שאלה 1: השוואת הכוח החשמלי והכוח הכבידתי בין חלקיקים יסודיים
גודלו של כוח הכבידה בין שתי מסות נתון על ידי:
\[F_G = \frac{G m_1 m_2}{r^2}, \quad G = 6.67 \times 10^{-11} \, \mathrm{N \cdot m^2 / kg^2}\]גודלו של הכוח החשמלי בין שני מטענים חשמליים נתון על ידי:
\[F_E = \frac{K q_1 q_2}{r^2}, \quad K = 9 \times 10^9 \, \mathrm{N \cdot m^2 / C^2}\]
בכמה גדול הכוח החשמלי בין שני פרוטונים לעומת הכוח הכבידתי ביניהם?
האם יחס זה תלוי במרחק בין הפרוטונים?
כיצד הייתה משתנה התשובה אם היה מדובר בשני אלקטרונים?
נתונים:
- מטען הפרוטון והאלקטרון: $q = \pm 1.6 \times 10^{-19} \, \mathrm{C}$
- מסת פרוטון: $m_p = 1.7 \times 10^{-27} \, \mathrm{kg}$
- מסת אלקטרון: $m_e = 9.1 \times 10^{-31} \, \mathrm{kg}$
נחשב את הכוח החמשלי לפי הנוסחה ולפי הנתונים.
\[F_E = -\frac{9 \times 10^9 \, \mathrm{N \cdot m^2 / C^2} (1.6 \times 10^{-19} \, \mathrm{C})^2}{r^2}\]לא צריך את הרדיוס כי הוא יצמצם בהמשך.
\[F_G = \frac{6.67 \times 10^{-11} \, \mathrm{N \cdot m^2 / kg^2} \times (1.7 \times 10^{-27} \, \mathrm{kg})^2}{r^2}\]\[\begin{aligned} \frac{F_E}{F_G} &= \frac{\frac{9 \times 10^9 \, \mathrm{N \cdot m^2 / C^2} (1.6 \times 10^{-19} \, \mathrm{C})^2}{r^2}}{\frac{6.67 \times 10^{-11} \, \mathrm{N \cdot m^2 / kg^2} \times (1.7 \times 10^{-27} \, \mathrm{kg})^2}{r^2}} \\ &= \frac{9\times 10^9 \times (1.6 \times 10^{-19})^2}{6.67 \times 10^{-11} \times (1.7 \times 10^{-27})^2} \\ &= \frac{23.04 \times 10^{36}}{19.276} \end{aligned}\]טעות אפשרית - לערבב בין מסת פרוטון לאלקטרון בחישוב המסות:
\[F_G = \frac{6.67 \times 10^{-11} \, \mathrm{N \cdot m^2 / kg^2} \times 1.7 \times 10^{-27} \, \mathrm{kg} \times 9.1 \times 10^{-31} \, \mathrm{kg}}{r^2}\]
סך הכל:
\[\boxed{\frac{F_E}{F_G} \approx 1.195 \times 10^{36}}\]היחס לא תלוי במרחק ($r$ מצטמצם).
אם היה מדובר בשני אלקטרונים:
\[\begin{aligned} \frac{F_E}{F_G} &= \frac{\frac{9 \times 10^9 \, \mathrm{N \cdot m^2 / C^2} (1.6 \times 10^{-19} \, \mathrm{C})^2}{r^2}}{\frac{6.67 \times 10^{-11} \, \mathrm{N \cdot m^2 / kg^2} \times (9.1 \times 10^{-31} \, \mathrm{kg})^2}{r^2}} \\ &= \frac{9\times 10^9 \times (1.6 \times 10^{-19})^2}{6.67 \times 10^{-11} \times (9.1 \times 10^{-31})^2} \cdots \end{aligned}\]סך הכל - הפער גדל כשהמסה גדלה.
שאלה 2: שדה, כוח ותנועה במערכת סימטרית של שני מטענים נקודתיים
שני מטענים נקודתיים זהים ושליליים, בעלי מטען $-q$ כל אחד, מונחים לאורך ישר במרחק של $2d$ מטר זה מזה, כ״א מטר אחד משני צידי הראשית, $\vec{r}_{1,2}=(\pm d)\hat{x}$.
- האם קיימת נקודה במישור בו נמצא הישר אשר בה השדה מתאפס? אם כן מצאו אותה אם לא הסבירו מדוע.
- מהו השדה החשמלי $\vec{E}$ שיוצרים המטענים בנקודה $\vec{r}=b\hat{y}$?
- איזה כוח $\vec{F}$ יפעל על פרוטון שיוב בנקודה זו?
- אלקטרון משוחרר ממנוחה בנקודה זו. איזו תנועה (אפיון וצרה) יבצע?
סעיף א - נקודה בה השדה מתאפס
השדה מתאפס בנקודה על הראשית משיקולי סימטריה.
סעיף ב - השדה החשמלי בנקודה על ציר $y$
משיקולי סימטריה יתאפסו ההשפעות לכיוון ציר $x$ ותהיה רק השפעה לכיוון ציר וואי למטה.
ההשפעה של כל אחד מהמטענים היא:
\[\frac{k (-q)}{r^2}\]כאשר $r$ מתקבל על ידי:
\[\sqrt{d^2 + b^2}\]בנוסף, הכיוון הוא: $\cos$ והוא שווה ליחס $\frac{b}{r}$
כלומר ששני המטענים יחד נותנים:
\[2\frac{k (-q)}{r^2} \cdot \frac{b}{r}\] \[2\frac{k (-q)}{d^2 + b^2} \cdot \frac{b}{\sqrt{d^2 + b^2}}\] \[-2\frac{kqb}{\left(d^2 + b^2\right)^{\frac{3}{2}}}\]פתרון מדויק יותר לכל הסעיפים ניתן למצוא בתרגול 3.
שאלה 3: שדה חשמלי של טבעת טעונה – צפיפות, סימטריה ואינטגרציה
טבעת מעגלית לא מוליכה שרדיוסה $R$ טעונה באופן אחיד במטען כולל חיובי $Q$.
- מהי צפיפות המטען הקווית על הטבעת?
- מסובבים את הטבעת במהירות זוויתית $\omega$. מהו וקטור צפיפות הזרם על הטבעת?
- ללא חישוב, מהו השדה החשמלי במרכז הטבעת?
- מהו השדה החשמלי $\vec{E}$ על ציר $z$ המאונך למישור הטבעת ומנקב אותה במרכזה?
סעיף 1 - צפיפות מטען קווית
מהגדרה של צפיפות קווית:
\[\lambda = \frac{Q}{L}\]כאשר $L$ הוא אורך הטבעת (היקף המעגל).
נציב ונקבל שהצפיפות הקווית היא:
\[\boxed{\lambda = \frac{Q}{2\pi R} \, \left[ \frac{C}{m} \right]}\]סעיף 2 - צפיפות זרם
טרם למדנו את הנושא (נכון לכתיבת שורות אלו).
סעיף 3 - שדה במרכז
משיקולי סימטריה בלבד, השדה במרכז הטבעת הוא אפס:
\[\boxed{\vec{E} = 0}\]סעיף 4 - שדה על ציר $z$ שמאונך לטבעת
הבחנה מהותית: בגלל סימטריה, רק רכיב $z$ של השדה שורד.
נוסחאות נדרשות:
מדף הנוסחאות, שדה של מטען נקודתי (קטן) נתון על ידי:
\[\boxed{dE = k\frac{dq}{r^2}}\]אלמנט מטען קטן על הטבעת הוא:
\[dq=\lambda dL\]כאשר $dL$ הוא אורך קשת קטנטנה. בקואורדינטות קוטביות:
\[dL = R d \theta\]וסך הכל:
\[dq = \lambda R d \theta\]נמשיך.
מרחק מאלמנט על הטבעת לנקודה על הציר במרחק $z$:
\[r = \sqrt{R^2 + z^2}\]נציב ונקבל:
\[dE = \frac{k \cdot \lambda R d \theta}{R^2 + z^2} \cos \phi\]משיקולי טריגונומטריה:
\[\cos \phi = \frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}\]נציב ונקבל:
\[dE = \frac{k \cdot \lambda R d \theta}{\left(R^2 + z^2\right)^{\frac{3}{2}}}\]נעשה אינטגרל כדי לסכום את כל המטענים הנקודתיים:
\[E = \int_0^{2\pi} dE(\theta)\]\[= \frac{k \lambda R z}{(R^2 + z^2)^{3/2}} \int_0^{2\pi} d\theta = \frac{k \lambda R z}{(R^2 + z^2)^{3/2}} \cdot 2\pi\]הפנמה חשובה שדרושה להמשך: כל מה שבתוך האינטגרל קבוע ביחס ל $\theta$.
סך הכל:
\[E= \frac{2\pi k \lambda R z}{\left(R^2 + z^2\right)^{\frac{3}{2}}} \hat{z}\]ואם נציב $\lambda = \frac{Q}{2\pi R}$ נקבל:
\[\boxed{\vec{E} = \frac{kQz}{\left(R^2 + z^2\right)^{\frac{3}{2}}} \hat{z}}\]הערות:
אם המטען היה מוליך, מטען חיובי מסוים היה מושך אליו את כל המטענים והיה מתקבל קיטוב על הטבעת. לא מוליך = מבודד.
נניח ששמנו מטען $(-q)$ ושמבקשים מאיתנו לצייר את השדה. אם הטבעת מוליכה - יש קיטוב, אחרת אין קיטוב.
המשיק לקווי השדה הוא השקול הווקטורי של השדות שנוצרים מהצטברויות המטען השונות.
אם מדובר בכדור ויש קיטוב על הכדור - השדה לא חייב להיות אפס, אבל השטף כן.
שאלה 4: שדה ושטף במערכת גלילים קונצנטריים טעונים – יישום חוק גאוס
שתי מעטפות גליליות קונצנטריות (בעלות ציר משותף) ברדיוס $R_2, R_1$ ובאורך אינסופי טעונות בצפיפות משטחית $\sigma_1 \sigma_2$ קולון ליחידת שטח, בהתאמה. הגלילים אינם מוליכים.
- מהו וקטור השדה החשמלי בכל המרחב?
- מסירים פס דק באורך אינסופי מהגליל החיצוני (כך שהפס שהוסר מקביל לציר הגלילים) מהו עתה השדה החשמלי על הציר?
- מהו השטף החשמלי דרך הגליל הפנימי במקרה של סעיף ב׳?
סעיף 1 - שדה בכל המרחב
רכיבי השדה על ציר $\hat{z}$ מתאפסים משיקולי סימטריה. נשארנו רק עם הרכיבים שיוצאים בניצב ליריעות הגליל (לכיוון מישור $xy$).
נשתמש בחוק גאוס עבור כל אחת מהיריעות בנפרד. חוק גאוס:
\[\oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{Q_{enc}}{\varepsilon_0}\]במילים: שטף השדה דרך אלמנט נפח גלילי שווה לסך כל המטען שכלוא בתוך אלמנט הנפח חלקי $\epsilon_0$.
רמז: צריך לחלק לשלושה אזורים:
- $r < R_1$
- $R_1 < r < R_2$
- $r > R_2$
נבחר משטח גאוסי גלילי לכל אזור - המטען הכלוא תלוי באזור.
תחילה נפתור באופן כללי לשדה חיצוני ולשדה פנימיה ביחס לגליל עם צפיפות משטחית $\sigma$ ורדיוס $R$, ואז ניישם על שני הגלילים.
בתוך הגליל ($r < R$)
אין מטען כלוא בתוך הגליל הפנימי, לפי גאוס השדה הוא אפס:
\[\phi(r < R) = \int_{surface} \vec{E} \cdot d\vec{A} = \int_{surface} | E_{xy} | dA \underbrace{=}_{gauss} \frac{Q_{enc}}{\varepsilon_0} = 0\] \[\implies E_{xy} = 0 \quad \text{for } r < R\]מחוץ לגליל ($r > R$)
השדה החיצוני מקיים:
\[\phi(r > R) = \int_{surface} | \underbrace{E_{xy}}_{\text{constant}} | dA = \frac{Q_{enc}}{\varepsilon_0} \underset{\star}{=} \frac{\sigma \cdot 2\pi R \cdot L}{\varepsilon_0}\]$(\star)$ קשר בין צפיפות משטחית למטען:
\[Q = \sigma \cdot A\]במקרה של גליל:
\[A = 2 \pi R L\]מכאן:
\[Q = \sigma \cdot 2 \pi R L\]
זה מטען אינסופי אך גם השטרף הוא אינסופי כי האינטגרל מכיל שטח אינסופי:
\[\phi (r \ge R) = E_{xy} (r > R) \cdot 2\pi r \cdot L = \frac{\sigma \cdot 2\pi R \cdot L}{\varepsilon_0}\] \[\implies E_{xy} (r > R) = \frac{\sigma R}{\varepsilon_0 r} \cdot \hat{r} \quad \text{for } r > R\]סעיף 2 - הסרת פס מהגליל החיצוני
הבחנה מהותית: נדרש להשתמש בסופרפוזיציה. גליל שלם פחות פס זה כמו גליל שלם ועוד פס עם מטען הפוך.
מה השדה של הגליל השלם על הציר?
תשובה: השדה על הציר הוא אפס.
מה השדה של פס אינסופי טעון?
\[E = \frac{\sigma}{2 \pi \varepsilon_0 r}\]סעיף 3 - שטף דרך הגליל הפנימי
נוסחה:
\[\Phi = \oint \vec{E} \cdot d\vec{A}\]או דרך גאוס:
\[\Phi = \frac{Q_{enc}}{\varepsilon_0}\]הבחנה מהותית: האם יש מטען בתוך הגליל הפנימי? לא.
הערה - בשדה אינסופי רואים מרחוק גליל כקבל, כמו שבמעגלי רואים מעגל כנקודה.
שאלה 5: שדה חשמלי בכדור לא מוליך עם צפיפות מטען נפחית משתנה
כדור לא מוליך ברדיוס $R$ טעון בצפיפות נפחית רדיאלית:
\[\rho(r) = \rho_0/r\]
מהן יחידות $\rho_0$?
מהו השדה החשמלי בתוך הכדור?
עזרה: שטח קליפה כדורית ברדיוס $r$ ועובי $dr$ הוא:
\[dV = 4 \pi r^2 dr\]
צפיפות נפחית של מטען -> מטען לנפח:
\[\left[ \rho \right] = \frac{C}{m^3}\]כדי שהיחידות יסתדרו צריך שהיחידות של $\rho_0$ יהיו:
\[\frac{C}{m^2}\]סעיף 2 - שדה בתוך הכדור
נוסחאות נדרשות:
חוק גאוס:
\[\oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{Q_{enc}}{\varepsilon_0}\]שלבים:
- נבחר משטח גאוסי כדורי ברדיוס $r < R$
-
נחשב את המטען הכלוא $Q_{enc}$ על ידי אינטגרציה:
\[Q_{enc} = \int_0^r \rho(r') \cdot dV = \int_0^r \frac{\rho_0}{r'} \cdot 4\pi r'^2 \, dr'\]נפשט (צמצום של $r’$ ):
\[= \int_0^r \rho_0 \cdot 4\pi r' \, dr'\]נוציא קבועים ונפתור:
\[= \rho_0 \cdot 4\pi \int_0^r r' \, dr' = \rho_0 \cdot 4\pi \frac{r^2}{2}\] -
הצד השמאלי של גאוס (מסימטריה כדורית):
\[\oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = E \cdot 4\pi r^2\] -
נשווה ונפתור עבור $E$
\[E \cdot 4\pi r^2 = \frac{\rho_0 \cdot 4\pi \frac{r^2}{2}}{\epsilon_0} \implies \boxed{E = \frac{\rho_0}{2\epsilon_0}}\]
שאלה 6: בדיקת עקביות פיזיקלית של קווי שדה חשמלי
נתונה תמונה של ארבעה מטענים וצריך לקבוע את המטען שלהם.
הפתרון הוא שזה לא מצב פיזיקלי אפשרי - בנקודה ג׳ יש קווים נכנסים וגם קווים יוצאים.
קווי שדה חשמלי לא יכולים גם להיכנס וגם לצאת מאותו מטען נקודתי. מטען הוא או מקור (חיובי - רק יוצאים) או בור (שלילי - רק נכנסים).
התשובה: ה. לא ייתכן מצב כזה של קווי שדה הציור מתאר מצב לא פיזיקלי.
שאלה 7: חישוב מטען כלוא מתוך שטף שדה דרך קובייה
נתונה קובייה שאורך מקצועה הוא $a$.
השדה החשמלי דרך הפאות השונות הוא:
- פאה עליונה: $\vec{E} = E_0 \hat{z}$
- פאה תחתונה: $\vec{E} = E_0 \hat{z}$
- פאה ימנית: $\vec{E} = E_1 \hat{x}$
- פאה שמאלית: $\vec{E} = -E_1 \hat{x}$
- פאות קדמית ואחורית: $\vec{E} = \vec{0}$
מהו המטען הכולל הכלוא בקובייה?
צריך:
- לחשב את השטף דרך כל פאה: $\Phi = \vec{E} \cdot \hat{n} \cdot a^2$
- לסכום את כל השטפים
- להשתמש בגאוס: $Q_{enc} = \varepsilon_0 \cdot \Phi_{total}$
ננסה לחשב כל פאה בנפרד.
דרך הפאות העליונות והתחתונות:
\[\vec{E} = E_0 \hat{z} \pm \hat{z}\]אבל מכיוונים מנוגדים ולכן מתבטל. הקדמי והאחרוי אפס מכאן שנשארו רק הפאה הימנית והפעה השמאלית - לשתיהן שטף על מישור איקס.
לימנית שטף חיובי ולמעשה גם לשמאלית (כי היא מינוס אבל מהכיוון השני של ציר איקס).
מכאן שהשטף הוא:
\[2E_1 \hat{x} a^2\]נציב בגאוס ונקבל:
\[2E_1 \hat{x} a^2 = \frac{Q_{enc}}{\epsilon_0}\]טעות - שטף הוא סקלר, לא וקטור. אז:
\[2E_1 a^2 = \frac{Q_{enc}}{\epsilon_0} \implies Q = 2E_1 a^2 \epsilon_0\]נזכור ש-
\[k = \frac{1}{4\pi \epsilon_0}\]אז אפשר גם לרשום:
\[\boxed{Q = \frac{E_1 a^2}{2\pi k}}\]שאלה 8: שיווי משקל בין כוח חשמלי לכוח כבידה – כדור טעון ליד לוח אינסופי
כדור קטן שמסתו אחד גרם טעון במטען של מינוס חצי מיקרוקולון. הכדור מרחף במנוחה מתחת ללוח אופקי, גדול מאוד, טעון בצפיפות מטען אחידה $\sigma$. המערכת נמצאת בריק.
- שרטטו תרשים מתאים למצב הנתון
- חשבו את צפיפות המטען על הלוח
לא הצלחתי את השאלה, להלן פיתרון של קלוד:
נתונים
- $m = 1 \text{ g} = 10^{-3} \text{ kg}$
- $q = -0.5 \times 10^{-6} \text{ C}$
- הכדור מרחף במנוחה מתחת ללוח
חלק א’ - תרשים
+ + + + + + + + לוח (σ > 0)
↓ E
○ כדור (q < 0)
↑ Fₑ
↓ mg
חלק ב’ - חישוב צפיפות המטען
שיווי משקל: הכוח החשמלי כלפי מעלה מאזן את הכבידה כלפי מטה.
קביעת סימן σ: מכיוון ש-$q < 0$ והכוח צריך להיות כלפי מעלה, השדה חייב להיות כלפי מטה. שדה יוצא מלוח חיובי, לכן $\sigma > 0$.
משוואה:
\[|q| \cdot \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} = mg\]פתרון:
\[\sigma = \frac{2\varepsilon_0 mg}{|q|} = \frac{2 \times 8.85 \times 10^{-12} \times 10^{-3} \times 10}{0.5 \times 10^{-6}}\] \[\boxed{\sigma = 3.54 \times 10^{-7} \text{ C/m}^2}\]שאלה 9: סטיית חוט בשדה חשמלי אופקי – שיווי משקל כוחות
מסדרים את אותו לוח בשאלה הקודמת במצב אנכי ותולים את אותו כדור בקצהו של חוט מבודד המחובר לתקרה.
- שרטטו תרשים של המצב החדש המתואר בסעיף זה.
- מהי זווית הסטייה של החוט מהאנך במצב זה?
תקרה
+ |
+ | T (מתיחות)
לוח אנכי (σ > 0)+ |θ
+ ○ כדור (q < 0)
+ ↙ ↓
+ Fₑ mg
+ ←
שיווי משקל
יש שלושה כוחות:
- $mg$ למטה
- $F_E = |q| \cdot \frac{\sigma}{2\epsilon_0}$ אופקית (לכיוון הלוח, כי $q < 0$)
- $T$ מתיחות החוט (בזווית)
נציב את כל הנתונים:
\[= \frac{0.5 \times 10^{-6} \cdot \frac{3.54 \times 10^{-7}}{2 \times 8.85 \times 10^{-12}}}{10^{-3} \times 10}\] \[= \frac{0.5 \times 10^{-6} \cdot 2 \times 10^{4}}{10^{-2}} = \frac{10^{-2}}{10^{-2}} = 1\] \[\implies \theta = 45^{\circ}\]זה הגיוני פיזיקלית: הכוח החשמלי שווה בדיוק לכוח הכבידה, ולכן הזווית היא 45°.
(אפשר גם לראות את זה ישירות: בשאלה הקודמת הכוח החשמלי איזן את הכבידה כשהכדור ריחף, אז $F_E = mg$, ולכן $\tan\theta = \frac{F_E}{mg} = 1$)
שאלה 10: כדור טעון בין לוחות מקבילים – חישוב שדה ותנועה איכותית
בין שני לוחות מבודדים גדולים מאוד אשר המרחק ביניהם הוא $d=20 \, \mathrm{cm}$, תלוי בקצה חוט מבודד כדור מוליך קטן, שמסתו $m=10^{-5} \, \mathrm{Kg}$ ומטענו $q=10^{-6} \, \mathrm{C}$.
הכנסת הכדור בין הלוחות גורמת לחוט לסטות בזווית של $\alpha=4^{\circ}$. בהנחה שהמרחק בין הלוחות קטן מאוד יחסית למימדיהם.
________ | | |\ | | | | | \○ | | | | ○ | | | | | | | |<--------->| | d
- מהי צפיפות המטען המשטחי $\sigma$ שעל כל לוח?
- חוזרים על כל התהליך, אך הפעם עם לוחות מוליכים הטעונים באותו מטען משטחי $\sigma$ שחישבנו למעלה. תארו באופן איכותי את תנועת הכדור בין הלוחות.
זכיר משהו מפיזיקה קל: הכדור תלוי על חוט וסוטה בזווית - זה מזכיר משהו מפיזיקה א׳!
שיווי משקל של שלושה כוחות
על הכדור פועלים:
- כוח כבידה $mg$ - כלפי מטה
- כוח חשמלי $F_E = qE$ - אופקית (לכיוון הסטייה)
- מתיחות החוט $T$ - לאורך החוט
\ T
\
\θ
○ ← Fₑ = qE
↓
mg
נוסחת המפתח
בשיווי משקל כזה (כמו מטוטלת בשדה חשמלי):
\[\tan(\alpha) = \frac{F_E}{mg} = \frac{qE}{mg}\]מה השדה בין שני לוחות?
בין שני לוחות מקבילים טעונים הפוכים (קבל), השדות מסתכמים:
\[E_{\text{total}} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}\](לא $\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ - למה?)
כלומר שאם נציב את השדה בנוסחה מקודם נקבל:
\[\tan(\alpha)=\frac{qE}{mg}=\frac{q\sigma}{mg\epsilon_0}\]תהיות וטעויות שהיו לי:
- המסה כן רלוונטית! היא קובעת את כוח הכבידה
- לא צריך נוסחת $\frac{1}{r^2}$ - זה לוח אינסופי, לא מטען נקודתי
- כן, זה שילוב של כוח חשמלי וכבידה בזווית
נציב ונפתור:
\[\tan(4) = \frac{q \sigma}{mg \epsilon_0}\]$g=10 \, \mathrm{m/}\mathrm{s}^2$ היא תאוצת הכבידה.
\[\sigma = \frac{\tan(4)mg\epsilon_0}{q}\]נציב את המשקל והמטען הנתון וכן $\epsilon_0 \approx 8 \times 10^{-12}$.
\[= \frac{0.06 \cdot 10^{-5} \cdot 10 \cdot 8 \cdot 10^{-12}}{10^{-6}}\] \[= \frac{6 \cdot \cancel{10^{-6}} \cdot 8 \cdot 10^{-12}}{\cancel{10^{-6}}}\]נשאר
\[\boxed{\sigma \approx 4.8 \times 10^{-11} \, \mathrm {C/m}^2}\]כאשר שני הלוחות מוליכים
לא הצלחתי לבד. להלן תשובה מקלוד:
לוחות מוליכים לא אומר שאין שדה ביניהם!
ההבדל: בלוחות מבודדים המטען נשאר במקום. בלוחות מוליכים המטען יכול לזוז בתוך הלוח.
מה יקרה: הכדור הטעון ישפיע על פיזור המטען בלוחות (אינדוקציה), מה שישנה את השדה, מה שיזיז את הכדור, וחוזר חלילה… הכדור יתנדנד או ינוע לכיוון אחד הלוחות.
שאלה 11: אינדוקציה ושימור מטען במערכת כדורים מוליכים ולוח טעון
מצמידים שני כדורים מוליכים שאינם טעונים. מתחת לכדורים מניחים לוח טעון במטען חשמלי חיובי.
○ ○ -------------- ++++++++++++++ --------------
- מפרידים את הכדורים זה מזה. האם לאחר ההפרדה הכדורים טעונים? אם לא מדוע אם כן מה סימן המטען בכל כדור.
- ענה על השאלה כשאר הלוח אנכי:
|+| |+| ○ ○ |+| |+| |+|
תשובה מ-ChatGPT 5.2 Thinking
נשתמש בשני עקרונות:
- אינדוקציה: שדה חיצוני גורם להפרדת מטענים במוליך (קיטוב), ומטענים יכולים לזרום אם שני מוליכים במגע.
- שימור מטען: לשני הכדורים יחד היה מטען כולל (0), אז אחרי כל התהליך סכום המטענים על שניהם חייב להישאר (0).
מצב 1: הלוח אופקי מתחת לשני הכדורים (כמו בציור העליון)
כאן השדה מהלוח החיובי הוא בערך כלפי מעלה. שני הכדורים (כשמחוברים) יתקטבו כך שיצטבר מטען שלילי יותר למטה וחיובי יותר למעלה — אבל בגלל סימטריה מושלמת (שני הכדורים באותו מרחק מהלוח), אין “כדור קרוב יותר” שיקבל עודף אלקטרונים על חשבון השני.
לכן, כשמפרידים את הכדורים (בעוד הלוח שם) מתקבל:
- כל כדור נשאר עם מטען נטו (0) (נייטרלי).
- בזמן שהלוח קרוב הם מקוטבים, אבל זה לא “נטען” נטו לכל כדור.
✅ תשובה מצב 1: אחרי ההפרדה שני הכדורים נייטרליים (אין “+” על אחד ו“-” על השני).
הערה חשובה: אם הלוח לא היה סימטרי ביחס לשני הכדורים (למשל קרוב יותר לאחד מהם), אז כן היה מתקבל מצב של “אחד שלילי ואחד חיובי”.
מצב 2: הלוח אנכי בצד (כמו בציור התחתון)
כאן יש שבירת סימטריה: הכדור השמאלי קרוב יותר ללוח החיובי.
- אלקטרונים נמשכים ללוח החיובי ⇒ זורמים דרך המגע אל הכדור הקרוב.
- לכן הכדור הקרוב מקבל עודף אלקטרונים ⇒ נהיה שלילי.
- הכדור הרחוק נשאר עם מחסור אלקטרונים ⇒ נהיה חיובי.
- המטענים יהיו שווים בגודל והפוכים בסימן (כי הסכום חייב להישאר (0)).
✅ תשובה מצב 2:
- הכדור הקרוב ללוח החיובי: שלילי ((-))
- הכדור הרחוק מהלוח: חיובי ((+))
שאלה 12: ניתוח כיוון שדה חשמלי והיטל רכיבים ממטענים לא סימטריים
נתונים שני מטענים $Q_1$ ו-$Q_2$ . בנקודה $A$ השדה החשמלי $\vec{E}$ מכוון אופקית ימינה.
- איזה מטען הוא חיובי ואיזה שלילי?
- נתון $\vert Q_2 \vert = 5 \vert Q_1 \vert$. מיצאו את $a$.
E A|---> |a Q1 | Q2 -○--------------------○ a 2a
אני חושב ש $Q_2$ כנראה שלילי כי הוא מושך אליו (בולען), אבל השאלה לא לגמרי ברורה לי כי נראה מהציור שהנקודה A גבוהה יותר ושהמשיכה היא לא בכיוון שמתאים בדיוק למערכת (הייתי מצפה לראות קו מA ל Q2).
לגבי סעיף 2, אני חושב שצריך להיעזר בחוק קולון?
נסתכל על נקודה בראשית?
אולי בעזרת $E$?
ביקשתי רמז:
נכון, צריך להשתמש בשדה החשמלי. בנקודה $A$:
רמז: השדה הכולל הוא אופקי בלבד (אין רכיב אנכי).
זה אומר שרכיבי ה-$y$ של השדות מ-$Q_1$ ומ-$Q_2$ חייבים להתאפס.
נסה לרשום את המרחק מכל מטען לנקודה $A$, ואת רכיב ה-$y$ של כל שדה.
תודה לקלוד אופוס 4.5. ננסה להקשיב לעצתו הטובה לרוב.
המרחק מהנקודה הימנית ל$A$ הוא:
\[d_1 = \sqrt{2}a\]משיקולי פיתגורס.
המרחק של $Q_2$ הוא:
\[d_2 = \sqrt{a^2 + 4a^2} = \sqrt{5}a\]רכיבי ה-$y$ הוא המרחק הזה עם היטל שלדעתי יוצר סינוס. מכאן:
\[E_1 = \frac{kQ_1}{2a^2}\sin(45) = \frac{kQ_1}{2a^2}\frac{1}{\sqrt{2}}\]הזוויות החשובות של מעגל היחידה זמינות בסיכום על מעגל היחידה.
\[E_2 = \frac{kQ_2}{5a^2}\sin(26.5) = \frac{kQ_2}{5a^2}\frac{1}{...}\]מסתבר שהיה טעות להשתמש בערך של הסינוס:
טריק לסינוס
לא צריך לחשב זוויות במעלות! הסינוס הוא פשוט:
\[\sin(\theta) = \frac{\text{Nitzav Negdi}}{\text{Yeter}} = \frac{a}{d}\]אז:
\[\sin(\theta_1) = \frac{a}{\sqrt{2}a} = \frac{1}{\sqrt{2}}\] \[\sin(\theta_2) = \frac{a}{\sqrt{5}a} = \frac{1}{\sqrt{5}}\]השוואת רכיבי $y$
\[E_{1y} = \frac{kQ_1}{2a^2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\] \[E_{2y} = \frac{kQ_2}{5a^2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}}\]מתאפסים, אז:
\[\frac{kQ_1}{2a^2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{kQ_2}{5a^2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}}\]נציב $|Q_2| = 5|Q_1|$ ונפתור עבור $a$.
\[\frac{Q_1}{2a^2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{Q_1}{a^2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}}\]אוקיי כנראה שיש טעות בשאלה, כי למעשה העובדה שהתנאי מתקיים עדיין לא מסייעת למצוא ערך מסוים של $a$.
שאלה 13: שדה ותאוצה לאורך ציר סימטריה של שני מטענים זהים
נתונים שני מטענים חיוביים זהים $Q$ המרוחקים זה מזה $2d$.
Q ● | | ----------+-----------◯------> x | B | ● Q
הראו שהשדה החשמלי לאורך ציר $x$ החיובי נתון בביטוי:
\[\vec{E}(x) = \frac{2KQx}{(x^2 + d^2)^{3/2}}\hat{x}\]קבלו ביטוי עבור תאוצתו של חלקיק אשר מסתו היא $m$ ומטענו החשמלי הוא $q$ והוא מונח היכנשהו על ציר ה-$x$.
משיקולי סימטרייה ההשפעה על ציר $y$ מתאפסת ויש השפעה רק על ציר $x$.
המרחק של הנקודה B מכל מטען הוא:
\[r=\sqrt{x^2+d^2}\]ההיטל על ציר $x$ הוא קוסינוס (ניצב שליד הווית חלקי היתר)
\[\cancel{\cos(\theta) = \frac{d}{\sqrt{x^2+d^2}}}\]סך הכל כל מטען משפיע:
\[\cancel{\vec{E}(x) = \frac{kQ}{(x^2+d^2)} \cdot \frac{d}{\sqrt{x^2+d^2}}}\]אופס, טעיתי במיקום של הזווית, זה כנראה אמור להיות:
\[\cos(\theta) = \frac{x}{\sqrt{x^2+d^2}}\]Q ● \ | \ r | \ | θ ↘ ----------+-------◯------> x | B | | ● Q
וסך הכל יש שניים אז:
\[\boxed{\vec{E}(x)_{tot} = \frac{2kQx}{(x^2+d^2)^{3/2}} \hat{x}}\]נמצא כעת ביטוי לתאוצה של חלקיק כנדרש.
כוח של חלקיק נתון על ידי:
\[\vec{F} = q\vec{E}\]מהחוק השני של ניוטון:
\[\vec{F}=m\vec{a}\]מכאן:
\[q\vec{E}=m\vec{a} \implies \vec{a} = \frac{q\vec{E}}{m}\]נציב את הביטוי ל $E$:
\[\vec{a} = \frac{q}{m} \cdot \frac{2kQx}{(x^2+d^2)^{3/2}} \hat{x}\]או בצורה מסודרת:
\[\boxed{\vec{a}(x) = \frac{2kQqx}{m(x^2+d^2)^{3/2}} \hat{x}}\]שאלה 14: השוואת התנהגות השדה החשמלי בכדור מבודד ובכדור מוליך
דור פסקל