תוכן עניינים

  1. מתמטיקה בסיסית וטריגונומטריה
  2. וקטורים ומערכות צירים
  3. קינמטיקה - תורת התנועה
  4. דינמיקה - חוקי ניוטון וכוחות
  5. תנועה הרמונית ואוסצילציות
  6. בעיות מרכזיות ודוגמאות
  7. טכניקות פתרון ואלגוריתמים
  8. נוסחאות מהירות לבחינה

מתמטיקה בסיסית וטריגונומטריה

זוויות נפוצות

\[\boxed{ \begin{aligned} \sin(30°) &= \frac{1}{2} = 0.5 \\[5pt] \cos(30°) &= \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866 \\[5pt] \tan(30°) &= \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.577 \\[5pt] \\[5pt] \sin(45°) &= \cos(45°) = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707 \\[5pt] \tan(45°) &= 1 \\[5pt] \\[5pt] \sin(60°) &= \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866 \\[5pt] \cos(60°) &= \frac{1}{2} = 0.5 \\[5pt] \tan(60°) &= \sqrt{3} \approx 1.732 \end{aligned}}\]

זהויות טריגונומטריות

\[\boxed{ \begin{aligned} \sin(90° - \theta) &= \cos\theta \\[5pt] \cos(90° - \theta) &= \sin\theta \end{aligned}}\] \[\boxed{ \begin{aligned} \sin^2\theta + \cos^2\theta &= 1 \\[5pt] 1 + \tan^2\theta &= \frac{1}{\cos^2\theta} \\[5pt] \\[5pt] \sin(2\theta) &= 2\sin\theta\cos\theta \\[5pt] \cos(2\theta) &= \cos^2\theta - \sin^2\theta \\[5pt] &= 2\cos^2\theta - 1 \\[5pt] &= 1 - 2\sin^2\theta \\[5pt] \\[5pt] \tan(2\theta) &= \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta} \end{aligned}}\]

פונקציות היפרבוליות

\[\boxed{ \begin{aligned} \sinh(x) &= \frac{e^x - e^{-x}}{2} \\[5pt] \cosh(x) &= \frac{e^x + e^{-x}}{2} \\[5pt] \tanh(x) &= \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} \\[5pt] \end{aligned}}\]

קירוב בזוויות קטנות (ברדיאנים)

\[\boxed{ \begin{aligned} \sin\theta &\approx \theta \\[5pt] \tan\theta &\approx \theta \\[5pt] \cos\theta &\approx 1 - \frac{\theta^2}{2} \end{aligned}}\]

נוסחאות טריגונומטריות שימושיות

חיבור זוויות:

\[\boxed{ \begin{aligned} \sin(a + b) &= \sin a \cos b + \cos a \sin b \\[5pt] \cos(a + b) &= \cos a \cos b - \sin a \sin b \end{aligned}}\]

חוקי הסינוסים והקוסינוסים:

\[\boxed{ \begin{aligned} \sin A &= \frac{a \sin B}{b} \\[5pt] \sin B &= \frac{b \sin A}{a} \\[5pt] \sin C &= \frac{c \sin A}{a} \\[5pt] \cos C &= \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \end{aligned}}\]

יחידות והמרות

יחידות סטדנרטיות:

\[\boxed{ \begin{aligned} \left[\mathrm{m}\right] &= \mathrm{meter} \\[5pt] \left[\mathrm{s}\right] &= \mathrm{second} \\[5pt] \left[\mathrm{kg}\right] &= \mathrm{kilogram} \\[5pt] \left[\mathrm{N}\right] &= \mathrm{Newton} = \mathrm{kg \cdot m/s^2} \\[5pt] \end{aligned}}\] \[\boxed{ \begin{aligned} \left[\omega\right] &= \mathrm{rad/s} \\[5pt] \left[\theta\right] &= \mathrm{rad} \\[5pt] \left[\alpha\right] &= \mathrm{rad/s^2} \\[5pt] \left[\tau\right] &= \mathrm{N \cdot m} = \mathrm{J} \\[5pt] \left[\mathrm{F}\right] &= \mathrm{N} = \mathrm{kg \cdot m/s^2} \\[5pt] \left[\mathrm{p}\right] &= \mathrm{kg \cdot m/s} \\[5pt] \left[\mathrm{E}\right] &= \mathrm{J} = \mathrm{N \cdot m} = \mathrm{kg \cdot m^2/s^2} \\[5pt]\left[\mathrm{V}\right] &= \mathrm{m^3} \\[5pt] \end{aligned}}\] \[\boxed{ \begin{aligned} 1 \, \mathrm{N} &= 1 \, \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m/s^2} \\[5pt] 1 \, \mathrm{J} &= 1 \, \mathrm{N} \cdot \mathrm{m} = 1 \, \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m^2/s^2} \\[5pt] g &\approx 10 \, \mathrm{m/s^2} \\[5pt] \end{aligned}}\] \[\boxed{ \begin{aligned} 1 \mathrm{ m} &= 100 \, \mathrm{ cm} \\[5pt] &= 1000 \, \mathrm{ mm} \\[5pt] &= 10^6 \, \mathrm{ μm} \\[5pt] &= 10^9 \, \mathrm{ nm} \\[5pt] \\[5pt] 1 \mathrm{ km} &= 1000\, \mathrm{ m} = 10^3 \mathrm{ m} \\[5pt] \\[5pt] 1 \mathrm{ m} &= 1000 \, \mathrm{ mm} \\[5pt] 1 \mathrm{ m} &= 10^9 \, \mathrm{ nm} \\[5pt] 1 \mathrm{ m} &= 0.001\, \mathrm{ km} \\[5pt] \\[5pt] 1 \mathrm{ s} &= 1000 \, \mathrm{ ms} \\[5pt] &= 10^6 \, \mathrm{ μs} \\[5pt] &= 10^9 \, \mathrm{ ns} \\[5pt] \\[5pt] 1 \mathrm{ min} &= 60 \, \mathrm{ s} \\[5pt] 1 \mathrm{ h} &= 3600 \, \mathrm{ s} = 3.6 \times 10^3 \, \mathrm{ s} \\[5pt] \\[5pt] 1 \mathrm{ knot} &= 1.852 \, \mathrm{ km/h} \\[5pt] \end{aligned}}\]

וקטורים ומערכות צירים

פעולות בסיסיות על וקטורים

גודל (אורך) וקטור

\[\vert\vec{v}\vert = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}\]

נרמול וקטור (יצירת וקטור יחידה)

\[\hat{v} = \frac{\vec{v}}{\vert\vec{v}\vert}\]

מכפלה סקלרית

\[\mathbf{a} \cdot \mathbf{\vec{b}} = \vert\mathbf{a}\vert\vert\mathbf{\vec{b}}\vert\cos\theta = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z\]

זווית בין וקטורים

\[\cos\theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{\vec{b}}}{\vert\mathbf{a}\vert\vert\mathbf{\vec{b}}\vert}\]

תנאי ניצבות

\[\mathbf{a} \perp \mathbf{\vec{b}} \Leftrightarrow \mathbf{a} \cdot \mathbf{\vec{b}} = 0\]

חיבור וקטורים (שקול כוחות)

\[\mathbf{F}_{\text{net}} = \mathbf{F}_1 + \mathbf{F}_2 + \ldots + \mathbf{F}_n\]

זווית של וקטור במישור

זווית בין וקטור לבין ציר ה-$x$ (נגד כיוון השעון):

\[\boxed{ \theta = \atan 2(y,x) = \begin{cases} \arctan \left(\frac{v_y}{v_x}\right) & \text{if } v_x > 0 \\[5pt] \arctan \left(\frac{v_y}{v_x}\right) + \pi & \text{if } v_x < 0 \text{ and} v_y \geq 0 \\[5pt] \arctan \left(\frac{v_y}{v_x}\right) - \pi & \text{if } v_x < 0 \text{ and} v_y < 0 \\[5pt] \frac{\pi}{2} & \text{if } v_x = 0 \text{ and } v_y > 0 \\[5pt] -\frac{\pi}{2} & \text{if } v_x = 0 \text{ and } v_y < 0 \\[5pt] \text{undefined} & \text{if } v_x = 0 \text{ and } v_y = 0 \end{cases} }\]

מערכות קואורדינטות

קואורדינטות קרטזיות

\[\vec{r} = x\mathbf{\hat{x}} + y\mathbf{\hat{y}} + z\mathbf{\hat{z}}\]

קואורדינטות פולריות (2D)

Coordinate Transformation

המרה מקרטזיות לפולריות:

\[\boxed{ \begin{aligned} r &= \sqrt{x^2 + y^2} \\[5pt] \theta &= \atan 2(y,x) \end{aligned}}\]

המרה מפולריות לקרטזיות:

\[\boxed{ \begin{aligned} x &= r\cos\theta \\[5pt] y &= r\sin\theta \end{aligned}}\]

וקטורי יחידה פולריים:

\[\boxed{ \begin{aligned} \mathbf{\hat{r}} &= \cos\theta \mathbf{\hat{x}} + \sin\theta \mathbf{\hat{y}} \\[5pt] \mathbf{\hat{\theta}} &= -\sin\theta \mathbf{\hat{x}} + \cos\theta \mathbf{\hat{y}} \end{aligned}}\]

נגזרות וקטורי היחידה:

\[\boxed{ \begin{aligned} \dot{\mathbf{\hat{r}}} &= \dot{\theta}\mathbf{\hat{\theta}} \\[5pt] \dot{\mathbf{\hat{\theta}}} &= -\dot{\theta}\mathbf{\hat{r}} \end{aligned}}\]

מהירות ותאוצה בפולריות:

\[\boxed{ \begin{aligned} \vec{v} &= \dot{r}\mathbf{\hat{r}} + r\dot{\theta}\mathbf{\hat{\theta}} \\[5pt] \mathbf{a} &= (\ddot{r} - r\dot{\theta}^2)\mathbf{\hat{r}} + (2\dot{r}\dot{\theta} + r\ddot{\theta})\mathbf{\hat{\theta}} \end{aligned}}\]

קואורדינטות גליליות (3D)

המרה מקרטזיות לגליליות:

\[\boxed{ \begin{aligned} x &= r\cos\theta \\[5pt] y &= r\sin\theta \\[5pt] z &= z \end{aligned}}\] \[\boxed{ \begin{aligned} r &= \sqrt{x^2 + y^2} \\[5pt] \theta &= \arctan\left(\frac{y}{x}\right) \text{adjusted for quadrant} \\[5pt] z &= z \end{aligned}}\]

קואורדינטות כדוריות (3D)

המרה מקרטזיות לכדוריות:

  • $r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$
  • $\theta$ = זווית מציר z
  • $\varphi$ = זווית במישור xy

המרה מכדוריות לקרטזיות:

  • $x = r\sin\theta\cos\varphi$
  • $y = r\sin\theta\sin\varphi$
  • $z = r\cos\theta$

קינמטיקה - תורת התנועה

הגדרות בסיסיות

וקטור מיקום

\[\vec{r} = x\mathbf{\hat{x}} + y\mathbf{\hat{y}} + z\mathbf{\hat{z}}\]

וקטור העתק

\[\boxed{ \begin{aligned} \Delta \vec{r} &= \vec{r}_2 - \vec{r}_1 \\[5pt] &=\vec{r}(t + \Delta t) - \vec{r}(t) \\[5pt] &= \Delta x\mathbf{\hat{x}} + \Delta y\mathbf{\hat{y}} + \Delta z\mathbf{\hat{z}} \end{aligned}}\]

מהירות ממוצעת

\[\vec{v}_{\text{avg}} = \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} = \frac{\vec{r}(t+\Delta t) - \vec{r}(t)}{\Delta t}\]

מהירות רגעית

\[\vec{v} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} = \frac{d\vec{r}}{dt}\]

גודל המהירות (סקלר)

\[v = \vert\vec{v}\vert = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2} \, \mathrm{m/s}\]

תאוצה

\[\mathbf{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d^2\vec{r}}{dt^2} = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} = \frac{\vec{v}(t+\Delta t) - \vec{v}(t)}{\Delta t}\]

מהירות יחסית

איך גוף $A$ רואה את גוף $B$:

\[\vec{v}_{A\to B} = \vec{v}_B - \vec{v}_A\]

תנועה בקו ישר עם תאוצה קבועה

\[\boxed{ \begin{aligned} x(t) &= x_0 + v_0t + \frac{1}{2}at^2 \\[5pt] v(t) &= v_0 + at \\[5pt] v^2 &= v_0^2 + 2a\Delta x \end{aligned}}\]

צניחה חופשית (תנועה אנכית)

\[\boxed{ \begin{aligned} y(t) &= y_0 + v_0t - \frac{1}{2}gt^2 \\[5pt] v_y(t) &= v_0 - gt \\[5pt] v_y^2 &= v_0^2 - 2g\Delta y \end{aligned}}\]

תנועה בליסטית (תנועת קליע)

רכיב אופקי (ללא תאוצה):

\[x(t) = x_0 + v_{0x}t\]

רכיב אנכי (עם תאוצת כובד):

\[y(t) = y_0 + v_{0y}t - \frac{1}{2}gt^2\]

טווח מקסימלי:

\[R = \frac{v_0^2\sin(2\alpha)}{g}\]

Image

תנועה מעגלית

תנועה מעגלית קצובה (מהירות זוויתית קבועה)

תנועה מעגלית קצובה

וקטור המיקום:

\[\vec{r}(t) = r[\cos(\omega t)\mathbf{\hat{x}} + \sin(\omega t)\mathbf{\hat{y}}]\]

מהירות זוויתית:

\[\omega = \frac{d\theta}{dt} = \frac{2\pi}{T}\]

Image

מהירות משיקית:

\[v = r\omega\]

תאוצה צנטריפטלית (כלפי המרכז):

Image

\[a_c = \frac{v^2}{r} = r\omega^2\]

כוח צנטריפוגלי - מהמרכז החוצה:

earth

תנועה מעגלית כללית

תאוצה זוויתית:

\[\alpha = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d^2\theta}{dt^2}\]

תאוצה משיקית:

\[a_t = r\alpha\]

תאוצה כוללת:

\[\mathbf{a} = -a_c\mathbf{\hat{r}} + a_t\mathbf{\hat{\theta}}\]

תנועה ספירלית

תנועה מעגלית עם רדיוס משתנה (למשל אקספוננציאלית):

\[r(t) = r_0 e^{\alpha t}\]
  • אם $\alpha > 0$ — התנועה מתפשטת החוצה
  • אם $\alpha < 0$ — התנועה מתכווצת פנימה

דינמיקה - חוקי ניוטון וכוחות

חוקי ניוטון

חוק ראשון (חוק ההתמדה)

גוף יישאר במנוחה או בתנועה ישרה קצובה כל עוד לא פועל עליו כוח שקול

\[\sum \mathbf{F} = 0 \Rightarrow \vec{v} = \text{const}\]

mass two strings

חוק שני (חוק התנועה)

התאוצה של גוף פרופורציונית לכוח השקול הפועל עליו

\[\sum \mathbf{F} = m\mathbf{a}\]

inclined plane forces

דוגמה - מישור משופע:

  • ציר ניצב למישור: $N = mg\cos\alpha$ (אין תאוצה)
  • ציר מקביל למישור: $mg\sin\alpha = ma$ (יש תאוצה)

חוק שלישי (חוק הפעולה והתגובה)

לכל פעולה יש תגובה שווה בגודלה והפוכה בכיוונה

\[\mathbf{F}_{12} = -\mathbf{F}_{21}\]

סוגי כוחות

כוח כבידה (משקל)

\[\mathbf{F}_g = -mg\hat{j}\]

כיוון: תמיד כלפי מטה

כוח נורמלי

\[N\]

כיוון: תמיד ניצב למשטח המגע

כוח חיכוך

חיכוך סטטי (מנוחה):

\[f_s \leq \mu_s N\]

חיכוך קינטי (תנועה):

\[f_k = \mu_k N\]

כיוון: תמיד מנוגד לכיוון התנועה (או התנועה הצפויה)

friction sliding

Image

כוח קפיץ (חוק הוק)

\[F = -kx\]
  • $k$ - קבוע הקפיץ [N/m]
  • $x$ - הסטייה ממצב שיווי משקל
  • הסימן השלילי מציין כוח מחזיר

Image

Image

כוח גרר (התנגדות תווך)

גרר ליניארי (מהירויות נמוכות):

\[F_d = -\beta v\]

גרר ריבועי (מהירויות גבוהות):

\[F_d = -\beta v^2\]

כוחות מדומים (במערכות לא אינרציאליות)

\[\mathbf{F}_{\text{pseudo}} = -m\mathbf{a}_{\text{frame}}\]
  • מערכת לא אינרציאלית: מערכת ייחוס שנמצאת בתאוצה (ליניארית או זוויתית), ולכן יש בה צורך להוסיף כוחות מדומים (פסאודו-כוחות) כדי שחוקי ניוטון “יעבדו” בה.
  • מערכת אינרציאלית: מערכת ייחוס שאינה מואצת (כלומר נעה במהירות קבועה או נחה), ובה חוקי ניוטון תקפים כפי שהם – בלי להוסיף כוחות מדומים.

מערכת, מבחינתנו, היא מערכת הצירים הרלוונטית.

Image

תנע ודחף

תנע:

\[\vec{p} = m\vec{v}\]

דחף:

\[\vec{J} = \int \mathbf{F} dt = \Delta \vec{p}\]

שימור תנע:

\[\sum \vec{p}_{\text{before}} = \sum \vec{p}_{\text{after}}\]

בדרך כלל תסייע לנו לנתח התנגשויות בין גופים. נניח שיש שני גופים במסות של $m$ ו-$M$ אז אם הגוף הקטן מתנגש פלסטית במהירות $v_0$ עם הגוף הגדול במנוחה, אז:

\[mv_0 = (m + M)V \implies V = \frac{mv_0}{m + M}\]

הערה חשובה: המהירות של הדבוקה קטנה יותר כי התנע נשמר אבל האנרגיה הקינטית לא נשמרת בהתנגשות פלסטית. חלק מהאנרגיה הקינטית הופכת לחום, עיוות ורעש.

השוואת אנרגיות:

  • אנרגיה התחלתית: $K_i = \frac{1}{2}mv_0^2$
  • אנרגיה סופית: $K_f = \frac{1}{2}(m + M)V^2 = \frac{1}{2}\frac{m^2v_0^2}{m + M}$
  • תמיד: $K_f < K_i$ (אובדן אנרגיה!)

סוגי התנגשויות:

  • אלסטית: נשמרים תנע ואנרגיה קינטית
  • פלסטית: נשמר תנע בלבד, אנרגיה קינטית לא נשמרת

עבודה ואנרגיה

עבודה בסיסית:

\[W = \int \mathbf{F} \cdot d\vec{r}\]

עבודה במימד אחד (כוח קבוע):

\[W = F \cdot d \cdot \cos\theta\]

אנרגיה קינטית:

\[K = \frac{1}{2}mv^2\]

אנרגיה פוטנציאלית כבידתית:

\[U_g = mgh\]

אנרגיה מכנית כוללת:

\[E = K + U\]

משפטי עבודה-אנרגיה

משפט עבודה-אנרגיה הבסיסי:

\[W_{\text{net}} = \Delta K = K_f - K_i\]

משפט עבודה-אנרגיה עם כוחות משמרים ולא משמרים:

\[W_{\text{non-conservative}} = \Delta E = E_f - E_i\]

כאשר:

  • $W_{\text{non-conservative}}$ = עבודת כוחות לא משמרים (כמו חיכוך)
  • $E = K + U$ = אנרגיה מכנית כוללת

שימור אנרגיה

עם כוחות משמרים בלבד:

\[E_i = E_f \quad \text{or} \quad K_i + U_i = K_f + U_f\]

עם כוחות לא משמרים (חיכוך):

\[E_i + W_{\text{non-conservative}} = E_f\]

או בצורה מפורשת:

\[K_i + U_i + W_{\text{friction}} = K_f + U_f\]

עבודת חיכוך

עבודת חיכוך (תמיד שלילית):

\[W_{\text{friction}} = -f_k \cdot d = -\mu_k mg \cdot d\]

חישוב עבודת חיכוך מאנרגיות:

\[W_{\text{friction}} = E_f - E_i = (K_f + U_f) - (K_i + U_i)\]

אנרגיה שאבדה בחיכוך:

\[\Delta E_{\text{lost}} = |W_{\text{friction}}\vert = E_i - E_f\]

דוגמאות יישום

גוף גולש במדרון עם חיכוך:

  • אנרגיה התחלתית: $E_i = mgh_i$ (אם מתחיל ממנוחה)
  • אנרגיה סופית: $E_f = \frac{1}{2}mv_f^2 + mgh_f$
  • עבודת חיכוך: $W_{\text{friction}} = E_f - E_i$

התנגשויות:

  • אלסטית: נשמרת אנרגיה קינטית ותנע
  • פלסטית: נשמר תנע בלבד, אנרגיה קינטית לא נשמרת

נוסחאות נוספות

עבודה מגרף כוח-מקום:

\[W = \text{area under the curve } F(x)\]

כוח ממשיק עקומת אנרגיה פוטנציאלית:

\[F = -\frac{dU}{dx}\]

אנרגיה פוטנציאלית כללית:

\[\Delta U = -W_{\text{conservative}}\]

עקרונות חשובים

  1. כוחות משמרים: עבודתם לא תלויה במסלול (כבידה, אלסטי)
  2. כוחות לא משמרים: עבודתם תלויה במסלול (חיכוך, התנגדות אוויר)
  3. חיכוך תמיד מקטין אנרגיה מכנית: $W_{\text{friction}} < 0$
  4. שימור תנע: תמיד נשמר כאשר אין כוחות חיצוניים נטו

תנועה הרמונית ואוסצילציות

אוסצילטור הרמוני פשוט

משוואת התנועה

\[m\ddot{x} + kx = 0\]

או בצורה סטנדרטית:

\[\ddot{x} + \omega^2 x = 0\]

פתרון כללי

\[x(t) = A\cos(\omega t + \phi)\]

כאשר:

  • $A$ - משרעת התנודה
  • $\omega$ - תדירות זוויתית
  • $\phi$ - פאזה התחלתית

פתרון ברישום נוסף:

\[x(t) = A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t)\]

כאשר $A$ ו-$B$ הם קבועים שנקבעים על פי תנאי ההתחלה.

תדירות זוויתית

\[\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}\]

זמן מחזור

\[T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\]

תדירות

\[f = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}\]

אנרגיה באוסצילטור הרמוני

אנרגיה קינטית:

\[K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m\omega^2 A^2 \sin^2(\omega t + \phi)\]

אנרגיה פוטנציאלית:

\[U = \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}kA^2 \cos^2(\omega t + \phi)\]

אנרגיה כוללת (קבועה):

\[E = K + U = \frac{1}{2}kA^2\]

מטוטלת מתמטית

משוואת תנועה (זוויות קטנות)

\[\ddot{\theta} + \frac{g}{L}\theta = 0\]

תדירות זוויתית

\[\omega = \sqrt{\frac{g}{L}}\]

זמן מחזור

\[T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}\]

אוסצילטור במערכות מואצות

במעלית מואצת כלפי מעלה בתאוצה $A$

  • תאוצה אפקטיבית: $g_{\text{eff}} = \sqrt{g^2 + A^2}$
  • תדירות זוויתית: $\omega = \sqrt{\frac{g + A}{L}}$
  • זמן מחזור: $T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g + A}}$

Image

Image

ברכבת מואצת אופקית בתאוצה $A$

  • זווית שיווי משקל: $\theta_0 = \arctan\left(\frac{A}{g}\right)$
  • תדירות: $\omega = \sqrt{\frac{g}{L\cos\theta_0}}$

בעיות מרכזיות ודוגמאות

1. בעיית הטריז והגליל

Image

נתונים:

  • גליל מסה $m$ על טריז מסה $M$
  • זווית הטריז $\alpha = 30°$
  • אין חיכוך

פתרון:

\[N_m = \frac{2gMm\sqrt{3}}{3M + m}\] \[a_x = \frac{10m\sqrt{3}}{3M + m}\] \[a_y = \frac{10m}{3M + m}\]

2. צנחנית עם התנגדות אוויר

כוח גרר: $F = \beta v^2$

משוואת התנועה:

\[mg - \beta v^2 = m\frac{dv}{dt}\]

מהירות טרמינלית:

\[v_T = \sqrt{\frac{mg}{\beta}}\]

פתרון כללי:

\[v(t) = v_T \tanh\left(\frac{gt}{v_T}\right)\]

3. גוף על מישור משופע

Image

זווית קריטית (ללא החלקה):

\[\theta_{\max} = \arctan(\mu_s)\]

תאוצה בהחלקה:

\[a = g(\sin\theta - \mu_k\cos\theta)\]

תנועה במהירות קבועה:

\[\theta = \arctan(\mu_k)\]

4. מכונת אטווד עם זבוב

תאוצה כשהזבוב על מסה:

\[a = \frac{mg}{2M+m}\]

תאוצה ללא זבוב:

\[a = 0\]

5. תנועה יחסית - הולך רגל וקרוסלה

  • הולך רגל: $x(t) = 4 + 4t$ (תנועה ישרה)
  • נער על קרוסלה: $\vec{r}(t) = (2\sin(3t), 2\cos(3t))$ (תנועה מעגלית)
  • מהירות יחסית:

    \[\vec{v}_{\text{rel}} = \vec{v}_{\text{boy}} - \vec{v}_{\text{man}}\]

טרנספורמציית גליליית:

Image

6. תנועה ספירלית מתכנסת

דוגמה: $\vec{r}(t) = e^{-\alpha t}[\cos(\omega t)\mathbf{\hat{x}} + \sin(\omega t)\mathbf{\hat{y}}]$

  • המרחק דועך: $\vert\vec{r}(t)\vert = e^{-\alpha t}$
  • הזווית גדלה: $\theta(t) = \omega t$
  • גודל המהירות: $\vert\vec{v}(t)\vert = e^{-\alpha t}\sqrt{\alpha^2 + \omega^2}$

7. מערכות מצומדות

Image

שתי מסות עם קפיץ על מישור משופע:

תדירות מותאמת:

\[\omega = \sqrt{\frac{k}{m} + \frac{k\cos^2\alpha}{M + m\sin^2\alpha}}\]

טכניקות פתרון ואלגוריתמים

אלגוריתם כללי לפתרון בעיות

  1. תרשים כוחות
    • צייר דיאגרמת גוף חופשי לכל גוף
    • סמן את כל הכוחות הפועלים
    • ודא שלא שכחת כוחות
  2. בחירת מערכת צירים
    • בחר צירים נוחים (לרוב לאורך התנועה)
    • במישור משופע: ציר אחד לאורך המישור
    • בתנועה מעגלית: צירים פולריים
  3. כתיבת משוואות תנועה
    • כתוב $\sum F_x = ma_x$ לכל ציר
    • כתוב עבור כל גוף בנפרד
    • שים לב לסימנים
  4. הוספת אילוצים
    • קשרים גיאומטריים (חוט לא נמתח)
    • קשרים קינמטיים (תאוצות זהות)
    • תנאי התחלה
  5. פתרון מערכת המשוואות
    • ספור משתנים ומשוואות
    • פתור באלגברה או דיפרנציאלית
    • בדוק סבירות התוצאה

משוואות דיפרנציאליות נפוצות ופתרונותיהן

אוסצילטור הרמוני

משוואה: $\ddot{x} + \omega^2 x = 0$

פתרון: $x(t) = A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t)$

אוסצילטור עם הסטה

משוואה: $\ddot{x} + \omega^2 x = C$

פתרון: $x(t) = A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t) + \frac{C}{\omega^2}$

דעיכה אקספוננציאלית

משוואה: $\dot{x} = -\gamma x$

פתרון: $x(t) = x_0 e^{-\gamma t}$

גידול אקספוננציאלי

משוואה: $\ddot{x} = \omega^2 x$

פתרון: $x(t) = A\cosh(\omega t) + B\sinh(\omega t)$

בדיקות חשובות

  1. בדיקת יחידות
    • ודא שהיחידות מתאימות בשני צדי המשוואה
    • כוח: [N] = [kg⋅m/s²]
    • אנרגיה: [J] = [kg⋅m²/s²]
  2. בדיקת גבולות
    • מה קורה כש $m \to 0$ או $m \to \infty$?
    • מה קורה כש $\theta \to 0$ או $\theta \to 90°$?
  3. בדיקת סימטריות
    • האם הבעיה סימטרית?
    • האם אפשר לפשט?
  4. בדיקת שימור
    • האם האנרגיה נשמרת?
    • האם התנע נשמר?

נוסחאות מהירות לבחינה

כוחות וחוקי ניוטון

\[\boxed{ \begin{aligned} \sum \mathbf{F} &= m\mathbf{a} \\[5pt] \mathbf{F}_g &= mg \\[5pt] f_s &\leq \mu_s N \\[5pt] f_k &= \mu_k N \\[5pt] \mathbf{F}_{\text{spring}} &= -kx \end{aligned}}\]

קינמטיקה - תאוצה קבועה

\[\boxed{ \begin{aligned} v &= v_0 + at \\[5pt] x &= x_0 + v_0t + \frac{1}{2}at^2 \\[5pt] v^2 &= v_0^2 + 2a\Delta x \end{aligned}}\]

תנועה מעגלית

\[\boxed{ \begin{aligned} v &= r\omega \\[5pt] a_c &= \frac{v^2}{r} = r\omega^2 \\[5pt] T &= \frac{2\pi}{\omega} \end{aligned}}\]

תנועה הרמונית

\[\boxed{ \begin{aligned} \omega &= \sqrt{\frac{k}{m}} \\[5pt] T &= 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \\[5pt] E &= \frac{1}{2}kA^2 \end{aligned}}\]

מטוטלת

\[\boxed{ \begin{aligned} \omega &= \sqrt{\frac{g}{L}} \\[5pt] T &= 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}} \end{aligned}}\]

Pendulum in elevator

Force components A


  • קרא את השאלה פעמיים לפני שמתחיל
  • צייר תמיד דיאגרמת כוחות
  • בדוק יחידות בכל שלב
  • השתמש בערכי קירוב: $g = 10$, $\pi \approx 3$, $\sqrt{3} \approx 1.7$
  • רשום תשובות ביניים

טעויות נפוצות להימנע מהן

  • אל תשכח לפרק וקטורים לרכיבים
  • שים לב לכיוון הכוחות (סימנים!)
  • חיכוך תמיד נגד כיוון התנועה
  • בתנועה מעגלית, תאוצה צנטריפטלית פנימה
  • אל תערבב בין מסה למשקל

אסטרטגיה לפתרון

  1. 5 דקות ראשונות: קרא את כל המבחן
  2. התחל מהקל: פתור קודם שאלות שאתה בטוח בהן
  3. הקצה זמן: חלק את הזמן לפי ניקוד
  4. בדיקה: השאר 10 דקות בסוף לבדיקה
דור פסקל