $t = T$, הפונקציה חוזרת לערכה ההתחלתי:

המהירות בתנועה הרמונית היא:

והתאוצה היא:

תנועה בליסטית עם רוח

בבעיית תנועה בליסטית עם רוח, אנו מנתחים את תנועת הכדור בהשפעת כוח הכבידה והרוח.

נניח שהמהירות ההתחלתית היא $\vec{v}_0$ בזווית $\theta_0$ במישור $xy$, ורוח נושבת במהירות $u$ בכיוון ציר $z$.

וקטור המהירות ההתחלתי:

וקטור התאוצה:

כאשר $g$ היא תאוצת הכובד.

לחישוב וקטור המהירות בזמן $t$, אנו מבצעים אינטגרציה:

המשמעות הפיזיקלית: המהירות בכיוון $x$ קבועה, המהירות בכיוון $y$ קטנה באופן לינארי בגלל הכבידה, והמהירות בכיוון $z$ נשארת קבועה (בגלל הרוח).

לחישוב המיקום, נבצע אינטגרציה נוספת:

מה שנותן:

הערות נוספות

1. מערכת קואורדינטות: בבעיות פיזיקה, חשוב להגדיר בבירור את מערכת הקואורדינטות. לרוב, אנו מגדירים את ציר $y$ כמעלה-מטה, את ציר $x$ כימינה-שמאלה, ואת ציר $z$ כיוצא מהמישור.

2. אינטגרציה ביחס למשתנה: כאשר מבצעים אינטגרציה, חשוב להשתמש במשתנה שונה (כמו $s$ במקום $t$) כדי להימנע מבלבול, במיוחד כאשר יש גם גבולות אינטגרציה.

3. פונקציות טריגונומטריות: במקרה של תנועה מחזורית, הפונקציות סינוס וקוסינוס מאוד שימושיות. קוסינוס מתאר תנועה שמתחילה במשרעת המקסימלית, בעוד סינוס מתחיל באפס.

השלמת חישוב התנועה הבליסטית

כאשר מסיימים את האינטגרציה של התנועה הבליסטית, חשוב לציין את תנאי ההתחלה. אם נקבע את המיקום ההתחלתי כ-$\vec{r}_0 = (0,0,0)$, אז המיקום בזמן $t$ יהיה:

דיון על השפעת הרוח בתנועה הבליסטית

בבעיית התנועה הבליסטית שנידונה, היה חשוב להבהיר את השפעת הרוח:

• הרוח משפיעה על הכדור במהירות $u$ קבועה בכיוון ציר $z$.
• בניגוד לטעות נפוצה, לא מדובר בכוח חיכוך אלא בהשפעה קבועה.
• מכיוון שהמהירות בכיוון $z$ היא קבועה, התאוצה בכיוון זה היא אפס.

בשאלה נאמר ש”רוח נושבת על הכדור במהירות $u$ לכיוון $z$”, כלומר הכדור נע במהירות $u$ באופן קבוע בכיוון זה. זאת לומר, המהירות ההתחלתית של הכדור בכיוון $z$ היא $u$, והיא נשארת קבועה לאורך כל התנועה.

תנועה מעגלית ופרמטרים

בדיון על תנועה מעגלית, עלתה שאלה לגבי הפרמטרים $A$ ו-$B$ במשוואה הכללית של תנועה מעגלית:

בתנועה מעגלית אמיתית, הפרמטרים $A$ ו-$B$ חייבים לקיים תנאים מסוימים:

1. אם מדובר במעגל מושלם, אז $|A| = |B| = R$ (כאשר $R$ הוא רדיוס המעגל)
2. אם $A$ ו-$B$ אינם שווים בגודלם, נקבל תנועה אליפטית במקום מעגלית

בתנועה מעגלית, הנתיב במישור $xy$ ניתן על ידי:

וניתן לבטא זאת בצורה וקטורית:

האם הפרמטרים $A$ ו-$B$ חייבים להיות חיוביים?

עלתה שאלה האם הפרמטרים $A$ ו-$B$ חייבים להיות חיוביים. התשובה היא לא - הם יכולים להיות גם שליליים, ומשמעות הדבר היא היפוך הפאזה של התנועה.

למשל, אם $A$ הוא שלילי, המשמעות היא שהתנועה בכיוון $x$ הפוכה בפאזה של $\pi$ רדיאנים (180°) מהמקרה הרגיל. בדומה, אם $B$ הוא שלילי, התנועה בכיוון $y$ הפוכה בפאזה.

בתנועה מעגלית, חשוב לציין שאם שני הפרמטרים חיוביים, כיוון התנועה הוא נגד כיוון השעון (counter-clockwise). אם שניהם שליליים, כיוון התנועה הוא עם כיוון השעון (clockwise).