הקדמה לבעיה
שאלה לגבי קרון עם מטוטלת: יש מסה כלשהי המחוברת לחוט. הקרון מואץ בתאוצה $A$ ימינה, ואנחנו צריכים לחקור את המערכת הזאת.
שלב ראשון: מציאת זווית שיווי המשקל
ניתוח מתוך הקרון (מערכת ייחוס מואצת)
השלב הראשון הוא לקבוע את זווית שיווי המשקל. אנחנו נמצאים בתוך הקרון, מחזיקים את המסה, ובעדינות רבה מביאים אותה למקום שבו היא נשארת יציבה במצבה הנוכחי. זה בזווית $\theta_0$ (זווית שיווי המשקל).
השאלה: מה הקשר בין $\theta_0$ ל-$A$? והאם אפשר להשתמש ב-$\theta_0$ כדי למצוא את תאוצת הקרון?
התשובה: בוודאי שכן!
כוחות במערכת המואצת
כאנחנו נמצא בתוך הקרון, מבחינתנו הכל במנוחה, למרות שאנחנו מואצים. אנחנו נמצא במערכת ייחוס לא אינרציאלית ומרגישים כוחות מדומים.
הכוחות הפועלים על המסה:
- $mg$ כלפי מטה (כוח הכבידה)
- $mA$ שמאלה (כוח מדומה, הפוך לכיוון התאוצה)
משוואות שיווי משקל
בשיווי משקל, שקול הכוחות שווה לאפס (החוק הראשון של ניוטון במערכת מואצת):
בכיוון האופקי:
\[T \sin(\theta_0) = mA\]בכיוון האנכי:
\[T \cos(\theta_0) = mg\]
מציאת הקשר בין התאוצה לזווית
חילוק שתי המשוואות:
\[\frac{T \sin(\theta_0)}{T \cos(\theta_0)} = \frac{mA}{mg}\] \[\tan(\theta_0) = \frac{A}{g}\]לכן:
\[A = g \tan(\theta_0)\]זהו מד תאוצה (אקסלרומטר)! אם אני נמצא בתוך המערכת המואצת ואני מודד את הזווית $\theta_0$, אני יודע בדיוק באיזה תאוצה המערכת שלי מתנועת.
שלב שני: דינמיקה של התנודות
הבעיה הדינמית
עכשיו אני לוקח את המסה, מוריד אותה למטה ומשחרר. היא תרצה לחזור למצב שיווי המשקל ותתחיל להתנדד סביב הזווית $\theta_0$.
ניתוח הכוחות במהלך התנועה
הכוח השקול הפועל על המסה:
\[\vec{F} = mA \hat{x} - mg \hat{y}\]גודל הכוח השקול:
\[|\vec{F}| = \sqrt{(mA)^2 + (mg)^2} = mg\sqrt{1 + \tan^2(\theta_0)}\]משתי הזהויות הטריגונומטריות:
\[1 + \tan^2(\theta_0) = \frac{1}{\cos^2(\theta_0)}\]לכן:
\[|\vec{F}| = \frac{mg}{\cos(\theta_0)}\]פירוק לקואורדינטות פולאריות
בקואורדינטות פולאריות (רדיאלי ומשיקי):
בכיוון הרדיאלי:
\[T - F\cos(\theta) = m\frac{v^2_{\text{tangential}}}{L}\]כאשר $F\cos(\theta)$ הוא ההיטל של הכוח השקול על הכיוון הרדיאלי.
בכיוון המשיקי:
\[mL\ddot{\theta} = -F\sin(\theta)\]קירוב לזוויות קטנות
עבור זוויות קטנות, $\sin(\theta) \approx \theta$:
\[mL\ddot{\theta} = -F\theta\] \[\ddot{\theta} = -\frac{F}{mL}\theta\]מאחר ש-$F = \frac{mg}{\cos(\theta_0)}$:
\[\ddot{\theta} = -\frac{g}{L\cos(\theta_0)}\theta\]זוהי משוואת תנודה הרמונית פשוטה:
\[\ddot{\theta} = -\omega^2 \theta\]כאשר:
\[\omega = \sqrt{\frac{g}{L\cos(\theta_0)}}\]פתרון משוואת התנודות
הפתרון הכללי:
\[\theta(t) = \theta_{\text{initial}} \cos(\omega t)\]כאשר $\theta_{\text{initial}}$ הוא הזווית ההתחלתית ביחס לזווית שיווי המשקל $\theta_0$.
המהירות המשיקית
\[v_{\text{tangential}} = L\dot{\theta} = -L\omega \theta_{\text{initial}} \sin(\omega t)\]המתיחות כפונקציה של הזמן
\[T(t) = F\cos(\theta) + m\frac{v^2_{\text{tangential}}}{L}\]זוהי פונקציה מתנדדת של הזמן.
שלב שלישי: בעיית החיכוך
תיאור הבעיה
עכשיו אני (בעל מסה $M$) נמצא על דופן הקרון. הרכבת נעה בתאוצה $A$, ויש מקדם חיכוך $\mu$ ביני לבין הדופן.
השאלה: מה צריכה להיות זווית הנטייה $\theta_0$ כדי שאני אחליק כלפי מטה בתאוצה של $\frac{g}{2}$?
ניתוח הכוחות
הכוחות הפועלים עליי:
- $Mg$ כלפי מטה (כבידה)
- $N$ כלפי חוץ מהדופן (כוח נורמלי)
- $\mu N$ כלפי מעלה (חיכוך, נגד כיוון התנועה)
משוואות תנועה
בכיוון האופקי:
\[N = MA\]בכיוון האנכי:
\[M \cdot \frac{g}{2} = Mg - \mu N\]פתרון
מהמשוואה הראשונה: $N = MA = Mg\tan(\theta_0)$
הצבה במשוואה השנייה:
\[M \cdot \frac{g}{2} = Mg - \mu \cdot Mg\tan(\theta_0)\]חילוק ב-$Mg$:
\[\frac{1}{2} = 1 - \mu\tan(\theta_0)\] \[\mu\tan(\theta_0) = \frac{1}{2}\] \[\tan(\theta_0) = \frac{1}{2\mu}\] \[\theta_0 = \arctan\left(\frac{1}{2\mu}\right)\]שלב רביעי: נפילה חופשית לאחר קריעת החוט
תיאור הבעיה
לאחר שהחוט נקרע, המסה נופלת חופשית בתוך הקרון המואץ.
ניתוח התנועה
בתוך הקרון, המסה מרגישה:
- תאוצה $g$ כלפי מטה
- תאוצה $A$ בכיוון האופקי
מסלול התנועה
מאחר ששתי התאוצות קבועות:
\[\begin{align} \Delta x &= \frac{1}{2}At^2 \\ \Delta y &= \frac{1}{2}gt^2 \end{align}\]המסלול הוא קו ישר בזווית $\phi$ מתחת לאופק:
\[\tan(\phi) = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{g}{A}\]סיכום
המטוטלת בקרון מואץ מדגימה עקרונות חשובים בפיזיקה:
- כוחות מדומים במערכות ייחוס מואצות - הכוח $mA$ שמאלה
- מד תאוצה - $A = g\tan(\theta_0)$
- תנודות הרמוניות במערכת מואצת - $\omega = \sqrt{\frac{g}{L\cos(\theta_0)}}$
- חיכוך במערכות מואצות
- תנועה פרבולית במערכת ייחוס מואצת
הערה חשובה: כל הניתוחים נעשו מתוך מערכת הייחוס המואצת (הקרון), תוך התחשבות בכוחות המדומים המתאימים.
דור פסקלעבור לשיעור 9
עבור לתרגול הבא