הסתברויות חשובות בהתפלגות נורמלית

אנחנו בעולם של הסתברות לקראת סיום הנושא הגדול השני בקורס. ספציפית אנחנו נמשיך היום ללמוד על משתנה מקרי נורמלי ונתחיל בנושא של ערכים קריטיים.

הסתברויות בסיסיות חשובות

עבור משתנה מקרי נורמלי מתוקנן $Z$:

סטיית תקן אחת ($68\%$)

\[P(-1 \leq Z \leq 1) = 0.68\]

זאת אומרת שהסיכוי של משתנה מקרי נורמלי מתוקנן להיות בין -1 ל-1 הוא השטח המסומן בתכלת - $68\%$.

עבור משתנה מקרי נורמלי כלשהו: הסיכוי להיות במרחק של מינוס סטיית תקן אחת עד סטיית תקן אחת מהתוחלת הוא אותו דבר - $68\%$.

שתי סטיות תקן ($95\%$)

\[P(-2 \leq Z \leq 2) = 0.95\]

במדעים ביולוגיים, רפואיים וגם בפסיכולוגיה - מדעים ניסויים “מלוכלכים” (לעומת מדעים ניסויים יותר מדויקים כמו פיזיקה) - $95\%$ זה סטנדרט להגיד “אוקיי, תפסתי את הרוב החשוב של התופעות האפשריות”.

שלוש סטיות תקן ($99.7\%$)

\[P(-3 \leq Z \leq 3) = 0.997\]

הסיכוי של משתנה מקרי נורמלי מתוקנן להיות בין -3 ל-3 הוא $99.7\%$, וזה מכסה כמעט את כל העולם ההסתברותי שאנחנו יכולים לצפות לראות אי פעם.

סימונים עבור משתנה מקרי נורמלי כללי

עבור משתנה מקרי נורמלי $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$:

  • $68\%$ מהערכים יהיו בין $\mu - \sigma$ ל-$\mu + \sigma$
  • $95\%$ מהערכים יהיו בין $\mu - 2\sigma$ ל-$\mu + 2\sigma$
  • $99.7\%$ מהערכים יהיו בין $\mu - 3\sigma$ ל-$\mu + 3\sigma$

דוגמה: משקל תינוקות

נניח שמשקל לידה מתפלג נורמלית עם:

  • תוחלת: $\mu = 3000$ גרם
  • סטיית תקן: $\sigma = 500$ גרם

באנגלית פורמאלית יותר:

\[\begin{aligned} &\textbf{Example: Birth Weights} \\ &\text{Assume birth weight is normally distributed with:} \\ &\quad \mu = 3000 \text{ grams} \quad \text{(mean)} \\ &\quad \sigma = 500 \text{ grams} \quad \text{(standard deviation)} \end{aligned}\]

חישובים מיידיים

\[\begin{aligned} \textbf{1 SD:} \quad & \text{68\% of babies: } 3000 - 500 = 2500 \text{ to } 3000 + 500 = 3500 \text{ grams} \\ \textbf{2 SD:} \quad & \text{95\% of babies: } 3000 - 2 \cdot 500 = 2000 \text{ to } 3000 + 2 \cdot 500 = 4000 \text{ grams} \\ \textbf{3 SD:} \quad & \text{99.7\% of babies: } 3000 - 3 \cdot 500 = 1500 \text{ to } 3000 + 3 \cdot 500 = 4500 \text{ grams} \end{aligned}\]

כלומר:

\[\begin{aligned} \text{68\%:} \quad & [2500,\; 3500] \\ \text{95\%:} \quad & [2000,\; 4000] \\ \text{99.7\%:} \quad & [1500,\; 4500] \end{aligned}\]

הסתברויות נוספות מהגרף

אתם יכולים להסתכל מתוך הגרף:

  • הסיכוי להיות גדול מסטיית תקן אחת: בערך $16\%$

    \[P(Z > 1) \approx 0.16\]

  • הסיכוי להיות קטן משתי סטיות תקן מהתוחלת: בערך $2.5\%$

    \[P(Z < -2) \approx 0.025\]

בדוגמה שלנו: $2.3\%$ מהתינוקות יהיו במשקל של מעל 4000 גרם.

ערכים קריטיים (Critical Values)

עד עכשיו ראינו הסתברויות שמחושבות על ידי פונקציית ההישרדות:

\[P(Z > z_0) = \text{some value}\]

אבל לפעמים אנחנו נשאל שאלה הפוכה: עבור איזה $z_0$ ההסתברות לקבל ערך יותר גדול ממנו היא $5\%$?

הגדרה פורמלית

ערך קריטי $z_0$ הוא הערך שמקיים:

\[P(Z > z_0) = \alpha\]

עבור $\alpha$ נתון (למשל 0.05).

דוגמאות לערכים קריטיים נפוצים

ערך קריטי של $5\%$

\[P(Z > z_0) = 0.05\] \[z_0 = 1.64\]

ערך קריטי סימטרי של $95\%$

אם אני רוצה שההסתברות להיות בין $-z_0$ ל-$z_0$ תהיה 0.95:

\[P(-z_0 \leq Z \leq z_0) = 0.95\]

אני צריך להשאיר מימין ומשמאל 0.05. אם אני רוצה מימין ומשמאל 0.05, אני צריך מכל צד להשאיר 0.025:

\[P(Z > z_0) = 0.025\] \[z_0 = 1.96 \approx 2\]

זה בדיוק מה שאמרנו מקודם - שתי סטיות תקן מכסות לנו $95\%$ מהתוצאות.

חישוב ערכים קריטיים

הערכים הללו מחושבים באמצעות הפונקציה ההופכית לפונקציית ההישרדות, שאנחנו מסמנים Inverse Survival Function.

דוגמה: ציון סף לפסיכומטרי

הבעיה: אורלי מעוניינת שציוני הפסיכומטרי של הסטודנטים לרפואה יהיו בעשירון העליון. נניח שציוני הפסיכומטרי מתפלגים נורמלית עם:

  • תוחלת: $\mu = 550$
  • סטיית תקן: $\sigma = 100$

השאלה: מה צריך להיות ערך הסף שמעליו סטודנט יתקבל לפקולטה?

פתרון

שלב 1: פורמליזציה

$X$ הוא משתנה מקרי של ציון פסיכומטרי:

\[X \sim \mathcal{N}(550, 100^2)\]

אני רוצה לחשב את הערך הקריטי הרלוונטי. אני רוצה ערך $C$ שמעליו הסיכוי להיות הוא רק $10\%$ (עשירון עליון):

\[P(X > C) = 0.1\]

שלב 2: תקנון

מהרגע שכתבתי את המשוואה הזו, אני רק צריך לעשות אלגברה. החבר הכי טוב שלי הוא התקנון:

\[P\left(\frac{X - 550}{100} > \frac{C - 550}{100}\right) = 0.1\]

משמאל אני מקבל משתנה מקרי נורמלי מתוקנן:

\[P\left(Z > \frac{C - 550}{100}\right) = 0.1\]

שלב 3: מציאת הערך הקריטי

עבור משתנה מקרי נורמלי מתוקנן, הערך של ה-Inverse Survival Function עבור 0.1 הוא:

\[\frac{C - 550}{100} = 1.28\]

שלב 4: פתרון עבור C

\[C - 550 = 128\] \[C = 550 + 128 = 678\]

תשובה: ציון הסף צריך להיות 678 כדי שרק העשירון העליון יתקבל לפקולטה.

חשיבות הערכים הקריטיים

במדעים ביולוגיים/רפואיים, כשאני רוצה לשאול האם מאורע הוא סביר, אני שואל האם ההסתברות שלו היא $95\%$ - וזה הקטע הסטנדרטי.

לפעמים אני אגדיר ש”סביר” זה:

  • 90% (פחות מחמיר)
  • 99% (יותר מחמיר)

אבל בדרך כלל סביר מבחינתי זה מאורע שנמצא בטווח הזה של $95\%$.

הלוגיקה

  1. אני מגדיר תחום כלשהו על פי מה שמחוץ לתחום הוא לא סביר
  2. אני דואג שמה שבחוץ לתחום יהיה בעל הסתברות נמוכה (למשל 0.05)
  3. אז אני טוען שמה שבתוך התחום הוא מבחינתי סביר

זה לא אומר שהסיכוי למאורע הזה הוא $95\%$, אלא שהמאורע נופל בטווח שהגדרתי אפריורית והטווח הזה מכסה $95\%$ מהתוצאות האפשריות.

קירוב נורמלי להתפלגות בינומית

המשתנה המקרי הנורמלי יש לו שימוש אחד שיעזור לנו מאוד להבין הרבה דברים בהמשך - והוא קרוב למשתנה הבינומי.

זכירה: ההתפלגות הבינומית

$X$ מתפלג בינומית עם מספר ניסיונות $n$ וסיכוי הצלחה $p$, מסומן ב-$X \sim B(n,p)$.

תנאים חשובים:

  • הניסויים חייבים להיות בלתי תלויים
  • בעלי סיכוי הצלחה קבוע

הסיכוי לקבל $k$ הצלחות ב-$n$ ניסיונות:

\[P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\]

כאשר $\binom{n}{k}$ הוא מספר הדרכים לבחור $k$ איברים מתוך $n$ איברים.

מדוע אנחנו צריכים קירוב נורמלי?

במחקרים אנחנו צריכים הרבה פעמים לחשב הסתברויות מהסוג:

  • מה ההסתברות שמשתנה מקרי בינומי יהיה גדול מ-$k$?
  • מספר החולים שמחלימים אחרי טיפול (שסיכוי הצלחה שלו הוא $p$) - מה ההסתברות שיחלימו יותר ממספר מסוים של חולים?

הדגמה ויזואלית: לוח גלטון

יש לי כאן לוח גלטון (שחבר טוב בשם נדב הכין לי במדפסת שלו בבית). זה קצת שבור כי לקחתי פרספקס ממישהו במושב, אבל זה יכול להדגים את הרעיון.

איך זה עובד:

  • כל כדור מתנגש במסמרים והולך ימינה או שמאלה בהסתברות $\frac{1}{2}$
  • התא הימני ביותר פירושו שהכדור הלך שמאלה, שמאלה, שמאלה… (אפס “הצלחות”)
  • התא השמאלי ביותר פירושו שהכדור הלך ימינה בכל פעם
  • ההתפלגות של מספר הכדורים בכל תא נראית דומה להתפלגות נורמלית

מעבר מבינומי לנורמלי: גרפים

כשמספר הניסיונות גדל, ההתפלגות הבינומית הופכת דומה יותר ויותר להתפלגות נורמלית:

עם $p = 0.5$ (סימטרי):

  • $n = 1$: התפלגות דיסקרטית פשוטה
  • $n = 2, 4, 8, 16, 64$: הגרף הופך יותר ויותר דומה לעקומת הפעמון

עם $p = 0.25$ (לא סימטרי):

  • בתחילה ההתפלגות מוטה
  • ככל ש-$n$ גדל, היא הופכת סימטרית יותר ודומה לנורמלית

עם $p = 0.05$ (מוטה מאוד):

  • צריך $n$ גדול הרבה יותר כדי להשיג קירוב נורמלי טוב

מסקנות מהגרפים

  1. ככל ש-$p$ קטן (קרוב יותר ל-0), הקירוב הנורמלי נהיה יותר גרוע
  2. אם $p$ לא קרוב ל-0, ו-$n$ יותר ויותר גדול, הקירוב הנורמלי משתפר
  3. הקירוב הנורמלי עובד בערך כאשר מספר ההצלחות הממוצע $np$ מספיק גדול

תנאי תקפות הקירוב הנורמלי

אני צריך סימטריה - מספר ההצלחות הממוצע וגם מספר הכישלונות הממוצע צריכים להיות גדולים מספיק.

יוריסטיקה (כלל אצבע): הקירוב הנורמלי תקף כאשר:

  • $np > 5$ (תוחלת מספר ההצלחות גדולה מ-5)
  • $\mathcal{N}(1-p) > 5$ (תוחלת מספר הכישלונות גדולה מ-5)

איך מבצעים את הקירוב הנורמלי?

אם $X \sim B(n,p)$, אז בקירוב נורמלי:

\[X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)\]

כאשר:

  • התוחלת: $\mu = np$
  • השונות: $\sigma^2 = np(1-p)$

התהליך:

  1. בדוק שהתנאים מתקיימים: $np > 5$ ו-$\mathcal{N}(1-p) > 5$
  2. חשב $\mu = np$ ו-$\sigma^2 = np(1-p)$
  3. הגדר משתנה מקרי נורמלי $Y \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$
  4. $P(X > k) \approx P(Y > k)$
  5. חשב באמצעות תקנון ופונקציית הישרדות

דוגמה: ניסוי קליני

שאלה: יש לנו 300 חולים שמשתתפים בניסוי קליני. סיכוי ההחלמה בעזרת הטיפול הוא 0.4. מה ההסתברות שמספר המחלימים יהיה בין 110 ל-145?

פתרון

שלב 1: הגדרת המשתנה

$X \sim B(300, 0.4)$ - מספר המחלימים

שלב 2: בדיקת תנאי הקירוב

  • $np = 300 \times 0.4 = 120 > 5$ ✓
  • $\mathcal{N}(1-p) = 300 \times 0.6 = 180 > 5$ ✓

הקירוב הנורמלי תקף!

שלב 3: חישוב פרמטרי ההתפלגות הנורמלית

  • תוחלת: $\mu = np = 120$
  • שונות: $\sigma^2 = np(1-p) = 300 \times 0.4 \times 0.6 = 72$
  • סטיית תקן: $\sigma = \sqrt{72} \approx 8.485$

שלב 4: מעבר לעולם הנורמלי

אנחנו רוצים: $P(110 \leq X \leq 145)$

תקנון:

\[Z_1 = \frac{110 - 120}{8.485} = \frac{-10}{8.485} \approx -1.178\] \[Z_2 = \frac{145 - 120}{8.485} = \frac{25}{8.485} \approx 2.946\]

שלב 5: חישוב ההסתברות

\[\begin{aligned} P(110 \leq X \leq 145) &\approx P(-1.178 \leq Z \leq 2.946) \\ &= P(Z \leq 2.946) - P(Z \leq -1.178) \\ &= \Phi(2.946) - \Phi(-1.178) \end{aligned}\]

הערה חשובה: אני לא אבקש מכם לעבוד עם טבלאות במבחן. אני יכול לכתוב לכם להגיד שהתשובה היא $P(-1.178 < Z < 2.946)$ או לתת לכם את הערכים.

הדגמה: השוואת קבוצות

המשחק: שתי קבוצות של חמישה סטודנטים

בואו נעשה משחק! אני מבקש עשרה מתנדבים, חלוקה לשתי קבוצות של חמש.

הסיטואציה:

  • קבוצה א’ וקבוצה ב’ - דגימות הממוקמות על ציר אבסטרקטי (לחץ דם, למשל)
  • השאלה: האם הלחץ דם הממוצע של קבוצה א’ שונה מקבוצה ב’?

תרחיש 1: קבוצות קרובות וצפופות

כשהקבוצות עומדות יחסית קרוב זו לזו, והפיזור בתוך כל קבוצה קטן:

  • המסקנה: קשה להגיד שיש הבדל משמעותי
  • ההבדל בין הממוצעים קטן יחסית לפיזור בתוך הקבוצות

תרחיש 2: קבוצות רחוקות וצפופות

כשהקבוצות עומדות רחוק זו מזו, והפיזור בתוך כל קבוצה קטן:

  • ההבדל: כמה צעדים של סטיית תקן? ← 5-6 צעדים
  • מה למדנו בעולם הנורמלי: 5-6 סטיות תקן זה המון! לא סביר במקרה
  • המסקנה: יש הבדל משמעותי בין הקבוצות

תרחיש 3: קבוצות קרובות ומפוזרות

כשהקבוצות קרובות זו לזו, והפיזור בתוך הקבוצות גדול:

  • ההבדל בממוצעים: פחות מסטיית תקן אחת (בערך חצי)
  • יש המון שונות בתוך האוכלוסיות ביחס להבדל ביניהן
  • המסקנה: לא יכול להבדיל ביניהם - השונות בתוך האוכלוסייה מסבירה היטב את ההבדל

העיקרון המרכזי בבדיקת השערות

אם הבנתם את המשחק הזה, הבנתם את המהות של החודש הקרוב!

כל מה שאנחנו נעשה מכאן ועד סוף הנושא של אומדן ובדיקת השערות יהיה לשחק את המשחקים האלה:

  • כמה הממוצע רחוק מנקודת ייחוס מסוימת?
  • כמה יחידות של סטיית תקן יש לי מסביב לממוצע?
  • האם ההבדל משמעותי או שהוא יכול להיות במקרה?

המושגים המרכזיים

  1. השוואת ממוצעים - האם יש הבדל אמיתי בין קבוצות?
  2. יחידות של סטיית תקן - מדידת המרחק ביחידות סטנדרטיות
  3. פיזור בתוך הקבוצות לעומת הבדל בין הקבוצות - יחס signal-to-noise
  4. משמעותיות סטטיסטית - האם התוצאה יכולה להיות במקרה?

סיכום השיעור

השיעור היום הציג שני נושאים מרכזיים:

קירוב נורמלי לבינומי

  • תנאי תקפות: $np > 5$ ו-$\mathcal{N}(1-p) > 5$
  • פרמטרים: $\mu = np$, $\sigma^2 = np(1-p)$
  • יישום מעשי בניסויים קליניים

מבוא לבדיקת השערות

  • השוואת קבוצות במונחים של ממוצעים וסטיות תקן
  • חשיבות היחס בין הבדל בין קבוצות לפיזור בתוך קבוצות
  • הבסיס הקונספטואלי לכל הנושאים הבאים בקורס
דור פסקל
לשיעור הבא על אמידה ורווח סמך