ארבע השאלות שלהלן הופיעה בצורה כזו או אחרת בבחינת האמצע שהתקיימה ביום 16 בדצמבר 2025. הן מובאות בנוסחים קרובים ככל שהצלחתי, הפתרונות שלהן בגדר הצעה בלבד. בהצלחה!
שאלות 2-1: פוטנציאל וחיבור לאדמה בטבעת מוליכה
הייתה נתונה טבעת מוליכה ברדיוס $R_2$ עם מטען $Q$ ובמרכזה מטען $q$ ברדיוס $R_1$. חיברו אותה לאדמה.
- מה המטען שהאדמה לקחמה?
- מה הפוטנציאל במצב המקורי
לדעתי שני הסעיפים קשורים זה בזה.
במצב המקורי הפוטנציאל על המוליך מורכב מההשפעה של מה שבמרכך: $-q$ על הצד הפנימי, ועוד ההשפעה של החלק החיצוני שמאזן כדי שסך הכל יהיה $Q$, כלומר שעל הצד החיצוני $Q+q$.
סך הכל:
\[V= \frac{Q+q}{R_2} + \frac{-q}{R_2} + \frac{+q}{R_2} = \frac{Q+q}{R_2}\]זאת התשובה לשאלה השנייה.
חשוב לא לפספס את רכיב ההשפעה מהמרכז בעת חישוב סך הפוטנציאל.
לאחר חיבור אנחנו יודעים שהפוטנציאל אפס, כלומר:
\[\frac{Q+q}{R_2} = 0 \implies Q_{new} = -q\]המטען שהאדמה לקחה הוא הפרש המטענים:
\[\Delta Q = Q_f - Q_i\]במקרה שלנו:
\[\Delta Q = -q - (Q) = -Q -q\]חשוב לא להתבלבל עם סימנים, כמו שלצערי קרה לי. גם לא להבלבל בסדר של הסופי פחות המקורי.
במבחן לא היה ברור לי המטען שזרם אל האדמה לעומת המטען שהאדמה לקחה, ככל הנראה התשובה שלילית.
שאלה 3: בעיית השריג החשמלי
יש סריג של מטענים שמתחיל מ$x=1$ כך שבכל $x \mod 2 = 0$ המטען הוא $q=+e$ ובכל $x \mod 2 = 1$, $q=-e$. מה העבודה הנדרשת כדי להביא אלקטון ממינוס אינסוף לראשית הצירים?
לצערי טעיתי פה בגלל סימן - סימנתי באדום. שכחתי בסוף לכפול במינוס (הסימן של האלקטרון), זה גם מסתדר יותר משיקולי היגיון - כי העבודה חיובית - נדרשת אנרגיה כי השריג מתחיל במטען שלילי ואנחנו מביאים אליו מטען שלילי.
העבודה להבאת מטען מהאינסוף (חיצונית לשדה) היא:
\[W = \textcolor{red}{q}(V_f - V_i) = -e \cdot V_f\]הרמז שנתנו היה טור טיילור של $\ln(1+x)$:
\[\ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots\](מתכנס עבור $-1 < x \leq 1$)
הצבת $x=1$ נותנת:
\[\ln(2) = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots\]ואלה המרחקים של המטענים שבשריג המקורי מהמטען שנוסף לראשית.
צריך לתקן אבל את הסימן, אם נכתוב את השריג במדויק נראה שבמרחק אחד יש דווקא מטען שלילי. למעשה צריך לעשות סופר פוזיציה:
\[\frac{-e}{1} + \frac{e}{2} + \frac{-e}{3} \cdots = -\ln(2)e\]סך הכל נקבל:
\[W = -e \cdot -\ln(2)e = \boxed{e^2 \ln(2)}\]שאלה 10: פתרון בעזרת אינטגרציה
מוט באורך $L$ עם מטען $Q$ מונח על ציר $x$. מטען נקודתי $q$ נמצא במרחק $x$ מקצה המוט. מצא את הכוח הפועל עליו.
הכוח נתון על ידי:
\[F = qE\]צריך למצוא את השדה $E$.
נגדיר את צפיפות המטען הקווית: $\lambda = \frac{Q}{L}$
תחילת המוט ב־$x=0$ וסופו ב־$x=L$, והנקודה P במרחק $d$ מקצה המוט (כלומר ב־$x=L+d$).
ניקח אלמנט קטן $dx$ במיקום $x$ כלשהו על המוט. מה המטען שלו $dq$?
\[dq = \lambda dl = \frac{Q}{L} dl\]ומה המרחק שלו מהנקודה P?
\[L+ d - x\]נסכום את כל המטענים הקטנטנים בעזרת אינטגרל לאורך המוט:
\[E = \int_0^L \frac{k\lambda dl}{(L+ d - x)^2}\]לש לשכוח:
- ריבוע במרחק — חוק קולון הוא $\frac{1}{r^2}$, לא $\frac{1}{r}$
- הקבוע $k$
- סימון: אם משתנה האינטגרציה הוא $x$, צריך $dx$ ולא $dl$
נציב:
\[E = \int_0^L \frac{k\lambda dl}{(L+ d - x)^2} = \int_0^L \frac{k Q dl}{L(L+ d - x)^2}\]נוציא קבועים:
\[= \frac{kQ}{L} \int_0^L \frac{dx}{(L+ d - x)^2}\]כאן זה בעיקר טכניקה, פותרים בעזרת דף נוסחאות או בעזרת הצבה. נציב:
\[u = L+d-x \implies x = L + d - u\] \[dx = d(L+d-u)\]או בכתיבה מפורשת:
\[du = -dx \implies dx = -du\]ומה קורה לגבולות?
- כש־$x=0$: $u = L+d$
- כש־$x=L$: $u = d$
אז:
\[\frac{kQ}{L} \int_{L+d}^{d} \frac{-du}{u^2}\]היפוך הגבולות מבטל את המינוס:
\[= \frac{kQ}{L} \int_{d}^{L+d} \frac{du}{u^2}\]זה אינטגרל פשוט - מה האינטגרל של $\frac{1}{u^2}$?
\[-\frac{1}{u}\]באופן כללי:
\[\int u^n \, du = \frac{u^{n+1}}{n+1}\]אז אפשר להתייחס לאיבר שבמכנה כ $u^{-2}$ וכו׳
נציב את הגבולות:
\[\frac{kQ}{L} \left[-\frac{1}{u}\right]_{d}^{L+d} = \frac{kQ}{L} \left(-\frac{1}{L+d} + \frac{1}{d}\right) = \frac{kQ}{L} \left(\frac{1}{d} -\frac{1}{L+d} \right)\]נפשט ונקבל את התשובה הסופית:
\[F = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{qQ}{L}\left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x+L}\right)\]דור פסקלהערות:
השדה יצא:
\[E = \frac{kQ}{d(d+L)} \hat{x}\]כאשר $d$ הוא המרחק מקצה המוט לנקודה P.
(בדיקה: כש־$d \gg L$ מקבלים $E \approx \frac{kQ}{d^2}$ — מטען נקודתי ✓)