שיעור 11 - אינטגרלים מבוא

\[\begin{align*} S_{\square} &= f(\xi _1)\Delta x_1+f(\xi _2)\Delta x_2+f(\xi _3)\Delta x_3+...+f(\xi _n)\Delta x_n \\ &= \sum_{i=1}^{n} f(\xi _i)\Delta x_i \Rightarrow \int_a^x f(t)dt = F(x) \end{align*}\]

משפט ערך הביניים עבור אינטגרלים

אם $\int_a^b f(t)dt$ הוא השטח מתחת לפונקציה $f(x)$ בין הנקודות $a$ ל-$b$, אז מתקיים:

\[\int_a^b f(t)dt=(b-a)\cdot f(\xi)\]

כאשר $\xi \in [a,b]$. כלומר, קיימת נקודה בין $a$ ל-$b$ שבה הפונקציה קובעת את השטח.

הגדרה

אינטגרל פוצ׳י (לא מסויים) של $f(x)$ הוא קבוצת כל הפונקציות שהנגזרת שלהן היא $f(x)$.

פונקציות אלו נקראות פונקציות קדומות ויש אינסוף כאלו שנבדלו זו מזו בקבוע. הסימון שלהן הוא $F(x)=\int f(x)dx$.

דוגמה 1: מהי קבוצת הפונקציות הקדומות של $f(x)=x^n$?

\[F(x)=\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\]

כאשר $C$ היא קבוע ארביטראי.

דוגמה 2: מהי קבוצת הפונקציות הקדומות של $f(x)=\cos(x)$?

\[F(x)=\int \cos(x) dx=\sin(x)+C\]

הגדרה נוספת

אינטגרל מוצ׳י (מסויים) של $f(x)$ הוא השטח החסום בין גרף הפונקציה לבין ציר ה-$x$ (שטח עם סימן שיכול לצאת שלילי), כאשר $x$ נע בין ערך תחתון $a$ לבין ערך עליון $b$. הסימון שלו הוא $\int_a^b f(x)dx$.

דוגמה: מהו השטח החסום בין גרף הפונקציה $f(x)=3x-6$ לבין ציר ה-$x$ בין $x=1$ לבין $x=4$?

איך זה עובד? באינטגרל מסויים מקרבים את השטח בתהליך גבולי של חישוב שטחי מלבנים צרים. זה נקרא סכומי דרבו. מסומן: $\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x$. כאשר $\Delta x=\frac{b-a}{n}$ ו-$x_i=a+i\Delta x$.

המשפט היסודי של החשבון האינטגרלי

פוצי ומוצי הם בני דודים מדרגה ראשונה, כלומר: אם $f(x)$ היא פונקציה רציפה בקטע $[a,b]$, אז $F(x)=\int_a^x f(x)dx$ היא פונקציה קדומה של $f(x)$ (כלומר $F’(x)=f(x)$) וגם $\int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)$.

alt text alt text

חוקי אינטגרציה

אינטגרציה בחלקים

\[\int_a^b f(x)dx=\int_a^c f(x)dx+\int_c^b f(x)dx\]
  1. $\int_a^b f(x)dx=-\int_b^a f(x)dx$
  2. $\int_a^b f(x)dx+\int_b^c f(x)dx=\int_a^c f(x)dx$
  3. $\int_a^b f(x)dx+\int_b^a f(x)dx=0$
  4. $\int_a^b f(x)dx+\int_a^b g(x)dx=\int_a^b (f(x)+g(x))dx$
  5. $\int_a^b f(x)dx=\int_a^c f(x)dx+\int_c^b f(x)dx$
  6. $\int_a^b f(x)dx=\int_a^b f(a+b-x)dx$
  7. $\int_a^b f(x)dx=\int_a^b f(a+b-x)dx$
  8. $\int_a^b f(x)dx=\int_a^b f(a+b-x)dx$
  9. $\int_a^b f(x)dx=\int_a^b f(a+b-x)dx$
  10. $\int_a^b f(x)dx=\int_a^b f(a+b-x)dx$

תרגול

פיתרו את האינטגרלים הבאים.

$\int \ln x dx$

\[\int \ln x dx=x\ln x-\int x \frac{1}{x}dx=x\ln x-\int dx=x\ln x-x+C\]

במקרה הזה השתמשנו בנוסחה של אינטגרציה בחלקים, כאשר $f’(x)=1, f(x)=x$ ו $g(x)=\ln x, g’(x)=\frac{1}{x}$. כלומר: $\int f(x)g’(x)dx=f(x)g(x)-\int f’(x)g(x)dx$.


$\int \frac{dx}{x^2+a^2}$

רמז: הציבו $x=a\tan \theta$.

$\int_0^\pi e^{x} \sin x dx$

רמז: השתמשו בחוק ההפרדה.

\[\int e^{x} \sin x dx=e^{x} \sin x\Big|_0^\pi-\int e^{x} \cos x dx\]