שאלות 3-1
מרצפים קליפה כדורית חלולה אשר רדיוסה הוא $R$ באלף אריחים מבודדים, כל אחד מהם טעון במטען משטחי חיובי $\sigma$. מרכז הקליפה מתלכד עם ראשית הצירים, הקוטב הצפוני של הקליפה יושב על ציר $z$ החיובי. מסירים את האריח היושב על הקוטב הצפוני.
- ניתן להניח שהמימדים של כל אריח מאוד קטנים מספיק להתייחס אליו כמטען נקודתי.
- ניתן להיעזר בכך שהיעדר מטען הוא סופרפוזיציה של שני מטענים שווים בגודלם והפוכים בסימנם.
שאלה 1 - מה השדה החשמלי בראשית הצירים
הבנה מהותית: בחומר מבודד המטענים אינם ניידים, ולכן צפיפות המטען קבועה.
משיקולי סימטריה כל המטענים מתבטלים למעט זה מלמטה, למרות שהכל חיובי - הסרה של משהו חיובי זה כמו להוסיף משהו שלילי.
אז המטען השלילי שלכאורה הוספנו מושך אליו את ראשית הצירים.
הנוסחה:
\[E = \frac{Kq}{R^2}\hat{n}\]אז הרדיוס אר, נציב את המטען ההפוך ששמנו $\sigma$ הטריק לדעתי קשור לכיוונים. זה מושך את הראשית למעלה אז להבנתי:
\[\boxed{\vec{E} = \left(\frac{K\sigma}{R^2}\right)\hat{z}}\]שאלה 2 - מה הפוטנציאל בקוטב הדרומי
צריך שוב להיעזר בסופר פוזיציה. הנוסחה לפוטנציאל בתוך (ועל) כדור היא:
\[V_{full} = \frac{kQ}{R}\]תובנה חשובה: $Q = 1000 \sigma$. גם לא משנה המרחק כשמדובר בפוטנציאל של כדור - זה קבוע לכל מקום בפנים ועל הקליפה.
\[V_{north} = \frac{k(-\sigma)}{2R}\]תובנה חשובה: לשים לב שהמרחק בין הצפון לדרום הוא פעמיים הרדיוס.
נסכום:
\[V_{tot}= V_{full} + V_{north} = \frac{2000\sigma k}{2R} - \frac{k\sigma}{2R} = \boxed{\frac{1999k\sigma}{2R}}\]שאלה 3 - מהירות של מטען משוחרר
מטען קטן $q \ll \sigma$ אשר מסתו היא $m$ משתחרר מהאריח היושב על הקוטב הדרומי. מה תהא מהירותו ברגע שיעבור דרך רשאית הצירים?
אפשר לפתור בעזרת אנרגיה פוטנציאלית ומשוואת שימור האנרגיה.
המצב ההתחחלתי הוא מנוחה - מהירות אפס.
מצאנו את הפוטנציאל ההתחלתי בסעיף הקודם:
\[V_{init} = \frac{1999k\sigma}{2R}\]צריך למצוא את הפוטנציאל בסוף:
\[V_{final} = ?\]בסוף זה למעשה למצוא את האנרגיה הפוטנציאלית בראשית. בניגוד לשאלה הקודמת המרחק כעת מהצפון הוא $R$ במקום $2R$:
\[V_{final} = \frac{1000\sigma k}{R} + \frac{k(-\sigma)}{R} = \frac{999\sigma k}{R} = \frac{1998\sigma k}{2R}\]המשוואה:
\[\cancel{\frac{1}{2}mv_i^2} + qV_{init} = \frac{1}{2}mv_f^2 + qV_{f}\] \[v_f = \sqrt{\frac{2qV_i-2qVf}{m}} = \sqrt{\frac{2qk\sigma}{2Rm}} = \boxed{\sqrt{\frac{qk\sigma}{Rm}}}\]תכלס יצא יפה.
רמזים מקלוד לפתרון שאלות 5-4: קליפות כדוריות מוליכות
נוסחאות יסוד שצריך לזכור
פוטנציאל של קליפה כדורית טעונה:
בתוך הקליפה ועליה (r ≤ R) - האר של הקליפה:
\[V = \frac{kQ}{R}\](קבוע!)
מחוץ לקליפה (r > R):
\[V = \frac{kQ}{r}\]עקרון הסופרפוזיציה: הפוטנציאל הכולל הוא סכום התרומות מכל המטענים
גישה לשאלה 4
שלב 1: חשב את הפוטנציאל בנקודה על הקליפה הפנימית ($r = R_1$)
כל קליפה תורמת לפוטנציאל:
- קליפה 1 (אנחנו עליה): $V_1 = \frac{kQ_1}{R_1}$
- קליפה 2 (אנחנו בתוכה): $V_2 = \frac{kQ_2}{R_2}$
- קליפה 3 (אנחנו בתוכה): $V_3 = \frac{kQ_3}{R_3}$
שלב 2: השווה את הסכום לאפס ובודד את $Q_2$
גישה לשאלה 5
מה קורה בהארקה?
- הפוטנציאל על הקליפה המוארקת הופך ל-0
- מטען זורם מ/אל האדמה עד שזה קורה
שלב 1: חשב את הפוטנציאל על הקליפה החיצונית ($r = R_3$) לפני ההארקה
שלב 2: קבע מה צריך להיות המטען החדש $Q_3’$ כדי שהפוטנציאל יהיה 0
שלב 3: ההפרש $\Delta Q = Q_3’ - Q_3$ הוא המטען שזרם מהאדמה
טיפ חשוב
בקליפה מוליכה, הפוטנציאל קבוע בכל הנפח הפנימי שלה - זה נובע מכך ששדה חשמלי בתוך מוליך הוא אפס.
שאלות 5-4
נתונות שלוש קליפות קונצרטיות מוליכות אשר רדיוסיהן הם $R_1 < R_2 < R_3$. הקליפה הפנימית טעונה במטען $Q_1$ וזו החיצונית טעונה במטען $Q_3$.
שאלה 4
מה צריך להיות המטען על הקליפה האמצעית כדי שהפוטנציאל על הקליפה הפנימית יתאפס?
תובנה חשובה: הם רוצים שהפוטנציאל של הפנימית יתאפס וצריך למצוא מטען של האמצעית.
צריך למצוא את כל ההשפעות בשביל לקבל את הפוטנציאל בפנימית:
\[V_{tot} = V_{inner} + V_{middle} + V_{out}\]נקודת המבט תהיה לעמוד על הקליפה הפנימית אז:
\[V_{inner} = \frac{kQ_1}{R_1}\] \[V_{middle} = \frac{kQ_?}{R_2}\] \[V_{out} = \frac{kQ_3}{R_3}\] \[V_{inner} + V_{middle} + V_{out} = 0\] \[\frac{kQ_1}{R_1} + \frac{kQ_?}{R_2} + \frac{kQ_3}{R_3} = 0\] \[\frac{Q_?}{R_2} = - \frac{Q_1}{R_1} - \frac{Q_3}{R_3}\] \[Q_? = \boxed{- \frac{R_2 Q_1}{R_1} - \frac{R_2 Q_3}{R_3}}\]שאלה 5
במצב זה, שבו הפוטנציאל על הקליפה הפנימית הוא אפס, מאריקים את הקליפה החיצונית. האדמה הזרימה אל הקליפה החיצונית (או לקחה מן הקליפה החיצונית) מטען בשיעור?
כדי היא תתאפס היא צריכה להיות שווה להשפעות של שתי הפנימיות כלומר:
\[(V_1(3) + V_2(3)) + V_3 = 0\] \[\begin{aligned} V_1(3) + V_2(3) &= \frac{kQ_1}{R_3} + \frac{kQ_2}{R_3} \\ &= \frac{k}{R_3} \left(Q_1 + Q_2 \right) \\ &=\frac{k}{R_3} \left(Q_1 - \frac{R_2 Q_1}{R_1} - \frac{R_2 Q_3}{R_3} \right) \end{aligned}\]ומנגד נרצה שכל זה יהי שווה ל:
\[-\frac{Q_3}{R_3}\]כלומר:
\[\frac{k}{R_3} \left(Q_1 - \frac{R_2 Q_1}{R_1} - \frac{R_2 Q_3}{R_3} \right) = -\frac{kQ_3}{R_3}\] \[Q_1 - \frac{R_2 Q_1}{R_1} - \frac{R_2 Q_3}{R_3} = -Q_3\] \[Q_1\left(1 - \frac{R_2}{R_1}\right) - \frac{R_2 Q_3}{R_3} = -Q_3\] \[Q_1\left(1 - \frac{R_2}{R_1}\right) + Q_3 \left( 1 - \frac{R_2}{R_3} \right)\]ככל הנראה יש לי איפשהו טעות בסימנים.
שאלות 7-6
יון מולקולרי מסוים מורכב מארבעה יונים חד אטומיים הטעונים במטען $q$, אשר יושבים על קודקודיו של ארבעון משוכלל אשר אורך צלעו היא $a$.
שאלה 6
מה גודלו של מרכיב הכוח החשמלי הפועל על כל יון בכיוון המשך אחת הצלעות של הארבעון?
לא הצלחתי, לצערי. מומזנים להשלים.
שאלה 7
מה צריך להיות מטען של יון נוסף ששותלים במרכז הארבעון, כדי שהאנרגיה הפוטנציאלית החשמלית הכוללת תהיה אפס.
כנ״ל.
שאלות 9-8
מוט דק אשר אורכו הוא $2L$ עשוי מחומר מבודד. מניחים את המוט על ציר ה-$x$ כך שמרכזו של המוט מתלכד עם הרשית.
שאלה 8
טוענים את המוט בצפיפות מטען אורכית $\lambda$ קולון ליחידת אורך. מה הפוטנציאל החשמלי הנגרם ע״י המוט לאורך ציר $y$?
הפוטנציאל ביחידה הוא:
\[V = \frac{K\lambda}{R}\]במקרה הזה צריך לסכום את כל ההשפעות לאורך המוט. בנוסף, במקרה של השפעה רציפה צריך להשתמש באינטגרל:
\[V_{total} = \int \frac{k \, dQ}{r} = k \int \frac{\rho(\vec{r'}) dV'}{R}\]\[R = \sqrt{x^2 + y^2}\]
מכאן:
\[V(y) = k \int_{-L}^{L} \frac{\lambda dx}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \boxed{k\lambda \int_{-L}^{L} \frac{dx}{\sqrt{x^2 + y^2}}}\]תוספות מקלוד:
זה אינטגרל סטנדרטי (מופיע בטבלאות):
\[\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + a^2}} = \ln\left(x + \sqrt{x^2 + a^2}\right) + C\]כאן $a = y$, אז:
\[V(y) = k\lambda \left[\ln\left(x + \sqrt{x^2 + y^2}\right)\right]_{-L}^{L}\] \[V(y) = k\lambda \ln\left(\frac{L + \sqrt{L^2 + y^2}}{-L + \sqrt{L^2 + y^2}}\right)\]
שאלה 9
מסירים את המטען הקודם וטוענים את המוט מחדש בצפיפות מטען תלוית מקום על פי הקשר:
\[\lambda(x) = \lambda_0 \sin (\pi x / L)\]מה הפוטנציאל לאורך ציר $y$ כעת?
האינטגרל להבנתי טריקי יותר. יש גם סימטריות. יש מצב שמתאפס? נחשב ישירות כדי לבדוק:
\[V(y) = k \int_{-L}^{L} \frac{\lambda_0 \sin (\pi x / L) dx}{\sqrt{x^2 + y^2}} = k\lambda_0 \int_{-L}^{L} \frac{ \sin (\pi x / L) dx}{\sqrt{x^2 + y^2}}\]
טוב זה כנראה לא פתרון לרמתנו.
דור פסקללמה זה מתאפס?
הסתכל על הפונקציה $\sin(\pi x / L)$:
- היא אי-זוגית: $\sin(-\theta) = -\sin(\theta)$
הסתכל על $\frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}}$:
- היא זוגית: תלויה ב-$x^2$
הכלל
\[\int_{-a}^{a} (\text{Zugit}) \times (\text{E-Zugit}) \, dx = 0\]כי המכפלה אי-זוגית, והאינטגרל על תחום סימטרי מתאפס.
התשובה
\[\boxed{V(y) = 0}\]פיזיקלית: המטען החיובי בצד $x > 0$ מתקזז בדיוק עם המטען השלילי בצד $x < 0$.