שיעור 3 - קינמטיקה ותנועה מעגלית

קינמטיקה ופונקציות וקטוריות

הגדרות בסיסיות

כדי לתאר את תנועת גוף במרחב או במישור, נדרש אובייקט מתמטי הנקרא “פונקציה וקטורית”. פונקציה וקטורית היא וקטור שהמרכיבים שלו הם פונקציות התלויות בזמן.

וקטורים

וקטור המקום

• וקטור המקום מתאר את מיקום הגוף בכל זמן $t$
• מסומן כ-$\vec{r}(t)$
• הביטוי המתמטי: $\vec{r}(t) = x(t)\hat{x} + y(t)\hat{y} + z(t)\hat{z}$
• שלוש הקומפוננטות $x$, $y$, ו-$z$ הן הקואורדינטות של הגוף או החלקיק בכל זמן $t$
• ניתן לרשום גם כשלשה $(x(t), y(t), z(t))$

וקטור העתק

הגדרה

• בזמן $t$ הגוף נמצא במיקום המתואר על ידי $\vec{r}(t)$
• בזמן $t + \Delta t$ הגוף נמצא במיקום המתואר על ידי $\vec{r}(t + \Delta t)$
• וקטור ההעתק $\Delta \vec{r}$ מוגדר כהפרש בין שני המיקומים: $\Delta \vec{r} = \vec{r}(t + \Delta t) - \vec{r}(t)$
• וקטור ההעתק מתאר את השינוי במיקום הגוף בין שני זמנים

דוגמה: המרצה צייר על הלוח קואורדינטות תלת-ממדיות והראה כיצד ניתן לייצג מיקום של גוף בזמן $t$ ובזמן $t + \Delta t$ ולהגדיר את וקטור ההעתק כהפרש ביניהם.

וקטור מהירות

הגדרה $\Delta \vec{r}$

• המהירות היא קצב שינוי המקום לפי הזמן
• מהירות ממוצעת: $\frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}$

דוגמה: “אם בשעה 7 בבוקר הייתי בתל אביב ובשעה 8 בבוקר הייתי בירושלים, וקטור ההעתק בין תל אביב לירושלים חלקי אחת שעה נותן את המהירות הממוצעת בין תל אביב לירושלים.”

מהירות רגעית

• המהירות הרגעית היא הגבול של המהירות הממוצעת כאשר $\Delta t$ שואף לאפס: $\vec{v}(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} = \frac{d\vec{r}}{dt} = \dot{\vec{r}}$
• הביטוי בקומפוננטות: $\vec{v}(t) = \dot{x}(t)\hat{x} + \dot{y}(t)\hat{y} + \dot{z}(t)\hat{z} = v_x(t)\hat{x} + v_y(t)\hat{y} + v_z(t)\hat{z}$
• המהירות היא וקטור, כלומר יש לה גודל וכיוון
• גודל המהירות (speed): $|\vec{v}| = \sqrt{\vec{v} \cdot \vec{v}} = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}$

הערת המרצה: “כשאני מדבר על מהירות, לא מספיק להגיד מהו הספיד שלי. ספיד זה גודל המהירות. אני צריך להגיד גם מהו הכיוון, והכיוון נקבע על ידי שלוש קואורדינטות.”

תכונות וקטור המהירות

• וקטור המהירות תמיד משיק למסלול התנועה
• וקטור יחידה בכיוון המהירות: $\hat{v} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}$
• וקטור היחידה מתאר את כיוון התנועה בכל זמן $t$

הערת המרצה: “וקטור המהירות תמיד מתקשר עם כיוון התנועה, זה וקטור שתמיד יצביע בכיוון התנועה. זו נקודה חשובה מאוד.”

וקטור תאוצה

הגדרה $\Delta \vec{v}$

• התאוצה היא קצב שינוי המהירות
• תאוצה ממוצעת: $\frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}$
• התאוצה הרגעית היא הגבול של התאוצה הממוצעת כאשר $\Delta t$ שואף לאפס: $\vec{a}(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \dot{\vec{v}}$

שאלה מסטודנט: מהו בדיוק $\Delta \vec{v}$?

תשובה המרצה: “$\Delta \vec{v}$ זה המהירות בזמן $t + \Delta t$ פחות המהירות בזמן $t$. כלומר, זה הפרש של מהירויות.”

דוגמה להמחשה

• “אם בשעה 7 בבוקר נעתי במהירות של 40 קמ״ש ובשעה 8 בבוקר נעתי במהירות של 80 קמ״ש, אז המהירות הממוצעת במשך אחת השעה הזאת בין שבע בבוקר לשמונה בבוקר זה 80 קמ״ש פחות 40 קמ״ש, חלקי אחת שעה, שזה 40 קמ״ש לשעה.”

שאלה מסטודנט: האם זו תאוצה ממוצעת או רגעית?

תשובה המרצה: “זאת תאוצה ממוצעת. התאוצה הרגעית תתקבל כאשר $\Delta t$ שואף לאפס באופן אינסופי.”

שאלה מסטודנט: מה כיוון התאוצה?

תשובה המרצה: “התאוצה היא הפרש וקטורי של המהירויות חלקי הזמן. אין שום התחייבות שכיוון וקטור התאוצה יהיה בכיוון המהירות או בכיוון המקום. התאוצה תהיה בכיוון $\Delta \vec{v}$.”

תנועה מעגלית קצובה

תנועה מעגלית קצובה

הגדרה $\vec{r}(t)$

• תנועה על מסלול מעגלי במהירות משיקית קבועה

• המסלול מתואר על ידי וקטור המקום (position vector) $\vec{r}(t)$, בהצגה קרטזית:

  \[\vec{r}(t) = R\cos(\omega t)\hat{x} + R\sin(\omega t)\hat{y}\]
• $R$ הוא רדיוס המעגל (קבוע)
• $\omega$ הוא קצב השינוי הזוויתי (רדיאנים לשנייה)
• $\theta = \omega t$ היא הזווית, שמשתנה לינארית עם הזמן

הערת המרצה: “כשאני אומר תנועה קצובה אני מתכוון שאני מכסה קשתות שוות במרווחי זמן שווים.”

הערה (דור): אני חושב שיעזור להבין את ההבדל בין קואורדינטות קרטזיות לבין קואורדינטות פולריות. זה מופיע בשיעורים הבאים. בקצרה, ההצגה שלמעלה היא קואורדינטות קרטזיות, שבהן אנחנו מתארים את המיקום של גוף במישור באמצעות שתי קואורדינטות (x, y). לעומת זאת, קואורדינטות פולריות מתארות את המיקום באמצעות רדיוס וזווית, כמו במעגל.

הערה נוספת: שימו לב שהנוסחה תלויה במערכת הצירים שבחרנו. אם למשל הזווית $\theta$ נמדדת דווקא ביחס לציר ה-$y$ ולא ל-$x$, אז הנוסחה תהיה שונה:

\[\vec{r}(t) = R\sin(\omega t)\hat{x} + R\cos(\omega t)\hat{y}\]

אפשר לעבור בין הנוסחאות בעזרת זהויות טריגונומטריות. לצורך העניין:

        ^
        |
        |  y
        |
        |
        +-----------------> x
        | \
        |  \
        | θ \

אז ניקח זה כאילו שהורדנו $90$ מעלות מהזווית $\theta$, כלומר $\theta’ = \theta - 90^\circ$. אז:

שלוש משוואות לתיאור התנועה המעגלית

1. $\theta = \omega t$
2. $\theta_2 - \theta_1 = \omega(t_2 - t_1)$
3. $\Delta\theta = \omega \Delta t$

וקטור המהירות בתנועה מעגלית

• נגזור את וקטור המקום לפי הזמן:

  \[\vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}}{dt} = -\omega R\sin(\omega t)\hat{x} + \omega R\cos(\omega t)\hat{y}\]

• גודל המהירות:

  \[\|\vec{v}\| = \sqrt{\omega^2 R^2\sin^2(\omega t) + \omega^2 R^2\cos^2(\omega t)} = \omega R\]

• המהירות המשיקית קבועה וגודלה $\omega R$

הערה: “המהירות המשיקית היא $\omega R$. $\omega$ במקרה שלנו הוא קבוע המידה (קבוע הפרופורציה). היחידות של $\omega$ הן רדיאנים לשנייה. כאשר $\omega$ (רדיאן לשנייה) כפול $R$ (מטר) נותן מהירות במטר לשנייה.”

תכונות מיוחדות

• המהירות ניצבת תמיד לוקטור המקום: $\vec{v} \cdot \vec{r} = 0$
• המהירות משיקה למעגל
• וקטור יחידה בכיוון המהירות: $\hat{v} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = -\sin(\omega t)\hat{x} + \cos(\omega t)\hat{y}$

הערת המרצה: “אם וקטור המקום הוא בכיוון הרדיוס, ווקטור המהירות ניצב לוקטור המקום, הרי שווקטור המהירות משיק למעגל. הוא בזווית של 90 מעלות מהרדיוס.”

תאוצה צנטריפטלית

תאוצה צנטריפטלית

וקטור התאוצה בתנועה מעגלית

• נגזור את וקטור המהירות לפי כלל השרשרת:

  \[\vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}}{dt} = -\omega^2 R\cos(\omega t)\hat{x} - \omega^2 R\sin(\omega t)\hat{y}\]

• ניתן לפשט זאת ל: $\vec{a}(t) = -\omega^2 \vec{r}(t)$

תוצאה חשובה: בתנועה מעגלית קצובה, התאוצה מצביעה בכיוון הפוך לוקטור המקום, כלומר לעבר מרכז המעגל, וגודלה $\omega^2 R$.

הערה: שימו לב שהתוצאה ($\vec{a}=-\omega ^2 \vec{r}$) נכונה כאשר מדובר בתנועה מעגלית קצובה. כלומר, המהירות הזוויתית קבועה ($\dot{\theta} = \omega = \mathrm{const}$) והתאוצה הזוויתית ($\ddot{\theta} = 0$) היא אפס. אם המהירות הזוויתית הייתה משתנה, אז התאוצה הזוויתית לא הייתה אפס, והיינו מקבלים תאוצה נוספת.

תשובה המרצה: “אני מזכיר לכם שאנחנו עוסקים כאן בוקטורים, ווקטור המהירות לא מאופיין רק על ידי גודל אלא גם על ידי כיוון. וכשאני נע על פני המעגל, אומנם גודל וקטור המהירות קבוע, אבל כיוון המהירות משתנה כל הזמן. אם כיוון המהירות משתנה, יש לי תאוצה משום שיש שינוי בוקטור המהירות.”

תכונות התאוצה בתנועה מעגלית

• התאוצה מצביעה בכיוון הפוך לוקטור המקום, כלומר לעבר מרכז המעגל
• גודל התאוצה: $|\vec{a}| = \omega^2 R$
• תאוצה זו נקראת “תאוצה צנטריפטלית” (centripetal acceleration) כי היא מכוונת למרכז המעגל
• המילה “צנטריפטלית” מקורה מהמילה “צנטר” (מרכז) בגרמנית

המחשה גרפית: המרצה צייר על הלוח שני וקטורי מהירות $\vec{v}(t)$ ו-$\vec{v}(t+\Delta t)$ בתנועה מעגלית, והראה שוקטור ההפרש ביניהם $\Delta \vec{v}$ תמיד יצביע לכיוון מרכז המעגל.

הערת המרצה: “שניהם, תחשבו שכש-$\Delta t$ שואף ל-0 באופן אינסופי, שניהם משיקים זה לזה, וההפרש ביניהם הוא ניצב להם. אז ההפרש של המשיקים זה יהיה בכיוון הרדיוס. זה כאילו סוגר משולש, אבל משולש עם זווית ששואפת ל-0 באופן אינסופי.”

סיכום סימונים חשובים

• $\vec{v} = \dot{\vec{r}}$ (נגזרת ראשונה של המקום)
• $\vec{a} = \dot{\vec{v}} = \ddot{\vec{r}}$ (נגזרת שנייה של המקום)
• נגזרת שלישית מסומנת בשלוש נקודות ($\dddot{\vec{r}}$) אך בדרך כלל לא נדרשת במכניקה

הערת המרצה: “במכניקה אנחנו לא רואים נגזרות שלישיות לפי הזמן, אלא רק נגזרות שניות, מסיבה שתובן בקרוב מאוד. באלקטרומגנטיות אנחנו גם רואים נגזרות שלישיות, אבל אני בספק אם נגיע לזה.”

תנועה בתאוצה קבועה

הגדרת המצב

• נניח שהתאוצה קבועה: $\vec{a}(t) = -g\hat{z}$
• כלומר, התאוצה היא בכיוון מטה (בכיוון שלילי של ציר ה-$z$)
• $g$ היא קבוע (בקרבת פני כדור הארץ, $g \approx 10 \mathrm{ m/s^2}$)

הערת המרצה: “אתם בטח שמעתם על כך שבהיעדר אוויר ובקרבת פני כדור הארץ, גופים נופלים כלפי האדמה בתאוצה שהיא גודל קבוע שקוראים לה $g$. זה לא לגמרי מדויק ואנחנו נתקן את זה בהמשך, אבל בואו נניח שזה נכון.”

מציאת וקטור המהירות באמצעות אינטגרציה

נציב $\vec{a}(t) = -g\hat{z}$:

הקבוע $\vec{C}$ נקבע על פי תנאי התחלה

הערת המרצה: “כשם שוקטור המהירות ווקטור התאוצה מתקבלים כתוצאה מנגזרות, באופן דומה אני יכול לקבל את וקטור המהירות מוקטור התאוצה ואת וקטור המקום מוקטור המהירות באמצעות אינטגרציה.”

מקרה 1: תנאי התחלה בזמן $t=0$

• אם בזמן $t=0$ המהירות היא $\vec{v}_0$, אז:

  \[\vec{v}(0) = \vec{v}_0 = -g \cdot 0 \cdot \hat{z} + \vec{C}\]

  מכאן: $\vec{C} = \vec{v}_0$

• לכן: $\vec{v}(t) = -gt\hat{z} + \vec{v}_0$

מקרה 2: תנאי התחלה בזמן $t=t_0$

• אם בזמן $t=t_0$ המהירות היא $\vec{v}(t_0)$, אז:

  \[\vec{v}(t_0) = -gt_0\hat{z} + \vec{C}\]

  מכאן: $\vec{C} = \vec{v}(t_0) + gt_0\hat{z}$

• לכן:

  \[\vec{v}(t) = -g(t-t_0)\hat{z} + \vec{v}(t_0)\]

הערת המרצה: “אני רוצה שתשימו לב. זה היה בתנאי שנתנו לי $\vec{v}$ בזמן $t=0$, אבל יכול להיות שנתונים לי את $\vec{v}$ בזמן לא $t=0$, בזמן איזשהו $t_0$ כלשהו.”

דוגמה מפורטת

• נניח $\vec{v}_0 = 3\hat{x} - 2\hat{y}$ (מהירות התחלתית במישור $xy$)
• אז: $\vec{v}(t) = -gt\hat{z} + 3\hat{x} - 2\hat{y}$
• המהירות במישור $xy$ נשארת קבועה, רק המרכיב בציר $z$ משתנה

הערת המרצה: “אתם יכולים לראות שבמישור $xy$ המהירות היא קצובה, היא לא משתנה, היא $3\hat{x} - 2\hat{y}$, ובכיוון ציר $z$ היא משתנה, היא משתנה לינארית בזמן, היא $-gt$. ככל ש-$t$ גדל, המהירות גדלה בכיוון מטה.”

הערה על יחידות: “נניח $g=10$ מטר לשנייה בריבוע. זה מתאר את תאוצת הנפילה החופשית. מה זה אומר? זה אומר שבכל שנייה גדלה המהירות ב-10 מטר לשנייה. אם אני מאיץ בתאוצה של 10,000 קילומטר לשנייה בריבוע, פירושו של דבר שבכל שנייה המהירות שלי גדלה ב-10,000 קילומטר לשנייה.”

Projectile Motion

מציאת וקטור המקום באמצעות אינטגרציה

• $\vec{r}(t) = \int \vec{v}(t) dt + \vec{C}$
• נציב $\vec{v}(t) = -g(t-t_0)\hat{z} + \vec{v}(t_0)$: $\vec{r}(t) = -g\frac{(t-t_0)^2}{2}\hat{z} + \vec{v}(t_0)(t-t_0) + \vec{r}_0$
• במקרה של $t_0=0$ והמהירות ההתחלתית $\vec{v}_0 = 3\hat{x} - 2\hat{y}$: $\vec{r}(t) = -g\frac{t^2}{2}\hat{z} + 3t\hat{x} - 2t\hat{y} + \vec{r}_0$

חישוב האינטגרל: המרצה הדגים את חישוב האינטגרל $\int (t-t_0) dt = \frac{(t-t_0)^2}{2}$ והסביר: “האינטגרל של $t-t_0$ לפי $dt$ שווה לאינטגרל של $y \cdot dy$ (אם נקרא ל-$t-t_0$ בשם $y$), וזה שווה ל-$\frac{y^2}{2}$, כלומר $\frac{(t-t_0)^2}{2}$.”

דוגמה מפורטת עם מיקום התחלתי

• נתון:
  • $\vec{r}_0 = -\hat{x} + 3\hat{y} + 2\hat{z}$ (מיקום התחלתי)
  • $\vec{v}_0 = 3\hat{x} - 2\hat{y}$ (מהירות התחלתית)
  • $\vec{a} = -g\hat{z}$ (תאוצה קבועה כלפי מטה)
• נציב באינטגרל ונקבל: $\vec{r}(t) = (3t-1)\hat{x} + (3-2t)\hat{y} + (2-\frac{gt^2}{2})\hat{z}$
• זהו וקטור המיקום בכל זמן $t$

הערת המרצה: “תנו לי איזה $t$ שאתם רוצים, $t$ שווה ל-157 שניות, ואני אגיד לכם בדיוק איפה יהיה הגוף בזמן $t$ שווה ל-157 שניות. זה דבר מדהים, שיש לי אפשרות לדעת בדיוק מה יהיה וקטור המקום שלו בעוד שנה. זה עוצמה גדולה מאוד, יש לי פה יכולת חיזוי פנטסטית.”

תנועה יחסית

מיקום יחסי

• נניח שיש שני גופים $A$ ו-$B$ עם וקטורי מקום $\vec{r}_A$ ו-$\vec{r}_B$ ביחס לראשית צירים קבועה
• וקטור המקום של $B$ ביחס ל-$A$ הוא: $\vec{r}_{AB} = \vec{r}_B - \vec{r}_A$
• המיקום היחסי מתאר איפה נמצא גוף $B$ מנקודת המבט של גוף $A$

הערת המרצה: “הבחירה של ראשית הצירים היא שרירותית, אבל מרגע שבחרנו אותה, אנחנו צריכים להיות עקביים ותמיד להתייחס לאותה ראשית צירים.”

מהירות יחסית

• אם המהירויות של שני גופים הן $\vec{v}_A$ ו-$\vec{v}_B$
• המהירות של $B$ יחסית ל-$A$ היא: $\vec{v}_{AB} = \vec{v}_B - \vec{v}_A$

תנועה יחסית

דוגמה 1: מהירות יחסית בתנועה בקו ישר

• “אני נע במהירות של 50 קמ״ש צפונה ויותם נע במהירות של 100 קמ״ש צפונה.”
• “איך יותם רואה אותי? הוא רואה אותי 50$\hat{x}$ מינוס 100$\hat{x}$, שזה שווה למינוס 50$\hat{x}$.”
• “ובאמת מנקודת מבטו של יותם, אני נע דרומה במהירות של 50 קילומטר לשעה, כי הוא נע 100 ואני נע 50, הוא מתרחק ממני. מנקודת ראותו, הוא רואה אותי מתרחק דרומה במהירות של 50 קילומטר לשעה.”

דוגמה 2: תנועה מורכבת

• “אם אני נע במסלול מאוד מסובך על פני כדור הארץ, ויושב לו חייזר על הירח ורוצה לדעת מה המהירות שלי ביחס אליו…”
• “כל מה שהוא צריך לעשות הוא לשאול: מהי המהירות שלו ביחס לאיזשהו ראשית צירים (נניח השמש), ומהי המהירות שלי ביחס לאותה ראשית צירים, ואז לחשב $\vec{v}_B - \vec{v}_A$.”

הערת המרצה על יישומים: “וכך אני יכול למשל לקחת את טיל החץ ולכוון. בטיל החץ אני רק צריך לדעת מה זה $\vec{v}(t)$ של כל אחד מהם. זה לא כל כך נורא. אם יש לי מכ”ם טוב, אני יודע לעשות שחזור של מסלול, אני יודע מה הוא $\vec{v}(t)$, אני יודע מה הוא $\Delta \vec{v}$, אז אני יכול לדעת כל הזמן מהי המהירות היחסית, ובהתאם לכך אני יכול לכוון את הטיל ולקלוע.”

הערה לקראת סוף השיעור: “רוב הסיכויים שהבחינה יהיה עם חומר פתוח. ורוב הסיכויים, אם לא תהיינה שאלות חישוביות, אז אין סיבה להכניס מחשבון לבחינה. אם תהיינה שאלות חישוביות, אז כנראה שאפשר יהיה להכניס.”

נוסחאות מרכזיות:

1. וקטור מקום: $\vec{r}(t) = x(t)\hat{x} + y(t)\hat{y} + z(t)\hat{z}$
2. וקטור העתק: $\Delta \vec{r} = \vec{r}(t + \Delta t) - \vec{r}(t)$
3. וקטור מהירות: $\vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}}{dt} = \dot{\vec{r}}$
4. וקטור תאוצה: $\vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}}{dt} = \dot{\vec{v}} = \ddot{\vec{r}}$
5. תנועה מעגלית - וקטור מקום: $\vec{r}(t) = R\cos(\omega t)\hat{x} + R\sin(\omega t)\hat{y}$
6. תנועה מעגלית - מהירות: $\vec{v}(t) = -\omega R\sin(\omega t)\hat{x} + \omega R\cos(\omega t)\hat{y}$
7. גודל המהירות בתנועה מעגלית: $|\vec{v}| = \omega R$
8. תנועה מעגלית - תאוצה: $\vec{a}(t) = -\omega^2 \vec{r}(t)$
9. גודל התאוצה בתנועה מעגלית: $|\vec{a}| = \omega^2 R$
10. תנועה בתאוצה קבועה - מהירות: $\vec{v}(t) = -gt\hat{z} + \vec{v}_0$ או $\vec{v}(t) = -g(t-t_0)\hat{z} + \vec{v}(t_0)$
11. תנועה בתאוצה קבועה - מקום: $\vec{r}(t) = -g\frac{t^2}{2}\hat{z} + \vec{v}_0 t + \vec{r}_0$ או $\vec{r}(t) = -g\frac{(t-t_0)^2}{2}\hat{z} + \vec{v}(t_0)(t-t_0) + \vec{r}(t_0)$
12. תנועה יחסית - מיקום: $\vec{r}_{AB} = \vec{r}_B - \vec{r}_A$
13. תנועה יחסית - מהירות: $\vec{v}_{AB} = \vec{v}_B - \vec{v}_A$

הערות חשובות:

1. התאוצה הצנטריפטלית קיימת גם כאשר המהירות המשיקית קבועה בגודלה, כי כיוון המהירות משתנה.
2. בתנועה עם תאוצה קבועה (כמו נפילה חופשית), ניתן לחזות את המיקום בכל זמן עתידי בהינתן תנאי התחלה.
3. תאוצה מתארת שינוי במהירות - או בגודל או בכיוון או בשניהם.
4. אינטגרציה של תאוצה נותנת מהירות עד כדי קבוע, שנקבע על ידי תנאי התחלה.
5. אינטגרציה של מהירות נותנת מיקום עד כדי קבוע, שנקבע על ידי תנאי התחלה.
6. יחידות התאוצה הן מטר לשנייה בריבוע, המשמעות היא שינוי של X מטר לשנייה בכל שנייה.
7. המרצה מקפיד להבחין בין ספיד (גודל המהירות) לבין וקטור המהירות (גודל וכיוון).
8. הבחירה של ראשית צירים היא שרירותית, אך יש להיות עקביים ולהתייחס לאותה ראשית צירים.
9. בשיעור הבא יהיה דיון נוסף על כיוון התאוצה.