הדף עדיין בתהליכי כתיבה. עמכם הסליחה.
תוכן עניינים
- מתמטיקה בסיסית וטריגונומטריה
- וקטורים ומערכות צירים
- קינמטיקה - תורת התנועה
- דינמיקה - חוקי ניוטון וכוחות
- תנועה הרמונית ואוסצילציות
- בעיות מרכזיות ודוגמאות
- טכניקות פתרון ואלגוריתמים
- נוסחאות מהירות לבחינה
- טיפים לבחינה
מתמטיקה בסיסית וטריגונומטריה
זוויות נפוצות
\[\boxed{ \begin{aligned} \sin(30°) &= \frac{1}{2} = 0.5 \\ \cos(30°) &= \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866 \\ \tan(30°) &= \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.577 \\ \\ \sin(45°) &= \cos(45°) = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707 \\ \tan(45°) &= 1 \\ \\ \sin(60°) &= \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866 \\ \cos(60°) &= \frac{1}{2} = 0.5 \\ \tan(60°) &= \sqrt{3} \approx 1.732 \end{aligned}}\]זהויות טריגונומטריות
- זהות יסודית: $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$
- זהויות משלימות:
- $\sin(90° - \theta) = \cos\theta$
- $\cos(90° - \theta) = \sin\theta$
- זהויות נוספות:
- $1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta}$
- $\tanh(x) = \frac{e^{2x} - 1}{e^{2x} + 1}$
קירוב בזוויות קטנות
- $\sin\theta \approx \theta$ (ברדיאנים)
- $\tan\theta \approx \theta$ (ברדיאנים)
- $\cos\theta \approx 1 - \frac{\theta^2}{2}$ (ברדיאנים)
נוסחאות טריגונומטריות שימושיות
- חיבור זוויות:
- $\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$
- $\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$
- כפל בזוויות:
- $\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$
- $\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta$
- חוק הסינוסים: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$ (במשולש)
- חוק הקוסינוסים: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$ (במשולש)
המרות יחידות
- מהירות: $1 \mathrm{ km/h} = \frac{1}{3.6} \mathrm{ m/s}$
- קשר: $1 \mathrm{ knot} = 1.852 \mathrm{ km/h}$
- תאוצת כובד: $g \approx 10 \mathrm{ m/s}^2$ (לחישוב מהיר)
וקטורים ומערכות צירים
פעולות בסיסיות על וקטורים
גודל (אורך) וקטור
\[\vert\vec{v}\vert = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}\]נרמול וקטור (יצירת וקטור יחידה)
\[\hat{v} = \frac{\vec{v}}{\vert\vec{v}\vert}\]מכפלה סקלרית
\[\vec{a} \cdot \vec{b} = \vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert\cos\theta = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z\]זווית בין וקטורים
\[\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert}\]תנאי ניצבות
\[\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0\]חיבור וקטורים (שקול כוחות)
\[\vec{F}_{\text{net}} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \ldots + \vec{F}_n\]זווית של וקטור במישור
זווית בין וקטור לציר ה-$x$ (נגד כיוון השעון):
\[\tan(\theta) = \frac{v_y}{v_x}\]חישוב הזווית לפי רביע:
- רביע ראשון ($v_x > 0, v_y > 0$): $\theta = \tan^{-1}\left(\frac{v_y}{v_x}\right)$
- רביע שני ($v_x < 0, v_y > 0$): $\theta = \pi + \tan^{-1}\left(\frac{v_y}{v_x}\right)$
- רביע שלישי ($v_x < 0, v_y < 0$): $\theta = \pi + \tan^{-1}\left(\frac{v_y}{v_x}\right)$
- רביע רביעי ($v_x > 0, v_y < 0$): $\theta = 2\pi + \tan^{-1}\left(\frac{v_y}{v_x}\right)$
מערכות קואורדינטות
קואורדינטות קרטזיות
\[\vec{r} = x\hat{x} + y\hat{y} + z\hat{z}\]קואורדינטות פולריות (2D)
המרה מקרטזיות לפולריות:
- $\rho = \sqrt{x^2 + y^2}$
- $\theta = \tan^{-1}(y/x)$ (עם התחשבות ברביע)
המרה מפולריות לקרטזיות:
- $x = \rho\cos\theta$
- $y = \rho\sin\theta$
וקטורי יחידה פולריים:
\[\hat{r} = \cos\theta \hat{x} + \sin\theta \hat{y}\] \[\hat{\theta} = -\sin\theta \hat{x} + \cos\theta \hat{y}\]נגזרות וקטורי היחידה:
\[\dot{\hat{r}} = \dot{\theta}\hat{\theta}\] \[\dot{\hat{\theta}} = -\dot{\theta}\hat{r}\]מהירות ותאוצה בפולריות:
\[\vec{v} = \dot{r}\hat{r} + r\dot{\theta}\hat{\theta}\] \[\vec{a} = (\ddot{r} - r\dot{\theta}^2)\hat{r} + (2\dot{r}\dot{\theta} + r\ddot{\theta})\hat{\theta}\]קואורדינטות גליליות (3D)
המרה מקרטזיות לגליליות:
- $\rho = \sqrt{x^2 + y^2}$
- $\theta = \tan^{-1}(y/x)$
- $z = z$
המרה מגליליות לקרטזיות:
- $x = \rho\cos\theta$
- $y = \rho\sin\theta$
- $z = z$
קואורדינטות כדוריות (3D)
המרה מקרטזיות לכדוריות:
- $r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$
- $\theta$ = זווית מציר z
- $\varphi$ = זווית במישור xy
המרה מכדוריות לקרטזיות:
- $x = r\sin\theta\cos\varphi$
- $y = r\sin\theta\sin\varphi$
- $z = r\cos\theta$
קינמטיקה - תורת התנועה
הגדרות בסיסיות
וקטור מיקום
\[\vec{r} = x\hat{x} + y\hat{y} + z\hat{z}\]וקטור העתק
\[\Delta \vec{r} = \vec{r}_2 - \vec{r}_1 = \vec{r}(t + \Delta t) - \vec{r}(t)\]מהירות ממוצעת
\[\vec{v}_{\text{avg}} = \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} = \frac{\vec{r}(t+\Delta t) - \vec{r}(t)}{\Delta t}\]מהירות רגעית
\[\vec{v} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} = \frac{d\vec{r}}{dt}\]גודל המהירות (סקלר)
\[v = \vert\vec{v}\vert = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}\]תאוצה
\[\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d^2\vec{r}}{dt^2}\]מהירות יחסית
איך גוף $A$ רואה את גוף $B$:
\[\vec{v}_{AB} = \vec{v}_B - \vec{v}_A\]תנועה בקו ישר עם תאוצה קבועה
\[\boxed{ \begin{aligned} v(t) &= v_0 + at \\ x(t) &= x_0 + v_0t + \frac{1}{2}at^2 \\ v^2 &= v_0^2 + 2a\Delta x \end{aligned}}\]צניחה חופשית (תנועה אנכית)
\[\boxed{ \begin{aligned} y(t) &= y_0 + v_0t - \frac{1}{2}gt^2 \\ v_y(t) &= v_0 - gt \\ v_y^2 &= v_0^2 - 2g\Delta y \end{aligned}}\]תנועה בליסטית (תנועת קליע)
רכיב אופקי (ללא תאוצה):
\[x(t) = x_0 + v_{0x}t\]רכיב אנכי (עם תאוצת כובד):
\[y(t) = y_0 + v_{0y}t - \frac{1}{2}gt^2\]טווח מקסימלי:
\[R = \frac{v_0^2\sin(2\alpha)}{g}\]
תנועה מעגלית
תנועה מעגלית קצובה (מהירות זוויתית קבועה)
וקטור המיקום:
\[\vec{r}(t) = r[\cos(\omega t)\hat{x} + \sin(\omega t)\hat{y}]\]מהירות זוויתית:
\[\omega = \frac{d\theta}{dt} = \frac{2\pi}{T}\]
מהירות משיקית:
\[v = r\omega\]תאוצה צנטריפטלית (כלפי המרכז):
כוח צנטריפוגלי - מהמרכז החוצה:
תנועה מעגלית כללית
תאוצה זוויתית:
\[\alpha = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d^2\theta}{dt^2}\]תאוצה משיקית:
\[a_t = r\alpha\]תאוצה כוללת:
\[\vec{a} = -a_c\hat{r} + a_t\hat{\theta}\]תנועה ספירלית
תנועה מעגלית עם רדיוס משתנה (למשל אקספוננציאלית):
\[r(t) = r_0 e^{\alpha t}\]- אם $\alpha > 0$ — התנועה מתפשטת החוצה
- אם $\alpha < 0$ — התנועה מתכווצת פנימה
דינמיקה - חוקי ניוטון וכוחות
חוקי ניוטון
חוק ראשון (חוק ההתמדה)
\[\sum \vec{F} = 0 \Rightarrow \vec{v} = \text{const}\]גוף יישאר במנוחה או בתנועה ישרה קצובה כל עוד לא פועל עליו כוח שקול
חוק שני (חוק התנועה)
\[\sum \vec{F} = m\vec{a}\]התאוצה של גוף פרופורציונית לכוח השקול הפועל עליו
דוגמה - מישור משופע:
- ציר ניצב למישור: $N = mg\cos\alpha$ (אין תאוצה)
- ציר מקביל למישור: $mg\sin\alpha = ma$ (יש תאוצה)
חוק שלישי (חוק הפעולה והתגובה)
\[\vec{F}_{12} = -\vec{F}_{21}\]לכל פעולה יש תגובה שווה בגודלה והפוכה בכיוונה
סוגי כוחות
כוח כבידה (משקל)
\[\vec{F}_g = m\vec{g}\]כיוון: תמיד כלפי מטה
כוח נורמלי
\[N\]כיוון: תמיד ניצב למשטח המגע
כוח חיכוך
חיכוך סטטי (מנוחה):
\[f_s \leq \mu_s N\]חיכוך קינטי (תנועה):
\[f_k = \mu_k N\]כיוון: תמיד מנוגד לכיוון התנועה (או התנועה הצפויה)
כוח קפיץ (חוק הוק)
\[F = -kx\]- $k$ - קבוע הקפיץ [N/m]
- $x$ - הסטייה ממצב שיווי משקל
- הסימן השלילי מציין כוח מחזיר
כוח גרר (התנגדות תווך)
גרר ליניארי (מהירויות נמוכות):
\[F_d = -\beta v\]גרר ריבועי (מהירויות גבוהות):
\[F_d = -\beta v^2\]כוחות מדומים (במערכות לא אינרציאליות)
\[\vec{F}_{\text{pseudo}} = -m\vec{a}_{\text{frame}}\]
- מערכת לא אינרציאלית: מערכת ייחוס שנמצאת בתאוצה (ליניארית או זוויתית), ולכן יש בה צורך להוסיף כוחות מדומים (פסאודו-כוחות) כדי שחוקי ניוטון “יעבדו” בה.
- מערכת אינרציאלית: מערכת ייחוס שאינה מואצת (כלומר נעה במהירות קבועה או נחה), ובה חוקי ניוטון תקפים כפי שהם – בלי להוסיף כוחות מדומים.
מערכת, מבחינתנו, היא מערכת הצירים הרלוונטית.
תנע ודחף
תנע:
\[\vec{p} = m\vec{v}\]דחף:
\[\vec{J} = \int \vec{F} dt = \Delta \vec{p}\]שימור תנע:
\[\sum \vec{p}_{\text{before}} = \sum \vec{p}_{\text{after}}\]עבודה ואנרגיה
עבודה:
\[W = \int \vec{F} \cdot d\vec{r}\]אנרגיה קינטית:
\[K = \frac{1}{2}mv^2\]משפט עבודה-אנרגיה:
\[W_{\text{net}} = \Delta K\]שימור אנרגיה מכנית:
\[E = K + U = \text{const}\]תנועה הרמונית ואוסצילציות
אוסצילטור הרמוני פשוט
משוואת התנועה
\[m\ddot{x} + kx = 0\]או בצורה סטנדרטית:
\[\ddot{x} + \omega^2 x = 0\]פתרון כללי
\[x(t) = A\cos(\omega t + \phi)\]כאשר:
- $A$ - משרעת התנודה
- $\omega$ - תדירות זוויתית
- $\phi$ - פאזה התחלתית
תדירות זוויתית
\[\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}\]זמן מחזור
\[T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\]תדירות
\[f = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}\]אנרגיה באוסצילטור הרמוני
אנרגיה קינטית:
\[K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m\omega^2 A^2 \sin^2(\omega t + \phi)\]אנרגיה פוטנציאלית:
\[U = \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}kA^2 \cos^2(\omega t + \phi)\]אנרגיה כוללת (קבועה):
\[E = K + U = \frac{1}{2}kA^2\]מטוטלת מתמטית
משוואת תנועה (זוויות קטנות)
\[\ddot{\theta} + \frac{g}{L}\theta = 0\]תדירות זוויתית
\[\omega = \sqrt{\frac{g}{L}}\]זמן מחזור
\[T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}\]אוסצילטור במערכות מואצות
במעלית מואצת כלפי מעלה בתאוצה $A$
- תאוצה אפקטיבית: $g_{\text{eff}} = g + A$
- תדירות: $\omega = \sqrt{\frac{g+A}{L}}$
- זמן מחזור: $T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g+A}}$
ברכבת מואצת אופקית בתאוצה $A$
- זווית שיווי משקל: $\theta_0 = \arctan\left(\frac{A}{g}\right)$
- תדירות: $\omega = \sqrt{\frac{g}{L\cos\theta_0}}$
בעיות מרכזיות ודוגמאות
1. בעיית הטריז והגליל
נתונים:
- גליל מסה $m$ על טריז מסה $M$
- זווית הטריז $\alpha = 30°$
- אין חיכוך
פתרון:
\[N_m = \frac{2gMm\sqrt{3}}{3M + m}\] \[a_x = \frac{10m\sqrt{3}}{3M + m}\] \[a_y = \frac{10m}{3M + m}\]2. צנחנית עם התנגדות אוויר
כוח גרר: $F = \beta v^2$
משוואת התנועה:
\[mg - \beta v^2 = m\frac{dv}{dt}\]מהירות טרמינלית:
\[v_T = \sqrt{\frac{mg}{\beta}}\]פתרון כללי:
\[v(t) = v_T \tanh\left(\frac{gt}{v_T}\right)\]3. גוף על מישור משופע
זווית קריטית (ללא החלקה):
\[\theta_{\max} = \arctan(\mu_s)\]תאוצה בהחלקה:
\[a = g(\sin\theta - \mu_k\cos\theta)\]תנועה במהירות קבועה:
\[\theta = \arctan(\mu_k)\]4. מכונת אטווד עם זבוב
תאוצה כשהזבוב על מסה:
\[a = \frac{mg}{2M+m}\]תאוצה ללא זבוב:
\[a = 0\]5. תנועה יחסית - הולך רגל וקרוסלה
הולך רגל: $x(t) = 4 + 4t$ (תנועה ישרה) נער על קרוסלה: $\vec{r}(t) = (2\sin(3t), 2\cos(3t))$ (תנועה מעגלית) מהירות יחסית: $\vec{v}{\text{rel}} = \vec{v}{\text{נער}} - \vec{v}_{\text{הולך}}$
טרנספורמציית גליליית:
6. תנועה ספירלית מתכנסת
דוגמה: $\vec{r}(t) = e^{-\alpha t}[\cos(\omega t)\hat{x} + \sin(\omega t)\hat{y}]$
- המרחק דועך: $\vert\vec{r}(t)\vert = e^{-\alpha t}$
- הזווית גדלה: $\theta(t) = \omega t$
- גודל המהירות: $\vert\vec{v}(t)\vert = e^{-\alpha t}\sqrt{\alpha^2 + \omega^2}$
7. מערכות מצומדות
שתי מסות עם קפיץ על מישור משופע:
תדירות מותאמת:
\[\omega = \sqrt{\frac{k}{m} + \frac{k\cos^2\alpha}{M + m\sin^2\alpha}}\]טכניקות פתרון ואלגוריתמים
אלגוריתם כללי לפתרון בעיות
- תרשים כוחות
- צייר דיאגרמת גוף חופשי לכל גוף
- סמן את כל הכוחות הפועלים
- ודא שלא שכחת כוחות
- בחירת מערכת צירים
- בחר צירים נוחים (לרוב לאורך התנועה)
- במישור משופע: ציר אחד לאורך המישור
- בתנועה מעגלית: צירים פולריים
- כתיבת משוואות תנועה
- כתוב $\sum F_x = ma_x$ לכל ציר
- כתוב עבור כל גוף בנפרד
- שים לב לסימנים
- הוספת אילוצים
- קשרים גיאומטריים (חוט לא נמתח)
- קשרים קינמטיים (תאוצות זהות)
- תנאי התחלה
- פתרון מערכת המשוואות
- ספור משתנים ומשוואות
- פתור באלגברה או דיפרנציאלית
- בדוק סבירות התוצאה
משוואות דיפרנציאליות נפוצות ופתרונותיהן
אוסצילטור הרמוני
משוואה: $\ddot{x} + \omega^2 x = 0$
פתרון: $x(t) = A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t)$
אוסצילטור עם הסטה
משוואה: $\ddot{x} + \omega^2 x = C$
פתרון: $x(t) = A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t) + \frac{C}{\omega^2}$
דעיכה אקספוננציאלית
משוואה: $\dot{x} = -\gamma x$
פתרון: $x(t) = x_0 e^{-\gamma t}$
גידול אקספוננציאלי
משוואה: $\ddot{x} = \omega^2 x$
פתרון: $x(t) = A\cosh(\omega t) + B\sinh(\omega t)$
בדיקות חשובות
- בדיקת יחידות
- ודא שהיחידות מתאימות בשני צדי המשוואה
- כוח: [N] = [kg⋅m/s²]
- אנרגיה: [J] = [kg⋅m²/s²]
- בדיקת גבולות
- מה קורה כש $m \to 0$ או $m \to \infty$?
- מה קורה כש $\theta \to 0$ או $\theta \to 90°$?
- בדיקת סימטריות
- האם הבעיה סימטרית?
- האם אפשר לפשט?
- בדיקת שימור
- האם האנרגיה נשמרת?
- האם התנע נשמר?
נוסחאות מהירות לבחינה
כוחות וחוקי ניוטון
\[\boxed{ \begin{aligned} \sum \vec{F} &= m\vec{a} \\ \vec{F}_g &= mg \\ f_s &\leq \mu_s N \\ f_k &= \mu_k N \\ F_{\text{קפיץ}} &= -kx \end{aligned}}\]קינמטיקה - תאוצה קבועה
\[\boxed{ \begin{aligned} v &= v_0 + at \\ x &= x_0 + v_0t + \frac{1}{2}at^2 \\ v^2 &= v_0^2 + 2a\Delta x \end{aligned}}\]תנועה מעגלית
\[\boxed{ \begin{aligned} v &= r\omega \\ a_c &= \frac{v^2}{r} = r\omega^2 \\ T &= \frac{2\pi}{\omega} \end{aligned}}\]תנועה הרמונית
\[\boxed{ \begin{aligned} \omega &= \sqrt{\frac{k}{m}} \\ T &= 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \\ E &= \frac{1}{2}kA^2 \end{aligned}}\]מטוטלת
\[\boxed{ \begin{aligned} \omega &= \sqrt{\frac{g}{L}} \\ T &= 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}} \end{aligned}}\]
- קרא את השאלה פעמיים לפני שמתחיל
- צייר תמיד דיאגרמת כוחות
- בדוק יחידות בכל שלב
- השתמש בערכי קירוב: $g = 10$, $\pi \approx 3$, $\sqrt{3} \approx 1.7$
- רשום תשובות ביניים
טעויות נפוצות להימנע מהן
- אל תשכח לפרק וקטורים לרכיבים
- שים לב לכיוון הכוחות (סימנים!)
- חיכוך תמיד נגד כיוון התנועה
- בתנועה מעגלית, תאוצה צנטריפטלית פנימה
- אל תערבב בין מסה למשקל
אסטרטגיה לפתרון
- 5 דקות ראשונות: קרא את כל המבחן
- התחל מהקל: פתור קודם שאלות שאתה בטוח בהן
- הקצה זמן: חלק את הזמן לפי ניקוד
- בדיקה: השאר 10 דקות בסוף לבדיקה
חזרה לעמוד הראשי