מבוא
שיעור זה עוסק בשדות סקלריים ווקטוריים ובאופרטורים דיפרנציאליים הפועלים עליהם. נושאים אלו מהווים את הבסיס המתמטי להבנת תופעות אלקטרומגנטיות ופיזיקליות אחרות.
חשיבות הנוכחות: נוכחות בשיעורים היא קריטית להבנת החומר, מעבר לדרישה התקנונית של 80% נוכחות.
שדות (Fields)
הגדרה
שדה הוא ישות מתמטית שממלאת את המרחב או את המישור, ומקבלת ערך בכל נקודה ונקודה.
שדה סקלרי (Scalar Field)
הגדרה: שדה שמצמיד לכל נקודה במרחב מספר (סקלר).
סימון: $\phi(x,y,z)$ או $\phi(\vec{r})$
דוגמה: טמפרטורה בחדר - לכל נקודה $(x,y,z)$ בחדר מתאים ערך טמפרטורה.
דוגמאות מתמטיות:
-
שדה שמתאים לכל נקודה סקאלר שהוא מכפלת איברי הווקטור:
\[\phi(x,y,z) = xyz\] -
שדה שמתאים לכל נקודה סכום של רכיב ליניארי ואקספוננציאלי:
\[\chi(x,y,z) = x + e^{yz}\]
שדה וקטורי (Vector Field)
הגדרה: שדה שמצמיד לכל נקודה במרחב וקטור.
סימון: $\vec{v}(x,y,z)$ או $\vec{v}(\vec{r})$
דוגמאות:
- מהירות וכיוון זרימת אוויר בחדר
- כיוון השיערות על הקרקפת (שדה רדיאלי)
ייצוג מתמטי:
\[\vec{v}(x,y,z) = v_x(x,y,z)\hat{x} + v_y(x,y,z)\hat{y} + v_z(x,y,z)\hat{z}\]דוגמה קונקרטית:
\[\vec{v}(x,y,z) = x^2\hat{x} + \sin(xy)\hat{y} + e^{xyz}\hat{z}\]כאשר:
- $v_x(x,y,z) = x^2$
- $v_y(x,y,z) = \sin(xy)$
- $v_z(x,y,z) = e^{xyz}$
אופרטורים דיפרנציאליים
אופרטור הגרדיאנט (Gradient/Del/Nabla)
הגדרה: אופרטור וקטורי המסומן ב-$\nabla$ (נבלא), $\text{grad}$ או $\text{del}$:
\[\vec{\nabla} = \hat{x}\frac{\partial}{\partial x} + \hat{y}\frac{\partial}{\partial y} + \hat{z}\frac{\partial}{\partial z}\]פעולה על שדה סקלרי (על פונקציה $\phi(x,y,z)$, להבנתי):
\[\vec{\nabla}\phi = \hat{x}\frac{\partial\phi}{\partial x} + \hat{y}\frac{\partial\phi}{\partial y} + \hat{z}\frac{\partial\phi}{\partial z}\]תוצאה: שדה וקטורי
דוגמאות:
-
עבור $\phi(x,y,z) = xyz$:
\[\vec{\nabla}\phi = \hat{x}(yz) + \hat{y}(xz) + \hat{z}(xy)\]
-
עבור $\chi(x,y,z) = x + e^{yz}$:
\[\vec{\nabla}\chi = \hat{x} + \hat{y}(ze^{yz}) + \hat{z}(ye^{yz})\]
משמעות גיאומטרית
הגרדיאנט מתאר את כיוון השיפוע המרבי של השדה הסקלרי:
- מצביע בכיוון שבו השדה גדל במהירות הגבוהה ביותר
- ניצב למשטחים קבועים של השדה
דוגמה: במפה טופוגרפית, הגרדיאנט מצביע בכיוון המורד/עלייה התלול ביותר.
שדה נורמלי למשטח
עבור משטח המוגדר על ידי $\phi(x,y,z) = c$:
\[\hat{n}(\vec{r}) = \frac{\vec{\nabla}\phi}{|\vec{\nabla}\phi|}\]וקטור היחידה הניצב למשטח.
הוכחה (סקיצה):
- עבור משטח $\phi(x,y,z) = c$ (קבוע)
- הדיפרנציאל: $d\phi = 0$
- $d\phi = \nabla\phi \cdot d\vec{r} = 0$
- $\nabla\phi \perp d\vec{r}$
כיוון ש-$d\vec{r}$ שוכב על המשטח, $\nabla\phi$ ניצב למשטח.
אופרטור הדיברגנס (Divergence)
הגדרה: מכפלה סקלרית של $\nabla$ עם שדה וקטורי:
\[\boxed{\text{div}\,\vec{v} = \vec{\nabla} \cdot \vec{v} = \frac{\partial v_x}{\partial x} + \frac{\partial v_y}{\partial y} + \frac{\partial v_z}{\partial z}}\]תוצאה: שדה סקלרי
דוגמה: עבור השדה הוקטורי
\[\vec{v}(x,y,z) = x^2\hat{x} + \sin(xy)\hat{y} + e^{xyz}\hat{z}\]הדיברגנס הוא:
\[\nabla \cdot \vec{v} = 2x + x\cos(xy) + xye^{xyz}\]
משמעות פיזיקלית
הדיברגנס מודד את עוצמת השפיעה של השדה הוקטורי:
- $\nabla \cdot \vec{v} > 0$: מקור (source) - השדה שופע החוצה מהנקודה
- $\nabla \cdot \vec{v} < 0$: בולען (sink) - השדה נכנס פנימה לנקודה
- $\nabla \cdot \vec{v} = 0$: אין שפיעה נטו
 |  |  |
דוגמאות:
- מעיין מים: דיברגנס חיובי
- קיור מים: דיברגנס שלילי
- זרימה מעגלית טהורה: דיברגנס אפס
אופרטור הרוטור (Curl/Rotation)
הגדרה: מכפלה וקטורית של $\nabla$ עם שדה וקטורי:
\[\text{curl}\,\vec{v} = \vec{\nabla} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ v_x & v_y & v_z \end{vmatrix}\]פירוט:
\[\vec{\nabla} \times \vec{v} = \hat{x}\left(\frac{\partial v_z}{\partial y} - \frac{\partial v_y}{\partial z}\right) - \hat{y}\left(\frac{\partial v_z}{\partial x} - \frac{\partial v_x}{\partial z}\right) + \hat{z}\left(\frac{\partial v_y}{\partial x} - \frac{\partial v_x}{\partial y}\right)\]תוצאה: שדה וקטורי
משמעות פיזיקלית של הרוטור
הרוטור מודד את עוצמת הערבוליות של השדה:
- $\nabla \times \vec{v} \neq \vec{0}$: השדה מתערבל (יש רוטציה מקומית)
- $\nabla \times \vec{v} = \vec{0}$: השדה ללא ערבוליות (irrotational)
כיוון הרוטור:
- ערבול נגד כיוון השעון: רוטור חיובי
- ערבול עם כיוון השעון: רוטור שלילי
דוגמאות:
- הוריקן: רוטור גדול באזור המרכז
- שדה רדיאלי טהור: רוטור אפס
זהויות וקטוריות חשובות
רוטור של גרדיאנט
משפט: עבור כל שדה סקלרי $\phi$:
\[\vec{\nabla} \times (\vec{\nabla} \phi) = \vec{0}\]הוכחה:
\[\vec{\nabla} \times (\vec{\nabla} \phi) = \begin{vmatrix} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{\partial\phi}{\partial x} & \frac{\partial\phi}{\partial y} & \frac{\partial\phi}{\partial z} \end{vmatrix}\]המרכיב ב-$\hat{x}$:
\[\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial\phi}{\partial z}\right) - \frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{\partial\phi}{\partial y}\right) = \frac{\partial^2\phi}{\partial y\partial z} - \frac{\partial^2\phi}{\partial z\partial y} = 0\]עקרון: סדר הגזירה בנגזרות חלקיות אינו משנה.
באופן דומה, כל המרכיבים מתאפסים.
מסקנה: שדה גרדיאנטי הוא תמיד ללא ערבוליות.
דיברגנס של רוטור
משפט: עבור כל שדה וקטורי $\vec{v}$:
\[\vec{\nabla} \cdot (\vec{\nabla} \times \vec{v}) = 0\]הוכחה:
\[\vec{\nabla} \cdot (\vec{\nabla} \times \vec{v}) = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial v_z}{\partial y} - \frac{\partial v_y}{\partial z}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial v_x}{\partial z} - \frac{\partial v_z}{\partial x}\right) + \frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{\partial v_y}{\partial x} - \frac{\partial v_x}{\partial y}\right)\]פתיחת הסוגריים:
\[= \frac{\partial^2 v_z}{\partial x\partial y} - \frac{\partial^2 v_y}{\partial x\partial z} + \frac{\partial^2 v_x}{\partial y\partial z} - \frac{\partial^2 v_z}{\partial y\partial x} + \frac{\partial^2 v_y}{\partial z\partial x} - \frac{\partial^2 v_x}{\partial z\partial y}\]כל זוג איברים מתאפס בגלל שוויון נגזרות חלקיות מעורבות:
\[\frac{\partial^2 v_z}{\partial x\partial y} = \frac{\partial^2 v_z}{\partial y\partial x}, \quad \text{etc.}\]מסקנה: שדה ערבולי הוא תמיד ללא שפיעה (דיברגנס אפס).
שטף (Flux)
הגדרה אינטואיטיבית
שטף מודד את כמות השדה הוקטורי העוברת דרך משטח נתון.
אנלוגיה: גשם היורד דרך חלון:
- כאשר החלון ניצב לכיוון הגשם ← שטף מקסימלי
- כאשר החלון מקביל לכיוון הגשם ← שטף אפס
- במצבים ביניים ← שטף תלוי בזווית
תלות בזווית
עבור שדה $\vec{v}$ ומשטח עם נורמל $\hat{n}$:
- $\vec{v} \parallel \hat{n}$: שטף מקסימלי
- $\vec{v} \perp \hat{n}$: שטף אפס
- זווית כללית: השטף תלוי ב-$\vec{v} \cdot \hat{n}$
המרכיב התורם לשטף: רק המרכיב של $\vec{v}$ בכיוון הנורמל $\hat{n}$ תורם לשטף.
הגדרה מתמטית
השטף של שדה וקטורי $\vec{v}$ דרך משטח $S$ עם אלמנט שטח $d\vec{A} = \hat{n}dA$:
\[\Phi = \int_S \vec{v} \cdot d\vec{A} = \int_S \vec{v} \cdot \hat{n}\,dA\]כאשר $\hat{n}$ הוא וקטור הנורמל למשטח.
משפט הדיברגנס (Divergence Theorem)
משפט הדיברגנס, המכונה גם משפט גאוס או משפט גרין, קושר בין אינטגרל נפחי של הדיברגנס לבין אינטגרל משטחי של השטף:
\[\int_V (\nabla \cdot \vec{v})\,dV = \oint_S \vec{v} \cdot d\vec{A}\]כאשר:
- $V$ - נפח סגור
- $S$ - המשטח הסגור התחום את הנפח
- $d\vec{A}$ - אלמנט שטח מכוון כלפי חוץ
פרשנות פיזיקלית:
- אגף שמאל: סך כל המקורות (שפיעה נטו) בתוך הנפח
- אגף ימין: סך כל השטף היוצא דרך המשטח החיצוני
משמעות: מה שנוצר בפנים (מקורות) חייב לצאת החוצה (שטף).
סיכום
| אופרטור | קלט | פלט | סימון | משמעות |
|---|---|---|---|---|
| Gradient | שדה סקלרי | שדה וקטורי | $\vec{\nabla}\phi$ | כיוון השיפוע המרבי |
| Divergence | שדה וקטורי | שדה סקלרי | $\vec{\nabla} \cdot \vec{v}$ | עוצמת השפיעה |
| Curl | שדה וקטורי | שדה וקטורי | $\vec{\nabla} \times \vec{v}$ | עוצמת הערבוליות |
זהויות יסודיות:
- $\nabla \times (\nabla\phi) = \vec{0}$ - לגרדיאנט אין ערבוליות
- $\nabla \cdot (\nabla \times \vec{v}) = 0$ - לרוטור אין שפיעה
בשיעורים הבאים נשתמש במושגים אלו כדי לתאר תופעות אלקטרומגנטיות.
דור פסקל