העמוד עדיין בשלבי כתיבה.
חזרה
נושאים שנלמדו עד כה:
- מטען חשמלי
- שדה חשמלי
- מוליכים ומבודדים
- קבלים ודיאלקטריקה
הגדרות מקדימות למשוואות מקסוול בחומר דיאלקטרי
חומר דיאלקטרי
חומר שההתנגדות שלו לשדה חשמלי היא קבועה (לינארית). לחומר כזה יש פרמיטיביות $\epsilon$ שפרופורציונלית לפרמיטיביות הריק $\epsilon_0$.
שדה חשמלי של מטען נקודתי בחומר דיאלקטרי
\[\vec{E} = \frac{q}{4\pi \epsilon r^2} \hat{r} = \frac{1}{\epsilon} \left(\frac{q}{4\pi r^2} \hat{r}\right) = \frac{1}{\epsilon} \vec{D}\]יחידות
| גודל | יחידות | הסבר |
|---|---|---|
| $\vec{E}$ (שדה חשמלי) | $\left[\frac{\text{N}}{\text{C}}\right]$ או $\left[\frac{\text{V}}{\text{m}}\right]$ | כוח ליחידת מטען |
| $\epsilon$ (פרמיטיביות) | $\left[\frac{\text{C}^2}{\text{N} \cdot \text{m}^2}\right]$ | קבוע החומר |
| $\vec{D}$ (צפיפות שטף חשמלי) | $\left[\frac{\text{C}}{\text{m}^2}\right]$ | מטען ליחידת שטח |
ההבדל בין $\vec{D}$ ל-$\vec{E}$
| גודל | תלות בחומר | כינוי |
|---|---|---|
| $\vec{D}$ - צפיפות השטף החשמלי | לא תלוי בטיב החומר | “אובייקטיבי” |
| $\vec{E}$ - השדה החשמלי | כן תלוי בחומר | “סובייקטיבי” |
מסקנה: פרמיטיביות גדולה יותר ← שדה חשמלי $\vec{E}$ קטן יותר בתוך החומר.
כוח לורנץ
כוח לורנץ הוא אחת ההגדרות לשדה החשמלי והמגנטי:
\[\vec{F} = q\vec{E} + q(\vec{v} \times \vec{B}) = q\vec{E} + q|\vec{v}||\vec{B}|\sin(\theta)\hat{n}\]פירוש הרכיבים
| רכיב | תיאור |
|---|---|
| $q\vec{E}$ | כוח חשמלי - פועל בכיוון השדה (או נגדו) |
| $q(\vec{v} \times \vec{B})$ | כוח מגנטי - פועל בניצב למהירות ולשדה המגנטי |
- השדה החשמלי מפעיל כוח ישר על המטען
- השדה המגנטי מפעיל כוח סיבובי/עירבולי בניצב למהירות המטענים, וגורם להם להתעקל
- כיוון הנורמל $\hat{n}$ נקבע לפי כלל יד ימין
זרם חשמלי
הגדרות בסיסיות
\[I = \frac{dq}{dt}\]זרם חשמלי = קצב מעבר מטענים. יחידות: אמפר $\left[\frac{\text{C}}{\text{s}}\right]$
צפיפות זרם נפחית
\[\vec{J} = \rho \vec{v}\]כאשר:
- $\rho$ - צפיפות המטען הנפחית $\left[\frac{\text{C}}{\text{m}^3}\right]$
- $\vec{v}$ - מהירות סחיפה של נושאי המטען
זרם כשטף של צפיפות זרם
\[I = \int_S (\vec{J} \cdot \hat{n}) \, dA\]הזרם הכולל דרך משטח $S$ שווה לאינטגרל של רכיב צפיפות הזרם הניצב למשטח.
תרגיל: זרם מטען בגליל
גליל ארוך בעל רדיוס $R$ מכיל נושאי מטען בעלי צפיפות מטען נפחית:
\[\rho(r) = \rho_0 \left(\frac{r}{R}\right)\]הנעים במהירות סחיפה קבועה $\vec{v} = v_0 \hat{z}$.
מצאו את צפיפות הזרם הנפחית $\vec{J}(r)$ ואת הזרם הכולל $I$ העובר דרך חתך של הגליל.
פתרון
שלב 1: נרשום את צפיפות המטען:
\[\rho(r) = \underbrace{\frac{\rho_0}{R}}_{\text{const}} \cdot r\]שלב 2: נחשב את צפיפות הזרם:
\[\vec{J}(r,\phi,z,t) = \rho \cdot \vec{v} = \frac{\rho_0}{R} r \cdot v_0 \hat{z} = \frac{\rho_0 v_0}{R} r \hat{z}\]שלב 3: נחשב את הזרם הכולל דרך חתך הגליל:
\[I = \int_S (\vec{J} \cdot \hat{n}) \, dA = \int_0^{2\pi} \int_0^R \left(\frac{\rho_0 v_0}{R} r \hat{z} \cdot \hat{z}\right) r \, dr \, d\phi\]הערות:
- $\hat{n} = \hat{z}$ כי החתך ניצב לציר הגליל
- $\hat{z} \cdot \hat{z} = 1$
צפיפות השטף המגנטי $\vec{H}$
\[\vec{B} = \mu \vec{H}\]| גודל | תיאור | יחידות | תלות בחומר |
|---|---|---|---|
| $\vec{B}$ | השדה המגנטי | טסלה $[\text{T}]$ | “סובייקטיבי” - תלוי בחומר |
| $\vec{H}$ | עוצמת השדה המגנטי | אמפר למטר $\left[\frac{\text{A}}{\text{m}}\right]$ | “אובייקטיבי” - לא תלוי בחומר |
| $\mu$ | פרמאביליות המדיום | הנרי למטר $\left[\frac{\text{H}}{\text{m}}\right]$ | קבוע פרופורציונלי ל-$\mu_0$ |
ארבע משוואות מקסוול
1. משוואת הרציפות (שימור מטען)
\[\vec{\nabla} \cdot \vec{J} = -\frac{\partial \rho}{\partial t}\]פרשנות: שפיעה (דיברגנס) מקומית של צפיפות הזרם גורמת להקטנת צפיפות המטען. אין יצירה או בליעה של מטענים - זוהי הגרסה הזרימתית של חוק שימור המטען.
2. חוק גאוס החשמלי
\[\vec{\nabla} \cdot \vec{D} = \rho_f\]פרשנות: מקור השפיעה של צפיפות השטף החשמלי הוא צפיפות המטען החשמלי החופשי שבתוך אלמנט הנפח.
גרסה אינטגרלית:
\[\oint_S (\vec{E} \cdot \hat{n}) \, dA = \frac{q_{enc}}{\epsilon_0} \quad \Rightarrow \quad \oint_S (\vec{D} \cdot \hat{n}) \, dA = q_{enc,f}\]3. חוק גאוס המגנטי
\[\vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0\]פרשנות: לשדה המגנטי אין מקורות מגנטיים (מונופולים) שיוצרים שפיעה שלו. קווי השדה המגנטי תמיד סגורים.
4. חוק פאראדיי
\[\vec{\nabla} \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\]פרשנות: שינוי בשדה המגנטי יוצר “מערבולות חשמליות” (שדה חשמלי עירבולי) בניצב לכיוון השדה.
5. חוק אמפר-מקסוול
\[\vec{\nabla} \times \vec{H} = \vec{J} + \frac{\partial \vec{D}}{\partial t}\]פרשנות: צפיפות זרם + שינוי בצפיפות השטף החשמלי יוצרים “מערבולות מגנטיות” (שדה מגנטי עירבולי) בניצב לכיוונם.
סיכום משוואות מקסוול
| משוואה | צורה דיפרנציאלית | משמעות פיזיקלית |
|---|---|---|
| גאוס חשמלי | $\vec{\nabla} \cdot \vec{D} = \rho_f$ | מטענים יוצרים שפיעה חשמלית |
| גאוס מגנטי | $\vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0$ | אין מונופולים מגנטיים |
| פאראדיי | $\vec{\nabla} \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$ | שינוי $\vec{B}$ יוצר מערבולות $\vec{E}$ |
| אמפר-מקסוול | $\vec{\nabla} \times \vec{H} = \vec{J} + \frac{\partial \vec{D}}{\partial t}$ | זרם ושינוי $\vec{D}$ יוצרים מערבולות $\vec{H}$ |
תרגיל: כדור טעון מסתובב - צפיפות זרם וזרם
כדור בעל רדיוס $R$ עשוי חומר מבודד, ממוקם כך שמרכזו בראשית הצירים. הכדור מסתובב סביב ציר קבוע בכיוון $\hat{z}$ במהירות זוויתית התלויה בזמן:
\[\vec{\omega} = \omega t \hat{z}\]הכדור עצמו אינו נע במרחב (רק מסתובב).
המהירות של נקודה בכדור שמיקומה $\vec{r}$ נתונה על ידי:
\[\vec{v}(\vec{r},t) = \vec{\omega}(t) \times \vec{r}\]צפיפות המטען הנפחית בכדור נתונה ותלויה רק במרחק מן המרכז:
\[\rho(\vec{r}) = \rho(r) = \begin{cases} \rho_0 \left(1 - \frac{r^2}{R^2}\right) & r \leq R \\ 0 & r > R \end{cases}\]חלק 1: חשבו את צפיפות הזרם החשמלי הנפחית $\vec{J}(\vec{r},t)$ בכל מקום במרחב, והביעו אותה בקואורדינטות ספריות.
חלק 2: נבחר משטח $S$ שהוא משטח מרידיאני של הכדור, המוגדר על ידי $\phi = \phi_0 = \text{const}$ והחסום על ידי $0 \leq \theta \leq \pi$ ו-$0 \leq r \leq R$. חשבו את הזרם הכולל $I(t)$ העובר דרך המשטח $S$:
\[I(t) = \iint_S \vec{J} \cdot d\vec{A}\]
פתרון חלק 1 - צפיפות הזרם הנפחית
שלב 1: נחשב את המכפלה הווקטורית $\vec{\omega} \times \vec{r}$:
בקואורדינטות ספריות: $\vec{r} = r\hat{r}$
\[\vec{\omega} \times \vec{r} = (\omega t \hat{z}) \times (r\hat{r})\]נשתמש בקשר: $\hat{z} \times \hat{r} = \sin\theta \hat{\phi}$ (בקואורדינטות ספריות)
\[\vec{v} = \omega t \cdot r \sin\theta \hat{\phi}\]שלב 2: נחשב את צפיפות הזרם:
\[\vec{J} = \rho \vec{v} = \rho_0 \left(1 - \frac{r^2}{R^2}\right) \cdot \omega t \cdot r \sin\theta \hat{\phi}\]התוצאה:
\[\boxed{\vec{J}(r,\theta,t) = \begin{cases} \rho_0 \omega t \cdot r \sin\theta \left(1 - \frac{r^2}{R^2}\right) \hat{\phi} & r \leq R \\ 0 & r > R \end{cases}}\]הערה: צפיפות הזרם בכיוון $\hat{\phi}$ (אזימוטלי) - הגיוני כי הכדור מסתובב סביב ציר $\hat{z}$.
המשך יבוא בתרגול הבא - בהצלחה!
דור פסקל