חזרה: משוואות מקסוול
משוואות מקסוול מתארות את ההתנהגות של שדות חשמליים ומגנטיים. לכל משוואה יש שתי גרסאות:
- גרסה מקומית (דיפרנציאלית): מתארת את השדה בנקודה
- גרסה גלובלית (אינטגרלית): מתארת את השדה על פני אזור
שדה העירור החשמלי $\vec{D}$
שדה העירור החשמלי $\vec{D}$ מבטא את ההשפעה של מטענים חשמליים. הקשר בינו לבין צפיפות המטען:
\[\vec{\nabla} \cdot \vec{D} = \rho(\vec{r},t)\]משוואת הרציפות
משוואת הרציפות מבטאת את שימור המטען - מטען לא נברא ולא נעלם.
הגדרות
- צפיפות מטען $\rho$: יחידות $\left[\frac{\text{C}}{\text{m}^3}\right]$ (קולון למטר מעוקב)
- צפיפות זרם $\vec{j}$: יחידות $\left[\frac{\text{C}}{\text{m}^2 \cdot \text{s}}\right]$ (קולון למטר רבוע כפול שנייה)
הקשר בין צפיפות זרם למטען
\[\vec{j} = \rho \vec{v}\]כאשר $\vec{v}$ היא מהירות תנועת המטענים.
משוואת הרציפות (גרסה דיפרנציאלית)
\[\frac{\partial \rho}{\partial t} + \vec{\nabla} \cdot \vec{j} = 0\]משמעות: קצב השינוי של צפיפות המטען בנקודה שווה למינוס הדיברגנס של צפיפות הזרם (כלומר, כמה זרם “יוצא” מהנקודה).
הזרם החשמלי (גרסה אינטגרלית)
\[i_{\partial \Omega} = \oint \vec{j} \cdot d\vec{s}\]יחידות הזרם: קולון לשנייה, שנקראות אמפר (A).
משמעות: זרם של 1 אמפר פירושו שדרך משטח מסוים עובר מטען של קולון אחד בכל שנייה.
גזירת משוואת מקסוול השנייה
נשלב את שתי המשוואות:
\[\vec{\nabla} \cdot \vec{D} = \rho \quad , \quad \frac{\partial \rho}{\partial t} + \vec{\nabla} \cdot \vec{j} = 0\]נגזור את המשוואה הראשונה לפי הזמן (נגזרות לפי מרחב וזמן מתחלפות):
\[\vec{\nabla} \cdot \frac{\partial \vec{D}}{\partial t} = \frac{\partial \rho}{\partial t} = -\vec{\nabla} \cdot \vec{j}\] \[\Rightarrow \vec{\nabla} \cdot \left(\frac{\partial \vec{D}}{\partial t} + \vec{j}\right) = 0\]מציאת פתרון לא טריוויאלי
אם דיברגנס של משהו שווה אפס, אז אותו “משהו” יכול להיות רוטור של שדה וקטורי (כי $\vec{\nabla} \cdot (\vec{\nabla} \times \vec{A}) = 0$ תמיד).
לכן נגדיר שדה חדש $\vec{H}$:
\[\frac{\partial \vec{D}}{\partial t} + \vec{j} = \vec{\nabla} \times \vec{H}\]מסקנה: צפיפות זרם (וגם שינוי בשדה החשמלי) גוררת קיומו של שדה עירבולי מגנטי $\vec{H}$.
הזוג הראשון של משוואות מקסוול
| משוואה | משמעות פיזיקלית |
|---|---|
| $\vec{\nabla} \cdot \vec{D} = \rho$ | מטען חשמלי יוצר שדה חשמלי (שפיעה) |
| $\vec{\nabla} \times \vec{H} - \frac{\partial \vec{D}}{\partial t} = \vec{j}$ | זרם ושינוי בשדה חשמלי יוצרים שדה מגנטי עירבולי |
קשרי המבנה
קשרי המבנה מקשרים בין שדות העירור ($\vec{D}, \vec{H}$) לבין שדות האילוץ ($\vec{E}, \vec{B}$).
בתווך לינארי כללי
\[\vec{D} = \epsilon(\vec{r},t) \vec{E}\] \[\vec{H} = \frac{\vec{B}}{\mu(\vec{r},t)}\]בוואקום
\[\vec{D} = \epsilon_0 \vec{E}\] \[\vec{H} = \frac{\vec{B}}{\mu_0}\]כאשר $\epsilon_0$ ו-$\mu_0$ הם קבועים אוניברסליים המאפיינים את הוואקום:
\[\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \frac{\text{H}}{\text{m}} \quad \text{(henry per meter)}\] \[\frac{1}{4\pi \epsilon_0} = 9 \times 10^9 \, \frac{\text{N} \cdot \text{m}^2}{\text{C}^2}\]ארבע משוואות מקסוול המלאות
הזוג הראשון (משוואות עם מקורות)
\[\vec{\nabla} \cdot \vec{D} = \rho\] \[\vec{\nabla} \times \vec{H} - \frac{\partial \vec{D}}{\partial t} = \vec{j}\]הזוג השני (משוואות האילוץ)
\[\vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0\] \[\vec{\nabla} \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\]משוואות מקסוול בוואקום (ללא מקורות)
כאשר $\rho = 0$ ו-$\vec{j} = 0$:
\[\vec{\nabla} \cdot \vec{D} = 0\] \[\vec{\nabla} \times \vec{H} = \frac{\partial \vec{D}}{\partial t}\] \[\vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0\] \[\vec{\nabla} \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\]שאלה: האם יש פתרון לא טריוויאלי (שאינו הכל אפסים)?
גזירת משוואת הגלים
נוציא רוטור למשוואה השנייה:
\[\vec{\nabla} \times (\vec{\nabla} \times \vec{H}) = \frac{\partial}{\partial t}(\vec{\nabla} \times \vec{D})\]נציב את קשרי המבנה ($\vec{H} = \frac{\vec{B}}{\mu_0}$, $\vec{D} = \epsilon_0 \vec{E}$):
\[\vec{\nabla} \times \left(\vec{\nabla} \times \frac{\vec{B}}{\mu_0}\right) = \epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t}(\vec{\nabla} \times \vec{E}) = -\epsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2}\]נשתמש בזהות הווקטורית:
\[\vec{\nabla} \times (\vec{\nabla} \times \vec{B}) = \vec{\nabla}(\underbrace{\vec{\nabla} \cdot \vec{B}}_{=0}) - \nabla^2 \vec{B} = -\nabla^2 \vec{B}\]נקבל את משוואת הגלים:
\[\boxed{\nabla^2 \vec{B} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2}}\]פתרון משוואת הגלים
משוואת גלים כללית במימד אחד:
\[\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} = \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}\]פתרון: גל מתקדם
\[\psi(x,t) = A\cos(kx - \omega t)\]בדיקה על ידי הצבה
\[-k^2 A\cos(kx - \omega t) = \frac{1}{c^2}(-\omega^2) A\cos(kx - \omega t)\] \[\Rightarrow k^2 = \frac{\omega^2}{c^2} \Rightarrow c = \frac{\omega}{k}\]כאשר $c$ היא מהירות התקדמות הגל ביחידות של מטר לשנייה.
חישוב מהירות האור
מהשוואת משוואות הגלים:
\[\frac{1}{c^2} = \mu_0 \epsilon_0\] \[c^2 = \frac{1}{\mu_0 \epsilon_0} = \frac{1}{4\pi \times 10^{-7} \times \frac{1}{4\pi \times 9 \times 10^9}} = 9 \times 10^{16}\] \[\boxed{c = 3 \times 10^8 \, \text{m/s}}\]\[c = \frac{1}{\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}}\]מסקנה מאירה: זוהי מהירות האור - הפרעות בשדה האלקטרומגנטי בוואקום מתקדמות במהירות האור. האור הוא גל אלקטרומגנטי.
הזוג השני של משוואות מקסוול - צורה אינטגרלית
חוק גאוס המגנטי
\[\vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0 \Rightarrow \oint_\Omega \vec{B} \cdot d\vec{s} = 0\]משמעות: השטף של שדה מגנטי דרך כל משטח סגור שווה אפס (אין “מטענים מגנטיים” - מונופולים).
חוק פאראדיי
\[\vec{\nabla} \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\]בצורה אינטגרלית (שימוש במשפט סטוקס):
\[\oint_{\partial \sigma} \vec{E} \cdot d\vec{r} = -\frac{d}{dt} \int_\sigma \vec{B} \cdot d\vec{s}\] \[\boxed{\varepsilon = -\frac{d\Phi_B}{dt}}\]משמעות: כוח אלקטרומוטורי (כא”מ) מושרה במסלול סגור שווה למינוס קצב השינוי של השטף המגנטי דרך המשטח שהמסלול סוגר.
חוק אמפר (ללא תיקון מקסוול)
\[\oint \vec{B} \cdot d\vec{r} = \mu_0 i\]סיכום
ההישג הגדול של האלקטרומגנטיקה הקלאסית הוא האיחוד של חשמל, מגנטיות ואור לתיאוריה אחת מאוחדת - ארבע משוואות מקסוול.
המשך בשיעור הבא - בהצלחה!
דור פסקל