רקע תיאורטי
הנחת יסוד
בתרגול זה מניחים שאין שדה חשמלי משתנה בזמן, ולכן מתקיימת הגרסה הסטטית של חוק אמפר.
חוק אמפר – צורה אינטגרלית
\[\oint_C \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{\text{enc}}\]או באמצעות צפיפות הזרם:
\[\oint_C \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 \iint_S \vec{J} \cdot d\vec{A}\]המשמעות הפיזיקלית: האינטגרל הקווי של השדה המגנטי לאורך מסילה סגורה שווה ל-$\mu_0$ כפול הזרם הכלוא בתוך המסילה.
הבחנה בין $\vec{B}$ ו-$\vec{H}$
| גודל | משמעות | קשר |
|---|---|---|
| $\vec{B}$ | שדה מגנטי בתוך החומר (כולל השפעת החומר) | |
| $\vec{H}$ | עוצמת השדה המגנטי (“השדה החיצוני”) | $\vec{B} = \mu \vec{H}$ |
בוואקום או באוויר: $\mu \approx \mu_0$, ולכן $\vec{B} = \mu_0 \vec{H}$.
תזכורת: כוח לורנץ
\[\vec{F} = q\vec{E} + q(\vec{v} \times \vec{B})\]כוח זה פועל על מטען $q$ הנע במהירות $\vec{v}$ בנוכחות שדה חשמלי $\vec{E}$ ושדה מגנטי $\vec{B}$.
שאלה 1: שדה מגנטי של גליל מוליך
נתונים
גליל אינסופי מוליך עם:
- רדיוס פנימי: $R_1$
- רדיוס חיצוני: $R_2$
- צפיפות זרם:
נדרש: למצוא את השדה המגנטי $\vec{B}$ בכל המרחב.
שלב 1: זיהוי הסימטריה
הבעיה בעלת סימטריה גלילית:
- אין תלות בזווית $\phi$ (סימטריה סיבובית)
- אין תלות ב-$z$ (גליל אינסופי)
לכן:
\[|\vec{B}| = B(r)\]שלב 2: קביעת כיוון השדה
לפי כלל יד ימין: כאשר הזרם זורם בכיוון $+\hat{z}$, השדה המגנטי מקיף את הזרם בכיוון $+\hat{\phi}$ (נגד כיוון השעון במבט מלמעלה).
\[\vec{B} = B(r)\,\hat{\phi}\]שלב 3: בחירת מסילת אמפר
נבחר מעגל ברדיוס $r$ במישור ה-$xy$, כך שהמסילה מקבילה לכיוון השדה.
יתרון הבחירה: $\vec{B} \parallel d\vec{l}$ לאורך כל המסילה, ולכן:
\[\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = B(r) \oint dl = B(r) \cdot 2\pi r\]שלב 4: הגדרת התחומים
צפיפות הזרם בכל תחום:
\[\vec{J}(r) = \begin{cases} 0 & r < R_1 \\[6pt] j_0 \left(\dfrac{r}{r_0}\right)^2 \hat{z} & R_1 < r < R_2 \\[6pt] 0 & r > R_2 \end{cases}\]פתרון לפי תחומים
תחום I: $r < R_1$ (בתוך החלל הפנימי)
צד שמאל (אינטגרל קווי):
\[\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = 2\pi r \cdot B(r)\]צד ימין (זרם כלוא):
\[\mu_0 I_{\text{enc}} = \mu_0 \iint_S \vec{J} \cdot d\vec{A} = 0\]אין זרם בתחום זה.
תוצאה:
\[\boxed{\vec{B} = 0 \quad (r < R_1)}\]תחום II: $R_1 < r < R_2$ (בתוך המוליך)
צד שמאל:
\[\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = 2\pi r \cdot B(r)\]צד ימין:
\[\mu_0 I_{\text{enc}} = \mu_0 \int_{R_1}^{r} \vec{J} \cdot d\vec{A} = \mu_0 \int_{R_1}^{r} j_0 \left(\frac{r'}{r_0}\right)^2 \cdot 2\pi r' \, dr'\]חישוב האינטגרל:
\[= \frac{2\pi \mu_0 j_0}{r_0^2} \int_{R_1}^{r} r'^3 \, dr' = \frac{2\pi \mu_0 j_0}{r_0^2} \cdot \frac{r^4 - R_1^4}{4}\]איחוד שני הצדדים:
\[2\pi r \cdot B(r) = \frac{\pi \mu_0 j_0}{2 r_0^2} \left(r^4 - R_1^4\right)\]תוצאה:
\[\boxed{\vec{B} = \frac{\mu_0 j_0}{4 r_0^2} \cdot \frac{r^4 - R_1^4}{r} \, \hat{\phi} \quad (R_1 < r < R_2)}\]תחום III: $r > R_2$ (מחוץ לגליל)
צד שמאל:
\[\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = 2\pi r \cdot B(r)\]צד ימין:
האינטגרציה על כל הזרם במוליך (מ-$R_1$ עד $R_2$ בלבד):
\[\mu_0 I_{\text{enc}} = \frac{2\pi \mu_0 j_0}{r_0^2} \int_{R_1}^{R_2} r'^3 \, dr' = \frac{\pi \mu_0 j_0}{2 r_0^2} \left(R_2^4 - R_1^4\right)\]תוצאה:
\[\boxed{\vec{B} = \frac{\mu_0 j_0}{4 r_0^2} \cdot \frac{R_2^4 - R_1^4}{r} \, \hat{\phi} \quad (r > R_2)}\]סיכום: השדה המגנטי בכל המרחב
\[\boxed{\vec{B}(r) = \begin{cases} 0 & r < R_1 \\[10pt] \dfrac{\mu_0 j_0}{4 r_0^2} \cdot \dfrac{r^4 - R_1^4}{r} \, \hat{\phi} & R_1 < r < R_2 \\[10pt] \dfrac{\mu_0 j_0}{4 r_0^2} \cdot \dfrac{R_2^4 - R_1^4}{r} \, \hat{\phi} & r > R_2 \end{cases}}\]תובנות
- בתוך החלל הפנימי ($r < R_1$): השדה מתאפס כי אין זרם כלוא.
- בתוך המוליך ($R_1 < r < R_2$): השדה גדל עם $r$ (תלות מורכבת).
- מחוץ לגליל ($r > R_2$): השדה דועך כ-$1/r$, בדומה לחוט אינסופי.