תוכן עניינים:
- שאלה 1: מציאת יחס בין B(R)/B(R/2)
- שאלה 2: מהירות מעבר חלקיק מהאינסוף במגן דוד
- שאלה 3: טבעת מוליכה בנפילה חופשית
- שאלה 4: צפיפות מטען נפחית
- שאלה 5: סופרפוזיציה על קליפה כדורית פחוד קו המשווה
- שאלה 6: מהירות של מטען בהשפעה מטענים אחרים
- שאלה 7: כא״מ כשהרדיוס של הגליל משתנה בזמן
- שאלה 8: השפעות על מהירות קינטית של חלקיק
- שאלה 9: שלושה מוטות וזמן של חלקיל
כל השאלות מזיכרון בלבד והתשובות לא בהכרח נכונות. במבחן המלא היו 12 שאלות והשאלות שלהלן חלקיות בלבד. בהצלחה!
שאלה 1: מציאת יחס בין B(R)/B(R/2)
נתון גליל עם צפיפות זרם משתנה רדיאלית $\vec{J}(r) = \alpha r \hat{z}$. מצא את היחס $\frac{B(R)}{B(R/2)}$.
פתרון:
באמצעות חוק אמפר, הזרם הכלוא בתוך רדיוס r:
\[I_{enc} = \int_0^r \alpha r' \cdot 2\pi r' \, dr' = \frac{2\pi\alpha r^3}{3}\]מחוק אמפר:
\[B(r) \cdot 2\pi r = \mu_0 \cdot \frac{2\pi\alpha r^3}{3} \implies B(r) = \frac{\mu_0 \alpha r^2}{3}\]לכן:
\[\frac{B(R)}{B(R/2)} = \frac{R^2}{(R/2)^2} = 4\]התשובה: 4
הבהרה לגבי טעות (אפשרית) שלי עצמי: תשובה של 2 מתקבלת כאשר צפיפות הזרם אחידה ($J = const$). במקרה זה $I_{enc} \propto r^2$ ולכן $B \propto r$, מה שנותן יחס של 2. אולם כאשר $J(r) = \alpha r$, האינטגרל מוסיף חזקה נוספת של r, כך ש-$B \propto r^2$ והיחס הוא 4 (מקלוד - קחו בערבון מוגבל).
שאלה 2: מהירות מעבר חלקיק מהאינסוף במגן דוד
גיאומטריה:
כל משולש שווה צלעות עם צלע b יש לו רדיוס מעגל חוסם:
\[R = \frac{b}{\sqrt{3}}\]שני המשולשים חולקים מרכז משותף, כך שכל 6 הקודקודים נמצאים במרחק $\frac{b}{\sqrt{3}}$ מהמרכז.
הפוטנציאל במרכז:
\[V = 6 \cdot \frac{kq}{\frac{b}{\sqrt{3}}} = \frac{6\sqrt{3}\,kq}{b}\]האנרגיה להבאת מטען q מאינסוף למרכז:
\[\boxed{U = \frac{6\sqrt{3}\,kq^2}{b}}\]או בכתיב עם $\epsilon_0$:
\[U = \frac{6\sqrt{3}\,q^2}{4\pi\epsilon_0\, b} = \frac{3\sqrt{3}\,q^2}{2\pi\epsilon_0\, b}\]משימור אנרגיה, כל האנרגיה הפוטנציאלית הופכת לקינטית:
\[\frac{1}{2}mv^2 = \frac{6\sqrt{3}\,kq^2}{b}\] \[\boxed{v = \sqrt{\frac{12\sqrt{3}\,kq^2}{mb}}}\]שאלה 3: טבעת מוליכה בנפילה חופשית
בטבעת מוליכה בנפיל חופשית לתוך שדה מגנטי אחיד.
- $a<g$
- $a=g$
- $a>g$
לדעתי התאוצה קטנה בכניסה שלה, כי חוק לנץ פועל כאן.
מה קורה:
- הטבעת נופלת ← השטף המגנטי דרכה משתנה
- נוצר EMF (כא”מ מושרה) ← זורם זרם בטבעת
- הזרם בשדה המגנטי יוצר כוח שמתנגד לתנועה (כלפי מעלה)
משוואת התנועה:
\[ma = mg - F_{mag}\] \[a = g - \frac{F_{mag}}{m} < g\]לשלמות התמונה, ראיתי שאחרים סימנו שזה דווקא שווה ($a=g$). אולי השאלה המקורית הייתה שונה, ואולי טעיתי.
שאלה 4: צפיפות מטען נפחית
נתון
\[E(x,y.z) = \frac{kQ}{a^4}\left[(a^2-x^2)\hat{x} + (a^2-y^2)\hat{y} + (a^2-z^2)\hat{z}\right]\]כאשר $a$ ו$Q$ הם קבועים ביחידות מתאימות.
מה צפיפות המטען הנפחית $\rho(x,y,z)$?
משתמשים בחוק גאוס הדיפרנציאלי:
\[\nabla \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}\]הדיברגנס:
\[\nabla \cdot \vec{E} = \frac{kQ}{a^4}\left[-2x - 2y - 2z\right] = \frac{-2kQ}{a^4}(x+y+z)\]צפיפות המטען:
\[\rho = \epsilon_0 \cdot \frac{-2kQ}{a^4}(x+y+z)\]עם $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$:
\[\boxed{\rho(x,y,z) = \frac{-Q}{2\pi a^4}(x+y+z)}\]טעיתי פה.
שאלה 5: סופרפוזיציה על קליפה כדורית פחוד קו המשווה
נתונה קליפה כדורית ברדיוס $R$. מוציאים ממנה חתיכה בעובי $a \ll R$ סביב קו המשווה. מה השדה הפוטנציאל במרכז הקליפה?
עקרון: מלא פחות מה שהוצאנו.
הפוטנציאל:
כל נקודה על הקליפה נמצאת במרחק R מהמרכז, אז הפוטנציאל של כל חלקיק הוא $\frac{k\,dq}{R}$. נחשב את המטען שהוסר:
הרצועה בקו המשווה: שטח $= 2\pi R \cdot a$
\[dQ = \sigma \cdot 2\pi Ra = \frac{Q}{4\pi R^2} \cdot 2\pi Ra = \frac{Qa}{2R}\]לכן:
\[V = \frac{kQ}{R} - \frac{k\,dQ}{R} = \frac{kQ}{R} - \frac{kQa}{2R^2}\] \[V = \frac{kQ}{R}\left(1 - \frac{a}{2R}\right)\]אם נפשט:
\[\frac{kQ}{R}\left(1 - \frac{a}{2R}\right) = \frac{kQ}{R} \cdot \frac{2R-a}{2R} = \boxed{\frac{kQ(2R-a)}{2R^2}}\]הייתה שאלה דומה בבוחן האמצע של שנה שעברה (הוציאו לבנה מהקוטב), וגם בשיעורי הבית.
שאלה 6: מהירות של מטען בהשפעה מטענים אחרים
נתונים שני מטענים חיוביים זהים $Q$ המרוחקים זה מזה $2d$.
Q ● | | ----------+-----------◯------> x | B | ● Qמה משוואת המהירות שלו?
דומה לשאלה שהייתה בתרגיל 3 - שם מצאנו תאוצה לא מהירות.
כוח על מטען q בנקודה x על הציר:
מסימטריה, רכיבי y מתקזזים. רכיב x:
\[F_x = 2 \cdot \frac{kQq}{x^2+d^2} \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2+d^2}} = \frac{2kQqx}{(x^2+d^2)^{3/2}}\]משוואת מהירות (עם $a = v\frac{dv}{dx}$):
\[v\,dv = \frac{2kQq}{m} \cdot \frac{x\,dx}{(x^2+d^2)^{3/2}}\] \[\boxed{v^2 = \frac{4kQq}{m}\int_0^x \frac{x'\,dx'}{(x'^2+d^2)^{3/2}}}\]לשלמות התמונה ואם יופיע במבחן עתידי להלן המשך שאלה אפשרי.
פתרון האינטגרל (הצבה $u = x^2+d^2$):
\[\boxed{v^2 = \frac{4kQq}{m}\left(\frac{1}{d} - \frac{1}{\sqrt{x^2+d^2}}\right)}\](בהנחה שהמטען יוצא ממנוחה בראשית)
שאלה 7: כא״מ כשהרדיוס של הגליל משתנה בזמן
\[\boxed{\varphi = 0}\]נתון גליל עם רדיוס משתנה:
\[R(t) = R_0 \cdot (\frac{1}{2} + \sin{\omega t})\]מה הכא״מ ומה הכיוון ב-$t = \frac{\pi}{2\omega}$?
זה בדיוק הנקודה של השינוי.
שאלה 8: השפעות על מהירות קינטית של חלקיק
מה נכון על גודל האנרגיה הקינטית של חלקיק שפועלים עליו כוחות חשמליים ומגנטיים?
- משפיע הניצב לחשמלי
- משפיע הניצב למגנטי
- משפיע המקביל לחשמלי
- משפיע המקביל למגנטי
- הניצב לחשמלי והמקביל למגנטי
היה צריך לבחור בתשובה הנכונה.
מה שמשפיע זה החלק המקביל של השדה החשלמי. החלק המגנטי משנה אולי את הכיוון אבל לא את גודל המהירות.
הכוח המגנטי $\vec{F} = q\vec{v}\times\vec{B}$ תמיד ניצב למהירות ← לא עושה עבודה ← לא משנה אנרגיה קינטית.
רק הרכיב של השדה החשמלי במקביל לתנועה עושה עבודה ומשנה את האנרגיה הקינטית.
שאלה 9: שלושה מוטות וזמן של חלקיל
נתונים שלושה מוטות כולם בצפיפות חיובית $0<\sigma_1 < \sigma_2 < \sigma_3$. חלקיק משתחרר ממוט 2 לכיוון מוט 3, מה נכון לגבי הזמן שלוקח לו להגיע למוט 3?
היה תרגיל דומה בבחינה של 2025.
plate 1 plate 2 plate 3
σ₁ σ₂ σ3
| | zone B |
| ··········→ | |
| |···→ |
| | ←··|
בין מוטות 2 ל-3, השדה הכולל (כל המוטות אינסופיים):
\[E = \frac{\sigma_1 + \sigma_2 - \sigma_3}{2\epsilon_0}\](מוטות 1 ו-2 דוחפים ימינה, מוט 3 דוחף שמאלה)
תאוצה (בהנחה $\sigma_1 + \sigma_2 > \sigma_3$):
\[a = \frac{qE}{m} = \frac{q(\sigma_1+\sigma_2-\sigma_3)}{2m\epsilon_0}\]זמן הגעה ($d = \frac{1}{2}at^2$):
\[T = \sqrt{\frac{2d}{a}} = \sqrt{\frac{4m\epsilon_0 d}{q(\sigma_1+\sigma_2-\sigma_3)}}\]עם $\epsilon_0 = \frac{1}{4\pi k}$:
\[\boxed{T = \sqrt{\frac{md}{\pi k q(\sigma_1+\sigma_2-\sigma_3)}}}\]היה אפשר להגיע לזה גם משיקולים פיזיקליים של כיווני הכוחות (כמו שעשיתי אישית).
בהצלחה!
דור פסקל