תוכן עניינים:
- חלק א’: רקע – הכלים שצריך לפני שמתחילים
- חלק ב’: הסיפור של כא”מ מושרה – התבנית
- חלק ג’: חוק לנץ – איך מוצאים כיוון הזרם
- חלק ד’: הזרם מייצר שדה מגנטי בעצמו – האם זו לולאה אינסופית?
- חלק ה’: שדה מגנטי של סולנואיד (תזכורת)
- חלק ו’: יחידות של טסלה
- חלק ז’: שאלות מהשיעור
- חלק ח’: סיכום – התבנית לפתרון שאלות כא”מ מושרה
חלק א’: רקע – הכלים שצריך לפני שמתחילים
חוק אוהם
אם יש מתח (כא”מ) על תיל, המטענים שבתוכו יתחילו לזרום. לתיל עצמו יש התנגדות $R$, וחוק אוהם נותן את הקשר בין המתח, הזרם וההתנגדות:
\[\boxed{I = \frac{\mathcal{E}}{R}}\]- $\mathcal{E}$ – כא”מ (מתח), ביחידות וולט $\mathrm{[V]}$
- $R$ – התנגדות, ביחידות אוהם $\mathrm{[\Omega]}$
- $I$ – זרם, ביחידות אמפר $\mathrm{[A]}$
אינטואיציה: כא”מ הוא כמו סוללה – הוא “דוחף” את המטענים. ההתנגדות היא כמו מנורה או כמו משהו שמפריע לזרימה. אפשר לדמיין שהסוללה (כא”מ) מייצרת את הדחיפה, והמנורה (ההתנגדות) “אוכלת” את האנרגיה.
מאיפה מגיע הכא”מ?
- מסוללה (מקור מתח)
- משדה מגנטי משתנה (כא”מ מושרה – זה מה שנלמד היום!)
כוח לורנץ
אם יש מטען בתנועה בתוך שדה מגנטי – פועל עליו כוח:
\[\boxed{\vec{F} = q\vec{v} \times \vec{B}}\]לזרם בתיל – אותו הדבר, רק בצורה אחרת:
\[\boxed{\vec{F} = I\vec{L} \times \vec{B}}\]- $I$ – הזרם בתיל
- $\vec{L}$ – וקטור בכיוון הזרם, באורך התיל
- $\vec{B}$ – השדה המגנטי (החיצוני, לא זה שהתיל מייצר בעצמו!)
חשוב: התיל לא מפעיל כוח על עצמו! הכוח נובע מהשדה המגנטי החיצוני שמישהו אחר מייצר.
כלל יד ימין (כלל הכף)
כדי למצוא את כיוון הכוח $\vec{F} = I\vec{L} \times \vec{B}$:
- אצבע אחת (אגודל) ← כיוון הזרם
- האצבעות ← כיוון השדה המגנטי (כי שדה זה הרבה קווים)
- כף היד (הדחיפה) ← כיוון הכוח
הכוח תמיד מאונך גם לזרם וגם לשדה.
חלק ב’: הסיפור של כא”מ מושרה – התבנית
זהו הסיפור המרכזי של השיעור. הוא בנוי כמו שרשרת של אירועים, כל אחד גורר את הבא:
\[\boxed{\text{Changing magnetic field} \xrightarrow{1} \text{EMF} \xrightarrow{2} \text{Current} \xrightarrow{3} \text{Force}}\]כלומר, שדה מגנטי משתנה גורר יצירת כא”מ מושרה, הכא”מ גורר זרם, והזרם גורר כוח.
שלב 1: מציאת כא”מ מושרה
מה צריך?
- להגדיר לולאה (מסלול סגור של תיל מוליך)
- לחשב את השטף המגנטי $\Phi_B$ דרך הלולאה
- להשתמש בחוק פאראדיי:
כרגע מחשבים רק את הגודל (ערך מוחלט). את הכיוון נמצא בנפרד.
מה זה שטף מגנטי?
\[\Phi_B = \int \vec{B} \cdot d\vec{A} = B \cdot A \cdot \cos\theta\]כאשר $\theta$ היא הזווית בין כיוון השדה המגנטי לבין הנורמל (האנך) למשטח.
- אם השדה מאונך למשטח (נכנס/יוצא ישר): $\theta = 0°$, $\cos\theta = 1$ ← $\Phi_B = BA$
- אם השדה מקביל למשטח: $\theta = 90°$, $\cos\theta = 0$ ← $\Phi_B = 0$
מתי השטף משתנה? כשמשתנה אחד (או יותר) מהדברים הבאים:
- $B$ – עוצמת השדה המגנטי משתנה בזמן
- $A$ – שטח הלולאה משתנה (למשל, מוט נע ומגדיל את הלולאה)
- $\theta$ – הזווית משתנה (למשל, הסליל מסתובב)
שלב 2: מציאת זרם
גודל – לפי חוק אוהם:
\[\boxed{I = \frac{|\mathcal{E}|}{R}}\]כיוון – לפי חוק לנץ (ראו הסבר מפורט למטה).
שלב 3: מציאת כוח מושרה
גודל – לפי כוח לורנץ:
\[\boxed{F = ILB}\](כאשר הזרם והשדה מאונכים זה לזה)
כיוון – לפי כלל יד ימין (כלל הכף).
חלק ג’: חוק לנץ – איך מוצאים כיוון הזרם
חוק לנץ הוא המינוס שמופיע בחוק פאראדיי:
\[\mathcal{E} = \mathbf{-}\frac{d\Phi_B}{dt}\]מה חוק לנץ אומר?
השדה המגנטי שהזרם המושרה מייצר – הפוך בכיוונו לשינוי של השטף.
במילים אחרות: הזרם “מנסה להתנגד” לשינוי שגרם לו להיווצר.
איך מיישמים – שלב אחר שלב
- מה קורה לשטף? האם הוא גדל או קטן?
- באיזה כיוון השטף? (למשל: פנימה לדף)
- הזרם ייצור שדה מגנטי בכיוון ההפוך לשינוי:
- אם השטף גדל פנימה ← הזרם ייצור שדה החוצה (להתנגד לגידול)
- אם השטף קטן פנימה ← הזרם ייצור שדה פנימה (להתנגד לירידה, “להשלים” את מה שחסר)
- לפי כלל יד ימין מלפפת – מהכיוון של השדה שהזרם צריך לייצר, מוצאים את כיוון הזרם
למה זה הגיוני?
אם הזרם לא היה מתנגד לשינוי – היינו מקבלים אנרגיה בחינם (הפרת שימור אנרגיה). למשל: מוט זז ימינה ← נוצר זרם ← הזרם מייצר כוח שדוחף את המוט עוד ימינה ← עוד זרם ← עוד כוח… לולאה אינסופית של אנרגיה מאין! זה לא יכול לקרות, ולכן הכוח תמיד מעכב את התנועה.
חלק ד’: הזרם מייצר שדה מגנטי בעצמו – האם זו לולאה אינסופית?
שאלה טובה שעלתה בכיתה: הזרם המושרה מייצר שדה מגנטי בעצמו. השדה הזה משתנה, אז הוא מייצר עוד זרם, וזה מייצר עוד שדה… האם זו לולאה אינסופית?
התשובה: לא. ההשפעה דועכת מאוד מהר. השדה שהזרם המושרה מייצר הוא קטן בסדרי גודל (בגלל $\mu_0 \approx 10^{-7}$), כך שההשפעה שלו זניחה ולא חלק מהחישוב.
חלק ה’: שדה מגנטי של סולנואיד (תזכורת)
סולנואיד = גליל שעליו מלופפים $N$ ליפופים של תיל.
השדה המגנטי בתוך הסולנואיד:
\[\boxed{B_{inside} = \mu_0 n I = \mu_0 \frac{N}{L} I}\]- $n = N/L$ – מספר ליפופים ליחידת אורך
- $N$ – מספר ליפופים כולל
- $L$ – אורך הסולנואיד
- השדה אחיד (קבוע) בכל הנפח הפנימי
מחוץ לסולנואיד: $B_{outside} = 0$
נגזר מחוק אמפר בשיעור קודם.
חלק ו’: יחידות של טסלה
טסלה $\mathrm{[T]}$ – היחידה של שדה מגנטי. מאיפה היא באה?
מכוח לורנץ: $F = qvB$
\[[B] = \frac{[F]}{[q][v]} = \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{C} \cdot \mathrm{m/s}} = \frac{\mathrm{kg} \cdot \mathrm{m/s^2}}{\mathrm{C} \cdot \mathrm{m/s}} = \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{C} \cdot \mathrm{s}}\] \[\boxed{1 \; \mathrm{T} = 1 \; \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{C} \cdot \mathrm{s}}}\]חלק ז’: שאלות מהשיעור
שאלה 1: מוט על מסילות מקבילות
מוט מוליך באורך $L$ נע על שתי מסילות מקבילות ללא חיכוך. שדה מגנטי אחיד $B$ מכוון פנימה לדף. המוט נע ימינה במהירות $v$. התנגדות המעגל: $R$.
מצאו:
- את הכא”מ המושרה
- את כיוון הזרם (חוק לנץ)
- את גודל הזרם
- את הכוח על המוט
- משוואת תנועה – מה קורה למהירות?
הבנת הסיטואציה
המוט נע ימינה ← הלולאה (מסילות + מוט) גדלה ← השטח גדל ← השטף המגנטי גדל ← נוצר כא”מ מושרה ← זורם זרם ← פועל כוח על המוט.
א. מציאת כא”מ
שלב 1: הגדרת לולאה
הלולאה נוצרת מהמסילות ומהמוט. נגדיר $x(t)$ כמיקום המוט (המרחק מההתחלה).
שלב 2: שטף מגנטי
\[\Phi_B = B \cdot A \cdot \cos\theta\]- $\vec{B}$ פנימה לדף, הנורמל למשטח גם פנימה/החוצה ← $\cos\theta = 1$
- $A = L \cdot x(t)$
שלב 3: גזירה
\[|\mathcal{E}| = \left|\frac{d\Phi_B}{dt}\right| = B \cdot L \cdot \frac{dx}{dt}\]מה זה $\frac{dx}{dt}$? זו המהירות $v$!
\[\boxed{|\mathcal{E}| = BLv}\]ב. כיוון הזרם – חוק לנץ
- השטף המגנטי = $B$ פנימה לדף
- השטח גדל (המוט זז ימינה) ← השטף גדל פנימה
- הזרם צריך להתנגד ← לייצר שדה החוצה מהדף
- לפי כלל יד ימין מלפפת ← זרם נגד כיוון השעון
בדיקה: במוט עצמו, הזרם זורם למעלה.
ג. גודל הזרם
\[\boxed{I = \frac{|\mathcal{E}|}{R} = \frac{BLv}{R}}\]ד. כוח על המוט
גודל:
\[F = I \cdot L \cdot B = \frac{BLv}{R} \cdot L \cdot B = \frac{B^2 L^2 v}{R}\]כיוון: לפי כלל הכף:
- אצבע (זרם) ← למעלה
- אצבעות (שדה) ← פנימה לדף
- כף (כוח) ← שמאלה (מתנגד לתנועה!)
שימו לב: הכוח מעכב את המוט, בדיוק כמו שחוק לנץ אומר – אחרת היינו מקבלים אנרגיה בחינם!
ה. משוואת תנועה – משוואה דיפרנציאלית
סכום הכוחות = $ma$:
\[-\frac{B^2 L^2}{R} v = m \frac{dv}{dt}\]כיוון שהכוח תלוי ב-$v$ עצמו, זו משוואה דיפרנציאלית. כשגוזרים פונקציה ומקבלים את עצמה עם מינוס – הפתרון הוא אקספוננט דועך:
\[\boxed{v(t) = v_0 \cdot e^{-\frac{B^2 L^2}{mR} t}}\]מה זה אומר פיזיקלית? המהירות דועכת – המוט מאט בהדרגה ולעולם לא נעצר לגמרי (אבל מתקרב לאפס). ככל שהמוט מאט, הכוח המעכב קטן, אז ההאטה מתמתנת.
שאלה 2: סולנואיד עם לולאה מסביב
נתון סולנואיד (גליל) באורך $L$ וברדיוס $r$ (קטן), עם $N$ ליפופים.
זרם $I(t)$ זורם בסולנואיד ומשתנה לינארית בזמן: מ-$I_1 = 7.2 \; \mathrm{A}$ עד $I_2 = 2.4 \; \mathrm{A}$ בזמן $\Delta t = 0.32 \; \mathrm{s}$.
סביב הסולנואיד, ברדיוס $R$ (גדול), יש לולאה מעגלית של תיל מוליך (לא נוגעת בסולנואיד).
מצאו את הכא”מ המושרה על הלולאה החיצונית.
הבנת הסיטואציה
- הסולנואיד (ירוק בשיעור - אדום בתמונה למעלה) נושא זרם משתנה ← מייצר שדה מגנטי משתנה בתוכו
- הלולאה החיצונית (שחורה בשיעור - כחולה בתמונה) מקיפה את הסולנואיד
- השדה המשתנה עובר דרך הלולאה ← נוצר כא”מ מושרה
שאלה שעלתה בכיתה: למה הלולאה החיצונית לא צריכה לגעת בסולנואיד? כי מה שחשוב הוא ששדה מגנטי משתנה עובר דרך השטח שהלולאה תוחמת – לא צריך מגע פיזי!
שלב 1: השדה המגנטי
בתוך הסולנואיד:
\[B = \mu_0 \frac{N}{L} I(t)\]- בתוך הסולנואיד: השדה אחיד (קבוע במרחב, משתנה בזמן)
- מחוץ לסולנואיד: $B = 0$
שלב 2: שטף מגנטי דרך הלולאה החיצונית
\[\Phi_B = B \cdot A\]נקודה קריטית: איזה שטח $A$ לוקחים?
השדה המגנטי קיים רק בתוך הסולנואיד (ברדיוס $r$ הקטן). מחוץ לסולנואיד השדה אפס. לכן, למרות שהלולאה החיצונית ברדיוס $R$ גדול – השטף עובר רק דרך השטח של הסולנואיד:
\[A = \pi r^2 \quad \text{(small r - not R!)}\] \[\Phi_B = \mu_0 \frac{N}{L} I(t) \cdot \pi r^2\]טעות נפוצה: לקחת $A = \pi R^2$ (הרדיוס הגדול). אבל שם אין שדה מגנטי! השדה קיים רק בתוך הגליל.
שלב 3: כא”מ מושרה
\[|\mathcal{E}| = \left|\frac{d\Phi_B}{dt}\right| = \mu_0 \frac{N}{L} \pi r^2 \cdot \left|\frac{dI}{dt}\right|\]הכל קבוע חוץ מ-$I(t)$, אז רק אותו גוזרים.
מציאת $\frac{dI}{dt}$:
הזרם משתנה לינארית – כלומר, קו ישר. הנגזרת של קו ישר היא השיפוע, והשיפוע קבוע:
\[\frac{dI}{dt} = \frac{\Delta I}{\Delta t} = \frac{I_2 - I_1}{\Delta t} = \frac{2.4 - 7.2}{0.32} = \frac{-4.8}{0.32} = -15 \; \mathrm{A/s}\]הצבה:
\[|\mathcal{E}| = \mu_0 \cdot \frac{N}{L} \cdot \pi r^2 \cdot 15\]מציבים את המספרים ($\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}$, $N = 1500$, ומשאר הנתונים) ומקבלים תשובה מספרית:
\[|\mathcal{E}| = \frac{-1.26 \times 10^{-3} \cdot 1500 \cdot \pi 0.003^2 \cdot -15}{0.75} \approx 0.14 \; \mathrm{V}\]הערה: $\mu_0 \approx 10^{-7}$, כך שהשדה שהזרם המושרה מייצר הוא זניח – הוא לא משפיע בחזרה על הסולנואיד. לכן אין “לולאה אינסופית”.
שאלה 3: סליל בשדה מגנטי מסתובב
נתון סליל מלבני בעל $N = 200$ ליפופים, שטח פנימי $A = 100 \; \mathrm{cm}^2 = 0.01 \; \mathrm{m}^2$.
שדה מגנטי אחיד בגודל $B = 1.1 \; \mathrm{T}$.
בהתחלה השדה מאונך למישור הסליל (כלומר מקביל לנורמל ← שטף מקסימלי).
לאחר מכן השדה מתהפך – $B$ משתנה מ-$+1.1 \; \mathrm{T}$ ל-$-1.1 \; \mathrm{T}$ (אותו גודל, כיוון הפוך).
מצאו: כמה מטען $Q$ זורם דרך הסליל במהלך השינוי?
הבנת השאלה
- השדה המגנטי משתנה ← השטף משתנה ← נוצר כא”מ ← זורם זרם
- לא יודעים איך בדיוק השדה משתנה (מהר? לאט? לינארית?)
- שואלים כמה מטען כולל זרם – לא כמה זרם בכל רגע!
הטריק: אינטגרציה
מתחילים מהגדרת הזרם:
\[I = \frac{dQ}{dt}\]ומחוק אוהם:
\[I = \frac{|\mathcal{E}|}{R} = \frac{1}{R}\left|\frac{d\Phi_B}{dt}\right|\]לכן:
\[\frac{dQ}{dt} = \frac{1}{R} \cdot \left|\frac{d\Phi_B}{dt}\right|\]מבטלים את $dt$ משני הצדדים (עושים אינטגרל):
\[\int dQ = \frac{1}{R} \int d\Phi_B\] \[\boxed{Q = \frac{\Delta \Phi_B}{R} = \frac{N \cdot A \cdot \Delta B}{R}}\]נקודה חשובה: לא משנה איך השדה השתנה – מהר, לאט, לינארית, לא לינארית. התוצאה תלויה רק בהפרש בין ההתחלה לסוף! זה כמו אינטגרל של $dx$ שנותן $x_{final} - x_{initial}$ – תמיד, בלי שום קירוב.
כמה ליפופים: לסליל יש $N = 200$ ליפופים, כל אחד תורם כא”מ ← מכפילים ב-$N$.
חישוב $\Delta B$:
\[\Delta B = B_{final} - B_{initial} = (-1.1) - (+1.1) = -2.2 \; T\]הצבה:
\[Q = \frac{N \cdot A \cdot |\Delta B|}{R} = \frac{200 \cdot 0.01 \cdot 2.2}{R}\](צריך להציב את ההתנגדות $R$ שנתונה בשאלה)
בדיקת יחידות:
\[[Q] = \frac{[\mathrm{m}^2] \cdot [\mathrm{T}]}{[\Omega]} = \frac{\mathrm{m}^2 \cdot \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{C} \cdot \mathrm{s}}}{\frac{\mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^2}{\mathrm{s} \cdot \mathrm{C}^2}} = \mathrm{C} \; ✓\]חלק ח’: סיכום – התבנית לפתרון שאלות כא”מ מושרה
פרוטוקול עבודה (תמיד עובדים לפיו!)
שלב 0: מי מייצר את השדה המגנטי? (זרם אחר, מגנט...)
──────────────────────────────────
שלב 1: מוצאים כא"מ
├── הגדרת לולאה
├── חישוב שטף: Φ = B·A·cosθ
└── גזירה: |ε| = |dΦ/dt|
──────────────────────────────────
שלב 2: מוצאים זרם
├── גודל: I = ε/R (חוק אוהם)
└── כיוון: חוק לנץ
──────────────────────────────────
שלב 3: מוצאים כוח
├── גודל: F = ILB (כוח לורנץ)
└── כיוון: כלל יד ימין (כלל הכף)
מתי השטף משתנה? – שלוש אפשרויות
| מה משתנה | דוגמה | הביטוי |
|---|---|---|
| $B$ משתנה | זרם בסולנואיד משתנה | $\Phi = B(t) \cdot A$ |
| $A$ משתנה | מוט נע על מסילות | $\Phi = B \cdot A(t)$ |
| $\theta$ משתנה | סליל מסתובב | $\Phi = BA\cos\theta(t)$ |
חוק לנץ – סיכום
| השטף… | הזרם ייצור שדה… | כדי… |
|---|---|---|
| גדל פנימה | החוצה | להתנגד לגידול |
| קטן פנימה | פנימה | להשלים את החיסרון |
| גדל החוצה | פנימה | להתנגד לגידול |
| קטן החוצה | החוצה | להשלים את החיסרון |
כלל אצבע: הזרם תמיד מתנגד לשינוי – לא לשטף עצמו!
דור פסקל