מבוא: מחוקי ניוטון לכלים אלגנטיים יותר

עד כה התמקדנו בשלושת חוקי ניוטון כבסיס להבנת הדינמיקה של מערכות פיזיקליות. למרות העוצמה הרבה של חוקים אלה, קיימים כלים נוספים ואלגנטיים יותר לטיפול בבעיות מכניות. אחד הכלים החשובים ביותר הוא מושג האנרגיה, אותו נפתח בהדרגה.

כהכנה למושג האנרגיה, נעמיק תחילה בשני מושגים יסודיים: התנע (momentum) והמתקף (impulse). מושגים אלה, יחד עם מושג האנרגיה, יספקו לנו ארגז כלים מלא להתמודדות עם בעיות מכניות מורכבות.

התנע ושימורו

הגדרת התנע

התנע של גוף בודד מוגדר כמכפלת המסה במהירות:

\[\vec{p} = m\vec{v}\]

זהו גודל וקטורי המבטא את “כמות התנועה” של הגוף. התנע משלב שני מרכיבים:

  • המסה - המבטאת את תכונת ההתמדה (אינרציה) של הגוף
  • המהירות - המבטאת את מצב התנועה הרגעי

דוגמה: זבוב מול נוסעת מטוסים

נשווה בין זבוב במסה של 1 גרם לנוסעת מטוסים במסה של 500,000 טון, כאשר שניהם נעים במהירות של 1 מ’/שנייה:

  • זבוב:

    \[p = 10^{-3} \mathrm{kg} \times 1 \mathrm{ m/s} = 10^{-3} \mathrm{ kg⋅m/s}\]

  • נוסעת מטוסים:

    \[p = 5 \times 10^8 \mathrm{ kg} \times 1 \mathrm{ m/s} = 5 \times 10^8 \mathrm{ kg⋅m/s}\]

התנע של נוסעת המטוסים גדול פי $10^{11}$ מזה של הזבוב! זה ממחיש כיצד התנע מבטא את התנועתיות האמיתית, הכוללת גם את האינרציה של הגוף.

תנע של מערכת גופים

עבור מערכת של $n$ גופים, התנע הכולל הוא סכום וקטורי של תנעי הגופים:

\[\vec{p}_{total} = \sum_{i=1}^{n} \vec{p}_i = \sum_{i=1}^{n} m_i\vec{v}_i\]

חוק שימור התנע

מהחוק השני של ניוטון נובע שכאשר שקול הכוחות החיצוניים על מערכת הוא אפס, התנע הכולל נשמר:

\[\sum \vec{F}_{ext} = \frac{d\vec{p}_{total}}{dt} = 0 \Rightarrow \vec{p}_{total} = \text{const}\]

הערות חשובות:

  1. כוחות פנימיים בין גופי המערכת אינם משפיעים על התנע הכולל
  2. שימור תנע יכול להתקיים ברכיב אחד בלבד אם רק בכיוון זה אין כוחות חיצוניים

דוגמה: התנגשות על שולחן ביליארד

על שולחן ביליארד חלק (ללא חיכוך), כדורים מבצעים התנגשויות. למרות שהכדורים מפעילים כוחות זה על זה, התנע הכולל של כל הכדורים נשמר כי אין כוחות חיצוניים בכיוון התנועה (כוח הכבידה פועל בניצב למישור השולחן).

דוגמה: התנגשות חד-ממדית

שני גופים במסות $M_1$ ו-$M_2$ נעים על ציר ישר במהירויות $V_1$ ו-$V_2$ ומתנגשים. מחוק שימור התנע:

\[M_1V_1 + M_2V_2 = M_1V_1' + M_2V_2'\]

כאשר $V_1’$ ו-$V_2’$ הן המהירויות לאחר ההתנגשות.

המתקף

הגדרת המתקף

המתקף מוגדר כאינטגרל הכוח על פני זמן:

\[\vec{J} = \int_{t_1}^{t_2} \vec{F}(t) dt\]

המתקף מבטא את ההצטברות של פעולת הכוח לאורך זמן.

משפט מתקף-תנע

באמצעות החוק השני של ניוטון נוכל להראות:

\[\vec{J} = \int_{t_1}^{t_2} \vec{F} dt = \int_{t_1}^{t_2} \frac{d\vec{p}}{dt} dt = \vec{p}(t_2) - \vec{p}(t_1) = \Delta\vec{p}\]

משפט מתקף-תנע: המתקף הפועל על גוף שווה לשינוי בתנע הגוף.

דוגמה דרמטית: נפילה ממגדל

נניח שאדם נופל ממגדל גבוה ופוגע בקרקע. המתקף שהקרקע מפעילה עליו הוא:

\[\vec{J} = \vec{p}_{final} - \vec{p}_{initial} = 0 - m\vec{v}_{impact}\]

מכיוון שזמן האינטראקציה עם הקרקע קצר מאוד ($\Delta t$ קטן), והמתקף $J$ נתון, הכוח הממוצע חייב להיות גדול מאוד:

\[F_{avg} \approx \frac{J}{\Delta t}\]

הפתרון: מזרן עבה מאריך את זמן האינטראקציה. אם $\Delta t$ גדל פי 100 (מ-0.01 שנייה לשנייה אחת), הכוח הממוצע קטן פי 100, מה שעשוי להציל חיים.

המתקף והחוק השלישי

מהחוק השלישי של ניוטון נובע שכאשר שני גופים מפעילים כוחות זה על זה:

\[\vec{J}_{1 \rightarrow 2} = -\vec{J}_{2 \rightarrow 1}\]

המתקפים שווים בגודלם והפוכים בכיוונם.

העבודה

הגדרת העבודה

אלמנט אינפיניטסימלי של עבודה מוגדר כמכפלה סקלרית של הכוח באלמנט ההעתק:

\[dW = \vec{F} \cdot d\vec{r} = |\vec{F}|\vert d\vec{r}\vert \cos(\theta) d\vec{r}\]

כאשר $\theta$ היא הזווית בין הכוח לכיוון התנועה.

העבודה הכוללת לאורך מסלול מ- $\vec{r}{\text{initial}}$ ל- $\vec{r}{\text{final}}$ היא:

\[W = \int_{\vec{r}_{initial}}^{\vec{r}_{final}} \vec{F} \cdot d\vec{r}\]

משמעות פיזיקלית

העבודה מבטאת את הצטברות פעולת הכוח בכיוון התנועה לאורך המסלול. רק הרכיב של הכוח בכיוון התנועה תורם לעבודה.

משפט העבודה-אנרגיה קינטית

נוכל להראות שהעבודה שמבצע כוח על גוף שווה לשינוי באנרגיה הקינטית שלו:

\[W = \int_{\vec{r}_i}^{\vec{r}_f} \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int_{t_i}^{t_f} \frac{d\vec{p}}{dt} \cdot \vec{v} dt = \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2 = \Delta E_k\]

כאשר האנרגיה הקינטית מוגדרת:

\[E_k = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{|\vec{p}|^2}{2m}\]

יחידות

  • תנע: kg⋅m/s (אין יחידה מיוחדת)
  • עבודה ואנרגיה: ג’אול (Joule) = N⋅m = kg⋅m²/s²

תלות במערכת ייחוס

נקודה קריטית: התנע והאנרגיה הקינטית תלויים במערכת הייחוס. הם אינם גדלים אבסולוטיים.

דוגמה: מטאוריט בחלל

מטאוריט במסה של קילומטר מעוקב של קרח ($10^{12}$ ק”ג) נע במהירות 60 קמ”ש ביחס לכדור הארץ:

  • במערכת המנוחה של המטאוריט: $E_k = 0$
  • במערכת הייחוס של כדור הארץ:
\[E_k = \frac{1}{2} \times 10^{12} \times (6 \times 10^4)^2 \approx 2 \times 10^{21} \text{ J}\]

זוהי אנרגיה השקולה לכ-100,000 פצצות מימן! אך אנרגיה זו קיימת רק במערכת הייחוס של כדור הארץ.

חישובים מעשיים

חישוב מתקף וקטורי

נתון כוח המשתנה בזמן:

\[\vec{F}(t) = 4\hat{x} + t\hat{y} - \frac{1}{2}gt^2\hat{z}\]

המתקף במשך 4 שניות:

\[\vec{J} = \int_0^4 \vec{F}(t) dt = 16\hat{x} + 8\hat{y} - 107\hat{z} \text{ N⋅s}\]

חישוב עבודה

עבור כוח קבוע $\vec{F} = 2\hat{x}$ לאורך מסלול מ-(0,0) ל-(1,1) דרך (1,0):

  • קטע ראשון (0,0)→(1,0): $W_1 = \int_0^1 2dx = 2$ J
  • קטע שני (1,0)→(1,1): $W_2 = 0$ (כי $dx=0$)
  • עבודה כוללת: $W = 2$ J

סיכום

בשיעור זה הכרנו שלושה מושגים יסודיים:

  1. התנע - מדד וקטורי לתנועתיות, הנשמר במערכות מבודדות
  2. המתקף - הצטברות פעולת הכוח בזמן, השווה לשינוי בתנע
  3. העבודה - הצטברות פעולת הכוח לאורך מסלול, השווה לשינוי באנרגיה קינטית

מושגים אלה מהווים בסיס להבנת האנרגיה ושימורה, נושא שנעמיק בו בשיעורים הבאים.

דור פסקל
עבור לשיעור 9
עבור לתרגול הבא