להלן פתרונות שלי לבוחן מג׳ונרט שהועלה לתרגול. קחו את הדברים בערבון מוגבל. בהצלחה!
שאלה 3-1: טבעת ״פגומה״ (סופרפוזיציה וסימטריה)
נתונה טבעת דקה מחומר מבודד ברדיוס $R$, המונחת במישור $xy$ ומרכזה בראשית הצירים. הטבעת טעונה בצפיפות מטען אורכית אחידה וחיובית $\lambda$. מחסירים (חותכים החוצה) מהטבעת קשת קטנה מאוד באורך $L (L \ll R)$ הנמצאת בדיוק בראש הטבעת (על צירך ה-$y$ החיובי, בנקודה $(0,R)$).
1. מהו כיוון וגודל השדה החשמלי בראשית הצירים (מרכז הטבעת)?
משיקולי סימטרייה כל המטענים מתאפסים למעט המטען מכיוון מטה, שכעת יכול לצאת דרך הקשת העליונה שהחסרנו (זה כמו להוסיף מטען הפוך).
אפשר אולי לחשב מסופר פוזיציה.
ברגיל זה אפס. כדי לחשב את השדה החשמלי של המטען שהוספנו (החסרנו) ניעזר בדף הנוחסאות.
הנוסחה לחישוב שדה חשמלי של מטען נקודתי היא:
\[\vec{E} = \frac{kq_1}{r^2}\hat{r}\]או בצורה סקלרית בלי וקטור הכיוון.
במקרה הזה הכיוון הוא במעלה ציר $\hat{y}$.
המטען שלנו מתקבל בעזרת הנוסחה לחישוב מטען נקודתי:
\[\lambda = \frac{q}{\ell} \implies q = \lambda \cdot L\]סך הכל:
\[\boxed{\vec{E} = \frac{k \lambda L}{R^2} \hat{y}}\]כלפי מעלה.
מהו הפוטנציאל החשמלי בראשית הצירים?
הניחו ש $L$ קטן מאוד כך שהמטען הכולל כמעט לא השתנה, או חשבו במדויק $Q_{\text{tot}} = \lambda (2 \pi R - L)$.
הנוסחה של פוטנציאל מטען נקודתי היא:
\[V = \frac{kq}{r}\]נציב את הרמז $Q_{\text{tot}} = \lambda (2 \pi R - L)$. אפשר לקבל אותו מהנוסחה של צפיפות מטען אורכית $(q=\lambda \cdot L)$: במקור האורך היה שני פאי אר אבל הורדנו ממנו קשת באורך $L$.
\[V = \frac{kQ_{tot}}{R} = \frac{k\lambda(2\pi R - L)}{R}\]אם $L \ll R$, אפשר לקרב ל-$V \approx \frac{2\pi k\lambda R}{R} = 2\pi k\lambda$
הערה: בפתרון הרשמי פתרו בעזרת אינטגרל. להבנתי ניתן להשתמש כאן בנוסחה ישירות בגלל המערכת בשאלה.
בשיעור התגבור הובהר שדווקא האינטגרל הוא הדרך הנכונה, ושהוא נדרש בצד סופרפוזיצה.
מניחים אלקטרון (מטען $-e$) במנוחה במרכז הטבעת. לאן הוא ינוע מיד לאחר השחרור?
לדעתי למטה - יתרחק מהמטען השלילי שכאילו הוספנו מעליו.
פורמאלית, זה נובע מהכוח שפועל על מטען בשדה חשמלי:
\[\vec{F} = q \vec{E}\]השדה במרכב הוא כאמור
\[\boxed{\vec{E} = \frac{k \lambda L}{R^2} \hat{y}}\]כלפי מעלה.
לאלקטרון מטען שלילי אז הוא יהיה בכיוון הפוך - כלפי מטה (לכיוון מינוס וואי).
שאלות 5-4: מוליכים מחוברים (השוואת פוטנציאלים)
שתי קליפות כדוריות מוליכות נמצאות רחוק מאוד זו מזו (ניתן להזניח השפעה הדדית). רדיוס הקליפה הראשונה $R_1 = R$ והיא טעונה במטען $Q$. רדיוס הקליפה השנייה $R_2 = 3R$ והיא ניטרלית (מטען 0). מחברים את שתי הקליפות באמצעות תיל מוליך דק וארוך.
מהו המטען הסופי $q_1$ שיישאר על הקליפה הקטנה $(R)$?
תובנה מהותית: כשמחברים קליפות מוליכות עם תיל מוליך המטענים נעים מהקליפה הטעונה לנייטרלית עד שיהיה ביניהם שוויון פוטנציאלים (ואז לא יופעלו כוחות על מטענים לזוז ממקומם).
הפוטנציאל על מעטפת כדורית באופן כללי נתון על ידי:
\[V_{\text{on Ma'atefet Kadurit}} = k \int_{\text{HaMa'atefet}}\frac{\sigma ds}{r} = \frac{k \cdot \sigma \cdot 4 \pi r^2}{r} = \frac{kQ}{r}\]נציב בקליפות של השאלה. על קליפה 2:
\[V_2 = \frac{k \cdot Q_2}{R_2} = \frac{k \cdot Q_2}{3R}\]על קליפה 1:
\[V_1 = \frac{k \cdot Q_1}{R_1} = \frac{k \cdot Q_1}{R}\]נשווה:
\[\frac{k \cdot Q_1}{R} = \frac{k \cdot Q_2}{3R} \implies Q_2 = 3Q_1\]משימוש מטען מתקיים ש:
\[Q_1 + Q_2 = Q \implies Q_1 + 3Q_1 = Q \implies 4Q_1 = Q \implies \boxed{Q_1 = \frac{Q}{4}}\]מהו הפוטנציאל המשותף של שתי הקליפות לאחר החיבור (ביחס לאינסוף)?
נחשב את הפוטנציאל במצב הסופי.
\[V = \frac{k \cdot Q_1}{R_1} = \frac{k \cdot \frac{Q}{4}}{R} = \boxed{\frac{kQ}{4R}}\]הסבר מקלוד: הפוטנציאל המשותף
מה קורה פיזיקלית?
אחרי שהמטענים מתחלקים בין הקליפות, שתיהן נמצאות באותו פוטנציאל (זו הסיבה שהמטענים הפסיקו לזוז).
אז אפשר לחשב את הפוטנציאל המשותף דרך כל אחת מהקליפות — התוצאה תהיה זהה.
חישוב דרך קליפה 1
\[V = \frac{kQ_1}{R_1} = \frac{k \cdot \frac{Q}{4}}{R} = \frac{kQ}{4R}\]
בדיקה דרך קליפה 2
\[V = \frac{kQ_2}{R_2} = \frac{k \cdot \frac{3Q}{4}}{3R} = \frac{3kQ}{4 \cdot 3R} = \frac{kQ}{4R}\]אותה תוצאה — וזה הגיוני כי הפוטנציאלים שווים.
למה “ביחס לאינסוף”?
הפוטנציאל תמיד נמדד ביחס לנקודת ייחוס. הנוסחה $V = \frac{kq}{r}$ מניחה ש-$V(\infty) = 0$.
זה פשוט אומר שאנחנו משתמשים בקונבנציה הסטנדרטית.
שאלות 7-6: קובייה חסרה (גיאומטריה וסופרפוזיציה)
נתונה קבוייה דמיונית שאורך צלעה $d$. ב-7 מתוך 8 קודקודי הקובביה מקובעים מטענים חיוביים זהים $+q$. הקודקוד השמיני (נניח בראשית הצירים) ריק.
מהו גודל השדה החשמלי במרכז הקוביה?
זה דומה לשאלות הקודמות רק מורכב יותר.
נחשב כאילו יש מטען חיובי על הכל ואז סופר פוזיציה עם מטען שלילי במקום שאין בו מטען.
התרומות של כל הפאות מבטלות זו את זו אז ברגיל יש במרכז אפס?
פאה אחת שלילית משפיעה על המרכז כך:
\[|E| = \frac{kq}{(R)^2}\]נחשב את המרחק $R$ מהקודקוד למרכז:
האלכסון של קוביה עם צלע באורך $d$ נתון על ידי:
\[\sqrt{d^2 + d^2 +d^2} = \sqrt{3}d\]המרחק מהפינה למרכז הוא חצי מהאלכסון:
\[R = \frac{\sqrt{3}d}{2}\]מכאן שהשדה מהמטען ה״חסר״ (השלילי הדמיוני) הוא:
\[|E| = \frac{kq}{(R)^2} = \frac{kq}{\left(\frac{\sqrt{3}d}{2}\right)^2} = \boxed{\frac{4kq}{3d^2}}\]מהי האנרגיה הפוטנציאלית החשמלית הדרושה כדי להביא מטען נוסף $+q$ מאינסוף ולהושיב אותו בקודקוד השמיני הריק (כך שתושלם קובייה מלאה)?
נתון עזר: הפוטנציאל שיוצרת קובייה מלאה של 8 מטענים במרכזה הוא $V_{center}$. זה לא עוזר כאן. חישבו על סכום הפוטנציאלים בקוקוד הריק. נתון כי המקדם הגיאומטרי $\alpha = \left( 3 + \frac{3}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} \right) \approx 5.7$.
זה דומה לתרגיל המשושה החד מימדי שפתרנו להבנתי.
האנרגיה הדרושה להביא מטען $+q$ לנקודה היא:
\[U = qV\]כאשר $V$ הוא הפוטנציאל בנקודה לפני הכנסת המטען.
תחילה נחשב את הפוטנציאל בפינה הריקה, זה מתקבל מההשפעה של כל שבעת המטענים האחרים. יש שלושה סוגים של מרחקים מהפינה הריקה לפינות אחרות (צלע, אלכסון פאה ואלכסון קובייה), המקדם שברמז כבר מסכם את הגאומטריה.
\[V = 5.7\frac{kq}{d}\]מכאן (סופרפוזיציה של כל התרומות לאנרגיה החשמלית הנדרשת):
\[U = 5.7\frac{kq^2}{d}\]הבהרה - מקור הרמז
אפשר לקבל את המקדמים מחישובים טריגונומטריים של משולשים ישרי זווית.
\[\begin{aligned} V_{\text{E tot}} &= \underbrace{V_{EA} + V_{EG} + V_{EH}}_{\frac{3kq}{d}} + \underbrace{V_{EB} + V_{EF} + V_{ED}}_{\frac{3kq}{d\sqrt{2}}} + \underbrace{V_{EC}}_{\frac{kq}{d\sqrt{3}}} \\ &= \left(3 + \frac{3}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}}\right)\frac{kq}{d} \\ &= \alpha \frac{kq}{d} \end{aligned}\]
שאלות 9-8: מוט עם צפיפות משתנה (אינטגרציה)
מוט מבודד באורך $L$ מונח על ציר $x$ בין הנקודה $x=0$ ל-$x=L$. צפיפות המטען האורכית של המוט משתנה לפי הנוסחה: $\lambda(x) = A \cdot x^2$ (כאשר $A$ קבוע חיובי).
מהו המטען הכולל $Q$ על המוט?
הצפיפות לא אחידה אז נראה שנדרשת כאן אינטגרציה.
ליחידה קטנה על המוט:
\[dq = A \cdot x^2 dx\]נסכום בעזרת אינטגרל:
\[\int_0^L A \cdot x^2 dx = A \frac{x^3}{3} |^L = \boxed{A \frac{L^3}{3}}\]חשבו את השדה החשמלי בנקודה $x=2L$ (מימין למוט)?
נחשב את התרומה של כל אלמנט קטן $dq$ על המוט לשדה בנקודה.
כמו מקודם, אלמנט קטן הוא:
\[dq=\lambda(x)dx = Ax^2dx\]תובנה מהותית: המרחק בן כל אלמנט קטן על המוט לבן הנקודה משתנה לפי:
\[r = 2L-x\]הבנה נוספת: צריך להיעזר בנוסחה של שדה חשמלי, ולסכום עם אינטגרל:
\[dE = \frac{kdq}{r^2} = \frac{kAx^2dx}{\left(2L-x\right)^2}\]אינטגרל חביב:
\[E = \int_0^L dE dx\]נוציא קבועים:
\[= kA \int \frac{x^2dx}{\left(2L-x\right)^2}\]מסתבר שזה מספיק טוב, ומופיע כאחת התשובות.
דור פסקל