שאלה באלקטרוסטטיקה: חשיבה לפני חישוב
כדור מבודד ברדיוס $R$, הטעון בצפיפות מטען נפחית המשתנה לפי הפונקציה
\[\rho(r) = \rho_0 \left(1 - \frac{4r}{3R}\right) \, , \quad r < R\]קלפיה מוליכה מוארקת ($V=0$) ברדיוס $2R$ המקיפה את הכדור.
כוח חיצוני מעביר מטען נקודתי חיובי $q$ מהקליפה מוארקת $(r=2R)$ אל מרכז הכדור ($r=0$).
מה העבודה $W$ שביצע הכוח החיצוני?
- $W=0$
- $W = \frac{\rho_0 R^2 q}{18 \epsilon_0}$
- $W = \frac{\rho_0 R^2 q}{6 \epsilon_0}$
- $W = \frac{\rho_0 R^2 q}{12 \epsilon_0} \ln 2$
תזכורת:
\[W_{2R \to 0} = \int \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int q\vec{E} \cdot d\vec{r} = q \int_{2R}^{0} E(r) \, dr\]נפתור את השאלה:
שלב 1: מציאת השדה החשמלי בתוך הכדור
נשתמש בחוק גאוס:
\[\oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{Q_{\text{enc}}}{\epsilon_0}\]נחשב את המטען הכולל של הכדור (עבור $r = R$):
\[Q_{\text{total}} = \int_0^R \rho(r') \cdot 4\pi r'^2 \, dr' = 4\pi \rho_0 \int_0^R \left(1 - \frac{4r'}{3R}\right) r'^2 \, dr'\] \[= 4\pi \rho_0 \left[\frac{r'^3}{3} - \frac{r'^4}{3R}\right]_0^R = 4\pi \rho_0 \left(\frac{R^3}{3} - \frac{R^3}{3}\right) = 0\]מכאן נקבל את השדה החשמלי בין $R$ ל-$2R$:
\[\vec{E}(R<r<2R) = 0\]נחשב את המטען הכלוא בתוך כדור רדיוס $r < R$:
\[4\pi r^2 \cdot E(r<R) = \frac{Q_{\text{enc}}}{\epsilon_0} = \frac{1}{\epsilon_0} \int_0^r \rho(r') \cdot 4\pi r'^2 \, dr'\] \[= \frac{4\pi \rho_0}{\epsilon_0} \int_0^r \left(1 - \frac{4r'}{3R}\right) r'^2 \, dr' = \frac{4\pi \rho_0}{\epsilon_0} \left[\frac{r'^3}{3} - \frac{r'^4}{3R}\right]_0^r = \frac{4\pi \rho_0}{\epsilon_0} \left(\frac{r^3}{3} - \frac{r^4}{3R}\right)\]מכאן נקבל את השדה החשמלי בתוך הכדור:
\[\vec{E}(r<R) = \frac{\rho_0 r}{3 \epsilon_0} \left(1 - \frac{r}{R}\right) \hat{r}\]שלב 2: חישוב העבודה
\[W_{2R \to 0} = q \int_{2R}^{0} E(r) \, dr = q \int_{2R}^{R} \underbrace{0}_{E(R\leq r \leq 2R)=0} \, dr + q \int_{R}^{0} \frac{\rho_0 r}{3 \epsilon_0} \left(1 - \frac{r}{R}\right) dr\] \[= \frac{q \rho_0}{3 \epsilon_0} \int_{R}^{0} \left(r - \frac{r^2}{R}\right) dr = \frac{q \rho_0}{3 \epsilon_0} \left[\frac{r^2}{2} - \frac{r^3}{3R}\right]_R^0\] \[= \frac{q \rho_0}{3 \epsilon_0} \left(0 - \frac{R^2}{2} + \frac{R^2}{3}\right) = \frac{q \rho_0}{3 \epsilon_0} \cdot \left(-\frac{R^2}{6}\right) = -\frac{\rho_0 R^2 q}{18 \epsilon_0}\]מכיוון שהעבודה של כוח חיצוני שווה למינוס העבודה של השדה:
\[W_{\text{ext}} = -W_{\text{field}} = \frac{\rho_0 R^2 q}{18 \epsilon_0}\]שאלה 2: חוט מוליך אידיאלי
\[\varepsilon = \frac{-\partial \Phi_B}{\partial t} = -\frac{\partial (B \cdot A)}{\partial t} = -B \frac{\partial \overset{\star}{A}}{\partial t}\]חוט מוליך אידיאלי אידיאלי ובעל מסה זניחה, עשוי בצורת $V$ שמשוואתו היא \(y=\|x\|\) מונח במישור הדף (מישור $xy$). במרחב פועל שדה מגנטי אחיד $B$ המכוון כלפי פנים הדף.
מוט מוליך ארוך מאוד בעל צפיפות התנגדות אורכית $\lambda \left[\frac{\Omega}{m}\right]$ מוסע במהכירות קבועה נתונה (בכיוון החיובי של ציר ה-$y$) כאשר בתחילה הוא היה מונח במנוחה על גבי ציר $X$ ובמהלך תנועתו המוט נשאר מקביל לציר $X$.
התלות בזמן של הכא״מ במושרה במוט היא:
- א. $\varepsilon(t) = - 2 B V^2 t$
- ב. $\varepsilon(t) = - B V^2 t $
- ג. $\varepsilon(t) = - 4 BV^2 t$
- ד. $\varepsilon(t) = - BV^2 t^2$
גודלו וכיוונו של הזרם במוט היא:
- א. $I(t) = \frac{Bv}{\lambda}$ שמאלה
- ב. $I(t) = \frac{2B V^2 t}{\lambda}$ ימינה
- ג. $I(t) = \frac{4 B V^2 t}{\lambda}$ ימינה
- ד. $I(t) = \frac{B V^2}{\lambda}$ שמאלה
גודלו וכיוונו של הכוח החיצוני המופעל בכדי לקיים את המהירות הקבועה של המוט האופקי הוא (מהירות מטעני הזרם מקיימת את המשוואה: $qv_x = IL$):
- א. $\vec{F}_{\text{ext}} = -2\frac{B^2 V^3}{\lambda} t$ למעלה
- ב. $\vec{F}_{\text{ext}} = -\frac{B V^2 t}{\lambda}$ למעלה
- ג. $\vec{F}_{\text{ext}} = -\frac{4B}{\lambda}$ למטה
- ד. $\vec{F}_{\text{ext}} = -\frac{B V^2}{\lambda}$ למעלה
כאשר $\star$ מסמן שטח חתך של המעגל החשמלי המשולשי.
\[\overset{\star}{A} = \frac{1}{2} \cdot \text{base} \cdot \text{height} = \frac{1}{2} \cdot (2 V t) \cdot (V t) = V^2 t^2\] \[\Rightarrow \varepsilon = -B \frac{\partial (V^2 t^2)}{\partial t} = -2 B V^2 t\] \[I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{-2 B V^2 t}{\lambda \cdot (2 V t)} = \frac{-B V}{\lambda}\]לגבי הכיוון - באמצעות כלל יד ימין, נקבל שהזרם הוא שמאלה.
\[q V_x \times B = I \cdot (2 V t) \cdot B \hat{z} = \frac{-B V}{\lambda} \cdot (2 V t) \cdot B \hat{z} = \frac{-2 B^2 V^2 t}{\lambda} \hat{z}\]
שאלה 3: תייל ישר אינסופי
נתון תייל ישר אינסופי הנושא זרם $I$ לאורכו. מכניסים אלקטרון בנקודה $P$ עם מהירות התחלתית $v_0$, בכיוון המאונך לתייל והרחק ממנו. ראו איור.
I ↑ | P | -------------> v_0 | | |מהו כיוון הכוח המגנטי הפועל על האלקטרון בנקודה זו?
- לתוך הדך $\otimes$
- ימינה $\rightarrow$
- למעלה $\uparrow$
- שמאלה $\leftarrow$
- למטה $\downarrow$
נשתמש בכלל יד ימין:
- כיוון הזרם: למעלה
- כיוון מהירות האלקטרון: ימינה
- כיוון המטען: שלילי (האלקטרון)
- כיוון השדה המגנטי: לתוך הדף $\otimes$
- כיוון הכוח המגנטי: למטה $\downarrow$
- תשובה נכונה: 5. למטה $\downarrow$
F אגודל V אצבע B אצבע אמצעית
בגלל שזה אלקטרון הופכים את כיוון הכוח (שלילי).
\[\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})\]השדה המגנטי יוצר שדה פנימה כי הזרם למעלה. יוצר שדה מגנטי סיבובי לפי כלל יד ימין (הנוסף).
דיסקה
דיסקה ברדיוס $R$ טעונה בצפיפות מטען משטחית אחידה $\sigma$. הדיסקה מסתובבת במהירות זוויתית $\omega$. מהו הזרם העובר דרך רדיוס הדסקה?
- $I = \frac{\sigma \omega R^2}{2}$
- $I = \sigma \omega R^2$
- $I = \frac{\sigma \omega R}{2}$
- $I = 0$
- תלוי בזמן
ω
↻
-----
| |
| | σ
| |
-----
נחשב את המטען הכולל על הדיסקה:
\[Q = \sigma \cdot A = \sigma \cdot \pi R^2\]מהירות אופקית (ניצבת ל-$R$) בנקודה ברדיוס $r$:
\[v = \omega r\]הזרם הוא מטען ליחידת זמן:
\[I = \frac{dQ}{dt}\]נחשב את המטען שעובר דרך הרדיוס $R$:
\[I = \sigma \cdot (2 \pi r) \cdot v = \ \sigma \cdot (2 \pi r) \cdot (\omega r) = 2 \pi \sigma \omega r^2\]נחשב את הזרם הכולל על כל הדיסקה על ידי אינטגרציה מ-$0$ עד $R$:
\[I_{\text{total}} = \int_0^R 2 \pi \sigma \omega r^2 \, dr = 2 \pi \sigma \omega \left[\frac{r^3}{3}\right]_0^R = \frac{2 \pi \sigma \omega R^3}{3}\]תשובה נכונה: 1. $I = \frac{\sigma \omega R^2}{2}$
דור פסקל