הקדמה וחשיבות הנוכחות בקורס
שלום לכולם. תקלתם בהפסקה ארוכה במקצת. בטבע הדברים, הפסקות ארוכות יש בהן כדי לבטא את המתח - יש בזה טוב, יש בזה חיובי ויש בזה שלילי. כמובן, הדבר השלילי הוא שאתם צריכים לחזור במהירות גדולה מאוד לעניינים, כדי להתמצא בחומר. אנחנו לא מתעכבים ולא מחכים, אנחנו ממשיכים קדימה.
היה לכם תרגיל בית ואני מאוד מקווה שהתחלתם לפתור אותו. דבר נוסף, יש לכם משעה 14:15 ועד 14:30 אפשרות לרשום את הנוכחות שלכם בטלפון. אנא עשו זאת, כי זה נכנס לחישוב הנוכחות שלכם, וזה חשוב. כך יהיה בכל תחילת שיעור, עליכם להיכנס ולאשר את נוכחותכם.
כרגע כמחצית מהכיתה אינה נמצאת. זה מבטא שני דברים: זלזול במוסד הלימודים שלכם וזלזול בחומר הלימוד. אני רוצה לחזור ולומר לכם - הקורסים בפיזיקה הם ברמה קשה יותר משמעותית מהקורסים במתמטיקה. בואו נאמר, אולי אני עושה קצת חסד, זה יותר משתי רמות קושי. אין לכם פריבילגיה לזלזל בנוכחות בכיתה ובשימוש בכלי העזר שניתנים לכם.
הצעתי לכם שיעורי תגבור, ואני חושב ששיעורי התגבור חשובים מאוד. מה עושים בשיעורי התגבור? עונים על שאלות שלא נענו או שאינכם יודעים כיצד לענות עליהן מהתרגילים, מהתרגול או מהשיעור. האם כולכם יודעים לגשת לתרגילים ולפתור אותם באופן ישיר? אני מטיל בכך ספק.
השבוע הזה אני מלמד גם ביום ראשון וגם ביום שני, אז אין שיעור תגבור, אבל אני מציע לכם להגיע לשיעור התגבור ביום ראשון הקרוב. אהיה כאן בשבילכם בין 16:00 ל-18:00, ואני מקווה מאוד שתרצו לנצל את השיעור הזה.
אני אומר לכם ברצינות - אם לא תרצו או שתקלו ראש בעניינים, זה יבוא לידי ביטוי ביכולת שלכם להתמודד עם החומר ובהתאם לכך בהישגים. הקורסים שאנחנו נותנים לכם הם קורסים אקדמיים. זה לא משהו שהכרתם מהתיכון, וזה לא משהו שאפשר בקלות להסתדר איתו בלימוד עצמי. אני בדעה שזה קשה. אני ממליץ לכם מאוד לקחת את זה בכובד ראש.
באשר לתרגולים, היות ואין לכם תרגול השבוע, ביקשתי מהמתרגלים להקליט לכם תרגול שיעלה למערכת הלמידה. זה יהיה תרגול פרונטלי לשיעור אחד. אני אנסה אולי, אם זה יהיה אפשרי, להעלות עוד תרגול, אבל אתם חייבים להבין שכמו שלכם יש את אילוצי המערכת, גם למרצים ולמתרגלים יש את אילוצי המערכת.
נושאי הלימוד בשיעורים הקרובים
מה אנחנו עושים היום ומחר? אנחנו הולכים לחזק את ההבנה שלנו לגבי שלושת חוקי ניוטון במערכות התמד. נדבר בהרחבה על מהי מערכת התמד ומה זה אומר ששלושת החוקים תקפים במערכות התמד. נדבר גם על מערכות שאינן מערכות התמד, ובהקשר הזה נדון גם בכוחות מדומים ונלמד לפתור בעיות בפיזיקה, בעיות מכניות, שקשורות או שנוח לפתור אותן במערכות שאינן מערכות התמד.
נפתור כמה שאלות בחוק השני של ניוטון, שזה אולי החלק הפחות קל ביישום התורה של ניוטון, אבל יש גם שאלות לא פשוטות שקשורות בחוק הראשון. קיבלתם דוגמאות לשאלות כאלו בתרגיל הבית שלכם, למשל, הגליל שמונח בין טריז לבין קיר.
גם החוק הראשון של ניוטון וגם החוק השני של ניוטון דורשים יכולת לקחת את הבעיה ולתרגם אותה, לבנות תרשים כוחות לבעיה, לקחת את המציאות הפיזיקלית, לבנות תרשים כוחות למציאות הפיזיקלית, להחליט איזה מבין החוקים הוא רלוונטי לפתרון הבעיה, ליישם את החוק ולתרגם אותו למשוואות מתמטיות שאותן צריך לפתור.
במקרים רבים המשוואות המתמטיות הן משוואות אלגבריות, ואז כל מה שנדרש מכם זה לפתור משוואה אלגברית. אבל במקרים רבים אחרים הבעיה מתרגמת למשוואות דיפרנציאליות, ואז נדרש מכם לפתח מיומנות בפתרון משוואות דיפרנציאליות. האם יש לכם את הכלים לכך? כן, בהחלט יש לכם את הכלים לכך, אבל אין לכם את האימון, ובשביל זה אתם באים לשיעורים שלי ואתם תתאמנו על הנושא הזה במהלך השיעורים הקרובים.
בשני השיעורים הקרובים נתרגל את שלושת החוקים במערכות התמד ובמערכות שאינן מערכות התמד. לאחר מכן ארצה להרחיב את תקפות הכלים המתמטיים שיש לנו לסיטואציות שבהן הבעיה הפיזיקלית מחייבת סימטריה שהיא לא סימטריה קרטזית, או שזה לא בעיה בממד אחד ויש סימטריה גלילית או סימטריה כדורית בבעיה. בסיטואציה כזו נוח מאוד לעבוד עם קואורדינטות אחרות. אתם תראו שקואורדינטות אחרות עשויות להיות לא פשוטות להבנה. אסביר זאת כשנדבר על הנושא, כנראה כבר החל מהשבוע הבא, כשנדבר על בעיית המטוטלת ועל בעיית האוסצילטור ההרמוני.
לאט לאט אתם תתחילו לקבל את התחושה איך ניגשים לפתרון בעיות בפיזיקה. ומניסיוני גם כסטודנט לפני עשרות שנים וגם כמורה שלימד לא מעט שנים, אני אומר לכם שאלה נושאים שלא קל לקלוט אותם, הם דורשים תעצומות נפש. אבל אתם רופאים, אז ממילא נדרשות מכם תעצומות נפש, כפי שתגלו בעצמכם.
טרנספורמציות גליליי
נושא שעברתי עליו ברפרוף ראשון הוא הנושא של טרנספורמציות גליליי. תיארתי לכם את הרעיון בכלליות, אבל לא טיפלתי בזה בצורה אנליטית לגמרי, ואני רוצה לסגור את הפינה הזאת עכשיו כמו שצריך.
מהן טרנספורמציות גליליי? דיברנו על כך שמערכת התמד היא מערכת שמאופיינת על ידי מהירות קצובה. אבל אני צריך להיות יותר מדויק - מהירות קצובה ביחס למה? מהירות קצובה ביחס אליי זה לא מהירות קצובה ביחס למישהו שנוסע במכונית ברחוב. מהירות קצובה ביחס אליי זה לא מהירות קצובה ביחס לאיזושהי פלנטה במערכת השמש שנעה ביחס אליי.
נניח שיש דבר כזה אבסולוטי שנקרא מעין מערכת אבסולוטית שאפשר ביחס אליה לדבר על מהירות קצובה, ואז המערכת הזאת נותנת איזשהו ייחוס אבסולוטי עם משהו נייח או משהו נע במהירות קצובה.
כדי להסביר את העניין: אתם יודעים שכדור הארץ מסתובב סביב צירו, נכון? בכמה זמן הוא משלים סיבוב? 24 שעות. מערכת שמסתובבת היא לא מערכת במהירות קצובה כי סיבוב זה תאוצה. תנועה על פני מעגל היא תנועה שמואצת לעבר המרכז, יש תאוצה לעבר המרכז.
אבל הסיבוב של כדור הארץ הוא כל כך איטי, הוא משלים סיבוב אחד ב-24 שעות. אנחנו גם יכולים לחשב כמה זה איטי. המהירות הזוויתית קשורה לזמן המחזור דרך הקשר:
\[\omega = \frac{2\pi}{T}\]כאשר $T$ הוא זמן המחזור.
בתנועה מעגלית אנחנו מתארים את התנועה בצורה:
\[\vec{r}(t) = \cos(\omega t) \hat{x} + \sin(\omega t) \hat{y}\]הקוסינוס והסינוס הם פונקציות מחזוריות בארגומנט שלהם, כאשר המחזור הוא $2\pi$. כלומר, אחרי $\omega t = 2\pi$ אני חוזר לאותה פוזיציה בציר ה-$x$ ולאותה פוזיציה בציר ה-$y$. אם $t$ מתאר את הזמן ו-$T$ מתאר את זמן המחזור, אז:
\[\omega T = 2\pi \Rightarrow \omega = \frac{2\pi}{T}\]מה אנחנו יודעים על $T$ של כדור הארץ? אנחנו יודעים שזה 24 שעות. זאת אומרת שהמהירות הזוויתית $\omega$ של כדור הארץ שווה ל:
\[\omega = \frac{2\pi}{24 \cdot 3600} \approx \frac{3}{12 \cdot 3600} \approx \frac{1}{14400} \text{ rad/s}\]המהירות הזוויתית של כדור הארץ נמוכה מאוד, ובקירוב מצוין כל מה שעל פני כדור הארץ יכול להיחשב כמערכת התמד. כלומר, זה כמעט לא מואץ, המהירות היא בערך קבועה.
למה הדבר דומה? דומה הדבר לתיאוריות שטוענות שכדור הארץ שטוח. בקירוב של הכיתה, בקירוב של העיר, בקירוב של הפקולטה, כדור הארץ נראה שטוח עם קצת גבעות וקצת עמקים, אבל בערך שטוח. מתי אנחנו רואים שהוא לא שטוח? אנחנו צריכים להיות די גבוה כדי להתחיל לראות את הקמירות שלו. מה לעשות? כדור הארץ גדול ואנחנו קטנים.
אז באמת אנחנו יכולים להתייחס אל המרחב של הכיתה כאל מרחב קרטזי ואל התאוצה של הכיתה כבערך אפס ביחס למערכת האבסולוטית שאני קורא לה כדור הארץ.
אגב, מהירות האוצה הזוויתית במקרה של התנועה סביב השמש היא אף נמוכה יותר. כמה זמן לוקח לכדור הארץ לעשות סיבוב אחד סביב השמש? 365 ימים. וגם כל מערכת השמש מסתובבת סביב מרכז הגלקסיה, שם לוקח לה להשלים סיבוב 220 מיליון שנה.
בקירוב מצוין, עבור הבעיות שאני דן בהן בכיתה, עבור סדרי הגודל וסדרי הזמן שאני דן בהם בכיתה, אפשר להתייחס לכדור הארץ כמערכת התמד.
הגדרת טרנספורמציות גליליי
הנה יש לי פה שתי מערכות התמד. למערכת הזאת נקרא $S$ ולמערכת הזאת נקרא $S’$. זאת הראשית של $S$ וזאת הראשית של $S’$. פה יש שתי מערכות התמד, זאת אומרת שתי מערכות ייחוס שנעות זו ביחס לזו במהירות קצובה.
בואו נסתכל על המהירות הקצובה. המהירות הקצובה של $S’$ ביחס ל-$S$ היא $\vec{u}$. הן נעות במהירות $\vec{u}$, ולכן אם בזמן $t=0$ הראשית שלהן התלכדה, אז בזמן $t > 0$ הוקטור המרחק בין הראשיות הוא $\vec{u} \cdot t$.
יש לנו שתי מערכות ייחוס שבזמן $t=0$ הראשית שלהן מתלכדת, ועכשיו מערכת $S’$ מתחילה לנוע במהירות $\vec{u}$ ביחס למערכת $S$. מה יהיה וקטור המקום של הראשית של $S’$ עבור זמן $t$? וקטור המקום יהיה $\vec{u} \cdot t$ כי היא נעה במהירות קצובה.
ראשית הצירים של המערכת $S$ היא כאן וראשית הצירים של המערכת $S’$ היא כאן, והמקום של ראשית הצירים של $S’$ בכל זמן $t$ ביחס לראשית הצירים של $S$ הוא $\vec{u} \cdot t$.
הנה חלקיק שמבצע תנועה במערכת $S$. וקטור המקום שלו הוא $\vec{r}$. וקטור המקום שלו במערכת $S’$ הוא $\vec{r}’$. אנחנו רואים ש:
\[\vec{r} = \vec{r}' + \vec{u} \cdot t\]
וקטור המקום במערכת $S$ הוא וקטור המקום במערכת $S’$ ועוד הוקטור $\vec{u} \cdot t$, משום שכדי להגיע במערכת $S$ מהנקודה הזאת לנקודה הזאת אני צריך קודם כל להגיע לראשית של $S’$ ואז מראשית $S’$ להגיע לנקודה המבוקשת. כך מחברים וקטורים.
$\vec{u} \cdot t$ זה וקטור המקום של ראשית הצירים של $S’$ ביחס לראשית הצירים של $S$. אז יש לנו פה חוק טרנספורמציה של וקטורי המקום. חוק הטרנספורמציה אומר ש:
\[\vec{r}' = \vec{r} - \vec{u} \cdot t\]
נניח שאדם נע במהירות קבועה $\vec{u}$ ביחס אליי, וקטור המקום שלו ביחס אליי הוא $\vec{u} \cdot t$. יש פה חרק שאני מודד את וקטור המקום שלו. וקטור המקום של החרק ביחס אליי הוא $\vec{r}(t)$, וקטור המקום של החרק ביחס לאדם הנע הוא $\vec{r}’(t)$. מתקיים:
\[\vec{r}' = \vec{r} - \vec{u} \cdot t\]כאשר $\vec{r}$ זה וקטור המקום של החרק ביחס אליי, $\vec{r}’$ זה וקטור המקום של החרק ביחס לאדם הנע.
אנחנו יודעים שמהירויות הן נגזרות של וקטורי המקום. מהי מהירות החרק $\vec{v}’$ במערכת של האדם הנע?
\[\vec{v}' = \frac{d\vec{r}'}{dt} = \frac{d\vec{r}}{dt} - \frac{d(\vec{u} \cdot t)}{dt} = \vec{v} - \vec{u}\]בנוסחה הזאת השתמשתם בלי לדעת מה זה טרנספורמציות גליליי כשחישבתם מהירויות יחסיות. פשוט השתמשתם בהיגיון ובלוגיקה שלכם.
אם נגזור את זה עוד פעם לפי הזמן, הוקטור $\vec{u}$ הוא קבוע, אבל $\vec{v}’$ ו-$\vec{v}$ הם לא קבועים. מתקיים:
\[\vec{a}' = \frac{d\vec{v}'}{dt} = \frac{d\vec{v}}{dt} - \frac{d\vec{u}}{dt} = \vec{a} - 0 = \vec{a}\]כלומר, התאוצות בשתי מערכות ההתמד שוות זו לזו. יש הבדל בין וקטורי המקום ויש הבדל בין וקטורי המהירות, אבל אין הבדל בין וקטורי התאוצה.
ומכאן, מתוך החוק השני של ניוטון $\vec{F} = m\vec{a}$, אני מסיק שגם אין הבדל בכוחות:
\[\vec{F} = \vec{F}'\]זאת אומרת שאין לי שום בעיה להחיל את אותו חוק ראשון של ניוטון על כל מערכות ההתמד.
מערכות התמד ומערכות מואצות
מה שעשיתי פה עשו אנשים גדולים מאוד במאה ה-17 ובמאה ה-18, בלי לשים לב לדבר אחד מאוד עדין שהפיל את כולם בפח. הדבר העדין הוא שלקחנו פה נגזרות לפי הזמן והנחנו שהזמן בכל המערכות הוא אותו זמן, שהוא פרמטר אוניברסלי המאפיין את כל מערכות ההתמד. זאת הנחה שאולי נראית לנו מנקודת המבט האינטואיטיבית שלנו מאוד סבירה, אבל היא הנחה שצריכה הצדקה.
בחיי היומיום באמת נראה לנו שהזמן הוא אבסולוטי. הזמן בכיתה הזאת והזמן במכונית שנוסעת ברחוב הם אותו זמן, אותם שעונים רצים והם מתקתקים באותו קצב. איינשטיין הראה שזאת הנחה נמהרת וגם לא נכונה, וכשהוא בא לתקן את ההנחה הזאת הוא בעצם הפך את כל המערכת והרחיב אותה לגמרי, ובנה במקום זה את תורת היחסות, שהיא קפיצת מדרגה פרדיגמטית מאוד עקרונית בכל ההבנה של הפיזיקה.
מערכת התמד היא מערכת שניתן לאפיין אותה במהירות קצובה ביחס לאיזושהי מציאות אבסולוטית. נניח שהמציאות האבסולוטית היא היקום שלנו. נניח שהיקום הוא סטטי, ואם אני יכול לאפיין מערכת באמצעות מהירות קצובה ביקום הסטטי, למערכת הזאת אני קורא מערכת התמד.
אנחנו עכשיו יודעים שבתורה הניוטונית, כשאנחנו מנסחים את החוק השני של ניוטון, החוק הזה מנוסח במדויק בכל מערכות ההתמד. זאת אומרת, המהירות שלנו ביחס למערכת התמד אחרת לא משנה את הזכות שלנו לרשום בדיוק את אותה משוואה $\vec{F} = m\vec{a}$ או $\vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt}$.
דוגמאות ליישום חוקי ניוטון במערכות שונות
התחלנו את השיח הזה מתוך כך שדיברתי על סיבוב כדור הארץ, כי אמרתי לכם שהכיתה הזאת היא מערכת התמד. למה אני טוען את זה? אני טוען שהמהירות של הכיתה הזאת היא מהירות קצובה ביחס לכדור הארץ. מהי המהירות של הכיתה ביחס לכדור הארץ? אפס. ואפס הוא גודל קבוע.
אבל התלמיד העקשן יבוא ויעיר: “מה פתאום? כדור הארץ מסתובב סביב צירו. אם הוא מסתובב סביב צירו, אנחנו יודעים שתנועה מעגלית היא תנועה בתאוצה לעבר המרכז. זאת אומרת, כדור הארץ עצמו הוא מערכת שנמצאת בתאוצה, כי הוא מסתובב וכל מה שנמצא על היקף המעגל בסיבוב מואץ לעבר המרכז.”
ואז באתי וטענתי - נכון, כדור הארץ אמנם מואץ, אבל תאוצתו היא כל כך איטית. הפקטור של $\omega$ שקובע את המהירות הזוויתית הוא כל כך קטן, והתאוצה היא כל כך איטית, כך שלכל עניין פרקטי שקשור בניסיונות שאני אעשה פה בכיתה (כגון כדור משתלשל מחבל או מטוטלת), אנחנו יכולים להתייחס לכיתה כאל מערכת התמד.
ראינו שלחוק השני של ניוטון, גם אם הכיתה שלנו הייתה נמצאת במהירות של 1000 קמ”ש ביחס לכדור הארץ, עדיין אני יכול להחיל את החוק השני של ניוטון על הכיתה.
אבל אם אני עושה ניסוי במעלית שנמצאת בתנועה קבועה בבניין, האם המעלית היא מערכת התמד או לא? תשובה: כל עוד המעלית לא מואצת, היא מערכת התמד. מואצת ביחס למה? ביחס לכדור הארץ, ביחס לכיתה. ברגע שיש תאוצה - זו לא מערכת התמד.
עשו הבחנה - אתם כבר חושבים כמו פיזיקאים - אין דבר כזה “גוף בתנועה”. יש גוף שיש לו וקטור מהירות ויש לו וקטור תאוצה. כשגוף נמצא במהירות מסוימת שהיא קבועה, והמהירות הזאת קבועה ביחס לאיזושהי מערכת אבסולוטית, זאת מערכת התמד לכל דבר ועניין. כאשר הגוף נמצא בתאוצה, זה סיפור אחר לגמרי.
גם אם אתה נע במהירות של 200,000 קילומטר בשנייה, אתה במערכת התמד. ואין שום הבדל בין מנוחה לתנועה במהירות קצובה, גם אם זה במהירות גבוהה מאוד. למה? כי אני תמיד יכול לעשות טרנספורמציית גליליי למערכת שלך, ובמערכת שלך אתה במנוחה.
באופן עקרוני, בתורה הניוטונית גם מיליארד קילומטר בשנייה זו מערכת התמד. בתיקון של תורת היחסות זה משתנה - ככל שאנחנו מתקרבים למהירות האור הסיפור הוא יותר מסובך, ולמהירות האור כשלעצמה אי אפשר להגיע.
תאוצת הנפילה החופשית ודוגמאות נוספות
אני מבקש לחדד את הרעיונות האלה באמצעות דוגמה. בואו נסתכל על מערכת שבה יש חוט חלק שלא מסתובב אך הוא חלק לגמרי. חוט מתוח מכאן, מסה אחת נמצאת כאן, חוט מתוח מכאן, ומסה שנייה נמצאת כאן.
לפני שאני ממשיך, אני רק רוצה לומר דבר אחד: כשאנחנו עושים ניסוי במעבדה ואנחנו בודקים את תאוצת הנפילה החופשית של גופים, אנחנו מגלים שבקירוב מצוין, בלי קשר לאיזה ארץ אנחנו נמצאים ובאיזה זמן אנחנו עושים את הניסוי, תאוצת הנפילה החופשית קרוב לפני כדור הארץ היא גודל קבוע של בערך 10 מטר לשנייה בריבוע. אנחנו מסמנים את תאוצת הנפילה החופשית ב-$g$. זה בערך 10 מטר לשנייה בריבוע, ופירושו של דבר שכשמישהו נופל חופשי, כל שנייה גדלה מהירותו ב-10 מטר לשנייה.
אני רוצה להזכיר לכם שאם זה קבוע, אז:
\[v(t) = v_0 + gt\]ו-
\[x(t) = x_0 + v_0t + \frac{1}{2}gt^2\]כשאני מסתכל על $x$ חיובי כלפי מטה.
אם $g$ הוא גודל קבוע, אז אני יודע שהחוק השני תקף. החוק השני של ניוטון תקף, כלומר:
\[F = ma\]הכוח שגורם לתאוצת הנפילה החופשית הזאת הקבועה הוא $F = mg$. ולכן תמיד כשאמרתי וקראתי לכוח הזה, שגורם לנפילה החופשית, $W$, אז עכשיו אני יודע ש:
\[W = mg\]מעתה ואילך, בכל מקום שאני ארצה להתייחס לכוח המשיכה בקרבת פני כדור הארץ, אני אקרא לו $mg$. זה מגיע מתוך הידיעה האמפירית שגופים בקרבת כדור הארץ נופלים בתאוצה קבועה. זה נכון רק בקרבת פני כדור הארץ, זה לא נכון במרחקים שמתחילים להיות מסדר גודל של קילומטרים.
נחזור למערכת שלנו. יש לי פה חוט חסר מסה ושתי מסות. אם אני לוקח את שתי המסות, שם את המסה האחת למטה ואת המסה השנייה למעלה, ומשחרר, מה יקרה?
אם המסות שוות, אין שום סיבה שבעולם שהמסות האלו יזוזו. אין שום סיבה שבעולם. שקול הכוחות הוא אפס, התחלנו ממהירות אפס, המערכת תישאר במצב ההתמדה שלה, שזה מהירות אפס.
מה פתאום שהן יזוזו? כדי שהן יזוזו צריך להיות תנועה, צריך להיות תאוצה, הן צריכות לצאת ממצב האפס שלהן. כדי לצאת ממצב האפס צריך להיות ששקול הכוחות אינו אפס, אבל שקול הכוחות הוא אפס. אני מסתכל על המערכת הזאת ואני רואה את הכוחות הבאים:
כאן יש לי מתיחות בחוט, $T$ (Tension), ופה יש לי את $mg$. זה אותו חוט, אז גם כאן הוא נותן מתיחות בכיוון ההפוך, ופה יש לי את אותו $mg$. אם השארתי את המערכת הזאת במצב נייח, פירושו של דבר ש-$T = mg$, המתיחות שווה ל-$mg$, והמערכת נשארת במצב ההתמדתי שבו התחילה. אנחנו אומרים שזה מהחוק הראשון של ניוטון - המערכת נשארת כמו שהיא.
עכשיו אני לוקח את המערכת הזאת ושם אותה בחללית עתידית, שטסה למערכת שמש קרובה, ומהירות טיסתה היא 200,000 קילומטר בשנייה ביחס לכדור הארץ. מה יקרה עכשיו?
אותו דבר בדיוק. היות והחללית נעה במהירות קצובה ביחס אליי, החוק השני של ניוטון הוא אותו חוק בדיוק, והחוק הראשון הוא אותו חוק בדיוק, ולא יהיה שום דבר מעבר למה שאתם רואים כאן. זו בדיוק תהיה אותה קונפיגורציה.
עכשיו אני מסבך את העניין. אני חוזר לכיתה ואני לוקח את המערכת הזאת, ונותן למסה הזאת מהירות $v$ כלפי מטה, מהירות קצובה $v$ כלפי מטה, כך שהשנייה עולה במהירות $v$ כלפי מעלה, ומשאיר את זה ככה. מה יקרה?
במהירות קבועה. היות ושקול הכוחות שווה לאפס, והענקתי מהירות התחלתית קבועה, אז החוק הראשון מספר לנו שהגופים יתמידו במהירותם הקבועה כי אין כוחות חיצוניים שפועלים עליהם.
עכשיו את אותה מערכת בדיוק אני שם בחללית של 200,000 קילומטר לשנייה ביחס לכיתה הזאת. נותן מהירות התחלתית $v$ כלפי מטה, כך שהמסה האחת יורדת כלפי מטה במהירות $v$ והשנייה עולה כלפי מעלה במהירות $v$ בחללית שנעה במהירות של 200,000 קילומטר בשנייה ביחס לכיתה הזאת. מה יקרה למערכת?
אותו דבר בדיוק. כי ההבדל בין שתי מערכות ההתמד הוא מהירות קצובה. זה אומר שאין לי פה תאוצות, אין לי פה שום דבר, שלושת החוקים תקפים בדיוק באותו אופן.
אבל אם אני ארצה למדוד את המהירות של המסה שנמצאת בחללית ביחס לכיתה, אני אצטרך להוסיף לה את מהירות החללית, $u$, או להחסיר. העניין הוא שהתנועה היא במהירות קצובה שם וכאן. אין שום הבדל.
בשלב הבא אני ארצה לבחון את העניינים האלו יותר, ואני הולך לפתור את הבעיה כשהמסות הן שונות ושקול הכוחות שונה מ-0. ואחרי שאעשה את זה, אדבר על איך זה משתנה במערכות אחרות, אבל זה יהיה אחרי ההפסקה.
הערה על הדוגמה הקודמת
לפני שאני ממשיך, אציין תיקון לגבי הדוגמה בה דיברתי על הגלגלת שנמצאת בחללית הנעה במהירות של 200,000 קילומטר לשנייה. כוונתי הייתה שאמנם החללית נעה במהירות זו, אבל היא עדיין נמצאת בקרבת כדור הארץ כך שכוח המשיכה קיים גם בה. בלי כוח משיכה, הקונפיגורציה הייתה שונה. הנקודה החשובה היא שאותם כוחות פועלים הן במערכת הכיתה והן במערכת החללית, כי שתיהן מערכות התמד.
מערכות לא מאוזנות - מכונת אטווד
כעת נסתכל על מצב שבו המערכת לא מאוזנת. יש לנו את אותה גלגלת, אבל במקרה זה יש לנו מסה $M_1$ מצד אחד ומסה $M_2$ מצד שני. האינטואיציה מספרת לנו שהמערכת לא יכולה להיות מאוזנת.
אם נתבונן בכוחות, נראה שעל $M_2$ פועל כוח הכבידה $M_2g$ כלפי מטה, ועל $M_1$ פועל כוח הכבידה $M_1g$ כלפי מטה. המתיחות בחוט היא אותה מתיחות $T$ בכל הנקודות, היות וזה אותו חוט.
הדרך הנכונה לפתור את הבעיה היא להסתכל על כל מסה בנפרד ולבנות את החוק השני של ניוטון עבור כל מסה. נניח לרגע שהמערכת מואצת כלפי מטה, כלומר $M_2$ יורדת ו-$M_1$ עולה. זוהי הנחה שנצטרך לבדוק בהמשך.
עבור המסה $M_2$, החוק השני של ניוטון נותן:
\[M_2g - T = M_2a\]כלומר, שקול הכוחות שווה למסה כפול התאוצה. שימו לב שהכנסתי רק את $M_2$ באגף ימין, כי אני מסתכל על המערכת של $M_2$ בלבד.
המשוואה שרשמתי מכילה שני נעלמים: $T$ ו-$a$. אני יודע מהם $M_1$ ו-$M_2$ שהם פרמטרים נתונים בבעיה, וכן $g$ שהוא פרמטר אוניברסלי נתון. כדי לפתור משוואה עם שני נעלמים, אני צריך משוואה נוספת.
עבור המסה $M_1$, החוק השני של ניוטון נותן:
\[T - M_1g = M_1a\]אם $M_2$ יורדת, אז $M_1$ עולה, ולכן התאוצה של $M_1$ היא בכיוון מעלה. שקול הכוחות הוא $T - M_1g$ והוא שווה ל-$M_1a$.
כעת אם נחבר את שתי המשוואות:
\[M_2g - T + T - M_1g = M_2a + M_1a\]המתיחות $T$ מתבטלת ואנו מקבלים:
\[(M_2 - M_1)g = (M_2 + M_1)a\]מכאן נובע:
\[a = \frac{M_2 - M_1}{M_2 + M_1} \cdot g\]קיבלנו את $a$ במונחים של הפרמטרים בבעיה. נשים לב שאם $M_2 > M_1$, אז ההנחה הראשונית שלנו הייתה מוצדקת ו-$a$ יהיה חיובי (כלפי מטה). אם $M_2 = M_1$, מתקיים החוק הראשון של ניוטון ו-$a = 0$. ואם $M_2 < M_1$, אז $a < 0$, כלומר התאוצה בכיוון הפוך למה שהנחנו.
טרנספורמציית גליליי מבטיחה לנו שזו בדיוק תהיה התוצאה גם במערכת התמד הנעה במהירות של 200,000 קילומטר לשנייה ביחס לכיתה.
אפשר גם לפתור את הבעיה בדרך אחרת - להפעיל את החוק השני של ניוטון על כל המערכת כולה. שקול הכוחות הפועל על כל המערכת הוא $(M_2 - M_1)g$, וזה שווה למסה הכוללת $(M_1 + M_2)$ כפול התאוצה $a$. מכאן מתקבלת בדיוק אותה תוצאה:
\[a = \frac{M_2 - M_1}{M_2 + M_1} \cdot g\]תנועה במעלית וכוחות מדומים
נבחן כעת מה קורה לאדם במעלית. נניח שבמעלית עומד אדם. בשלב ראשון, המעלית עולה במהירות קצובה. מה אנחנו יכולים להגיד על האדם? שקול הכוחות הפועל עליו הוא אפס.
הכוחות הפועלים על האדם הם:
- כוח הכבידה $mg$ כלפי מטה
- כוח נורמלי $N$ מהרצפה כלפי מעלה
מהחוק הראשון של ניוטון (תנאי ההתמדה), מתקיים:
\[N = mg\]
נניח שמסת האדם היא 80 ק”ג. אז $N = 80 \text{ ק”ג} \cdot 10 \text{ מ’/שנייה}^2 = 800 \text{ ניוטון}$.
אבל מעלית לא תמיד נעה במהירות קצובה. בתחילת התנועה כלפי מעלה היא מואצת, ולפני שהיא מגיעה למעלה היא מואטת.
נניח שהמעלית מואצת כלפי מעלה בתאוצה $a$. אם המעלית מואצת כלפי מעלה, גם האדם שבתוכה מואץ באותה תאוצה. מהחוק השני של ניוטון:
\[N - mg = ma\]מכאן:
\[N = m(g + a)\]מעניין לציין שאם במעלית הייתה מונחת מאזני משקל, הן היו מודדות את הכוח הנורמלי $N$ שהאדם מפעיל על המאזניים. מהחוק השלישי של ניוטון, אם האדם מפעיל על המאזניים כוח כלפי מטה, המאזניים מפעילות עליו כוח זהה בגודלו וכלפי מעלה.
לכן, כאשר המעלית מואצת כלפי מעלה, המשקל הנמדד של האדם הוא:
\[\text{משקל נמדד} = m(g + a)\]למשל, אם המעלית מואצת כלפי מעלה בתאוצה של 2 מ’/שנייה², אז המשקל הנמדד יהיה:
\[\text{משקל נמדד} = 80 \text{ ק"ג} \cdot (10 + 2) \text{ מ'/שנייה}^2 = 960 \text{ ניוטון}\]כלומר, במעלית המואצת כלפי מעלה, האדם “שוקל” יותר. אם המעלית הייתה מואצת בתאוצה השווה ל-$g$, המשקל הנמדד היה כפול מהמשקל הרגיל.
במקרה ההפוך, כאשר המעלית מואצת כלפי מטה בתאוצה $a$, מתקיים:
\[mg - N = ma\]מכאן:
\[N = m(g - a)\]כלומר, במעלית המואצת כלפי מטה, האדם “שוקל” פחות. אם המעלית מואצת כלפי מטה בתאוצה השווה ל-$g$ (נפילה חופשית), אזי $N = 0$ והאדם מרחף - הוא חסר משקל.
כוחות מדומים במערכות מואצות
הדיון הקודם מעלה נקודה חשובה: פתרנו בעיה עבור מערכת מואצת (המעלית), למרות שלמדנו שחוקי ניוטון תקפים רק במערכות התמד. איך התגברנו על הבעיה?
למעשה, יצאנו מהמעלית ופתרנו את הבעיה ממערכת התמד חיצונית (הכיתה). אמרנו שהאדם מואץ, והחלנו עליו את החוק השני של ניוטון ממערכת התמד.
אבל מה אם נרצה לפתור את הבעיה מתוך המערכת המואצת עצמה (מתוך המעלית)? לשם כך עלינו להשתמש במושג של “כוחות מדומים” (fictitious forces).
כדי להמחיש זאת, נתבונן בדוגמה של אוטובוס:
נניח שיש לנו אוטובוס, ואנו אוטמים את חלונותיו לגמרי. נדאג שהרצפה תהיה משוחה בשמן כדי שתהיה חלקה לגמרי. אדם עומד באוטובוס, מנותק מהסביבה. פתאום, הנהג לוחץ על דוושת הדלק והאוטובוס מואץ קדימה.
מנקודת מבטו של האדם הנמצא בתוך האוטובוס, פתאום הוא מרגיש שהוא “נדחף” לעבר החלק האחורי של האוטובוס, למרות שאף אחד לא דחף אותו.
מנקודת מבט חיצונית, אנחנו יודעים מה קרה: האוטובוס האיץ קדימה, אבל האדם, בגלל התמדתו, נשאר במקומו. הרצפה החלקה גרמה לכך שהאוטובוס “ברח” מתחת לרגליו, והוא נשאר עומד במקום היחסי שלו ביחס למערכת החיצונית.
אבל מנקודת מבטו של האדם בתוך האוטובוס, פעל עליו כוח “מסתורי” שדחף אותו אחורה. לכוחות כאלה, שמקורם בעובדה שהצופה נמצא במערכת מואצת, קוראים “כוחות מדומים” (fictitious forces), כי הם אינם כוחות אמיתיים אלא תוצאה של התבוננות ממערכת לא-אינרציאלית.
גודלו של הכוח המדומה הוא:
\[F_{\text{מדומה}} = -ma\]כאשר $m$ היא מסת הגוף ו-$a$ היא תאוצת מערכת הייחוס. הסימן השלילי מציין שהכוח המדומה תמיד פועל בכיוון ההפוך לתאוצת המערכת.
אם נחזור למעלית, כאשר אנו נמצאים בתוכה ורוצים לפתור את הבעיה מתוך המעלית, נוסיף את הכוח המדומה למערכת הכוחות. אם המעלית מואצת כלפי מעלה בתאוצה $a$, הכוח המדומה הוא $-ma$ כלפי מטה, ואז מהחוק הראשון של ניוטון:
\[mg - N + ma = 0\]מכאן:
\[N = m(g + a)\]שזו אותה תוצאה שקיבלנו קודם, אבל הפעם פתרנו אותה מתוך המעלית, במערכת לא-אינרציאלית.
דוגמה: גוף על מישור משופע
בואו נסתכל על בעיה נוספת: גוף המונח על מישור משופע.
יש לנו רצפה אופקית ועליה טריז בזווית $\alpha$ ביחס לאופק. על הטריז מונחת מסה $m$ והיא מחליקה כלפי מטה. נניח שאין חיכוך.
הכוחות הפועלים על המסה הם:
- כוח הכבידה $mg$ כלפי מטה
- כוח נורמלי $N$ מהמישור, בכיוון ניצב למישור
נגדיר מערכת צירים כך ש-$x$ מקביל למישור (במורד) ו-$y$ ניצב למישור. עכשיו נפרק את וקטור הכבידה $mg$ לרכיביו במערכת צירים זו:
רכיב $x$: $mg \sin{\alpha}$ רכיב $y$: $mg \cos{\alpha}$
מהחוק השני של ניוטון בציר $x$:
\[mg \sin{\alpha} = ma\]מכאן:
\[a = g \sin{\alpha}\]מהחוק הראשון של ניוטון בציר $y$ (אין תנועה בכיוון זה):
\[N = mg \cos{\alpha}\]דוגמה מורכבת: טריז נייד
לבסוף, נבחן בעיה מורכבת יותר: טריז שמסתו $M$ נמצא על מישור חלק אופקי, כך שהטריז חופשי לנוע ימינה ושמאלה ללא חיכוך. על הטריז מונחת מסה קטנה $m$.
האינטואיציה מספרת לנו שכאשר נניח את המסה $m$ על הטריז, הטריז יידחף ימינה והמסה $m$ תחליק על פני הטריז.
כאשר הטריז נדחף ומואץ ימינה, המסה $m$ נמצאת במערכת מואצת. לכן, כדי לפתור את הבעיה מנקודת מבטה של המסה $m$, עלינו להתחשב בכוח המדומה.
הכוחות הפועלים על המסה $m$ הם:
- כוח הכבידה $mg$ כלפי מטה
- כוח נורמלי $N$ מהטריז, בכיוון ניצב למישור המשופע
- כוח מדומה $-ma_M$ בכיוון נגדי לתאוצת הטריז, כאשר $a_M$ היא תאוצת הטריז
נגדיר מערכת צירים כך ש-$x$ מקביל למישור המשופע (במורד) ו-$y$ ניצב למישור. כעת נפרק את הכוחות לרכיביהם במערכת צירים זו:
בציר $x$:
\[mg \sin{\alpha} + ma_M \cos{\alpha} = ma\]כאשר $a$ היא תאוצת המסה $m$ ביחס לטריז.
בציר $y$ (אין תנועה בכיוון זה):
\[N + ma_M \sin{\alpha} = mg \cos{\alpha}\]בנוסף, יש לנו משוואה לטריז עצמו. אם הטריז מואץ ימינה בתאוצה $a_M$, הכוח שגורם לכך הוא הרכיב האופקי של הכוח הנורמלי שהמסה $m$ מפעילה על הטריז:
\[N \sin{\alpha} = Ma_M\]עם שלוש המשוואות הללו ניתן למצוא את שלושת הנעלמים: $a$, $a_M$ ו-$N$.
סיכום
בשיעור זה למדנו כיצד לטפל במערכות שאינן מערכות התמד באמצעות שתי גישות:
- פתרון מחוץ למערכת המואצת, תוך שימוש בחוקי ניוטון ממערכת התמד
- פתרון מתוך המערכת המואצת, תוך הכנסת כוחות מדומים
בשיעור הבא נרחיב את הדיון לבעיות עם חיכוך, ונעבור לסיטואציות שבהן החוק השני של ניוטון מתרגם למשוואה דיפרנציאלית ולא למשוואה אלגברית.
דור פסקלחזור לשיעור 4
עבור לשיעור 6