חזרה על מושגי יסוד
שדה חשמלי ממטען נקודתי
\[\vec{E} = \frac{kQ}{r^2}\hat{r}\]- השדה דועך כמו $\frac{1}{r^2}$
- מטען חיובי ← שדה יוצא החוצה
- מטען שלילי ← שדה נכנס פנימה
פוטנציאל חשמלי - הגדרה
פוטנציאל חשמלי הוא אנרגיה פוטנציאלית ליחידת מטען:
\[V = \frac{U}{q}\]יחידות:
\[[V] = \frac{\text{J}}{\text{C}} = \text{Volt}\]- 1 ג’אול לקולון = 1 וולט
- מתח = הפרש פוטנציאלים (למשל 220V בחשמל ביתי)
הקשר בין שדה לפוטנציאל
הכוח הוא מינוס הגרדיאנט של האנרגיה הפוטנציאלית:
\[\vec{F} = -\nabla U\]בחילוק ב-$q$:
\[\vec{E} = -\nabla V\]חישוב הפרש פוטנציאלים
\[\Delta V = V_B - V_A = -\int_A^B \vec{E} \cdot d\vec{l}\]הערה: הפוטנציאל הוא גודל סקלרי, למרות שהאינטגרל כולל וקטורים.
פוטנציאל ממטען נקודתי
\[V = \frac{kQ}{r}\]- הפוטנציאל דועך כמו $\frac{1}{r}$ (לא $\frac{1}{r^2}$ כמו השדה!)
- נקודת הייחוס: $V(\infty) = 0$
תכונות של מוליכים
שדה בתוך מוליך
בתוך מוליך, השדה החשמלי שווה לאפס:
\[\vec{E}_{\text{inside}} = 0\]
הסיבה הפיזיקלית:
- שדה מפעיל כוח על מטענים
- במוליך, המטענים יכולים לזוז בחופשיות
- המטענים זזים עד שסכום הכוחות עליהם שווה לאפס
- מגיעים לשיווי משקל אלקטרוסטטי
פוטנציאל בתוך מוליך
אם $\vec{E} = 0$ בתוך המוליך, אז:
\[\vec{E} = -\nabla V = 0 \quad \Rightarrow \quad V = \text{const}\]הפוטנציאל בתוך מוליך קבוע (אך לא בהכרח אפס!)
הארקה (Grounding)
מהי הארקה?
הארקה = חיבור פיזי לכדור הארץ.
כאשר מוליך מוארק:
- הפוטנציאל שלו שווה לפוטנציאל כדור הארץ
- כדור הארץ נחשב כמאגר אינסופי עם $V = 0$
- לכן: פוטנציאל על מוליך מוארק = 0
הסבר פיזי
כדור הארץ הוא כדור מוליך ענק. אם יש הפרש פוטנציאלים בין המוליך המוארק לכדור הארץ:
- מטענים יזרמו עד שהפוטנציאלים ישתוו
- בגלל שכדור הארץ ענק, הפוטנציאל שלו נשאר כמעט קבוע (אפס)
חשיבות בטיחותית
בבית, יש שלושה חורים בשקע:
- שניים לפאזה ולאפס (220V)
- השלישי מחובר להארקה
למה זה חשוב?
- אם חוט חשמל נוגע במסגרת מתכתית של מכשיר
- בלי הארקה: הזרם עובר דרך האדם לכדור הארץ
- עם הארקה: הזרם הולך ישר לכדור הארץ דרך חוט ההארקה
תרגיל 1: כדור מוליך טעון
נתון כדור מוליך ברדיוס $R$ טעון במטען $Q$.
מהו הפוטנציאל החשמלי בכל המרחב?
פתרון
אזור 1: בתוך הכדור ($r < R$)
השדה בתוך מוליך הוא אפס:
\[E(r < R) = 0\]לכן הפוטנציאל קבוע:
\[V(r < R) = \text{const}\]אזור 2: מחוץ לכדור ($r > R$)
מחוץ לכדור, הוא נראה כמו מטען נקודתי:
\[E(r > R) = \frac{kQ}{r^2}\]הפוטנציאל:
\[V(r > R) = \frac{kQ}{r}\]מציאת הקבוע בתוך הכדור
הפוטנציאל רציף, לכן:
\[V(r < R) = V(R) = \frac{kQ}{R}\]סיכום
\[V(r) = \begin{cases} \frac{kQ}{R} & r \leq R \\ \frac{kQ}{r} & r > R \end{cases}\]גרף איכותי
V
│
│████████████ ← קבוע בתוך הכדור
│ ╲
│ ╲
│ ╲ ← דועך כמו 1/r
│ ╲
│ ╲___
└─────────────────────── r
R
הערה: יש קפיצה בנגזרת (בשדה) על פני המעטפת, אבל הפוטנציאל עצמו רציף.
תרגיל 2: גליל מוליך עם מעטפת מוארקת
- גליל מוליך ארוך מאוד ברדיוס $a$, טעון בצפיפות מטען אורכית $\lambda$
- סביב הגליל מעטפת גלילית דקה ברדיוס $b > a$
- המעטפת מוארקת (פוטנציאל אפס)
- הצירים מתלכדים
מהו הפוטנציאל החשמלי בכל המרחב?
פתרון בעזרת חוק גאוס ואינטגרציה
שלב 1: מציאת השדה בין הגלילים ($a < r < b$)
משתמשים בחוק גאוס עם מעטפת גלילית ברדיוס $r$ ואורך $L$:
\[\oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{Q_{\text{enc}}}{\epsilon_0}\] \[E \cdot 2\pi r L = \frac{\lambda L}{\epsilon_0}\] \[E(a < r < b) = \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 r}\]שלב 2: מציאת הפוטנציאל
הפוטנציאל על המעטפת המוארקת:
\[V(b) = 0\]הפוטנציאל בנקודה $r$ (בין $a$ ל-$b$):
\[V(r) - V(b) = -\int_b^r E \, dr'\] \[V(r) = -\int_b^r \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 r'} dr'\] \[V(r) = -\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0} \ln\left(\frac{r}{b}\right)\] \[\boxed{V(a < r < b) = \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0} \ln\left(\frac{b}{r}\right)}\]שלב 3: פוטנציאל בתוך הגליל הפנימי ($r < a$)
השדה בתוך מוליך הוא אפס, לכן הפוטנציאל קבוע:
\[V(r < a) = V(a) = \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0} \ln\left(\frac{b}{a}\right)\]שלב 4: פוטנציאל מחוץ למעטפת ($r > b$)
המעטפת מוארקת ולכן $V(b) = 0$.
מחוץ למעטפת, צריך לחשב את השדה ולבצע אינטגרציה.
תרגיל 3: כדור מוליך עם קליפה כדורית
- כדור מוליך ברדיוס $R$ טעון במטען $+Q$
- מקיפים את הכדור בקליפה מוליכה כדורית דקה ברדיוס $2R$
- הקליפה טעונה במטען $-2Q$
- מרכז משותף
מהו הפוטנציאל החשמלי בכל המרחב?
פתרון - שיטת סופרפוזיציה
נפתור בנפרד עבור כל גוף ואז נסכום.
תרומת הכדור הפנימי (ירוק) - מטען $+Q$
בתוך הכדור ($r < R$):
\[V_{\text{green}}(r < R) = \frac{kQ}{R} \quad \text{(const)}\]מחוץ לכדור ($r > R$):
\[V_{\text{green}}(r > R) = \frac{kQ}{r}\]תרומת הקליפה החיצונית (אדום) - מטען $-2Q$
בתוך הקליפה ($r < 2R$):
\[V_{\text{red}}(r < 2R) = \frac{k(-2Q)}{2R} = -\frac{kQ}{R} \quad \text{(const)}\]מחוץ לקליפה ($r > 2R$):
\[V_{\text{red}}(r > 2R) = \frac{k(-2Q)}{r} = -\frac{2kQ}{r}\]סופרפוזיציה - סיכום כל האזורים
אזור 1: $r < R$ (בתוך הכדור הפנימי)
\[V = V_{\text{green}} + V_{\text{red}} = \frac{kQ}{R} + \left(-\frac{kQ}{R}\right) = 0\]אזור 2: $R < r < 2R$ (בין הכדור לקליפה)
\[V = \frac{kQ}{r} + \left(-\frac{kQ}{R}\right) = \frac{kQ}{r} - \frac{kQ}{R}\] \[\boxed{V(R < r < 2R) = kQ\left(\frac{1}{r} - \frac{1}{R}\right)}\]אזור 3: $r > 2R$ (מחוץ לקליפה)
\[V = \frac{kQ}{r} + \left(-\frac{2kQ}{r}\right) = -\frac{kQ}{r}\] \[\boxed{V(r > 2R) = -\frac{kQ}{r}}\]הסבר שיטת הסופרפוזיציה
- מחשבים את הפוטנציאל מכל גוף בנפרד
- מתייחסים לכל גוף כאילו האחר לא קיים
- סוכמים את התרומות (חיבור או חיסור לפי הסימן)
יתרון: מפשט בעיות עם מספר גופים טעונים
סיכום - נקודות חשובות
פוטנציאל vs שדה
| תכונה | שדה $\vec{E}$ | פוטנציאל $V$ |
|---|---|---|
| סוג | וקטור | סקלר |
| דעיכה ממטען נקודתי | $\frac{1}{r^2}$ | $\frac{1}{r}$ |
| בתוך מוליך | אפס | קבוע |
| קשר | $\vec{E} = -\nabla V$ | $V = -\int \vec{E} \cdot d\vec{l}$ |
מוליכים
- שדה בתוך מוליך = 0
- פוטנציאל בתוך מוליך = קבוע
- מטענים מתפלגים על פני השטח
הארקה
- מוליך מוארק: $V = 0$
- מטענים יכולים לזרום מ/אל כדור הארץ
סופרפוזיציה
- פוטנציאל כולל = סכום הפוטנציאלים מכל מטען
- עובד כי פוטנציאל הוא גודל סקלרי (פשוט לסכום!)
טיפים לפתרון
- זהה את האזורים - בתוך מוליך, בין מוליכים, מחוץ
- מצא את השדה בכל אזור (חוק גאוס)
- בצע אינטגרציה למציאת הפוטנציאל
- השתמש בתנאי שפה (הארקה, רציפות)
- בדוק סופרפוזיציה כשיש מספר גופים