סטטיסטיקה לרפואנים – דף נוסחאות

קירובים (Z לפי iSF)

α (רמת מובהקות חד-צדדית)	iSF(α) ≈ Z	P(Z > Z_α)	P(Z < -Z_α)	רמת סמך דו-צדדית (1−2α)
0.10	1.0	10%	10%	80%
0.05	1.5	5%	5%	90%
0.025	2.0	2.5%	2.5%	95%
0.01	3.0	1%	1%	98%
0.005	4.0	0.5%	0.5%	99%

מדדי מרכז ופיזור

ממוצע: $\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$

שונות מדגם: $s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i - \bar{X})^2$
(במקרה של אוכלוסייה $\sigma^2$ חלוקה ב-$n$ במקום $n-1$)

סטיית תקן: $s = \sqrt{s^2}$

$\text{IQR} = Q_3 - Q_1$

חריגים: $x < Q_1 - 1.5 \cdot \text{IQR}$ או $x > Q_3 + 1.5 \cdot \text{IQR}$

טרנספורמציות לינאריות

$Y = aX + b$

$\mathbf{E}[Y] = a\mathbf{E}[X] + b$

$\text{Var}(Y) = a^2\text{Var}(X)$

$\text{SD}(Y) = |a| \cdot \text{SD}(X)$

רגרסיה לינארית

$r = \frac{\sum(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum(x_i-\bar{x})^2}\sqrt{\sum(y_i-\bar{y})^2}}$

שיפוע: $a = r \cdot \frac{s_y}{s_x}$

חותך: $b = \bar{y} - a\bar{x}$

$\hat{y} = ax + b$

רגרסיה מרובה

$Y = \beta_0 + \beta_1X_1 + ... + \beta_kX_k + \epsilon$

פירוש $\beta_i$: שינוי ב-$Y$ עבור שינוי יחידה ב-$X_i$ כשהשאר קבועים

$\textbf{Prob (F-statistic)}$: הסתברות לקבלת סטטיסטיקת F כזו או יותר קיצונית אם כל המקדם $\beta_i = 0$

$\textbf{R-squared}$: אחוז השונות ב-$Y$ המוסברת על ידי המשתנים הבלתי תלויים

הערכת מובהקות סטטיסטית של משתנה $X_i$:

רווח הסמך: עמודת $\textbf{[0.025 0.975]}$ - האם כוללת 0?
ערך p-value: עמודת $\textbf{P>|t|}$
יחס המקדם לשגיאת התקן: עמודות $\text{coef}$ לחלק ב-$\text{std err}$ מייצגות את היחס בין המקדם לשגיאת התקן (קרוב מצביע על רעש).

התפלגויות דיסקרטיות

בינומית $X \sim \text{Bin}(n,p)$

$P(X=k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$

$\mathbf{E}[X] = np$, $\text{Var}(X) = np(1-p)$

גיאומטרית $X \sim \text{Geom}(p)$

$P(X=k) = (1-p)^{k-1}p$

$\mathbf{E}[X] = \frac{1}{p}$, $\text{Var}(X) = \frac{1-p}{p^2}$

התפלגויות רציפות

אקספוננציאלית $X \sim \text{Exp}(\lambda)$

$f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$, $x \geq 0$

$\text{SF}(x) = e^{-\lambda x}$

$\mathbf{E}[X] = \frac{1}{\lambda}$, $\text{Var}(X) = \frac{1}{\lambda^2}$

חוסר זיכרון: $P(X>s+t|X>s) = P(X>t)$

נורמלית $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$

תקנון: $Z = \frac{X-\mu}{\sigma} \sim \mathcal{N}(0,1)$

כלל $3\sigma$: 68%, 95%, 99.7%

קירוב בינומי: אם $np \geq 5$, $n(1-p) \geq 5$

שגיאות תקן

ממוצע: $\text{SE}_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ (או $\frac{s}{\sqrt{n}}$)

פרופורציה: $\text{SE}_{\bar{p}} = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$

הפרש ממוצעים: $\text{SE} = \sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}$

רווחי סמך

מצב	רווח סמך
ממוצע, $\sigma$ ידוע או $n>30$	$\bar{X} \pm Z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
ממוצע, $\sigma$ לא ידוע, $n \leq 30$	$\bar{X} \pm t_{\alpha/2,n-1} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$
פרופורציה	$\bar{p} \pm Z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\bar{p}(1-\bar{p})}{n}}$
יחס צולב (OR)	$\ln(\text{OR}) \pm Z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{1}{A} + \frac{1}{B} + \frac{1}{C} + \frac{1}{D}}$

גודל מדגם נדרש: $n \geq \left(\frac{2 \cdot Z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{W}\right)^2$

רוחב רווח סמך: $W = 2 \cdot Z_{\alpha/2} \cdot \text{SE}$

בדיקת השערות - מדגם אחד

מבחן	תנאים	סטטיסטי	התפלגות
Z	$n>30$ או נורמלי+$\sigma$ ידוע	$Z = \frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$	$\mathcal{N}(0,1)$
t	$n \leq 30$, נורמלי, $\sigma$ לא ידוע	$t = \frac{\bar{X}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}$	$t_{n-1}$
Z	$np_0 > 5$, $n(1-p_0) > 5$	$Z = \frac{\bar{p}-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}$	$\mathcal{N}(0,1)$

בדיקת השערות - שני מדגמים

מדגמים בלתי תלויים

$t = \frac{\bar{X}_1-\bar{X}_2}{s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}$, df = $n_1+n_2-2$

$s_p^2 = \frac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}$ (שונות משותפת)

מדגמים מזווגים

$D_i = X_i^{(1)} - X_i^{(2)}$

$t = \frac{\bar{D}}{s_D/\sqrt{n}}$, df = $n-1$

יתרון: $\text{Var}(D) < \text{Var}(X_1) + \text{Var}(X_2)$ אם יש מתאם חיובי

כללי החלטה (אם $\text{P-value} < \alpha$ דוחים את $H_0$)

דו-צדדי ($H_1: \mu \neq \mu_0$): דחה $H_0$ אם $|Z| > Z_{\alpha/2}$
$\text{P-value} = 2 \cdot P(Z > |z_{\text{obs}}|)$

חד-צדדי ($H_1: \mu > \mu_0$): דחה $H_0$ אם $Z > Z_\alpha$
$\text{P-value} = P(Z > z_{\text{obs}})$

תנאי תקפות למבחנים

מבחן Z: $n \geq 30$ או נורמלי + $\sigma$ ידוע
מבחן t: נורמליות או $n$ גדול
מבחן פרופורציה: $np \geq 5$, $n(1-p) \geq 5$
מבחן $\chi^2$: תצפיות בלתי תלויות, $E_{ij} \geq 5$

מבחן $\chi^2$ לאי-תלות

$\chi^2 = \sum\frac{(O-E)^2}{E}$

$E_{ij} = \frac{\text{total row} \times \text{total column}}{\text{total}}$

$\text{df} = (r-1)(c-1)$

תנאי: $E_{ij} \geq 5$ בכל תא

מדדי סיכון

	חולה	בריא
חשוף	A	B
לא חשוף	C	D

סיכון יחסי (RR)

$\text{RR} = \frac{P(\text{הלוח}|\text{ףושח})}{P(\text{הלוח}|\text{ףושח אל})} = \frac{A/(A+B)}{C/(C+D)}$

$\text{Var}(\ln(\text{RR})) = \frac{1}{A} - \frac{1}{A+B} + \frac{1}{C} - \frac{1}{C+D}$

יחס סיכויים (OR)

$\text{OR} = \frac{AD}{BC}$

$\text{Var}(\ln(\text{OR})) = \frac{1}{A} + \frac{1}{B} + \frac{1}{C} + \frac{1}{D}$

CI ל-OR: $e^{\ln(\text{OR}) \pm 1.96\sqrt{\text{Var}(\ln(\text{OR}))}}$

ניתוח הישרדות

פונקציית הישרדות

$\textbf{SF(t) = P(T > t)}, \quad \textbf{SF}(0) = 1, \, \textbf{SF}(\infty) = 0$

קפלן-מאייר

$S(t) = \prod_{t_i \leq t} \left(1 - \frac{d_i}{n_i}\right)$

$d_i$ = מתים בזמן $t_i$

$n_i$ = בסיכון בזמן $t_i$

טעויות בבדיקת השערות

המציאות	דחיית $H_0$	אי-דחיית $H_0$
$H_0$ נכונה	טעות I ($\alpha$)	✓ ($1-\alpha$)
$H_1$ נכונה	✓ (עוצמה $1-\beta$)	טעות II ($\beta$)

עוצמת מבחן

עוצמה = $1 - \beta$ = P(דחיית $H_0$ | $H_1$ נכונה)

עוצמה עולה עם: $n$ ↑, $|\mu - \mu_0|$ ↑, $\sigma$ ↓, $\alpha$ ↑

חישוב P-value

מבחן	דו-צדדי	חד-צדדי ימני
Z	$2 \cdot P(Z > \|z\|)$	$P(Z > z)$
t	$2 \cdot P(T > \|t\|)$	$P(T > t)$
$\chi^2$	$P(\chi^2 > \chi^2_{\text{obs}})$	-

קומבינטוריקה

בחירה: $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

סידור: $P(n,k) = \frac{n!}{(n-k)!}$