שאלה 1 – זווית בין וקטורים במרחב
נוסח מקוצר:
נתונים
\[\vec a=\bigl(\sqrt2,\,-\sqrt3,\,\sqrt4\bigr),\qquad \vec b=\bigl(-\sqrt8,\,\sqrt3,\,\sqrt5\bigr)\]נדרשת הזווית $\theta$ בין $\tfrac13\vec a$ לבין $3\vec b$ (הקפלת סקלר אינה משנה כיוון).
פתרון:
\[\cos\theta=\frac{\vec a\!\cdot\!\vec b}{\lVert\vec a\rVert\;\lVert\vec b\rVert} = \frac{\sqrt2(-\sqrt8)+(-\sqrt3)(\sqrt3)+\sqrt4\,\sqrt5 }{(\sqrt2+3+4)^{1/2}\;(8+3+5)^{1/2}}\] \[=\frac{-\,7+2\sqrt5}{3\cdot4}\] \[=\frac{\sqrt{20}-7}{12}.\]לכן
\[\boxed{\displaystyle \theta=\cos^{-1}\!\left(\frac{\sqrt{20}-7}{12}\right)}\]מושגים: מכפלה סקלרית, נורמה של וקטור, סקאלת כיוון.
שאלה 2 – אורתו-נורמליות של בסיס דו-ממדי
נוסח מקוצר:
\[\hat e_1=\frac1{\sqrt2}(1,-1),\qquad \hat e_2=\frac1{\sqrt2}(1,1)\]האם הזוג אורתוגונלי ונורמלי?
פתרון:
\[\hat e_1\cdot \hat e_2=\frac1{2}(1\cdot1+(-1)\cdot1)=0,\qquad \lVert\hat e_{1,2}\rVert=1.\]הזוג אורתונורמלי – יחידת אורך ואפסית מכפלה סקלרית.
שאלה 3 – פירוק וקטור מיקום בבסיס לא־אורתונורמלי
נוסח מקוצר: אותו זוג ללא נרמול, $\vec r=(x,y)$. מצאו ייצוג $\vec r=c_1\vec e_1+c_2\vec e_2$.
פתרון:
פותרים
\[\begin{bmatrix}1&1\\-1&1\end{bmatrix}\!\begin{bmatrix}c_1\\c_2\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}.\]מכאן
\[c_1=\tfrac{x-y}{2},\;c_2=\tfrac{x+y}{2}\]\[\boxed{\vec r=\frac{x-y}{2}\vec e_1+\frac{x+y}{2}\vec e_2 }.\]לכן הביטוי הנכון הוא
שאלה 4 – ה-ODE של מערכת קפיץ־מסה במַשׁק-צמיג
נוסח מקוצר: מסה מחוברת לקפיץ ומוקפת נוזל צמיג. איזה מן המודלים מתאר את התנועה?
פתרון:
סכום הכוחות (החוק ה-2 של ניוטון):
\[m\ddot x = -kx -b\dot x \;\Longrightarrow\; \boxed{\ddot x + 2\gamma\dot x + \omega^2x =0}\] \[\quad \gamma=\tfrac b{2m},\;\omega=\sqrt{\tfrac k m}.\]שאלה 5 – פרשנות לפתרון $x(t)=2e^{-\gamma t}\cos\omega t$
פתרון: הפונקציה היא תוצר של תנודה הרמונית $\cos\omega t$ שמעטפת המשרעת שלה דועכת אקספוננציאלית.
נוסח מדויק: המסה מבצעת תנודה הרמונית שמשרעתה $A(t)=2e^{-\gamma t}$.
שאלה 6 – הגדרה פיזיקלית של משקל
תשובה: משקל גוף הוא הכוח שבו כדור-הארץ מושך אותו – כלומר כוח הכבידה $W=\lvert\vec F_g\rvert = mg$.
שאלות 9-7 – תנודה הרמונית חד-ממדית
נתונים:
\[\begin{aligned} m &= 0.10\text{ kg},\;C=0.24\text{ m},\;T=2\text{ s} \\ &\Rightarrow \omega=\frac{2\pi}{T}=\pi\text{ rad/s},\;x_0=0.12\text{ m}. \end{aligned}\]קביעת הפאזה
מהמשוואה $x=C\cos(\omega t+\phi)$:
\[0.12=0.24\cos\phi\Rightarrow\cos\phi=\tfrac12\Rightarrow\phi=\tfrac\pi3\]כיוון שהמהירות בתחילת התנועה שלילית (נחזה מיד) – נבחר $\phi=\tfrac\pi3$.
שאלה 7 – גודל הכוח בזמן $t=\tfrac13\text{ s}$
\[x\!\left(\frac13\right)=C\cos\!\left(\pi\!\cdot\!\frac13+\frac\pi3\right)=0.24\cos\!\left(\frac{2\pi}{3}\right)=-0.12\text{ m}.\]הקבוע $k=m\omega^{2}=0.10\pi^{2}$.
\[|F| = k|x| = 0.10\pi^{2}\cdot0.12 = 0.012\pi^{2}\text{ N}.\]שאלה 8 – מהירות בתחילת התנועה
\[v(t)= -C\omega\sin(\omega t+\phi)\] \[v(0)= -0.24\pi\sin\!\frac\pi3\] \[= -0.24\pi\cdot\frac{\sqrt3}{2}\] \[= -0.12\sqrt3\,\pi\;\text{m/s}.\]שאלה 9 – מהירות במעבר דרך $x=0$
הרכיב המהיר ביותר (ב-SHM):
\[v_{\max}=C\omega = 0.24\pi\text{ m/s}\]כיוון התנועה שלילי (המסה בדרכה שמאלה), לכן
\[\boxed{v=-0.24\pi\text{ m/s}}\]שאלה 10 – SHM במעלית מואצת
נתונה משוואה $\ddot x=-\pi^{2}x+6$.
נקודת ש״מ מתקבלת מ-$\ddot x=0$:
\[x^{\ast}=\frac6{\pi^{2}}\]
שאלות 13-11 – חרוז מחליק על קשת מעגלית
קואורדינטות במערכת התחלתית
\[\boxed{\vec r(t)=R\sin\theta(t)\,\mathbf{\hat i} + \bigl(R-R\cos\theta(t)\bigr) \,\mathbf{\hat{j}}}\]שקול כוחות בציר הרדיאלי (ראשית במרכז)
יישום $F_r=ma_r$:
\[\boxed{N-mg\cos\theta=mR\dot\theta^{2}}. \quad(\text{for }F_c=m\frac{v^{2}}R)\]מקום המשקל המקסימלי
הנורמל $N$ גדול ביותר בתחתית הקשת ($\theta=0,\;v_{\max}$).
דור פסקל