הקדמה
שני מושגים חשובים שבמקור היינו צריכים לכסות בקורס הראשון, אך מסיבות פדגוגיות נדחו לכאן:
- מכפלות וקטוריות
- מושג הסקלאר
מדובר במושגים חשובים שנעשה בהם שימוש רב באלקטרומגנטיקה, והם חלק מהשפה המתמטית היומיומית בקורס.
סקירת וקטורים
הצגה קרטזית
בקורס הקודם הוצג מושג הוקטור. וקטור כללי ניתן לרישום באופן כרטזי:
-
כשלשה:
\[\vec{a}=(a_x, a_y, a_z)\] -
או באמצעות פריסה במרחב הכרטזי:
\[\vec{a} = a_x \hat{x} + a_y \hat{y} + a_z \hat{z}\]
משמעות הפריסה במרחב הכרטזי היא שכדי להגיע לווקטור $\vec{a}$, עלינו ללכת $a_x$ צעדים לאורך ציר $x$, ואז $a_y$ צעדים לאורך ציר $y$, ואז $a_z$ צעדים לאורך ציר $z$.
הצגות אלטרנטיביות
יש דרכים נוספות להציג וקטורים:
קואורדינטות פולריות (דו-ממד)
\[\vec{a} = a_r \hat{r} + a_\theta \hat{\theta}\]קואורדינטות כדוריות (תלת-ממד)
\[\vec{a} = a_r \hat{r} + a_\theta \hat{\theta} + a_\phi \hat{\phi}\]בתלת-ממד יש שלוש קואורדינטות כדוריות:
- קואורדינטה רדיאלית ($r$)
- זווית $\theta$ (זווית פולרית)
- זווית $\phi$ (זווית אזימוטלית)
קואורדינטות צילינדריות
בקורס זה נעשה שימוש אינטנסיבי (לפי המרצה) בקואורדינטות צילינדריות:
\[\vec{a} = a_r \hat{r} + a_\theta \hat{\theta} + \textcolor{red}{a_z \hat{z}}\]קואורדינטות צילינדריות משלבות קואורדינטות פולריות במישור ($r$ ו-$\theta$) עם קואורדינטה קרטזית בציר $z$. אלו קואורדינטות המתאימות לסימטריה של גליל (צילינדר).
מכפלה סקלרית (סקירה)
המכפלה הסקלרית של שני וקטורים $\vec{a}$ ו-$\vec{b}$ מוגדרת כ:
\[\boxed{\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta}\]כאשר $\theta$ היא הזווית בין הוקטורים.
זה שקול לסכום מכפלות המרכיבים:
\[\boxed{\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z}\]מספר תכונות חשובות:
- הגודל של וקטור: $|\vec{a}| = \sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}}$
- וקטור יחידה: $\hat{a} = \frac{\vec{a}}{ | \vec{a} | }$
- האורך של וקטור יחידה: $\hat{a} \cdot \hat{a} = 1$
- ההיטל של וקטור $\vec{a}$ על ציר $x$ הוא $\vec{a} \cdot \hat{x} = a_x$
- המכפלה הסקלרית היא קומוטטיבית: $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$
מהו סקלאר?
המרצה הדגיש שסקלאר הוא לא רק ״מספר״. מספר הוא מושג פרימיטיבי, ואילו סקלאר הוא מושג יותר מתוחכם.
סקלאר הוא גודל שאינו משתנה תחת טרנספורמציה (אינווריאנט תחת טרנספורמציה).
למשל, כאשר מבצעים סיבוב של וקטור, הגודל שלו (האורך) אינו משתנה - זהו גודל סקלרי. הווקטור עצמו משתנה תחת טרנספורמציה (באופן לינארי), אך גודלו נשמר.
דוגמה: $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$ הוא גודל סקלרי שלא ישתנה תחת טרנספורמציית סיבוב.
מכפלה וקטורית
המכפלה הוקטורית של שני וקטורים $\vec{a}$ ו-$\vec{b}$ מוגדרת כ:
\[\boxed{\vec{a} \times \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta\hat{n}}\]כאשר:
- $\hat{n}$ הוא וקטור יחידה שניצב למישור הנפרס על ידי הוקטורים $\vec{a}$ ו-$\vec{b}$
- $\theta$ היא הזווית בין הוקטורים
- כיוון $\hat{n}$ נקבע לפי כלל יד ימין
הבדלים חשובים בין מכפלה סקלרית למכפלה וקטורית:
- המכפלה הסקלרית מייצרת סקלאר, המכפלה הוקטורית מייצרת וקטור
- המכפלה הסקלרית $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ כאשר $\vec{a} \perp \vec{b}$ (ניצבים)
- המכפלה הוקטורית $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}$ כאשר $\vec{a}$ מקביל ל-$\vec{b}$ (או כאשר אחד מהם הוא וקטור האפס)
התאפסות המכפלה הסקלרית משמעותה התאפסות מספרית, ואילו התאפסות המכפלה הוקטורית משמעותה התאפסות וקטורית (וקטור האפס).
מכפלה וקטורית (המשך)
הכיוון של המכפלה הוקטורית
כבר ציינו שוקטור היחידה $\hat{n}$ הוא ניצב למישור שנפרס על ידי $\vec{a}$ ו-$\vec{b}$, אבל יש כאן אמביגואיות שצריך להבהיר: וקטור הניצב למישור יכול להיות בכיוון אחד או בכיוון ההפוך. כדי להגדיר את הכיוון באופן חד-משמעי, נשתמש בכלל יד ימין.
כלל יד ימין
כאשר האצבעות מצביעות בכיוון הוקטור הראשון $\vec{a}$, ומתקפלות לעבר הוקטור השני $\vec{b}$, האגודל מצביע בכיוון המכפלה הוקטורית $\vec{a} \times \vec{b}$.
הגודל של וקטור המכפלה $\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}$ הוא:
\[|\vec{c}| = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta\]והכיוון של $\vec{c}$ נקבע על ידי כלל יד ימין.
מכפלה וקטורית של וקטורי יחידה
נבדוק את המכפלות הוקטוריות בין וקטורי היחידה שפורסים את המערכת הקרטזית ($\hat{x}$, $\hat{y}$, $\hat{z}$):
מכפלה של וקטור בעצמו
\[\hat{x} \times \hat{x} = |\hat{x}||\hat{x}|\sin(0) \cdot \hat{n} = 0\]באופן כללי, $\vec{a} \times \vec{a} = \vec{0}$ תמיד, כיוון שהזווית בין וקטור לעצמו היא 0, ו-$\sin(0) = 0$.
זו פעם ראשונה שאנחנו רואים גודל שאינו אפס, שכאשר “מכפילים” אותו בעצמו (מכפלה וקטורית), התוצאה היא וקטור האפס.
מכפלות בין וקטורי יחידה שונים
נבחן את המכפלות בין וקטורי היחידה השונים:
\[\begin{aligned} \hat{x} \times \hat{y} &= \hat{z} \\ \hat{y} \times \hat{x} &= -\hat{z} \end{aligned}\]זה מדגים שהמכפלה הוקטורית היא אנטי-קומוטטיבית: $\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})$
באופן דומה:
\[\begin{aligned} \hat{x} \times \hat{z} &= -\hat{y} \\ \hat{z} \times \hat{x} &= \hat{y} \\ \hat{y} \times \hat{z} &= \hat{x} \\ \hat{z} \times \hat{y} &= -\hat{x} \end{aligned}\]פרמוטציות ציקליות
ניתן לסדר את וקטורי היחידה בשלשה: $\hat{x}$, $\hat{y}$, $\hat{z}$
אם מבצעים פרמוטציה ציקלית (תמורה מחזורית), מקבלים:
\[\begin{aligned} \hat{x} \times \hat{y} &= \hat{z} \\ \hat{y} \times \hat{z} &= \hat{x} \\ \hat{z} \times \hat{x} &= \hat{y} \end{aligned}\]ואם מחליפים את סדר הוקטורים במכפלה, מקבלים מינוס:
\[\begin{aligned} \hat{y} \times \hat{x} &= -\hat{z} \\ \hat{z} \times \hat{y} &= -\hat{x} \\ \hat{x} \times \hat{z} &= -\hat{y} \end{aligned}\]פיתוח מכפלה וקטורית באמצעות מרכיבים
כדי לחשב מכפלה וקטורית $\vec{a} \times \vec{b}$ באמצעות המרכיבים שלהם, נפתח את הוקטורים בבסיס הסטנדרטי:
\[\vec{a} = a_x \hat{x} + a_y \hat{y} + a_z \hat{z}\] \[\vec{b} = b_x \hat{x} + b_y \hat{y} + b_z \hat{z}\]המכפלה תהיה:
\[\vec{a} \times \vec{b} = (a_x \hat{x} + a_y \hat{y} + a_z \hat{z}) \times (b_x \hat{x} + b_y \hat{y} + b_z \hat{z})\]נפתח את המכפלה ונשתמש בתכונות שראינו קודם:
- $\hat{x} \times \hat{x} = \hat{y} \times \hat{y} = \hat{z} \times \hat{z} = \vec{0}$
- $\hat{x} \times \hat{y} = \hat{z}$, $\hat{y} \times \hat{z} = \hat{x}$, $\hat{z} \times \hat{x} = \hat{y}$
- $\hat{y} \times \hat{x} = -\hat{z}$, $\hat{z} \times \hat{y} = -\hat{x}$, $\hat{x} \times \hat{z} = -\hat{y}$
לאחר פיתוח המכפלה וקיבוץ איברים, נקבל:
\[\vec{a} \times \vec{b} = (a_y b_z - a_z b_y) \hat{x} + (a_z b_x - a_x b_z) \hat{y} + (a_x b_y - a_y b_x) \hat{z}\]דטרמיננטים ומכפלה וקטורית
המכפלה הוקטורית ניתנת לחישוב באמצעות דטרמיננטים. דטרמיננט הוא מושג מאלגברה לינארית שמשמש למגוון מטרות.
דטרמיננט מסדר 2×2
דטרמיננט של מטריצה 2×2 מוגדר כך:
\[\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc\]דטרמיננט מסדר 3×3
דטרמיננט של מטריצה 3×3 ניתן לחשב באמצעות פיתוח לפי שורה או עמודה:
\[\begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} = a_1 \begin{vmatrix} b_2 & b_3 \\ c_2 & c_3 \end{vmatrix} - a_2 \begin{vmatrix} b_1 & b_3 \\ c_1 & c_3 \end{vmatrix} + a_3 \begin{vmatrix} b_1 & b_2 \\ c_1 & c_2 \end{vmatrix}\]מכפלה וקטורית כדטרמיננט
המכפלה הוקטורית $\vec{a} \times \vec{b}$ ניתנת לייצוג כדטרמיננט:
\[\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix}\]פיתוח הדטרמיננט נותן:
\[\vec{a} \times \vec{b} = \hat{x} \begin{vmatrix} a_y & a_z \\ b_y & b_z \end{vmatrix} - \hat{y} \begin{vmatrix} a_x & a_z \\ b_x & b_z \end{vmatrix} + \hat{z} \begin{vmatrix} a_x & a_y \\ b_x & b_y \end{vmatrix}\]שזה שווה ל:
\[\vec{a} \times \vec{b} = (a_y b_z - a_z b_y) \hat{x} + (a_z b_x - a_x b_z) \hat{y} + (a_x b_y - a_y b_x) \hat{z}\]מכפלה משולשת
מכפלה סקלרית משולשת
המכפלה הסקלרית המשולשת $\vec{c} \cdot (\vec{a} \times \vec{b})$ היא מספר (סקלר) וניתנת לחישוב באמצעות דטרמיננט:
\[\vec{c} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = \begin{vmatrix} c_x & c_y & c_z \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix}\]מכפלה זו אינווריאנטית תחת פרמוטציה ציקלית של הוקטורים:
\[\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{b} \cdot (\vec{c} \times \vec{a}) = \vec{c} \cdot (\vec{a} \times \vec{b})\]מכפלה וקטורית משולשת
המכפלה הוקטורית המשולשת $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c})$ היא וקטור וניתנת לפישוט:
\[\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c}\]בניגוד למכפלה הסקלרית המשולשת, המכפלה הוקטורית המשולשת אינה אינווריאנטית תחת פרמוטציה ציקלית.
סיכום
המתמטיקאים פיתחו שפות מתוחכמות שבהן דברים מורכבים ניתנים לתיאור באופן פשוט וברור. כל מה שלמדנו בשיעור זה ניתן לתיאור אלגנטי ומתומצת באמצעות הכלים המתמטיים המתאימים.
בשיעור הבא נגדיר את מושג השדה, את הגרדיאנט, את הדיברגנס ואת הרוטור, ונראה כיצד המכפלות הוקטוריות משתלבות בהם.
דור פסקל