פתרון שאלה 3 משיעורי הבית

שתי מסות זהות:

\[m_1 = m_2 = 99_{grams} = 0.099_{kg}\]

קשורות בחוט הכרוך על גלגלת שצירה מקובע בגובה רב מעל הרצפה.

בתחילה המסות נמצאות במנוחה בגובה זהה מעל הרצפה.

זבוב שמסתו \(m = 2_{grams} = 0.002_{kg}\) נוחת בעדינות על מסה \(m_1\) (נניח, זו הימנית).

לאחר שתי שניות מתעופף לו הזבוב, ולאחר שתי שניות נוספות הוא נוחת בעדינות על מסה $m_2$ השמאלית.

הנחות: מסת החוט, מסת הגלגלת, והחיכוך ביניהם ניתנים להזנחה.

  1. דיאגרמה בזמן נחיתת הזבוב

    ציירו את המערכת בזמן $t = 0$, זמן נחיתת הזבוב על $m_1$, הוסיפו על הציור סקיצה של וקטורי המהירות והתאוצה של שתי המסות (אין צורך בחישוב).

  2. תיאור תנועת $m_2$

    תארו מילולית את תנועת המסה $m_2$ (תנועה קצובה, תאוצה קבועה, תאוצה משתנה, כיווני תנועה ותאוצה) בכל אחד משלושת פרקי הזמן:

    • א) $0 \leq t < 2s$
    • ב) $2s \leq t < 4s$
    • ג) $t \geq 4s$

  3. חישוב התאוצה

    חשבו את התאוצה של $m_2$ בכל אחד מפרקי הזמן:

    • א) $0 \leq t < 2s$
    • ב) $2s \leq t < 4s$
    • ג) $t \geq 4s$

  4. כתבו את המהירות כפונקציה של הזמן של המסה $m_2$ עבור עשר השניות הראשונות של התנועה. השתמשו באותו פרמטר זמן $t$ לכל שלבי התנועה.

  5. גרף מהירות

    ציירו גרף כמותי של מהירות $m_2$ עבור עשר השניות הראשונות של התנועה.

  6. קבלו את ההעתק הכולל של המסה $m_2$ בעשר השניות הראשונות לתנועה מבלי להיעזר במשוואות מקום-זמן.

1. דיאגרמה בזמן נחיתת הזבוב

alt text

alt text

2. תיאור תנועת $m_2$

א) $0 \leq t < 2s$

$m_2$ מאיצה מעלה בתאוצה קבועה ממהירות התחלתית 0.

alt text

ב) $2s \leq t < 4s$

המערכת נמצאת בהתמדה, כלומר שקול הכוחות הפועלים עליה שווה לאפס. $m_2$ מתמידה במהירותה כלפי מעלה (החוק הראשון של ניוטון).

ג) $t \geq 4s$

התאוצה מחליפה כיוון $-a$, כלומר שהיא בכיוון מנוגד למהירות. מצב כזה (תאוצה בכיוון מנוגד למהירות) נקרא תאוטה. בשלב מסוים יתהפך כיוון המהירות.

3. חישוב התאוצה של $m_2$

א) $0 \leq t < 2s$

ניעזר בכל השני של ניוטון ($F = ma$). תחילה נרשום את המשוואות שפועלים על כל אחת מהמסות.

על המסה הימנית (שהזבוב נוחת עליה) - היא נעה כלפי מטה:

\[(M+m)g - T = (M+m)a \tag{1}\]

על המסה השמאלית (שלא נוחת עליה הזבוב) - היא נעה כלפי מעלה:

\[T - Mg = Ma \tag{2}\]

שימו לב שהכוח $T$ הוא מתיחה בחוט, והוא פועל על המסה השמאלית כלפי מעלה, ועל המסה הימנית כלפי מטה, בדומה לכוח המשיכה. מכאן ההבדל בסימנים.

נחבר את משוואות $(1)$ ו$(2)$:

\[\begin{align} (M+m)g - T + T - Mg &= (M+m)a + Ma \\ \cancel{Mg} + mg - \cancel{Mg} &= 2Ma + ma \\ mg &= (2M + m)a \\ a &= \frac{mg}{2M + m} \tag{3} \end{align}\]

נציב את הערכים הנתונים במשוואת התאוצה $(3)$:

\[a = \frac{0.002 \cdot 10}{0.2} = \frac{0.02}{0.2} = \boxed{0.1 \, m/s^2}\]

ב) $2s \leq t < 4s$

כאמור, בשלב הזה המערכת מתמידה. התאוצה של המסה $m_2$ היא אפס, כלומר:

\[a = 0 \tag{4}\]

ג) $t \geq 4s$

זה מצב סימטרי אבל עם כיוון הפוך:

\[a = -0.1 \, m/s^2 \tag{5}\]

4. כתיבת המהירות כפונקציה של הזמן

לשלמות התמונה נכתוב את וקטור המקום כפונקציה של הזמן עבור כל אחד מהשלבים.

כאשר גוף נע בתאוצה קבועה:

\[x(t) = \cancel{x_0} + \cancel{v_0} t + \frac{1}{2}at^2 \tag{6}\]

האיברים הראשונים מתבטלים מתנאי ההתחלה $x_0 = 0$ ו-$v_0 = 0$, כלומר:

\[\begin{cases} a &= 0.1 \\ v_0 &= 0 \\ \end{cases}\]

נציב את הביטוי המלא של התאוצה $a$:

\[\begin{align} x(0 \leq t < 2s) &= \frac{mg}{2(2M+m) }t^2 \\ &= \frac{0.002 \cdot 10}{0.4} t^2 \\ &= \frac{0.02}{0.4} t^2 \\ &= 0.05 t^2 \tag{6} \end{align}\]

ובקצרה:

\[\frac{1}{2}at^2 = \frac{1}{2} \cdot 0.1 \cdot t^2 = 0.05t^2\]

הנוסחה $(6)$ נובעת מאינטגרציה של התאוצה $a$ לפי הזמן, כלומר, ולאחר מכן אינטגרציה של המהירות $v$ לפי הזמן. הצבה של תנאי ההתחלה מבטלת את האיברים הקבועים.

\[v(t) = \int a(t) dt = \int 0.1 dt = 0.1t + C\]

כאשר $C$ הוא קבוע האינטגרציה, שמתקבל מתנאי ההתחלה $v(0) = 0$.

5. גרף מהירות

6. קבלת ההעתק הכולל של המסה $m_2$

גליל מסתובב עם מסה נופלת

ניסוח הבעיה

גליל מסתובב נגד כיוון השעון במהירות זוויתית קבועה. מסה $m$ מתחילה במרכז הגליל ונופלת תחת השפעת הכבידה.

נתונים

תנאי התחלה:

  • $r(t=0) = 0$ (מיקום רדיאלי התחלתי)
  • $v(t=0) = 0$ (מהירות התחלתית)

פרמטרי המערכת:

  • $\theta(t) = \omega t$ (מיקום זוויתי של הגליל)
  • $\omega$ = מהירות זוויתית קבועה של הגליל
  • $m$ = מסת הגוף הנופל

מטרה

למצוא את התנועה $r(t)$ של המסה.

alt text

alt text

פתרון

שלב 1: יישום חוק ניוטון השני בקואורדינטות קוטביות

במערכת ייחוס מסתובבת, חוק ניוטון השני הוא:

\[m\vec{a} = \vec{F}\]

התאוצה בקואורדינטות קוטביות:

\[\vec{a} = (\ddot{r} - r\dot{\theta}^2)\hat{r} + (r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta})\hat{\theta}\]

שלב 2: זיהוי הכוחות

כוח הכבידה במערכת קואורדינטות מסתובבת:

\[\vec{F} = mg\cos(\theta - 90°)\hat{r} - mg\sin(\theta - 90°)\hat{\theta}\]

באמצעות זהויות טריגונומטריות:

  • $\cos(\theta - 90°) = \sin(\theta)$
  • $\sin(\theta - 90°) = -\cos(\theta)$

לכן:

\[\vec{F} = mg\sin(\theta)\hat{r} + mg\cos(\theta)\hat{\theta}\]

שלב 3: הצבת ערכים ידועים

כיוון ש-$\theta(t) = \omega t$ כאשר $\omega$ קבועה:

  • $\dot{\theta} = \omega$
  • $\ddot{\theta} = 0$

שלב 4: משוואות לפי רכיבים

הצבה בחוק ניוטון השני:

\[m[(\ddot{r} - r\omega^2)\hat{r} + (2\dot{r}\omega)\hat{\theta}] = mg\sin(\theta)\hat{r} + mg\cos(\theta)\hat{\theta}\]

שלב 5: הפרדת רכיבים

רכיב רדיאלי ($\hat{r}$):

\[\begin{align} \ddot{r} - r\omega^2 &= g\sin(\theta) \\ \ddot{r} &= r\omega^2 + g\sin(\theta) \end{align}\]

רכיב משיקי ($\hat{\theta}$):

\[\begin{align} 2\dot{r}\omega &= g\cos(\theta) \\ \dot{r} &= \frac{g\cos(\theta)}{2\omega} \end{align}\]

alt text

שלב 6: משוואות דיפרנציאליות

הצבת $\theta = \omega t$:

\[\begin{cases} \ddot{r} = r\omega^2 + g\sin(\omega t) \\[0.5em] \dot{r} = \frac{g\cos(\omega t)}{2\omega} \end{cases} \tag{1}\]

שתי המשוואות המצומדות האלה מתארות את התנועה של המסה הנופלת בגליל המסתובב.

הערות

  1. המשוואה השנייה נותנת לנו קשר בין $\dot{r}$ לזמן
  2. ניתן לאמת עקביות על ידי גזירת המשוואה השנייה ובדיקה מול הראשונה
  3. הפתרון המלא דורש פתרון של משוואת הדיפרנציאל הלא-הומוגנית
דור פסקל
עבור לשיעור 9
עבור לתרגול הבא