שאלה 1
חשבו את הגרדיאנט של:
\[\phi(r)=\frac{e^{-\lambda r}}{r}\]$r$ הקואורדינטה הרדיאלית במישור.
מה היחידות של $\lambda$?
אנחנו לא מכירים את הנוסחה של גרדיאנט בקואורדינטות פולריות. ניתן להמיר לקרטזיות ואז לפתח את הביטוי:
\[\phi(\sqrt{x^2 + y^2})\]אבל זה מבלבל. מגוגל מקבלים שהנוסחה של הגרדיאנט בקואורדינטות פולאריות היא:
\[\nabla \phi = \frac{\partial \phi}{\partial r} \hat{r} + \cancel{\frac{1}{r} \frac{\partial \phi}{\partial \theta} \hat{\theta}}\]לפונקציה אין ביטוי במישור אנגולרי $\theta$ ולכן החלק השני מתאפס.
נגזור חלקית לפי $r$:
\[\frac{\partial \phi}{\partial r} = -\frac{1}{r^2} e^{-\lambda r} + \frac{1}{r} (-\lambda )e^{-\lambda r}\]נוסיף את הכיוון הרדיאלי:
\[\boxed{\nabla \phi = \frac{\partial \phi}{\partial r} \hat{r} = \left(-\frac{1}{r^2} e^{-\lambda r} - \frac{\lambda}{r} e^{-\lambda r}\right) \hat{r}}\]לפי נגזרת של מכפלה.
הבהרה: השתמשנו בכלל המכפלה:
\[(f g)' = f'g + g'f\]וכן בכלל השרשרת לגבי נגזרת של פונקציה מורכבת (באקספוננט):
\[(e^{-\lambda r})' = (-\lambda r)'e^{-\lambda r} = -\lambda e^{-\lambda r}\]עקרונית היה ניתן גם בעזרת נגזרת של מנה.
טעויות אפשריות - לשכוח לגזור את הפונקציה באקספוננט:
\[\nabla \phi = \frac{\partial \phi}{\partial r} \hat{r} = -\frac{1}{r^2} e^{-\lambda r} + \frac{1}{r} (-\lambda \textcolor{red}{r})e^{-\lambda r}\]
היחידות של שלמדה הן $\frac{1}{\ell}$ כאשר $\ell$ היא האורך הרלוונטי, למשל מטרים. זה בכלכל שהארגומנט של פונקציית האקספוננט חייב להיות חסר יחידות.
שאלה 2
נתון השדה הוקטורי:
\[\vec{E}(x,y,z) = yz\hat{x} + xz\hat{y} + xy\hat{z}\]חשבו את הדיברגנץ ואת הרוטור של $\vec{E}$.
נתחיל מהדיברנץ - נגזור את השינוי בכל ציר ונסכום לקבלת סקאלר. כדי שיתאים לדף הנוסחאות נניח ש $E=V$.
\[\frac{\partial V_x}{\partial x} = 0\] \[\frac{\partial V_y}{\partial y} = 0\] \[\frac{\partial V_z}{\partial z} = 0\]סך הכל:
\[\boxed{\nabla \cdot \vec{E} = 0}\]נמשיך עם חישוב הרוטור.
\[\text{curl}\,\vec{E} = \vec{\nabla} \times \vec{E} = \begin{vmatrix} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ E_x & E_y & E_z \end{vmatrix}\] \[\begin{vmatrix} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ E_x & E_y & E_z \end{vmatrix} = \hat{x}(x -x) - \hat{y}(y -y) + \hat{z}(z - z) = 0\]שאלה 3
משפט הדיברגנץ:
\[\int_V (\nabla \cdot \vec{F}) \, dV = \int_S (\vec{F} \cdot \hat{n}) \, da = \Phi\]
נתון השדה הוקטורי הקבוע:
\[\vec{V} = 2\hat{x} +3\hat{y} + 4\hat{z}\]חשבו את השטף של שדה זה דרך:
- הרצפה של תיבה ריבועית אשר צלעה באורך 1מ׳, והיא מונחת על מישור $xy$ כך ששתיים מצלעותיה מתלכדות עם הצירים.
- המשולש אשר קודקודיו הן הנקודות $(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$. רמז: משוואת המישור של המשולש היא $x+y+z=1$, בנו שדה נורמלי למשטח.