שאלה 1
מצאו את הכוח הקבוע הדרוש כדי להאיץ מסה של 10 טון מ־54 קמ״ש ל־108 קמ״ש לאורך קו ישר, במשך 5 דקות.
פתרון שאלה 1
נפתור את השאלה שלב אחר שלב:
שלב 1: המרת יחידות
- נמיר את המסה מטונות לק”ג: 10 טון = 10,000 ק”ג
- נמיר את המהירויות ממ”ש לק”מ:
- $54$ ק”מ/שעה = $54 \times \frac{1000}{3600} = 15$ מ’/שנייה
- $108$ ק”מ/שעה = $108 \times \frac{1000}{3600} = 30$ מ’/שנייה
- נמיר את הזמן מדקות לשניות: 5 דקות = $5 \times 60 = 300$ שניות
שלב 2: חישוב התאוצה התאוצה היא קצב השינוי במהירות. נשתמש בנוסחה: $a = \frac{v_f - v_i}{t}$
כאשר:
- $v_f$ היא המהירות הסופית
- $v_i$ היא המהירות ההתחלתית
- $t$ הוא הזמן שעבר
נציב:
\[a = \frac{30 - 15}{300} = \frac{15}{300} = 0.05\]מ’/שנייה²
שלב 3: חישוב הכוח לפי החוק השני של ניוטון, הכוח שווה למסה כפול התאוצה:
\[F = m \times a\]נציב:
\[F = 10,000 \times 0.05 = 500 \left[\text{N}\right]\]ניוטון
הסבר: הכוח הדרוש הוא 500 ניוטון. כוח זה צריך להיות מופעל באופן קבוע במשך 5 דקות כדי להגדיל את מהירות העצם מ-54 קמ״ש ל-108 קמ״ש. בפיזיקה, כוח הוא מה שגורם לשינוי במצב התנועה של גוף. ככל שהמסה גדולה יותר, יש צורך בכוח גדול יותר כדי לייצר את אותה התאוצה.
שאלה 2: נושאת מטוסים מול זבוב
איזה כוח נדרש לעצור נושאת מטוסים של 100,000 טון מ־40 קמ״ש לעצירה תוך 10 דקות?
הפתרון לחלק א’
שלב 1: המרת יחידות
- נמיר את המסה מטונות לק”ג: 100,000 טון = 100,000,000 ק”ג
- נמיר את המהירות מק”מ/שעה למ’/שנייה: $40$ ק”מ/שעה = $40 \times \frac{1000}{3600} \approx 11.11$ מ’/שנייה
- נמיר את הזמן מדקות לשניות: 10 דקות = $10 \times 60 = 600$ שניות
שלב 2: חישוב התאוצה מכיוון שאנחנו מעוניינים לעצור את נושאת המטוסים, המהירות הסופית היא אפס: $a = \frac{v_f - v_i}{t} = \frac{0 - 11.11}{600} = \frac{-11.11}{600} \approx -0.01852$ מ’/שנייה²
הסימן השלילי מציין האטה (תאוצה שלילית).
שלב 3: חישוב הכוח $F = m \times a = 100,000,000 \times (-0.01852) = -1,852,000$ ניוטון
מכיוון שאנחנו מחפשים את גודל הכוח, נתייחס לערך המוחלט: 1,852,000 ניוטון.
הסבר: נדרש כוח של כ-1.85 מיליון ניוטון כדי לעצור נושאת מטוסים ענקית. זהו כוח עצום! דמיינו כאילו אתם דוחפים 185,000 ק”ג (משקל של כ-185 מכוניות) כנגד כוח הכבידה.
ב. השאלה
כמה זמן ייקח לעצור זבוב של גרם אחד באותה מהירות, עם אותו כוח?
הפתרון לחלק ב’
שלב 1: המרת יחידות
- נמיר את מסת הזבוב מגרמים לק”ג: 1 גרם = 0.001 ק”ג
שלב 2: חישוב התאוצה של הזבוב כאשר אותו כוח (1,852,000 ניוטון) פועל על הזבוב, התאוצה תהיה: $a = \frac{F}{m} = \frac{1,852,000}{0.001} = 1,852,000,000$ מ’/שנייה²
זוהי תאוצה עצומה!
שלב 3: חישוב הזמן $t = \frac{v_f - v_i}{a} = \frac{0 - 11.11}{1,852,000,000} \approx -6 \times 10^{-9}$ שניות
הסימן השלילי מציין את כיוון התנועה. לכן, הזמן הנדרש הוא כ-6 ננו-שניות.
הסבר: עם אותו כוח שנדרש לעצור נושאת מטוסים, זבוב קטן ייעצר כמעט מיידית - תוך פחות מאחד חלקי מיליארד של שנייה! זוהי המחשה מדהימה של החוק השני של ניוטון: $F = ma$. ככל שהמסה קטנה יותר, התאוצה גדולה יותר כאשר מפעילים אותו כוח.
שאלה 3: סכום כוחות
נתון חלקיק עליו פועלים שלושת הכוחות:
\[\begin{align*} \vec{F}_1 &= 3\hat{x} - 2\hat{y} + 4\hat{z} \\ \vec{F}_2 &= -5\hat{x} + 3\hat{y} - 3\hat{z} \\ \vec{F}_3 &= -2\hat{x} + 4\hat{y} - 5\hat{z} \end{align*}\]
א.
איזה כוח יש להפעיל על החלקיק כדי שוקטור המהירות שלו יישאר קבוע?
ב.
בהנחה שהכוח הזה לא מופעל, מה יהיה וקטור התאוצה של החלקיק? ומה גודלו?
הפתרון לחלק א’
שלב 1: הבנת העיקרון הפיזיקלי לפי החוק הראשון של ניוטון, אם החלקיק נע במהירות קבועה (כלומר, וקטור המהירות שלו אינו משתנה), סכום הכוחות הפועלים עליו חייב להיות אפס.
שלב 2: חישוב סכום הכוחות הנתונים נחשב את סכום שלושת הכוחות הנתונים:
\[\vec{F}_{sum} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3\]נחבר את המרכיבים בכל אחד מהכיוונים בנפרד:
- בכיוון $\hat{x}$: $3 + (-5) + (-2) = 3 - 5 - 2 = -4$
- בכיוון $\hat{y}$: $(-2) + 3 + 4 = -2 + 3 + 4 = 5$
- בכיוון $\hat{z}$: $4 + (-3) + (-5) = 4 - 3 - 5 = -4$
מכאן:
\[\vec{F}_{sum} = -4\hat{x} + 5\hat{y} - 4\hat{z}\]שלב 3: מציאת הכוח הנדרש כדי שסכום הכוחות יהיה אפס, עלינו להפעיל כוח שהוא ההופכי של סכום הכוחות הנתונים:
\[\vec{F}_{neended} = -\vec{F}_{sum} = -(-4\hat{x} + 5\hat{y} - 4\hat{z}) = 4\hat{x} - 5\hat{y} + 4\hat{z}\]הסבר: כדי לשמור על מהירות קבועה, עלינו להפעיל כוח שיבטל בדיוק את השפעת כל הכוחות האחרים. זהו יישום ישיר של החוק הראשון של ניוטון, הקובע שגוף ישמור על מצב התנועה שלו אלא אם כן פועל עליו כוח חיצוני.
הפתרון לחלק ב’
שלב 1: הבנת העיקרון הפיזיקלי אם הכוח שמצאנו בחלק א’ אינו מופעל, אז לפי החוק השני של ניוטון, סכום הכוחות יגרום לתאוצה של החלקיק.
שלב 2: חישוב וקטור התאוצה בהנחה שמסת החלקיק היא $m$, וקטור התאוצה יהיה: $\vec{a} = \frac{\vec{F}_{sum}}{m} = \frac{-4\hat{x} + 5\hat{y} - 4\hat{z}}{m}$
במקרה זה, אם לא נתונה המסה, נניח $m = 1$ ק”ג לשם פשטות:
\[\vec{a} = -4\hat{x} + 5\hat{y} - 4\hat{z}\]מ’/שנייה²
שלב 3: חישוב גודל וקטור התאוצה גודל וקטור התאוצה מחושב לפי נוסחת המרחק במרחב תלת-ממדי:
\[|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} = \sqrt{(-4)^2 + 5^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 25 + 16} = \sqrt{57} \approx 7.55\]מ’/שנייה²
הסבר: אם לא נפעיל את הכוח המאזן, החלקיק יאיץ בכיוון שנקבע על ידי סכום הכוחות. התאוצה תהיה בעוצמה של כ-7.55 מ’/שנייה². זה אומר שבכל שנייה, מהירות החלקיק תשתנה ב-7.55 מ’/שנייה בכיוון שחישבנו. אפשר לדמיין זאת כמו מכונית שמאיצה מ-0 ל-100 קמ״ש בכ-3.7 שניות - זוהי תאוצה משמעותית!
שאלה 4: תנועה בנפילה חופשית
נניח גוף נופל בתאוצה קבועה בקרבת פני כדור הארץ:
\[g \approx 10~\text{מ/ש}^2\]
נבחר את ציר x להיות אנכי כלפי מטה.
א. הראו:
\[v(t) = v_0 + g(t - t_0)\]כאשר:
- $v_0 = v(t_0)$
- $\frac{\Delta v}{\Delta t} = g$
ב. הראו:
\[x(t) = x_0 + v_0(t - t_0) + \frac{1}{2}g(t - t_0)^2\]כאשר:
- $x_0 = x(t_0)$
- $\frac{dx}{dt} = v(t)$
ג.
לתוך פיר בעומק $500~\text{מ’}$, הושלכה אבן במהירות התחלתית של $2~\text{מ/ש}$ בשעה 10:00 בבוקר (נניח $t_0 = 0$). חשבו:
- מהי מהירות האבן בשנייה השלישית?
- איפה היא נמצאת בזמן זה?
- מה הדרך שהיא עברה בין השנייה הרביעית לחמישית?
- כמה זמן ייקח לה להגיע לתחתית?
הפתרון
א. הוכחת נוסחת המהירות
שלב 1: הבנת ההגדרות הבסיסיות תאוצה מוגדרת כקצב השינוי של המהירות ביחס לזמן:
\[a = \frac{\Delta v}{\Delta t}\]במקרה של נפילה חופשית, התאוצה קבועה ושווה ל-$g$:
\[\frac{\Delta v}{\Delta t} = g\]שלב 2: ניסוח משוואה דיפרנציאלית אם התאוצה קבועה, נוכל לכתוב:
\[\frac{dv}{dt} = g\]שלב 3: אינטגרציה של המשוואה נבצע אינטגרציה על שני צדי המשוואה:
\[\int_{t_0}^{t} \frac{dv}{dt} dt = \int_{t_0}^{t} g dt\]מימין נקבל:
\[\int_{t_0}^{t} g dt = g(t - t_0)\]משמאל נקבל:
\[\int_{t_0}^{t} \frac{dv}{dt} dt = \int_{v_0}^{v(t)} dv = v(t) - v_0\]שלב 4: שילוב התוצאות
\[v(t) - v_0 = g(t - t_0)\] \[v(t) = v_0 + g(t - t_0)\]הסבר: נוסחה זו מראה כיצד המהירות משתנה עם הזמן תחת תאוצה קבועה. היא אומרת לנו שהמהירות בזמן $t$ שווה למהירות ההתחלתית $v_0$ בתוספת המהירות שנוספה כתוצאה מהתאוצה. המהירות הנוספת היא מכפלה של התאוצה $g$ בזמן שחלף $(t - t_0)$.
ב. הוכחת נוסחת המיקום
שלב 1: שימוש בקשר בין מהירות למיקום לפי ההגדרה, מהירות היא קצב השינוי של המיקום ביחס לזמן:
\[v(t) = \frac{dx}{dt}\]שלב 2: הצבת נוסחת המהירות נציב את הנוסחה שמצאנו בחלק א’:
\[\frac{dx}{dt} = v_0 + g(t - t_0)\]שלב 3: אינטגרציה של המשוואה נבצע אינטגרציה על שני צדי המשוואה:
\[\int_{t_0}^{t} \frac{dx}{dt} dt = \int_{t_0}^{t} [v_0 + g(t - t_0)] dt\]משמאל נקבל:
\[\int_{t_0}^{t} \frac{dx}{dt} dt = \int_{x_0}^{x(t)} dx = x(t) - x_0\]מימין נקבל:
\[\int_{t_0}^{t} [v_0 + g(t - t_0)] dt = v_0 \int_{t_0}^{t} dt + g \int_{t_0}^{t} (t - t_0) dt\] \[= v_0 (t - t_0) + g \int_{t_0}^{t} (t - t_0) dt\]נחשב את האינטגרל השני:
\[\begin{align*} \int_{t_0}^{t} (t - t_0) dt &= \int_{t_0}^{t} t dt - t_0 \int_{t_0}^{t} dt = \left[\frac{t^2}{2}\right]_{t_0}^{t} - t_0 (t - t_0) \\ &= \frac{t^2}{2} - \frac{t_0^2}{2} - t_0 (t - t_0) = \frac{t^2 - t_0^2}{2} - t_0 (t - t_0) \\ &= \frac{(t + t_0)(t - t_0)}{2} - t_0 (t - t_0) = (t - t_0) \left[\frac{t + t_0}{2} - t_0 \right] \\ &= (t - t_0) \frac{t + t_0 - 2t_0}{2} = (t - t_0) \frac{t - t_0}{2} = \frac{(t - t_0)^2}{2} \end{align*}\]שלב 4: שילוב התוצאות
\[x(t) - x_0 = v_0 (t - t_0) + g \frac{(t - t_0)^2}{2}\] \[x(t) = x_0 + v_0 (t - t_0) + \frac{1}{2} g (t - t_0)^2\]הסבר: נוסחה זו מתארת את המיקום של גוף בזמן $t$ כתלות במיקום ההתחלתי $x_0$, המהירות ההתחלתית $v_0$, והתאוצה $g$. היא מורכבת משלושה חלקים: המיקום ההתחלתי, המרחק שהיה נעבר במהירות קבועה $v_0$, והתוספת עקב התאוצה הקבועה.
ג. פתרון הבעיה המעשית
נתונים:
- עומק הפיר: $500$ מטר
- מהירות התחלתית: $v_0 = 2$ מ’/שנייה (כלפי מטה)
- זמן התחלתי: $t_0 = 0$
- תאוצת הכבידה: $g = 10$ מ’/שנייה²
- מיקום התחלתי: $x_0 = 0$ (נקבע את ראשית הצירים בפתח הפיר)
1. מהירות האבן בשנייה השלישית
נשתמש בנוסחה מחלק א’ כדי למצוא את המהירות בזמן $t = 3$ שניות:
$v(3) = v_0 + g(3 - 0) = 2 + 10 \cdot 3 = 2 + 30 = 32$ מ’/שנייה
הסבר: האבן מתחילה עם מהירות של 2 מ’/שנייה ומאיצה עקב הכבידה. לאחר 3 שניות, היא צברה 30 מ’/שנייה נוספים, כך שהמהירות הכוללת היא 32 מ’/שנייה.
2. מיקום האבן בשנייה השלישית
נשתמש בנוסחה מחלק ב’ כדי למצוא את המיקום בזמן $t = 3$ שניות: $x(3) = x_0 + v_0(3 - 0) + \frac{1}{2}g(3 - 0)^2 = 0 + 2 \cdot 3 + \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 3^2$ $= 6 + 5 \cdot 9 = 6 + 45 = 51$ מטר
הסבר: לאחר 3 שניות, האבן נמצאת במרחק של 51 מטר מפתח הפיר. מתוך זה, 6 מטרים הם תוצאה של המהירות ההתחלתית, ו-45 מטרים נוספים הם תוצאה של התאוצה עקב הכבידה.
3. הדרך שנעברה בין השנייה הרביעית לחמישית
נמצא את המיקום בזמן $t = 4$ שניות: $x(4) = 0 + 2 \cdot 4 + \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 4^2 = 8 + 5 \cdot 16 = 8 + 80 = 88$ מטר
נמצא את המיקום בזמן $t = 5$ שניות: $x(5) = 0 + 2 \cdot 5 + \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 5^2 = 10 + 5 \cdot 25 = 10 + 125 = 135$ מטר
הדרך שנעברה בין השנייה הרביעית לחמישית היא: $\Delta x = x(5) - x(4) = 135 - 88 = 47$ מטר
הסבר: בין השנייה הרביעית לחמישית, האבן עברה מרחק של 47 מטר. זה יותר מהמרחק שהיא עברה בשנייה הקודמת, כי האבן מאיצה ונעה מהר יותר עם כל שנייה שחולפת.
4. הזמן שייקח לאבן להגיע לתחתית הפיר
נרצה למצוא את הזמן $t$ כך שהמיקום $x(t) = 500$ (עומק הפיר): $500 = 0 + 2t + \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot t^2 = 2t + 5t^2$ $5t^2 + 2t - 500 = 0$
נפתור את המשוואה הריבועית באמצעות נוסחת השורשים: $t = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 5 \cdot 500}}{2 \cdot 5} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 10000}}{10} = \frac{-2 \pm \sqrt{10004}}{10}$ $t = \frac{-2 \pm 100.02}{10} \approx \frac{-2 + 100.02}{10} \approx 9.8$ שניות
(הפתרון השני, עם הסימן שלילי, אינו פיזיקלי כי אנחנו מחפשים זמן חיובי.)
הסבר: ייקח לאבן כ-9.8 שניות להגיע לתחתית הפיר בעומק 500 מטר. בזמן זה, האבן תאיץ בהדרגה עקב הכבידה ותגביר את מהירותה, עד שתגיע לתחתית.
שאלה 5: קשר בין העתק למהירות
הראו שאם גוף נע בתאוצה קבועה, מתקיים: $v^2(t) = v_0^2 + 2g\Delta x$
זהו קשר שימושי כאשר אין מידע על הזמן, אלא רק על מהירויות והעתקים.
שלב 1: שימוש בנוסחאות הקיימות מהשאלה הקודמת, יש לנו את הנוסחאות הבאות:
מהירות: $v(t) = v_0 + g(t - t_0)$ מיקום: $x(t) = x_0 + v_0(t - t_0) + \frac{1}{2}g(t - t_0)^2$
לשם פשטות, נניח $t_0 = 0$. אז הנוסחאות הופכות ל:
\[v(t) = v_0 + gt\] \[x(t) = x_0 + v_0t + \frac{1}{2}gt^2\]שלב 2: הגדרת ההעתק ההעתק $\Delta x$ הוא השינוי במיקום:
\[\Delta x = x(t) - x_0 = v_0t + \frac{1}{2}gt^2\]שלב 3: מציאת הזמן $t$ מנוסחת המהירות מהנוסחה של המהירות, אנחנו יכולים לבטא את הזמן $t$:
\[v(t) = v_0 + gt$ $t = \frac{v(t) - v_0}{g}\]שלב 4: הצבת הזמן בנוסחת ההעתק נציב את $t$ בנוסחת ההעתק:
$\Delta x = v_0 \cdot \frac{v(t) - v_0}{g} + \frac{1}{2}g \cdot \left(\frac{v(t) - v_0}{g}\right)^2$ $= \frac{v_0(v(t) - v_0)}{g} + \frac{1}{2} \cdot \frac{(v(t) - v_0)^2}{g}$ $= \frac{1}{g} \left[v_0(v(t) - v_0) + \frac{1}{2}(v(t) - v_0)^2\right]$
שלב 5: פיתוח האלגברי נפתח את הסוגריים בביטוי האחרון:
\[\begin{align*} \Delta x &= \frac{1}{g} \left[v_0v(t) - v_0^2 + \frac{1}{2}v(t)^2 - v_0v(t) + \frac{1}{2}v_0^2\right] \\ &= \frac{1}{g} \left[\frac{1}{2}v(t)^2 - \frac{1}{2}v_0^2\right]\\ &= \frac{1}{2g} \left[v(t)^2 - v_0^2\right] \end{align*}\]שלב 6: אלגברה סופית נכפיל את שני הצדדים ב-$2g$:
\[2g \cdot \Delta x = v(t)^2 - v_0^2\] \[v(t)^2 = v_0^2 + 2g\Delta x\]הסבר: נוסחה זו מקשרת בין ריבוע המהירות, ריבוע המהירות ההתחלתית, וההעתק (השינוי במיקום). היא מאפשרת לנו לחשב את המהירות הסופית ללא צורך לדעת את הזמן שעבר. זוהי נוסחה שימושית במיוחד בבעיות מעשיות, כמו חישוב מהירות גוף לאחר שנפל ממגדל בגובה ידוע, או מהירות רכב לאחר שעבר מרחק מסוים בתאוצה קבועה.
יתרונה הגדול של נוסחה זו הוא שהיא מאפשרת לנו לקשר ישירות בין מהירויות והעתקים, ללא התייחסות לזמן. במקרים רבים, קל יותר למדוד מרחקים ומהירויות מאשר זמנים מדויקים, ולכן זוהי נוסחה פרקטית מאוד בפיזיקה יישומית ובהנדסה.
דור פסקלחזרה לעמוד הראשי