פיזיקה לרפואנים - תרגול 7 - תנועה הרמונית ותנועה מעגלית

1. מבוא לתנועה הרמונית

תנועה הרמונית היא תנועה שחוזרת על עצמה - הגוף מבצע תנודה, חוזר לנקודת ההתחלה, ומבצע שוב את אותה תנודה וכן הלאה.

דוגמאות לתנועה הרמונית:

• מטוטלת שמבצעת תנודות
• קפיץ שמבצע תנודות

2. מושגי יסוד בתנועה הרמונית

נקודת שיווי משקל

בתנועה הרמונית, התנודות מתבצעות סביב נקודת שיווי משקל. נקודת שיווי משקל היא הנקודה היציבה - הנקודה שאם הגוף נמצא בה ואינו בתנועה, הוא יישאר במנוחה.

דוגמאות:

• במטוטלת: נקודת שיווי המשקל היא כאשר המטוטלת אנכית לחלוטין (הנקודה הנמוכה ביותר)
• בקפיץ: נקודת שיווי המשקל היא כאשר הקפיץ אינו מתוח ואינו מכווץ

כאשר מזיזים את הגוף מעט מנקודת שיווי המשקל, הוא “ירצה” לחזור לנקודה זו. אולם, בגלל האינרציה, הגוף יעבור את נקודת שיווי המשקל וימשיך לצד השני, ואז שוב ירצה לחזור לנקודת שיווי המשקל. כך נוצרות התנודות ההרמוניות.

מדדים לתנועה הרמונית

כאשר חוקרים תנועה הרמונית, ישנם מספר מדדים חשובים:

1. זמן מחזור $(T)$: הזמן שלוקח לגוף להשלים תנודה שלמה ולחזור לנקודת ההתחלה.

2. אמפליטודה $(A)$: המרחק המקסימלי שהגוף מתרחק מנקודת שיווי המשקל. האמפליטודה תלויה בתנאי ההתחלה (למשל, כמה מתחנו את הקפיץ או כמה הרמנו את המטוטלת).

3. תדירות $(f)$: מספר התנודות שהגוף מבצע בשנייה אחת. זהו הערך ההופכי של זמן המחזור:

3. תיאור מתמטי של תנועה הרמונית

גרף התנועה

התנועה ההרמונית מתוארת על-ידי פונקציות סינוס או קוסינוס. אם מציירים גרף של המיקום $(x)$ כפונקציה של הזמן $(t)$, נקבל עקומת סינוס או קוסינוס.

כוח מחזיר

בתנועה הרמונית פועל כוח מחזיר - כוח שמנסה להחזיר את הגוף לנקודת שיווי המשקל. כוח מחזיר זה פרופורציונלי למרחק מנקודת שיווי המשקל, אך פועל בכיוון הנגדי:

כאשר:

• $F$ הוא הכוח
• $k$ הוא קבוע הפרופורציונליות (קבוע הקפיץ במקרה של קפיץ)
• $x$ הוא המרחק מנקודת שיווי המשקל
• הסימן המינוס מציין שהכוח פועל בכיוון הנגדי למרחק

המשמעות של המינוס:

• אם $x$ חיובי (הגוף נמצא מימין לנקודת שיווי המשקל), הכוח יהיה שלילי (כלומר, כלפי שמאל)
• אם $x$ שלילי (הגוף נמצא משמאל לנקודת שיווי המשקל), הכוח יהיה חיובי (כלומר, כלפי ימין)

משוואת התנועה

לפי החוק השני של ניוטון:

כאשר $a$ היא התאוצה, שהיא הנגזרת השנייה של המיקום:

לכן:

ואם נשלב עם משוואת הכוח המחזיר:

ממנה נקבל:

זוהי משוואה דיפרנציאלית לינארית הומוגנית מסדר שני. אם נסמן $\omega^2 = \frac{k}{m}$, נקבל:

פתרון המשוואה הדיפרנציאלית

הפתרון של המשוואה הדיפרנציאלית הזו הוא:

או לחלופין:

כאשר:

• $A$ היא האמפליטודה (הערך המקסימלי של $x$)
• $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ הוא התדירות הזוויתית
• $\phi$ היא הפאזה ההתחלתית

משמעות הפאזה

הפאזה $\phi$ קובעת את נקודת ההתחלה של התנועה. כלומר, היא מגדירה באיזה מצב של התנודה הגוף נמצא בזמן $t=0$.

• אם $\phi = 0$, אז בזמן $t=0$ המיקום הוא $x = A\cos(0) = A$, כלומר הגוף נמצא באמפליטודה המקסימלית החיובית.
• אם $\phi = \pi$, אז בזמן $t=0$ המיקום הוא $x = A\cos(\pi) = -A$, כלומר הגוף נמצא באמפליטודה המקסימלית השלילית.
• אם $\phi = \frac{\pi}{2}$, אז בזמן $t=0$ המיקום הוא $x = A\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$, כלומר הגוף עובר דרך נקודת שיווי המשקל.

4. מקרים מיוחדים

לעתים המשוואה הדיפרנציאלית כוללת איבר נוסף:

$\frac{d^2x}{dt^2} = -\omega^2 x + C$

במקרה זה, הפתרון יהיה דומה אך יכלול מרכיב נוסף. זוהי עדיין תנועה הרמונית, אבל סביב נקודת שיווי משקל שונה מהמקור.

משמעות ותפקיד של $\omega$ (אומגה)

ה-$\omega$ (אומגה), שמופיעה במשוואה כ-$\omega^2$, היא התדירות הזוויתית של התנועה ההרמונית. יחידות המידה של $\omega$ הן: $[\omega] = \frac{1}{s} \text{ (פר שנייה)}$

כאשר $\omega$ גדולה, התנודות מהירות יותר. כאשר $\omega$ קטנה, התנודות איטיות יותר. התדירות הזוויתית $\omega$ קובעת את קצב התנודות.

הקשר בין $\omega$ וזמן המחזור $T$

מכיוון שפונקציית הסינוס והקוסינוס חוזרות על עצמן כל $2\pi$ רדיאנים, זמן המחזור $T$ של התנועה ההרמונית ניתן על ידי:

$\omega T = 2\pi$

ומכאן:

$T = \frac{2\pi}{\omega}$

כזכור, $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$, ולכן:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$

זמן המחזור תלוי במסה ובקבוע הקפיץ - ככל שהמסה גדולה יותר, זמן המחזור ארוך יותר (תנודות איטיות יותר), וככל שקבוע הקפיץ גדול יותר, זמן המחזור קצר יותר (תנודות מהירות יותר).

מציאת קבועי האינטגרציה $A$ ו-$B$

הקבועים $A$ ו-$B$ במשוואה $x(t) = A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t)$ נקבעים על-ידי תנאי ההתחלה של המערכת.

• אם בזמן $t=0$ הגוף נמצא בנקודת המוצא ($x=0$) ואין לו מהירות התחלתית, אז $A=0$ ו-$B=0$ (אין תנועה).
• אם בזמן $t=0$ הגוף נמצא במרחק מקסימלי מנקודת שיווי המשקל ($x=A$) ואין לו מהירות התחלתית, אז $A$ יהיה האמפליטודה ו-$B=0$ (הפתרון יהיה רק קוסינוס).
• אם בזמן $t=0$ הגוף נמצא בנקודת שיווי המשקל ($x=0$) ויש לו מהירות התחלתית, אז $A=0$ והפתרון יכלול רק סינוס.
• במקרים אחרים, כאשר בזמן $t=0$ הגוף נמצא במיקום כלשהו ויש לו מהירות כלשהי, הפתרון יכלול גם קוסינוס וגם סינוס.

5. דוגמה: מערכת של שתי מסות וקפיץ

נתונה מערכת שבה מסה $M_2$ קשורה למסה $M_1$ באמצעות חוט דק. המסה $M_1$ קשורה לקפיץ אנכי שקבוע הקפיץ שלו הוא $K$. המערכת נמצאת במנוחה.

אם חותכים את החוט, המסה $M_1$ תתחיל לבצע תנודות הרמוניות. נתח את המצב:

המצב היציב לפני חיתוך החוט

נרשום את הכוחות הפועלים על כל מסה:

על המסה $M_1$:

• כוח הכבידה כלפי מטה: $M_1g$
• כוח הקפיץ כלפי מעלה: $Ky$
• מתיחות החוט כלפי מטה: $T$

על המסה $M_2$:

• כוח הכבידה כלפי מטה: $M_2g$
• מתיחות החוט כלפי מעלה: $T$

כאשר המערכת נמצאת בשיווי משקל, סכום הכוחות על כל מסה הוא אפס:

עבור $M_1$: $Ky - M_1g - T = 0$ עבור $M_2$: $T - M_2g = 0$

מהמשוואה השנייה אנו מקבלים: $T = M_2g$

ומהמשוואה הראשונה: $Ky = M_1g + M_2g = (M_1 + M_2)g$

כלומר, התארכות הקפיץ במצב שיווי המשקל היא: $y = \frac{(M_1 + M_2)g}{K}$

6. קשר לתנועה מעגלית

התנועה ההרמונית קשורה באופן הדוק לתנועה מעגלית. למעשה, אפשר לראות תנועה הרמונית כהטלה של תנועה מעגלית על ציר אחד.

אם גוף נע במעגל במהירות זוויתית קבועה $\omega$, אז ההטלה של תנועתו על הציר האופקי או האנכי תהיה תנועה הרמונית פשוטה.

ניתוח מערכת עם שתי מסות וקפיץ

נתונה מערכת שבה מסה $M_2$ קשורה למסה $M_1$ באמצעות חוט דק. המסה $M_1$ קשורה לקפיץ אנכי שקבוע הקפיץ שלו הוא $K$. המערכת נמצאת במנוחה.

שלב 1: המצב היציב לפני חיתוך החוט

הגדרת מערכת הצירים

ראשית בחרנו את מערכת הצירים כך ש:

• ראשית הצירים היא בנקודה שבה הקפיץ רפוי (אורכו הטבעי)
• הכיוון החיובי של ציר ה-$y$ מוגדר כלפי מטה
• המשתנה $y$ מציין את המרחק של המסה $M_1$ מראשית הצירים

ניתוח הכוחות

נרשום את הכוחות הפועלים על כל מסה:

על המסה $M_1$:

• כוח הכבידה כלפי מטה: $M_1g$ (חיובי)
• כוח הקפיץ כלפי מעלה: $-Ky$ (שלילי)
• מתיחות החוט כלפי מטה: $T$ (חיובי)

על המסה $M_2$:

• כוח הכבידה כלפי מטה: $M_2g$ (חיובי)
• מתיחות החוט כלפי מעלה: $-T$ (שלילי)

משוואות שיווי המשקל

כאשר המערכת נמצאת בשיווי משקל, סכום הכוחות על כל מסה הוא אפס:

עבור $M_1$: $M_1g - Ky + T = 0$ עבור $M_2$: $M_2g - T = 0$

מהמשוואה השנייה אנו מקבלים: $T = M_2g$

ומהמשוואה הראשונה נקבל את ערך $y$: $M_1g - Ky + M_2g = 0$ $Ky = M_1g + M_2g = (M_1 + M_2)g$ $y = \frac{(M_1 + M_2)g}{K}$

כלומר, התארכות הקפיץ במצב שיווי המשקל היא: $y = \frac{(M_1 + M_2)g}{K}$

שלב 2: מה קורה אחרי חיתוך החוט

אחרי שהחוט נקרע:

• המסה $M_2$ נופלת ויוצאת מהמערכת
• מתיחות החוט $T$ לא פועלת יותר על $M_1$
• נקודת שיווי המשקל של המערכת משתנה

הכוחות החדשים על $M_1$

• כוח הכבידה כלפי מטה: $M_1g$ (חיובי)
• כוח הקפיץ כלפי מעלה: $-Ky$ (שלילי)

נקודת שיווי המשקל החדשה

במצב שיווי משקל חדש, סכום הכוחות יהיה אפס: $M_1g - Ky = 0$ $Ky = M_1g$ $y_{new} = \frac{M_1g}{K}$

המעבר בין שתי נקודות שיווי המשקל

המעבר בין שתי נקודות שיווי המשקל גורם לתנועה הרמונית של המסה $M_1$.

לפני חיתוך החוט, המסה נמצאת במיקום $y_{old} = \frac{(M_1 + M_2)g}{K}$. אחרי חיתוך החוט, נקודת שיווי המשקל החדשה היא $y_{new} = \frac{M_1g}{K}$.

ההפרש בין שתי נקודות שיווי המשקל:

$\Delta y = y_{old} - y_{new} = \frac{(M_1 + M_2)g}{K} - \frac{M_1g}{K} = \frac{M_2g}{K}$

זהו ה”צעד” הראשוני שיגרום לתנועה ההרמונית, כאשר המסה $M_1$ תתחיל לנוע מעלה לכיוון נקודת שיווי המשקל החדשה.

המשוואה הדיפרנציאלית של התנועה

נסמן ב-$\eta$ את הסטייה של המסה $M_1$ מנקודת שיווי המשקל החדשה:

$\eta = y - y_{new}$

החוק השני של ניוטון נותן:

$M_1 \frac{d^2\eta}{dt^2} = M_1g - K(y_{new} + \eta)$

כאשר $Ky_{new} = M_1g$ (תנאי שיווי המשקל החדש), נקבל:

$M_1 \frac{d^2\eta}{dt^2} = -K\eta$

ומכאן:

$\frac{d^2\eta}{dt^2} = -\frac{K}{M_1}\eta = -\omega^2\eta$

כאשר $\omega^2 = \frac{K}{M_1}$

הפתרון של התנועה ההרמונית

הפתרון של המשוואה הדיפרנציאלית הזו הוא:

$\eta(t) = A\cos(\omega t + \phi)$

כאשר:

• $A$ היא האמפליטודה, שבמקרה זה $A = \frac{M_2g}{K}$ (הסטייה ההתחלתית)
• $\omega = \sqrt{\frac{K}{M_1}}$ היא התדירות הזוויתית
• $\phi$ היא הפאזה ההתחלתית (במקרה זה $\phi = \pi$ כי התנועה מתחילה מהסטייה המקסימלית בכיוון השלילי)

המיקום המלא של המסה $M_1$ כפונקציה של הזמן יהיה:

$y(t) = y_{new} + \eta(t) = \frac{M_1g}{K} + \frac{M_2g}{K}\cos(\omega t + \pi)$

או בפשטות:

$y(t) = \frac{M_1g}{K} - \frac{M_2g}{K}\cos(\omega t)$

זמן המחזור של התנודות יהיה:

$T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{M_1}{K}}$

הניתוח המתמטי אחרי חיתוך החוט

כאשר החוט נחתך, המערכת עוברת לנקודת שיווי משקל חדשה. בשלב זה, הכוחות על המסה $M_1$ הם:

• כוח הכבידה כלפי מטה: $M_1g$ (חיובי)
• כוח הקפיץ כלפי מעלה: $-Ky$ (שלילי)

המשוואה הדיפרנציאלית המתארת את התנועה:

זוהי משוואה דיפרנציאלית מהצורה:

כאשר $\omega^2 = \frac{K}{M_1}$ וכאשר יש פה מינוס נוסף (כי הגדרנו את הכיוון החיובי כלפי מטה).

הפתרון של משוואה כזו הוא תנועה הרמונית סביב נקודת שיווי משקל חדשה. האומגה ($\omega$) קובעת את קצב התנודות:

אומגה זו קובעת כמה מהר התנודות מתרחשות. ככל שאומגה גדולה יותר, התנודות מהירות יותר, וככל שהיא קטנה יותר, התנודות איטיות יותר.

מערכת בתוך מעלית

השפעת מעלית מואצת על המערכת

כעת נבחן מה קורה כאשר כל המערכת נמצאת בתוך מעלית המאיצה כלפי מעלה בתאוצה $a$.

יש שתי דרכים להסתכל על הבעיה:

1. מנקודת מבט חיצונית

אם מסתכלים מבחוץ, התאוצה של המסה $M_1$ מורכבת משני חלקים:

• התאוצה של התנודות $\frac{d^2y}{dt^2}$
• התאוצה של המעלית $a$

2. מנקודת מבט בתוך המעלית

אם נמצאים בתוך המעלית ולא יודעים שהיא מאיצה, נרגיש “כוח מדומה” הפועל בכיוון ההפוך לתאוצת המעלית. הכוח המדומה שווה ל-$-M_1a$ (כלפי מטה).

המשוואה הדיפרנציאלית תהיה:

שאפשר לכתוב כ:

או:

כאשר משווים למשוואה הסטנדרטית, מקבלים:

• $\omega^2 = \frac{K}{M_1}$ (זהה למקרה ללא מעלית)
• $C = g-a$ (שונה מהמקרה ללא מעלית, שבו $C = g$)

מה משתנה במעלית מואצת?

1. התדירות: לא משתנה! האומגה נשארת זהה: $\omega = \sqrt{\frac{K}{M_1}}$

2. נקודת שיווי המשקל: משתנה. במעלית מואצת, נקודת שיווי המשקל החדשה תהיה במיקום שבו:

   \[Ky = M_1(g-a)\] \[y = \frac{M_1(g-a)}{K}\]

3. האמפליטודה: תלויה בתנאי ההתחלה ובהפרש בין נקודות שיווי המשקל הישנה והחדשה.

החשוב לזכור הוא שתדירות התנודות לא משתנה כאשר המערכת נמצאת במעלית מואצת. זוהי תכונה חשובה של תנועה הרמונית - התדירות תלויה רק בקבוע הקפיץ ובמסה, ולא בתנאי הסביבה כמו תאוצת המעלית.

דוגמה נוספת: גוף על מישור משופע עם קפיץ

ניתן לנתח גם מערכת שבה גוף בעל מסה $M$ מחובר לקפיץ ונמצא על מישור משופע בזווית $\alpha$, כאשר:

• אין חיכוך בין הגוף למישור
• קבוע הקפיץ הוא $K$
• האורך הרפוי של הקפיץ הוא $L$

כאשר מניחים את המערכת על המישור המשופע, הרכיב של כוח הכבידה לאורך המישור ימתח את הקפיץ מעבר לאורכו הרפוי, עד שתגיע לנקודת שיווי משקל. הזזה מנקודה זו תגרום לגוף לבצע תנועה הרמונית.

גם במקרה זה, אפשר לנתח את התנועה על ידי כתיבת המשוואה הדיפרנציאלית המתאימה ומציאת התדירות ונקודת שיווי המשקל.