תוכן עניינים:
- כוח מגנטי ותנועה מעגלית (מהירות ניצבת לשדה)
- תנועה של מטען חיובי הנכנס בזווית לשדה מגנטי (סליל/הליקס)
- מטען בשדות $E$ ו-$B$ מאונכים - תנאי לתנועה בקו ישר (בורר מהירויות)
- בורר מסות / הפרדת איזוטופים (לאחר בורר מהירויות)
- כלל יד ימין (לכוח לורנץ)
- כלל היד הימנית לזרמים (תקף גם למכפלות וקטוריות)
- חוק אמפר - שדה מגנטי סביב תיל (מדרגות: בתוך/מחוץ לתיל)
- עצמת השדה המגנטי כתלות במרחק - צפיפות זרם אחידה בתיל
- שני תיילים נושאי זרם - שדה וכוחות בין תיילים
- יישום חוק פאראדיי (לנץ) - מגנט ולולאה
- מסגרת מוליכה נכנסת לאזור עם שדה מגנטי (כא”מ מושרה)
- מוט מוליך על מסילה - שטף גדל (כא”מ מושרה)
כוח מגנטי ותנועה מעגלית (מהירות ניצבת לשדה)
נתבונן בכוח הפועל על מטען חיובי בשדה מגנטי הנכנס לתוך הדף.
אם מהירותו של המטען ניצבת לשדה המגנטי, הרי שמתקיים:
\[F = m a_c \ \Rightarrow\ q v_0 B = \frac{m v_0^2}{r}\ \Rightarrow\ r = \frac{m v_0}{qB}\] |  |
תנועה של מטען חיובי הנכנס בזווית לשדה מגנטי (סליל/הליקס)
מטען חיובי נכנס בזווית כלשהי לשדה מגנטי במישור הדף.
מרכיב המהירות הניצב לשדה מייצר את התנועה המעגלית, מרכיב המהירות המקביל לשדה אינו “רואה” את השדה המגנטי ומייצר סחיפה ימינה.
שאלה 1: חשבו את מרווח הפסיעה (מסומן מעלה בחץ דו-כיווני) בתנועה מעלה בהנחה שהמהירות פותחת זווית של $\pi/3$ רדיאנים עם השדה.
שאלה 1 - מרווח פסיעה (Pitch) בתנועה הליקלית
הרעיון: כשמטען נכנס בזווית לשדה, המהירות מתפרקת לשני רכיבים:
- $v_\perp = v\sin\theta$ ← יוצר תנועה מעגלית
- $v_\parallel = v\cos\theta$ ← יוצר סחיפה לאורך השדה
מרווח הפסיעה = כמה המטען מתקדם לאורך השדה בזמן מחזור אחד:
\[p = v_\parallel \cdot T\]שלבים:
- חשב $T = \frac{2\pi r}{v_\perp} = \frac{2\pi m}{qB}$
- חשב $v_\parallel = v\cos(60°) = v/2$
- הכפל: $p = v_\parallel \cdot T$
חישוב זמן המחזור
\[T = \frac{2\pi r}{v_\perp} = \frac{2\pi \frac{m \cancel{v_\perp}$}{qB}}{\cancel{v_\perp}} \Rightarrow \boxed{T = \frac{2\pi m}{qB}}\]הבהרה: הצבנו את הקשר בין הכוח הצנטריפיטלי למגנטי, במקרה של $v_0 = v_\perp$:
\[r = \frac{m v_\perp}{qB}\]חישוב המהירות המשיקית (הטנגנציאלית)
נשתמש בנתון שהמהירות פוחתת בפאי חלקי שלוש רדיאנים:
\[v_\parallel = v\cos(\pi/3) = v\cos(60°) \Rightarrow \boxed{v_\parallel = v/2}\]הזווית $\pi/3$ קובעת איך המהירות מתפרקת:
- $v_\parallel = v\cos(60°) = v/2$ ← סחיפה לאורך השדה
- $v_\perp = v\sin(60°) = \frac{v\sqrt{3}}{2}$ ← תנועה מעגלית
תובנה מעניינת: $v_\perp$ משפיע על רדיוס המעגל, אבל לא כאמור על זמן המחזור! כי:
\[T = \frac{2\pi r}{v_\perp} = \frac{2\pi \cdot \frac{mv_\perp}{qB}}{v_\perp} = \frac{2\pi m}{qB}\]ה-$v_\perp$ מצטמצם! לכן הזווית משפיעה על הפסיעה רק דרך $v_\parallel$.
הבהרה - רכיבי המהירות
v (המהירות הכוללת) /| / | / | v_perp = v·sin(θ) / | / | /θ____| v_parallel = v·cos(θ) ← כיוון השדה B →המהירות $v$ פותחת בזווית של $\theta$ עם כיוון השדה. מטריגונומטריה בסיסית של משולש ישר-זווית:
- הצלע הצמודה לזווית (לאורך השדה): $v_\parallel = v\cos\theta$
- הצלע הנגדית לזווית (מאונכת לשדה): $v_\perp = v\sin\theta$
למה דווקא ככה?
\[\cos\theta = \frac{\text{Tzela Tzmuda}}{\text{Yeter}} = \frac{v_\parallel}{v} \implies v_\parallel = v\cos\theta\] \[\sin\theta = \frac{\text{Tzela Negdit}}{\text{Yeter}} = \frac{v_\perp}{v} \implies v_\perp = v\sin\theta\]במקרה שלנו $\theta = \pi/3 = 60°$, אז $v_\parallel = v\cos(60°) = v/2$.
מציאת מרווח הפסיעה
\[p = v_\parallel \cdot T\]נציב את הביטויים שמצאנו למהירות ולזמן המחזור:
\[p = v/2 \cdot \frac{2\pi m}{qB}\] \[\boxed{p = \frac{\pi m v}{qB}}\]מטען בשדות $E$ ו-$B$ מאונכים - תנאי לתנועה בקו ישר (בורר מהירויות)
מטען חיובי נמצא תחת השפעה של שדה מגנטי היוצא מהלוח לעבר הצופה, ותחת השפעה של שדה חשמלי אחיד במישור הדף (הנגרם משני לוחות טעונים).
התנאי לתנועה בקו ישר הוא:
\[qE = qvB \ \Rightarrow\ v = \frac{E}{B}\]בלא תלות במסה או במטען הגוף הנע בתווך.
בורר מסות / הפרדת איזוטופים (לאחר בורר מהירויות)
המתקן המתואר משמש להפריד בין איזוטופים שונים מאותו החומר (לאחר שהתקבל $v=E/B$ בבורר המהירויות).
שאלה 2: שני איזוטופים של פחמן עוברים דרך הבורר: לאחד שישה ניטרונים בגרעין, לשני שמונה. קבלו את $r_1 - r_2$ עבור מקרה זה.
שאלה 2 - הפרדת איזוטופים של פחמן
הרעיון: אחרי בורר המהירויות, כל האיזוטופים נעים באותה מהירות $v = E/B$. ההבדל הוא רק במסה.
\[r = \frac{mv}{qB}\]שלבים:
- שני האיזוטופים: $\ce{C^{12}}$ (6 פרוטונים + 6 נויטרונים) ו-$\ce{C^{14}}$ (6 פרוטונים + 8 נויטרונים)
- שניהם עם אותו מטען ($q = e$) ועם אותה מהירות
- נחשב $r_1 - r_2 = \frac{v}{qB}(m_1 - m_2)$
- ההפרש במסה הוא $2m_n$ (שני נויטרונים)
פתרון - חישוב ההפרש
\[r_1 - r_2 = \frac{v}{qB}(m_1 - m_2) = \frac{v}{qB}(2m_n)\]אפשר גם להציב $m_n \approx 1.675 \times 10^{-27}\,\text{kg}$ אם רוצים מספר, אבל כביטוי להבנתי זה בסדר.
כלל יד ימין (לכוח לורנץ)
כלל יד ימנין בנוסח המתרגלים:
\[F = q\,\vec{v}\times \vec{B}\]
כלל היד הימנית לזרמים (תקף גם למכפלות וקטוריות)
כלל היד הימנית עבור זרמים (עופר): תקף יפה גם עבור מכפלות וקטוריות.
חוק אמפר - שדה מגנטי סביב תיל (מדרגות: בתוך/מחוץ לתיל)
שימוש בכלל יד ימין מלמד על השדה המגנטי סביב תיל נושא זרם היוצא מהדף.
שאלה 3: הניחו עתה ש-$I$ גודל קבוע. שימוש בחוק אמפר עבור המקרה $\frac{\partial}{\partial t}\int_{\Sigma}\vec{D}\cdot d\vec{S}=0$ מייצר את התלות
\[B(r)=\begin{cases} \ \ \ ?\ ?\ \ \ & r<R\\ \frac{\mu_0 I}{2\pi r} & r>R \end{cases}\](השלימו את החסר).
בנוסף מופיעים איורים שממחישים את כיוון $B$ סביב התיל ואת הלולאה האמפריאנית.
שאלה 3 - חוק אמפר בתוך תיל ($r < R$)
הרעיון: צפיפות הזרם אחידה בתיל. לולאה אמפריאנית ברדיוס $r < R$ “תופסת” רק חלק מהזרם.
שלבים:
-
צפיפות זרם:
\[J = \frac{I}{\pi R^2}\] -
זרם כלוא בלולאה ברדיוס $r$:
\[I_{enc} = J \cdot \pi r^2 = I\frac{r^2}{R^2}\] -
חוק אמפר:
\[B \cdot 2\pi r = \mu_0 I_{enc}\] -
נפתור עבור $B(r)$ - נצפה לתוצאה לינארית ב-$r$
חישוב השדה בתוך התיל
נציב $I_{enc}$ בחוק אמפר ונפתור:
\[B \cdot 2\pi r = \mu_0 \cdot I\frac{r^2}{R^2}\]נחלק ב-$2\pi r$:
\[\boxed{B(r) = \frac{\mu_0 I r}{2\pi R^2}} \qquad r < R\]ואכן - לינארי ב-$r$ ✓
תובנה: ב-$r = R$ זה מתחבר בדיוק עם הנוסחה מבחוץ: $\frac{\mu_0 I}{2\pi R}$. רציפות ✓
לסיכום:
\[\boxed{B(r)=\begin{cases} \frac{\mu_0 I r}{2\pi R^2} & r<R \\[5pt] \frac{\mu_0 I}{2\pi r} & r>R \end{cases}}\]עצמת השדה המגנטי כתלות במרחק - צפיפות זרם אחידה בתיל
מופיע גרף איכותי של $B(r)$:
- בתוך התיל: $B \sim r$
- מחוץ לתיל: $B \sim \frac{1}{r}$
שני תיילים נושאי זרם - שדה וכוחות בין תיילים
בכיתה ובתרגיל הקודם למדנו שהשדה המגנטי בקרבת שני תיילים נושאי זרם והכוחות הפועלים ביניהם ניתנים ע”י:
\[\frac{F_{1\to 2}}{L}= I_2 B_1(d)=\frac{\mu_0 I_2 I_1}{2\pi d}\] \[\frac{F_{2\to 1}}{L}= I_1 B_2(d)=\frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d}\]ורואים במפורש שמבחינת גודל הכוח: $\frac{F_{1\to 2}}{L}=\frac{F_{2\to 1}}{L}$.
מופיעים איורים לשני מצבים:
- זרמים בכיוונים מנוגדים (דחייה)
- זרמים באותו הכיוון (משיכה)
| דחייה | משיכה |
|---|---|
 |  |
שאלה 4: קבלו את הניסוח הוקטורי של הכוחות בין שני התיילים.
שאלה 4 - ניסוח וקטורי של כוח בין שני תיילים
הרעיון: תייל 1 יוצר שדה, תייל 2 חש כוח בשדה הזה.
שלבים:
-
השדה מתייל 1 במיקום תייל 2:
\[\vec{B}_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2\pi d}\hat{\phi}\] -
הכוח על תייל 2:
\[\frac{d\vec{F}}{dL} = I_2(\hat{L}_2 \times \vec{B}_1)\] -
נשתמש ב-$\hat{L}$ כיוון הזרם וב-$\hat{\phi}$ כדי לקבוע אם משיכה או דחייה
ביקשתי מקלוד להסביר בפירוט:
מה יש לנו?
שני תיילים מקבילים במרחק $d$ אחד מהשני. תייל 1 נושא זרם $I_1$, תייל 2 נושא זרם $I_2$.
שלב 1 - תייל 1 יוצר שדה
כבר ידוע לנו שתיל ישר יוצר שדה מגנטי שעוטף אותו במעגלים:
\[B_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2\pi d}\]הכיוון $\hat{\phi}$ אומר “מסביב לתייל” - לפי כלל יד ימין.
שלב 2 - תייל 2 מרגיש כוח
תייל נושא זרם בתוך שדה מגנטי חש כוח. הנוסחה שכבר הכרנו:
\[\vec{F} = I\vec{L} \times \vec{B}\]לכל מטר של תייל 2:
\[\frac{\vec{F}}{L} = I_2(\hat{L}_2 \times \vec{B}_1)\]שלב 3 - דוגמה קונקרטית
נניח שני תיילים לאורך ציר $z$, במרחק $d$ לאורך ציר $x$:
זרמים באותו כיוון ($+\hat{z}$):
- $\hat{L}_2 = \hat{z}$
- $\vec{B}_1$ במיקום תייל 2 (לפי כלל יד ימין): $-\hat{x}$ direction… בעצם הכיוון תלוי בגאומטריה
בוא נפשט: הגודל תמיד:
\[\frac{F}{L} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d}\]והכיוון נקבע מהמכפלה הוקטורית:
- אותו כיוון זרם ← $\hat{L} \times \hat{B}$ מצביע לכיוון התייל השני ← משיכה
- כיוון הפוך ← מצביע הרחק מהתייל השני ← דחייה
הניסוח הוקטורי המלא
\[\boxed{\frac{d\vec{F}_{1\to 2}}{dL} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d}(-\hat{d})}\]כאשר $\hat{d}$ הוא הכיוון מתייל 1 לתייל 2, והמינוס אומר משיכה (לזרמים באותו כיוון). לזרמים הפוכים המינוס נעלם ומתקבלת דחייה.
יישום חוק פאראדיי (לנץ) - מגנט ולולאה
סעיף א
שאלה 5: יישום של חוק פארדיי:
א. מקרבים את המגנט ללולאה מוליכה. היעזרו בחוק לנץ ושכנעו עצמכם שהזרם המושרה בלולאה זורם נגד כיוון השעון.
שאלה 5 - חוק לנץ (מגנט ולולאה)
הגישה הכללית: חוק לנץ אומר שהזרם המושרה מתנגד לשינוי בשטף.
סעיף א (מקרבים מגנט):
- מה קורה לשטף דרך הלולאה? גדל (מגנט מתקרב)
- הזרם המושרה יוצר שדה שמתנגד לגידול ← שדה נגדי לשדה המגנט
- לפי כלל יד ימין ← כיוון הזרם?
סעיף ב
ב. מרחיקים את המגנט מהלולאה המוליכה. היעזרו בחוק לנץ ושכנעו עצמכם שהזרם המושרה בלולאה זורם עם כיוון השעון.
סעיף ב (מרחיקים מגנט):
- השטף קטן ← הזרם המושרה מנסה לשמר אותו
- שדה באותו כיוון כמו המגנט ← כיוון הזרם מתהפך
מסגרת מוליכה נכנסת לאזור עם שדה מגנטי (כא”מ מושרה)
מכניסים בהדרגתיות מסגרת מוליכה לאזור בו שורר שדה מגנטי (מופיע איור עם אזור $B_{\text{ext}}$).
שאלה 6: חשבו את הכא”מ $\mathcal{E}(t)$ המושרה על המסגרת כאשר המסגרת:
- נעה ימינה במהירות קבועה, $v_0$.
- “נופלת” ימינה בתאוצה קבועה $a$.
- “נופלת” ימינה בתאוצה קבועה $a$ ותוך כדי גם מסתחררת בתדירות זוויתית $\omega$.
שאלה 6 - כא”מ מושרה על מסגרת נכנסת לשדה
הנוסחה המרכזית: חוק פאראדיי:
\[\mathcal{E} = -\frac{d\Phi_B}{dt}, \qquad \Phi_B = B \cdot A(t)\]מקרה 1 ($v_0$ קבועה):
- השטח בתוך השדה גדל: $A(t) = l \cdot v_0 t$ (כאשר $l$ אורך הצלע בתוך השדה)
- $\mathcal{E} = Blv_0$ - קבוע
מקרה 2 (תאוצה $a$):
- $x(t) = \frac{1}{2}at^2$, אז $A(t) = l \cdot \frac{1}{2}at^2$
- $\mathcal{E}(t) = Blat$ - גדל ליניארית
מקרה 3 (תאוצה + סיבוב):
- עכשיו גם הזווית בין המסגרת לשדה משתנה
- $\Phi = B \cdot A(t) \cdot \cos(\omega t)$
- גזור עם כלל המכפלה: $\frac{d}{dt}[A(t)\cos(\omega t)]$
ביקשתי מקלוד לפתור.
הרקע - מה בכלל קורה פה?
יש לך מסגרת מלבנית (כמו מסגרת של תמונה, עשויה מתיל מוליך). יש אזור במרחב שבו קיים שדה מגנטי $B$. המסגרת זזה ימינה ונכנסת לתוך האזור הזה.
Frame Field B
┌────┐ │× × × × × ×│
│ │ →v │× × × × × ×│
│ │ │× × × × × ×│
└────┘ │× × × × × ×│
│× × × × × ×│
כשהמסגרת נכנסת, חלק ממנה נמצא בתוך השדה:
│×┌──× × × ×│
│×│ × × × ×│
│×│ × × × ×│
│×└──× × × ×│
│× × × × × ×│
←x→
המושג המרכזי - שטף מגנטי
שטף מגנטי = כמה “קווי שדה” חוצים את המסגרת:
\[\Phi_B = B \cdot A\]כאשר $A$ הוא השטח של המסגרת שנמצא בתוך השדה (לא כל המסגרת, רק החלק שבתוך האזור).
חוק פאראדיי
כשהשטף משתנה בזמן, נוצר כא”מ (מתח):
\[\mathcal{E} = -\frac{d\Phi_B}{dt}\]מינוס = חוק לנץ (הכא”מ מתנגד לשינוי). נתעלם מהסימן ונתמקד בגודל.
מקרה 1 - מהירות קבועה $v_0$
מה השטח בתוך השדה?
נסמן:
- $l$ = גובה המסגרת (הצלע המאונכת לתנועה)
- $x(t)$ = כמה מהמסגרת כבר נכנס לשדה
מהירות קבועה אומרת:
\[x(t) = v_0 \cdot t\]השטח בתוך השדה הוא מלבן:
\[A(t) = l \cdot x(t) = l \cdot v_0 t\]מה השטף?
\[\Phi_B(t) = B \cdot A(t) = B \cdot l \cdot v_0 t\]מה הכא”מ?
נגזור לפי $t$:
\[\mathcal{E} = \frac{d\Phi_B}{dt} = B \cdot l \cdot v_0\]תוצאה: כא”מ קבוע! הגיוני - כל שנייה נכנס אותו שטח נוסף.
מקרה 2 - תאוצה קבועה $a$
מה השטח?
עכשיו המסגרת מאיצה, אז:
\[x(t) = \frac{1}{2}at^2\] \[A(t) = l \cdot \frac{1}{2}at^2\]מה השטף?
\[\Phi_B(t) = B \cdot l \cdot \frac{1}{2}at^2\]מה הכא”מ?
נגזור:
\[\mathcal{E}(t) = \frac{d}{dt}\left(B l \cdot \frac{1}{2}at^2\right) = Blat\]תוצאה: כא”מ שגדל ליניארית עם הזמן! הגיוני - המסגרת נכנסת יותר ויותר מהר, אז השטף גדל מהר יותר עם הזמן.
מקרה 3 - תאוצה + סיבוב
מה חדש?
עכשיו בנוסף לתנועה ימינה, המסגרת גם מסתובבת. כשהמסגרת מוטה בזווית $\theta$ ביחס לשדה, השטף מוכפל ב-$\cos\theta$:
\[\Phi_B = B \cdot A(t) \cdot \cos(\omega t)\]כאשר $A(t) = l \cdot \frac{1}{2}at^2$ (כמו מקרה 2) ו-$\omega t$ הזווית שהמסגרת הסתובבה.
למה $\cos$?
כי השטף תלוי בכמה המסגרת “פונה” לשדה:
- $\cos 0° = 1$ ← מסגרת ניצבת לשדה ← שטף מקסימלי
- $\cos 90° = 0$ ← מסגרת מקבילה לשדה ← שטף אפס (קווי השדה לא חוצים אותה)
מה הכא”מ?
צריך לגזור מכפלה של שתי פונקציות! כלל לייבניץ (כלל המכפלה):
\[\frac{d}{dt}[f(t) \cdot g(t)] = f'(t)g(t) + f(t)g'(t)\]כאשר $f(t) = \frac{1}{2}Blat^2$ ו-$g(t) = \cos(\omega t)$:
\[\mathcal{E} = \frac{d}{dt}\left[\frac{1}{2}Blat^2 \cdot \cos(\omega t)\right]\] \[= Blat\cos(\omega t) + \frac{1}{2}Blat^2 \cdot (-\omega\sin(\omega t))\] \[\boxed{\mathcal{E}(t) = Blat\cos(\omega t) - \frac{1}{2}Bla\omega t^2\sin(\omega t)}\]האיבר הראשון מגיע מהתנועה (כמו מקרה 2), והשני מגיע מהסיבוב.
מוט מוליך על מסילה - שטף גדל (כא”מ מושרה)
ואחרון חביב: מחליקים מוט מוליך על מסילה כך ששטחה (ולכן גם השטף של השדה המגנטי דרכה) גדל.
שאלה 7: נתון $v(t)=v_0\sin(\omega t)$. חשבו את הכא”מ המתפתח במסגרת $\mathcal{E}(t)$.
שאלה 7 - מוט על מסילה עם $v(t) = v_0\sin(\omega t)$
הרעיון: השטח משתנה כי המוט זז.
מציאת השטח
תחילה נמצא את מיקום המוט כפונקציה של הזמן.
המיקום ניתן על ידי אינטגרל של המהירות (המהירות היא הרי הנגזרת של המיקום).
\[\begin{aligned} x(t) &= \int_0^t v_0 \sin (\omega t^\prime ) dt^\prime \\[5pt] &= v_0 \int_0^t \sin (\omega t^\prime ) dt^\prime \\[5pt] &= v_0 \left(-\frac{1}{\omega} \cos(\omega t^\prime) \bigg|_0^t \right) \\[5pt] &= -\frac{v_0}{\omega} \left( \cos(\omega t) - \cos(0) \right) \\[5pt] &= \frac{v_0}{\omega}(1 - \cos \omega t) \end{aligned}\]נחשב את השטח בעזרת המיקום שמצאנו כפול המסגרת:
\[\begin{aligned} A(t) &= l \cdot x(t) \\[5pt] &= l \cdot \frac{v_0}{\omega}(1 - \cos \omega t) \end{aligned}\]מציאת השטף וגזירה שלו
\[\begin{aligned} \Phi &= B \cdot A \\[5pt] &= B \cdot l \cdot \frac{v_0}{\omega}(1 - \cos \omega t) \end{aligned}\]נגזור לפי הזמן:
\[\begin{aligned} \frac{d\Phi}{dt} &= \frac{d}{dt} \left(B \cdot l \cdot \frac{v_0}{\omega}(1 - \cos \omega t)\right) \\[5pt] &= B \cdot l \cdot v_0 \frac{d}{dt} \left(\frac{1}{\omega}(1 - \cos \omega t)\right) \\[5pt] \end{aligned}\]ככל הנראה גם $\frac{1}{\omega}$ הוא קבוע, אז אפשר להוציא גם אותו:
\[\begin{aligned} \frac{d\Phi}{dt} &= \frac{B \cdot l \cdot v_0}{\omega} \frac{d}{dt} \left(1 - \cos \omega t\right) \\[5pt] &= \frac{B \cdot l \cdot v_0}{\cancel{\omega}} \left(\cancel{\omega} \sin (\omega t)\right) \\[5pt] &= B \cdot l \cdot v_0 \left( \sin (\omega t)\right) \end{aligned}\]חישוב הכא״מ (חוק פאראדיי)
\[\boxed{\mathcal{E} = -\left(B \cdot l \cdot v_0 \sin (\omega t)\right)}\]תובנה - היה אפשר גם לקצר: אם
\[\frac{d\Phi}{dt} = Bl\frac{dx}{dt} = Blv(t)\]היא אפשר לדלג ישירות לתוצאה בלי לחשב את $x(t)$.
כלומר, היה נתון לנו מראש $v$ (כזכור, $v(t)=v_0\sin(\omega t)$), אז למעשה סתם עשינו אינטגרל ונגזרת - שתי פעולות שמבטלות אחת את השנייה. היינו יכולים להציב ישירות את הביטוי של המהירות.
דור פסקל