מבוא ותזכורת

תודה לכולם. אני מבקש להזכיר לכם לרשום נוכחות. יש לכם רבע שעה.

בשיעורים הקודמים, כולל בשיעור התגבור אתמול, ראינו שבסיטואציות מסוימות החוק השני של ניוטון מוביל אותנו אל משוואה דיפרנציאלית המתארת תנועה הרמונית.

המשוואה הדיפרנציאלית של תנועה הרמונית

אני רוצה להזכיר לכם שהמשוואה הייתה:

החוק השני של ניוטון זה כמובן:

\[m \cdot a = F\]

כאשר $F$ זה שקול הכוחות.

החוק הזה, במקרים מסוימים, מוביל אותנו אל המשוואה:

\[\ddot{x} = -\omega^2 \cdot x\]

הסיטואציה הזאת מתרחשת כאשר מדובר בממד אחד והכוח הוא כוח מחזיר שמתכונתי לעתיק.

כמובן שהסיטואציה הטריוויאלית והמובהרת ביותר היא כאשר:

\[F = -k \cdot x\]

זה מוביל אל המשוואה:

\[m \cdot a = -k \cdot x\]

והיות ו-$a = \ddot{x}$, אני מקבל:

\[\ddot{x} = -\frac{k}{m} \cdot x\]

ולזה קראנו $\omega^2$, כלומר:

\[\omega^2 = \frac{k}{m}\]

כוח מחזיר ונקודת שיווי משקל

אבל בסיטואציות רבות נגיע אל המשוואה הזאת לא באמצעות הכוח הפשוט הזה. המשוואה הזאת יכולה להתקבל בסיטואציות רבות נוספות.

זה מקרה מאוד אלמנטרי שבו יש לנו קפיץ, ואנחנו יודעים שקפיצים מתנדנדים. קל לדמיין שהכוח המחזיר של הקפיץ מתכונתי למתיחה שלו מהאורך הרפוי.

שימו לב, פה רשמנו $F = -kx$, כלומר הכוח מתאפס כש-$x = 0$, אבל בחיים האמיתיים הוא יותר דומה ל:

\[F = -k \cdot \Delta x\]

כאשר $\Delta x = x - x_0$, ו-$x_0$ הוא האורך הרפוי. כאשר $x = x_0$, $F = 0$.

שימו לב שהתנאי $F = 0$ מייצר את נקודת שיווי המשקל. מה זאת אומרת? זאת אותה נקודה שבה הכוח הוא אפס. אם הכוח הוא אפס, התאוצה היא אפס. ברגע שאני מרחיק את המסה מנקודת שיווי המשקל, נוצר כוח מחזיר, ואז שקול הכוחות שונה מאפס, ואז יש לי תאוצה.

דוגמה: מסה תלויה על קפיץ

לדוגמה, אם אני תולה מסה על קפיץ, יש לי קפיץ, ובואו נניח לרגע שהאורך הרפוי הוא 0 ($x_0 = 0$), כלומר, האורך הרפוי של הקפיץ נמצא למעלה.

אתם יכולים לראות שבמצב של שיווי משקל מתקיים:

\[mg = k\overset{*}{x}\]

כאשר \(k\overset{*}{x}\) הוא הכוח שקשור בעובדה שהקפיץ נמתח ומושך כלפי מעלה. \(\overset{*}{x}\) הוא ה-$x$ של שיווי משקל. במצב הזה $F_{total} = 0$ (שקול הכוחות שווה לאפס).

מכאן אני מקבל:

\[\overset{*}{x} = \frac{mg}{k}\]

זו נקודת שיווי המשקל, ואני מצפה שהמסה, ברגע שאני משחרר אותה מנקודת שיווי המשקל, תתנדנד סביב נקודה זו.

מה שמכתיב את נקודת שיווי המשקל זה ששקול הכוחות שווה לאפס. זאת אותה נקודה בודדת בתוך התנועה שעבורה שקול הכוחות שווה לאפס.

פתרון המשוואה הדיפרנציאלית

אם אני מותח את הקפיץ ומשחרר, המסה תתנדנד. במקרה הזה, משוואת התנועה תהיה:

\[m\ddot{x} = mg - kx\]

זה החוק השני של ניוטון, כאשר $-kx$ הוא הכוח המחזיר. מכאן:

\[\ddot{x} = g - \frac{k}{m}x\]

ואם נוציא גורם משותף:

\[\ddot{x} = -\frac{k}{m}\left(x - \frac{mg}{k}\right)\]

נסמן:

\[y = x - \frac{mg}{k}\]

ואז:

\[\ddot{y} = -\omega^2 y\]

כאשר $\omega^2 = \frac{k}{m}$

הפתרון למשוואה זו הוא:

\[y(t) = A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t)\]

לכן:

\[x(t) - \frac{mg}{k} = A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t)\]

ומכאן:

\[x(t) = A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t) + \frac{mg}{k}\]

תנאי התחלה

עכשיו אני צריך להכניס את תנאי ההתחלה. אם:

\[x(t=0) = x_0\] \[v(t=0) = v_0\]

ניקח לדוגמה את המקרה של $x_0 = 0$ ו-$v_0 \neq 0$.

מהתנאי $x(0) = 0$ נקבל:

\[0 = A \cdot 1 + B \cdot 0 + \frac{mg}{k}\]

מכאן:

\[A = -\frac{mg}{k}\]

דוגמה מורכבת: שתי מסות מחוברות בקפיץ

בואו נסתכל על מערכת מורכבת יותר: יש לנו רצפה חלקה ועליה מסה גדולה ($M$). על המסה הגדולה יש מסה קטנה ($m$). בין המסות אין חיכוך ($\mu = 0$) וגם בין המסה הגדולה לרצפה אין חיכוך.

בין המסות יש קפיץ שהאורך הרפוי שלו $x = 0$. בזמן $t = 0$ אני מחזיק את המסה הגדולה, מותח את הקפיץ עם המסה הקטנה, ואז משחרר את שתיהן בו-זמנית.

הקפיץ המתוח רוצה להתכווץ, ולכן הוא מושך את המסה הגדולה בכיוון אחד ואת המסה הקטנה בכיוון השני. חשוב להבין שהמסה הקטנה נמצאת במערכת מואצת (המסה הגדולה), ולכן היא מרגישה גם כוח מדומה $m \cdot a_M$ בכיוון הפוך לתאוצת המסה הגדולה.

מה שחשוב להבין פה זה שיש שתי מערכות שנעות באופן בלתי תלוי, אבל יש ביניהן כוח משותף (הקפיץ). המסה הגדולה לא נמצאת במערכת מואצת, ולכן לא פועלים עליה כוחות מדומים.

שיטת פתרון בעיות פיזיקליות

להבין את הסיטואציה הפיזיקלית זה 60% מהקושי של הבעיה. להבין מי הם הכוחות הפועלים במערכת, איזה חוקים רלוונטיים, האם זו מערכת התמד או לא, וכיצד משלבים ביניהם.

30% נוספים זה לבנות את משוואות התנועה הרלוונטיות באמצעות החוקים הפיזיקליים.

10% האחרונים הם החלק המתמטי - פתרון המשוואות הדיפרנציאליות, שהן תבניות מתמטיות מוכרות.

זכרו שבחיים האמיתיים יש בעיות שאין להן פתרון אנליטי (למשל, משוואות מזג האוויר). במקרים כאלה האתגר הוא למצוא פתרונות מקורבים.

ניתוח בעיות עם סימטריה רדיאלית

אז כשמסכמים את התהליך את הסיטואציה, הבעיה שהצגתי בפניכם היא מורכבת, ומציגה קושי בכמה רמות:

  1. הקושי הפיזיקלי - להבין מה קורה, מה מתרחש פה.
  2. הקושי האינטלקטואלי - להחליט מהם הצירים הרלוונטיים שכדאי לעבוד איתם כדי לפשט את הבעיה. איפה אשים את הראשית?

במקרה הזה, שמתי את הראשית במקום שבו אורך הקפיץ הוא אפס, כאשר הכוח מתאפס. חילקתי את הבעיה לשני חלקים:

  • הבעיה של המסה הקטנה בתוך מערכת מואצת
  • הבעיה של המסה הגדולה בתוך מערכת התמד

אלו החלטות לא טריוויאליות. הן דורשות להבין מה קורה כאן. ואז היה עליי לבנות את המשוואות הרלוונטיות למסה הקטנה בתוך המערכת המואצת ולמסה הגדולה בתוך מערכת התמד (מערכת המעבדה).

המשוואות האלו היו משוואות מצומדות במובן שהייתה פונקציה משותפת לשתיהן - $x(t)$, האורך של הקפיץ. זה בעצם המשתנה הדינמי במערכת, או מה שנקרא “דרגת החופש”.

דרגות חופש ומשוואות מצומדות

אנחנו אוהבים בפיזיקה להשתמש במושג דרגות חופש. דרגת החופש הרלוונטית בבעיה הטריוויאלית הזו היא אורך הקפיץ, כי המסות מחוברות אליו. אם אני יודע את אורך הקפיץ, אני יודע איפה נמצאות המסות.

קיבלנו שתי משוואות מצומדות. לקחתי את המשוואה עבור המסה הגדולה, הצבתי אותה בתוך המשוואה עבור המסה הקטנה, וקיבלתי את הצורה של תנועה הרמונית:

\[\ddot{x} = -\omega^2 x\]

אבל $\omega^2$ היה קצת יותר מסובך, הוא היה $\frac{k}{\mu}$ ולא $\frac{k}{m}$. אל תבלבלו את ה-$\mu$ הזה עם מקדם החיכוך - אין שום קשר. פשוט אנחנו קצרים באותיות.

תדירות התנודה ופתרון הבעיה

הבעיה המעניינת פה הייתה למצוא את תדירות התנודה של המערכת, והיא התקבלה על ידי $\omega^2$. אחרי שמצאתי את $\omega^2$, יש לי פתרון כמעט מיידי ל-$x(t)$:

\[x(t) = A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t)\]

אני לא אציב את תנאי ההתחלה, שיקבעו את $A$ ו-$B$. לא עשיתי את זה, אבל אעשה זאת בתרגיל מפורט שאתן לכם.

אחרי שמצאתי את $x(t)$ הקטן, אני יכול להציב אותו במשוואה בחוק השני עבור $M$ גדול. שימו לב ש-$x(t)$ של $m$ קטן זו לא הקואורדינטה שקשורה ב-$a$ גדול. $a$ גדול זה התאוצה של המסה $M$ גדול - זו קואורדינטה חדשה, שאינטגרציה כפולה שלה תספק את $x$ גדול, המיקום של $M$ גדול כפונקציה של הזמן.

יש פה בעיה שיש בה המון שלבים, המון אספקטים, המון הסתכלויות. היא מקפלת בתוכה לא מעט פיזיקה ועדיין קצת מתמטיקה.

מעבר לנושא חדש: קואורדינטות פולריות

התעסקנו בבעיות וקטוריות שנוח מאוד לטפל בהן באמצעות קואורדינטות קרטזיות. היה נוח לחלק את הכוחות לציר $x$, ציר $y$, ולפרק את הבעיה התלת-ממדית לשתיים או שלוש בעיות חד-ממדיות.

אבל לא מעט פעמים נתקלים במצב שבו לבעיה יש סימטריה גלילית או כדורית. בעיה פיזיקלית עם סימטריה רדיאלית היא בעיה שבה הכל תלוי אך ורק במרחק מהראשית. כלומר, תלוי בגודל של וקטור המקום $\vec{r}$.

סימטריה רדיאלית

אם יש לנו בעיה שתלויה אך ורק במרחק מהראשית, משמעות הדבר שהכוח במקומות שבמרחק זהה מהראשית הוא זהה, כי זה אותו מרחק מהראשית. אם אני בונה מעגל, כל נקודה על פני המעגל אינה מיוחדת ביחס לאף נקודה אחרת, כי בכל נקודה הכוח תלוי רק בווקטור שמוביל מהראשית אליה.

בסיטואציות כאלה נוח מאוד לעבוד בקואורדינטות שמכבדות סימטריה רדיאלית, ולא בקואורדינטות קרטזיות שאינן מכבדות סימטריה רדיאלית.

מערכת צירים פולרית

במערכת צירים פולרית, יש לנו:

  • רדיוסים בכיוונים שונים (קרניים)
  • מעגלים ברדיוסים שונים

הקואורדינטות שמתארות את המערכת הזאת הן $r$ ו-$\theta$, כאשר:

  • $r$ - המרחק מהראשית
  • $\theta$ - הזווית שהרדיוס יוצר ביחס לציר $x$

וקטורי יחידה במערכת פולרית

אני רוצה להגדיר שני וקטורי יחידה במערכת הפולרית:

  1. וקטור יחידה רדיאלי ($\hat{r}$):

    \[\hat{r} = \cos\theta \cdot \hat{x} + \sin\theta \cdot \hat{y}\]

  2. וקטור יחידה אזימוטלי ($\hat{\theta}$):

    \[\hat{\theta} = -\sin\theta \cdot \hat{x} + \cos\theta \cdot \hat{y}\]

שימו לב ש-$\hat{r}$ ו-$\hat{\theta}$ ניצבים זה לזה (המכפלה הסקלרית שלהם היא אפס) ושניהם הם וקטורי יחידה (אורכם 1).

וקטור המקום יינתן תמיד על ידי:

\[\vec{r} = r \cdot \hat{r}\]

כאשר $r$ ו-$\hat{r}$ שניהם תלויים בזמן אם הגוף נע.

מהירות במערכת פולרית

מהירות היא הנגזרת של וקטור המקום לפי הזמן:

\[\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = \dot{r}\hat{r} + r\dot{\hat{r}}\]

מכיוון ש-$\hat{r}$ תלוי בזמן דרך $\theta(t)$, נמצא את $\dot{\hat{r}}$:

\[\dot{\hat{r}} = \frac{d}{dt}(\cos\theta \cdot \hat{x} + \sin\theta \cdot \hat{y}) = (-\sin\theta \cdot \dot{\theta}) \cdot \hat{x} + (\cos\theta \cdot \dot{\theta}) \cdot \hat{y} = \dot{\theta} \cdot \hat{\theta}\]

לכן, המהירות היא:

\[\vec{v} = \dot{r}\hat{r} + r\dot{\theta}\hat{\theta}\]

כאן יש לנו שני רכיבים של המהירות:

  1. מהירות רדיאלית - $\dot{r}\hat{r}$ - המהירות בכיוון הרדיאלי
  2. מהירות משיקית - $r\dot{\theta}\hat{\theta}$ - המהירות בכיוון המשיק למעגל

זה מזכיר את מה שלמדתם בפיזיקה בתיכון: $v = r\omega$ (כאשר $\omega = \dot{\theta}$ היא המהירות הזוויתית).

תאוצה במערכת פולרית

התאוצה היא הנגזרת של המהירות לפי הזמן:

\[\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d}{dt}(\dot{r}\hat{r} + r\dot{\theta}\hat{\theta})\]

פתיחת הנגזרת לפי כלל המכפלה:

\[\vec{a} = \ddot{r}\hat{r} + \dot{r}\dot{\hat{r}} + \dot{r}\dot{\theta}\hat{\theta} + r\ddot{\theta}\hat{\theta} + r\dot{\theta}\dot{\hat{\theta}}\]

מצאנו כבר ש-$\dot{\hat{r}} = \dot{\theta}\hat{\theta}$. נחשב גם את $\dot{\hat{\theta}}$:

\[\dot{\hat{\theta}} = \frac{d}{dt}(-\sin\theta \cdot \hat{x} + \cos\theta \cdot \hat{y}) = (-\cos\theta \cdot \dot{\theta}) \cdot \hat{x} + (-\sin\theta \cdot \dot{\theta}) \cdot \hat{y} = -\dot{\theta} \cdot \hat{r}\]

לכן, התאוצה היא:

\[\vec{a} = (\ddot{r} - r\dot{\theta}^2)\hat{r} + (r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta})\hat{\theta}\]

כאן יש לנו:

  1. תאוצה רדיאלית - $(\ddot{r} - r\dot{\theta}^2)\hat{r}$
  2. תאוצה משיקית - $(r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta})\hat{\theta}$

כן, יש לי פה:

\[(\ddot{r} - r\dot{\theta}^2)\hat{r}\]

וכאן:

\[(r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta})\hat{\theta}\]

אלו הם רכיבי התאוצה, כאשר:

  • זהו $a_r$ - התאוצה בכיוון הרדיאלי
  • וזהו $a_{\theta}$ - התאוצה בכיוון המשיקי (האזימוטלי)

אתם רואים שהתאוצה בכיוון הרדיאלי משלבת בתוכה גם את הנגזרת של $\theta$ לפי הזמן וגם את הנגזרת של $r$ לפי הזמן.

אני יכול לסכם את הביטויים שפיתחנו:

  • וקטור המקום: $\vec{r} = r\hat{r}$
  • וקטור המהירות: $\vec{v} = \dot{r}\hat{r} + r\dot{\theta}\hat{\theta} = v_r\hat{r} + v_{\theta}\hat{\theta}$
  • וקטור התאוצה: $\vec{a} = (\ddot{r} - r\dot{\theta}^2)\hat{r} + (r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta})\hat{\theta} = a_r\hat{r} + a_{\theta}\hat{\theta}$

יישום למקרה של תנועה מעגלית

רציתי לפתור את הבעיה של המטוטלת עם הקואורדינטות האלו, כי הן קואורדינטות מאוד נוחות. המטוטלת מבצעת תנודה שקל לתאר אותה בקואורדינטות פולריות. אבל היות ולא אספיק בשש או שבע הדקות שנשארו, אני רק אומר לכם שזה מחזיר אותנו פחות או יותר לשיעור הראשון או השני כשלמדנו על תנועה מעגלית.

אני רוצה להזכיר לכם שכשלמדנו תנועה מעגלית, הראיתי לכם שווקטור המקום היה שווה ל:

\[\vec{r} = R\cos(\omega t)\hat{x} + R\sin(\omega t)\hat{y}\]

אבל $\cos(\omega t)\hat{x} + \sin(\omega t)\hat{y}$ זה פשוט $\hat{r}$. הנה בתנועה מעגלית, וקטור המקום תמיד מצביע לעבר נקודה על המעגל. גודלו $R$ לא משתנה עם הזמן, וכיוונו $\hat{r}$.

אני מזכיר לכם שוקטור המהירות היה שווה ל:

\[\vec{v} = -\omega R\sin(\omega t)\hat{x} + \omega R\cos(\omega t)\hat{y}\]

וזה שווה, כפי שאתם מבינים, ל:

\[\vec{v} = \omega R\hat{\theta}\]

משום ש-$-\sin(\omega t)\hat{x} + \cos(\omega t)\hat{y}$ זה $\hat{\theta}$. זהו וקטור המהירות בתנועה מעגלית.

וקטור התאוצה בתנועה מעגלית היה שווה ל:

\[\vec{a} = -\omega^2 R\hat{r}\]

שימו לב, כשהרדיוס $R$ קבוע, $\dot{r}$ מתאפס, $\ddot{r}$ מתאפס, ואם גם $\dot{\theta}$ קבוע (כלומר $\ddot{\theta}=0$), אני מקבל:

\[\vec{a} = -R\omega^2\hat{r}\]

כשהצגתי את זה בפעם הראשונה כמעט התעלפתם, אתם זוכרים? פיזיקה נראתה קשה. עכשיו זה נראה כמו בדיחה מבחינת הקושי, נכון?

סיכום: תיאור אלגנטי של תנועה מעגלית בקואורדינטות פולריות

בתיאור הכי יפה, אלגנטי וכללי שמכבד את העובדה שאני נע על פני מעגל:

  • וקטור המקום שלי הוא $\vec{r} = R\hat{r}$ (פונקציה של $t$)
  • וקטור המהירות שלי הוא $\vec{v} = R\omega\hat{\theta}$ - זאת המהירות המשיקית
  • וקטור התאוצה שווה ל-$\vec{a} = -\omega^2 R\hat{r}$ - זאת התאוצה הצנטריפטלית

והכוח שווה למסה כפול התאוצה, כלומר הכוח הוא רדיאלי (מופנה לכיוון מרכז המעגל).

תיארתי את הבעיה מכל היבט שאפשר לעלות על הדעת:

  • מיהו וקטור המקום כפונקציה של הזמן
  • מיהו וקטור המהירות כפונקציה של הזמן, כגודל וככיוון
  • מיהו וקטור התאוצה כפונקציה של הזמן, בייחס לוקטור המקום
  • התאוצה בכיוון מינוס וקטור המקום - תאוצה צנטריפטלית
  • שקול הכוחות שווה למסה כפול תאוצה

הכל נמצא בתיאור זה. תיאור בפיזיקה סובב סביב תיאור המציאות כפי שהיא מתפתחת בזמן. כל הגדלים תלויים ב-$t$ - זהו תיאור מושלם.

נושאים לשיעורים הבאים

בשיעור הבא:

  • בשעה הראשונה - נפתור את בעיית המטוטלת
  • בשעה השנייה - אציג לכם את הקושי המתמטי האחד לפני האחרון בקורס שלנו: מכפלות וקטוריות

אסביר לכם מהן מכפלות וקטוריות בפיזיקה ובמתמטיקה, ואראה לכם גדלים שתלויים במכפלות וקטוריות.

בשיעור שאחריו, אתחיל לדבר על מושגים כמו תנע, כוח והקשר ביניהם, אנרגיה ועבודה. זה יהיה הנושא של שלושה-ארבעה השיעורים האחרונים.

מידע על המבחן

המבחן יהיה מבחן אמריקאי. אני אתן לכם להכניס מה שאתם רוצים לבחינה, למעט אמצעי קשר מכל סוג שהוא. הבחינות שלכם תהיינה מעורבלות - כל השאלות וכל התשובות יעורבלו באופן שכל ניסיון תקשורת יהפוך את הבחינה לבעייתית. כל אחד יקבל בחינה אישית שבה מספרי השאלות, מספרי המסיחים - הכל יהיה מעורבל.

בבחינת האמצע זה יהיה כמו שהיה במתמטיקה. ניתן יהיה להשתמש במחשבון.

דור פסקל
חזרה לשיעור 6
חזור לשיעור 7