פיזיקה לרפואנים

בעיית החבל המשתלשל

נניח שחבל משתלשל מקצה של שולחן. הפרמטרים והיחידות שלהם:

$L\ \text{m}$ - אורך החבל הכולל
$g\ \text{m/s}^2$ - תאוצת הכבידה
$x(t)$ - אורך החבל המשתלשל (מחוץ לשולחן) בזמן $t$
$\rho\ \text{kg/m}$ - צפיפות החבל
$t\ \text{s}$ - זמן
$v(t)\ \text{m/s}$ - מהירות החבל

תנאי התחלה ($t=0$)

\[\begin{cases} x(0) = x_0\ \text{m} \\ \dot{x}(0) = v(0) = 0\ \text{m/s} \end{cases}\]

אנחנו מניחים שהחבל מתחיל ממנוחה, כלומר המהירות ההתחלתית היא אפס, וצריכים למצוא:

$v(t)\ \text{m/s}$ - מהירות החבל בזמן $t$
$x(t)\ \text{m}$ - אורך החבל המשתלשל בזמן $t$
$T\ \text{s}$ - זמן ההחלקה המלאה של החבל מהשולחן (כאשר $x(T) = L$)

alt text

תחילה נניח שאין חיכוך. נסמן:

$m = \rho L$ - המסה הכוללת של החבל [ק”ג]
$m^* = \rho x$ - המסה של החלק המשתלשל [ק”ג]

נתבונן בכוחות הפועלים על המערכת:

כוח הכבידה על החלק המשתלשל: $F_g = m^* g = \rho x g \left[\text{N}\right]$
אין חיכוך בין החבל לשולחן

לפי החוק השני של ניוטון, הכוח השקול מייצר תאוצה בכל המסה של החבל. בצורה הכללית של החוק השני של ניוטון:

\[\underbrace{F}_{\text{force}} = \underbrace{m}_{\text{mass}} \cdot \underbrace{a}_{\text{velocity}} \tag{1}\]

נציב את הערכים המתאימים במשאוואה $(1)$:

\[\underbrace{\rho x(t) g}_{\text{forces on the rope}} = \underbrace{\rho L}_{\text{rope mass}} \cdot \underbrace{\ddot{x}(t)}_{\text{rope velociry}} \tag{2}\]

נסביר את משוואה $(2)$:

הכוח הפועל: $\underbrace{\rho x g}_{\text{weight of the falling part}}$
- $\rho$ = צפיפות החבל [ק”ג/מטר]
- $x(t)$ = אורך החלק המשתלשל בזמן $t$ [מטר]
- $g$ = תאוצת הכבידה [מטר/שנייה²]
המסה המואצת: $\underbrace{\rho L}_{\text{rope velocity}}$
- $\rho$ = צפיפות החבל [ק”ג/מטר]
- $L$ = האורך הכולל של החבל [מטר]
התאוצה: $\underbrace{\ddot{x}}_{\text{2nd derivient of }x\text{ in time t}}$

נפשט את משוואה $(2)$:

\[\begin{aligned} \rho x g &= \rho L \ddot{x} \\ \ddot{x} &= \underbrace{\frac{g}{L}}_{\text{constant}} \cdot \underbrace{x}_{\text{falling part length}} \end{aligned}\]

זוהי המשוואה הדיפרנציאלית המתארת את תנועת החבל. אם נסמן $\omega^2 = \frac{g}{L}$, נקבל:

\[\ddot{x} = \underbrace{\omega^2}_{\text{constant}} \cdot x \tag{3}\]

היחידות של $\omega^2$ הן [1/שנייה²], מכיוון ש-$g$ הוא תאוצת הכבידה [מטר/שנייה²] ו-$L$ הוא אורך החבל [מטר].

alt text

פתרון המשוואה הדיפרנציאלית

alt text

משוואה $(3)$ היא משוואה דיפרנציאלית לינארית הומוגנית מסדר שני. הפתרון הכללי הוא:

\[x(t) = A\cosh(\omega t) + B\sinh(\omega t) \,\text{m} \tag{4}\]

כאשר:

$\cosh(y) = \frac{e^y + e^{-y}}{2}$ (פונקציית הקוסינוס ההיפרבולי)
$\sinh(y) = \frac{e^y - e^{-y}}{2}$ (פונקציית הסינוס ההיפרבולי)
$A$ ו-$B$ הם קבועים שנקבעים לפי תנאי ההתחלה [M]

מציאת הקבועים A ו-B

נשתמש בתנאי ההתחלה כדי למצוא את הקבועים $A$ ו-$B$:

תנאי ראשון: $x(0) = x_0$

נציב $t = 0$ בפתרון הכללי (משוואה $(4)$):
\[x(0) = A\cosh(0) + B\sinh(0)\]
מכיוון ש-$\cosh(0) = 1$ ו-$\sinh(0) = 0$, מתקבל:
\[x_0 = A \cdot 1 + B \cdot 0 = A\]
לכן $\boxed{A = x_0 \ \text{m}}$.
תנאי שני: $\dot{x}(0) = 0$

נחשב את הנגזרת של $x(t)$:
\[\dot{x}(t) = A\omega\sinh(\omega t) + B\omega\cosh(\omega t) \,\text{m/s}\]
נציב $t = 0$:
\[\dot{x}(0) = A\omega\sinh(0) + B\omega\cosh(0)\]
מכיוון ש-$\sinh(0) = 0$ ו-$\cosh(0) = 1$, מתקבל:
\[\begin{aligned} 0 &= 0 + B\omega \cdot 1 \\ B \omega &= 0 \end{aligned}\]
לכן $\boxed{B = 0 \ \text{m}}$.

הפתרון המלא

כעת, כאשר $A = x_0$ ו-$B = 0$, הפתרון המלא הוא:

\[\begin{aligned} x(t) &= \underbrace{A}_{x_0}\cosh(\omega t) + \underbrace{B}_{0}\sinh(\omega t) \\ &= x_0 \cosh(\omega t) + 0 \\ &= x_0 \cosh(\omega t) \,\text{m} \end{aligned}\]

והמהירות:

\[v(t) = \dot{x}(t) = x_0 \omega \sinh(\omega t) \,\text{m/s}\]

חישוב זמן ההחלקה המלאה

alt text

זמן ההחלקה המלאה $T$ הוא הזמן שבו $x(T) = L$, כלומר כל החבל נמצא מחוץ לשולחן:

\[x_0 \cosh(\omega T) = L\] \[\cosh(\omega T) = \frac{L}{x_0}\] \[\omega T = \cosh^{-1}\left(\frac{L}{x_0}\right)\] \[T = \frac{1}{\omega}\cosh^{-1}\left(\frac{L}{x_0}\right) = \sqrt{\frac{L}{g}}\cosh^{-1}\left(\frac{L}{x_0}\right) \,\text{s}\]

הסבר פיזיקלי

פתרון זה מראה שתנועת החבל היא לא בתאוצה קבועה אלא בתאוצה שגדלה עם הזמן. ככל שיותר חבל משתלשל, כך גדל הכוח המושך, וכתוצאה מכך גדלה התאוצה. זהו מקרה של “משוב חיובי” - תהליך שמגביר את עצמו.

ככל שהחלק המשתלשל ההתחלתי ($x_0$) גדול יותר, כך זמן ההחלקה ($T$) קטן יותר. זה הגיוני פיזיקלית כי חלק משתלשל גדול יותר מייצר כוח משיכה חזק יותר מההתחלה.

גרסה עם חיכוך

הסבר על חיכוך

החיכוך הוא כוח המתנגד לתנועה היחסית בין שני משטחים במגע. ישנם שני סוגי חיכוך:

חיכוך סטטי ($f_s$) - פועל כאשר הגוף במנוחה ומונע ממנו להתחיל לנוע
חיכוך קינטי ($f_k$) - פועל כאשר הגוף בתנועה ומאט אותו

עוצמת כוח החיכוך הקינטי מתוארת על ידי:

\[f_k = \mu_k N \left[\text{N}\right]\]

כאשר $\mu_k$ הוא מקדם החיכוך הקינטי ו-$N$ הוא הכוח הנורמלי.

ניתוח הכוחות עם חיכוך

הכוח הנורמלי שווה למשקל החלק של החבל שעל השולחן:

\[\begin{align} N &= (m-m^*)g \\ &= (\rho L - \rho x)g \\ &= \rho(L-x)g \left[\text{N}\right] \end{align}\]

לכן, כוח החיכוך הקינטי יהיה:

\[f_k = \mu_k N = \mu_k \rho (L - x) g \left[\text{N}\right]\]

החוק השני של ניוטון קובע כי הכוח השקול הפועל על גוף שווה למכפלת מסת הגוף בתאוצתו: $F = m \cdot a$. בבעיית החבל המשתלשל, נפעל בשלבים מסודרים:

שלב 1: זיהוי הכוחות הפועלים על המערכת

הכוחות העיקריים הפועלים על החבל:

כוח הכובד על החלק המשתלשל ($m^* g$):
- פועל כלפי מטה
- $m^* = \rho x$ היא מסת החלק המשתלשל
- $m^* g = \rho x g \ \text{N}$
כוח החיכוך הקינטי ($f_k$):
- פועל בכיוון המתנגד לתנועה (מושך את החבל חזרה)
- $f_k = \mu_k N$ כאשר $N$ הוא הכוח הנורמלי
- $N = \rho (L-x) g$ היא משקל החלק הנמצא על השולחן
- $f_k = \mu_k \rho (L-x) g \ \text{N}$

שלב 2: חישוב הכוח השקול (סכום הכוחות)

הכוח השקול הוא ההפרש בין כוח הכובד המושך את החבל מטה לבין כוח החיכוך המעכב את התנועה:

\[\sum F = m^* g - f_k\]

נציב את הביטויים המפורטים:

\[\sum F = \rho x g - \mu_k \rho (L-x) g\]

שלב 3: יישום החוק השני של ניוטון

לפי החוק השני של ניוטון, הכוח השקול שווה למכפלת המסה בתאוצה. המסה של כל החבל היא $m = \rho L$, והתאוצה היא $\ddot{x}$:

\[\sum F = m \cdot a\] \[\rho x g - \mu_k \rho (L-x) g = \rho L \cdot \ddot{x}\]

שלב 4: פיתוח מתמטי לקבלת המשוואה הדיפרנציאלית

נפתח את המשוואה שלב אחר שלב:

\[\rho L \cdot \ddot{x} = \rho x g - \mu_k \rho (L-x) g\]

נחלק את שני האגפים ב-$\rho L$ כדי לבודד את התאוצה $\ddot{x}$:

\[\ddot{x} = \frac{\rho x g - \mu_k \rho (L-x) g}{\rho L}\]

נצמצם את $\rho$ בכל האגפים:

\[\ddot{x} = \frac{x g - \mu_k (L-x) g}{L}\]

נוציא גורם משותף $g$:

\[\ddot{x} = \frac{g}{L} [x - \mu_k (L-x)]\]

נפתח את הסוגריים:

\[\ddot{x} = \frac{g}{L} [x - \mu_k L + \mu_k x]\]

נאסוף איברים:

\[\ddot{x} = \frac{g}{L} [(1 + \mu_k)x - \mu_k L]\]

נפתח את הסוגריים שוב:

\[\ddot{x} = \frac{g}{L} (1 + \mu_k) x - \frac{g}{L} \mu_k L\]

נפשט:

\[\ddot{x} = \frac{g}{L} (1 + \mu_k) x - \mu_k g \left[\frac{\text{M}}{\text{S}^2}\right]\]

סיכום והסבר פיזיקלי

המשוואה הסופית שקיבלנו:

\[\ddot{x} = \frac{g}{L} (1 + \mu_k) x - \mu_k g\]

משמעות פיזיקלית:

האיבר הראשון $\frac{g}{L} (1 + \mu_k) x$ מייצג את ההאצה בגלל כוח הכובד וההשפעה של החיכוך על החלק המשתלשל. ככל שהחלק המשתלשל גדל, כך גדלה ההאצה.
האיבר השני $\mu_k g$ הוא קבוע שלילי המייצג את ההשפעה המעכבת של החיכוך.

כשמגדירים $\omega^2 = \frac{g}{L} (1 + \mu_k)$, מקבלים משוואה דיפרנציאלית בצורה קומפקטית:

\[\ddot{x} = \omega^2 x - \mu_k g\]

זוהי משוואה דיפרנציאלית לינארית לא הומוגנית מסדר שני, שהפתרון שלה יהיה סכום של פתרון המשוואה ההומוגנית ופתרון פרטי.

נגדיר $\omega^2 = \frac{g}{L} (1 + \mu_k) \ \text{[1/s²]}$, כך שהמשוואה הסופית היא:

\[\ddot{x} = \omega^2 x - \mu_k g\]

זוהי משוואה דיפרנציאלית לא הומוגנית מסדר שני.

פתרון המשוואה הדיפרנציאלית עם חיכוך

הפתרון הכללי למשוואה מסוג זה מורכב מהפתרון של המשוואה ההומוגנית (ללא האיבר הקבוע) ומפתרון פרטי:

\[x(t) = A\cosh(\omega t) + B\sinh(\omega t) + C \,\text{m}\]

נציב את הפתרון הפרטי $C$ במשוואה המקורית:

\[\ddot{C} = \omega^2 C - \mu_k g\]

מכיוון ש-$C$ הוא קבוע, אז $\ddot{C} = 0$:

\[0 = \omega^2 C - \mu_k g\] \[C = \frac{\mu_k g}{\omega^2} = \frac{\mu_k g}{\frac{g}{L} (1 + \mu_k)} = \frac{\mu_k L}{1 + \mu_k} \,\text{m}\]

לכן, הפתרון הכללי:

\[x(t) = A\cosh(\omega t) + B\sinh(\omega t) + \frac{\mu_k L}{1 + \mu_k}\]

נשתמש בתנאי ההתחלה כדי למצוא את הקבועים $A$ ו-$B$:

תנאי ראשון: $x(0) = x_0$
\[x(0) = A\cosh(0) + B\sinh(0) + \frac{\mu_k L}{1 + \mu_k}\] \[x_0 = A \cdot 1 + 0 + \frac{\mu_k L}{1 + \mu_k}\] \[A = x_0 - \frac{\mu_k L}{1 + \mu_k} \,\text{m}\]
תנאי שני: $\dot{x}(0) = 0$
\[\dot{x}(t) = A\omega\sinh(\omega t) + B\omega\cosh(\omega t) + 0\] \[\dot{x}(0) = A\omega\sinh(0) + B\omega\cosh(0)\] \[0 = 0 + B\omega \cdot 1\] \[B = 0 \,\text{m}\]

לכן, הפתרון המלא:

\[x(t) = \left(x_0 - \frac{\mu_k L}{1 + \mu_k}\right)\cosh(\omega t) + \frac{\mu_k L}{1 + \mu_k} \,\text{m}\]

והמהירות:

\[v(t) = \left(x_0 - \frac{\mu_k L}{1 + \mu_k}\right)\omega\sinh(\omega t) \,\text{m/s}\]

תנאי הסף להחלקה

טרם תחילת התנועה, חיכוך סטטי מונע את תנועת החבל. החבל יחל להחליק רק כאשר כוח המשיכה של החלק המשתלשל יהיה גדול מכוח החיכוך הסטטי המקסימלי:

\[F_{\text{משיכה}} > F_{\text{חיכוך סטטי מקסימלי}}\] \[\rho g x_0 > \mu_s \rho g (L - x_0)\]

פישוט:

\[x_0 > \frac{\mu_s L}{1 + \mu_s} \,\text{m}\]

זהו תנאי הסף להחלקה. אם החלק המשתלשל ההתחלתי קטן מדי, החבל כלל לא יחל להחליק!

זמן ההחלקה המלאה עם חיכוך

לחישוב זמן ההחלקה המלאה, נציב $x(T) = L$:

\[\left(x_0 - \frac{\mu_k L}{1 + \mu_k}\right)\cosh(\omega T) + \frac{\mu_k L}{1 + \mu_k} = L\]

פישוט:

\[\left(x_0 - \frac{\mu_k L}{1 + \mu_k}\right)\cosh(\omega T) = L - \frac{\mu_k L}{1 + \mu_k} = \frac{L}{1 + \mu_k}\] \[\cosh(\omega T) = \frac{\frac{L}{1 + \mu_k}}{x_0 - \frac{\mu_k L}{1 + \mu_k}} = \frac{L}{(1 + \mu_k)(x_0 - \frac{\mu_k L}{1 + \mu_k})}\]

ומכאן:

\[T = \frac{1}{\omega}\cosh^{-1}\left(\frac{L}{(1 + \mu_k)(x_0 - \frac{\mu_k L}{1 + \mu_k})}\right) \,\text{s}\] \[T = \sqrt{\frac{L}{g(1+\mu_k)}}\cosh^{-1}\left(\frac{L(1+\mu_k)}{(1+\mu_k)x_0 - \mu_k L}\right) \,\text{s}\]

הסבר פיזיקלי להשפעת החיכוך

החיכוך מתנגד לתנועת החבל ומאט את קצב ההחלקה. כתוצאה מכך:

נדרש ערך מינימלי של $x_0$ כדי שהחבל יתחיל בכלל להחליק. אם $x_0 \leq \frac{\mu_s L}{1 + \mu_s}$, החבל יישאר במנוחה.
זמן ההחלקה המלאה $T$ גדול יותר בהשוואה למקרה ללא חיכוך, שכן החיכוך מאט את תנועת החבל.
הפתרון כולל איבר קבוע $\frac{\mu_k L}{1 + \mu_k}$ שמייצג את ההשפעה של החיכוך על דינמיקת המערכת.
החיכוך גם משנה את ערך $\omega$ (מ-$\sqrt{\frac{g}{L}}$ ל-$\sqrt{\frac{g}{L}(1+\mu_k)}$), מה שמשפיע על קצב הגידול של המהירות וההאצה.

במקרה הגבולי שבו $\mu_k = 0$ (אין חיכוך), נקבל $\omega^2 = \frac{g}{L}$ ו-$C = 0$, והפתרון יהיה זהה לפתרון שמצאנו במקרה הראשון:

\[x(t) = x_0 \cosh(\omega t)\]

זה מאשר את נכונות הפתרון הכללי שלנו.

דור פסקל

5 במאי 2025

חזרה לשיעור 5
חזור לשיעור 6