שאלה 1 וקטורים דו-מימדיים

נתונים שני וקטורים דו-מימדיים:

\[\begin{aligned} \vec{a} &= 3\hat{x} - 3\hat{y} \\[10pt] \vec{b} &= -2\hat{x} + \hat{y} \end{aligned}\]

נתון:

\[\vec{c} = -2\vec{a} + 3\vec{b}\]

א. חישוב וקטור $\vec{c}$

נציב את הערכים:

\[\begin{aligned} \vec{c} &= -2(3\hat{x} - 3\hat{y}) + 3(-2\hat{x} + \hat{y}) \\[10pt] &= (-6\hat{x} + 6\hat{y}) + (-6\hat{x} + 3\hat{y}) \\[10pt] &= -12\hat{x} + 9\hat{y} \end{aligned}\]

ב. חישוב וקטורי היחידה

וקטור יחידה מוגדר כוקטור בעל אותו כיוון כמו הוקטור המקורי, אך באורך 1. כדי לחשב וקטור יחידה, מחלקים את הוקטור באורכו (נורמה).

עבור $\vec{a}$:

\[\vert \vec{a}\vert = \sqrt{3^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\]

וקטור היחידה:

\[\begin{aligned} \hat{a} = \frac{\vec{a}}{\vert \vec{a}\vert} &= \frac{3\hat{x} - 3\hat{y}}{3\sqrt{2}} \\[10pt] &= \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{x} - \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{y} \end{aligned}\]

עבור $\vec{b}$:

\[\vert \vec{b}\vert = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}\]

וקטור היחידה:

\[\begin{aligned} \hat{b} = \frac{\vec{b}}{\vert \vec{b}\vert} &= \frac{-2\hat{x} + \hat{y}}{\sqrt{5}} \\[10pt] &= -\frac{2}{\sqrt{5}}\hat{x} + \frac{1}{\sqrt{5}}\hat{y} \end{aligned}\]

עבור $\vec{c}$:

\[\vert \vec{c}\vert = \sqrt{(-12)^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15\]

וקטור היחידה:

\[\hat{c} = \frac{\vec{c}}{\vert \vec{c}\vert} = \frac{-12\hat{x} + 9\hat{y}}{15} = -\frac{4}{5}\hat{x} + \frac{3}{5}\hat{y}\]

ג. ציור הוקטור השקול ווקטור ההפרש

הוקטור השקול $\vec{a} + \vec{b}$:

\[\vec{a} + \vec{b} = (3\hat{x} - 3\hat{y}) + (-2\hat{x} + \hat{y}) = \hat{x} - 2\hat{y}\]

וקטור ההפרש $\vec{a} - \vec{b}$:

\[\begin{aligned} \vec{a} - \vec{b} &= (3\hat{x} - 3\hat{y}) - (-2\hat{x} + \hat{y}) \\[10pt] &= 3\hat{x} - 3\hat{y} + 2\hat{x} - \hat{y} \\[10pt] &= 5\hat{x} - 4\hat{y} \end{aligned}\]

לציור הוקטורים על נייר משבצות, יש לסמן את מערכת הצירים ולשרטט:

  • את $\vec{a}$ מראשית הצירים לנקודה $(3, -3)$
  • את $\vec{b}$ מראשית הצירים לנקודה $(-2, 1)$
  • את $\vec{a} + \vec{b}$ מראשית הצירים לנקודה $(1, -2)$
  • את $\vec{a} - \vec{b}$ מראשית הצירים לנקודה $(5, -4)$

ד. ציור הוקטור השקול $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$

נחשב תחילה את הסכום:

\[\begin{aligned} \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} &= (3\hat{x} - 3\hat{y}) + (-2\hat{x} + \hat{y}) + (-12\hat{x} + 9\hat{y}) \\[10pt] &= (3 - 2 - 12)\hat{x} + (-3 + 1 + 9)\hat{y} \\[10pt] &= -11\hat{x} + 7\hat{y} \end{aligned}\]

לציור הוקטור השקול, יש לסמן את מערכת הצירים ולשרטט את הוקטור מראשית הצירים לנקודה $(-11, 7)$.

ה. חישוב הזוויות

הזווית שוקטור יוצר עם ציר ה-$x$ (נגד כיוון השעון) ניתנת על ידי הביטוי: $\theta = \tan^{-1}(\frac{y}{x})$

כאשר צריך לקחת בחשבון את הרביע שבו נמצא הוקטור:

עבור $\vec{a} = 3\hat{x} - 3\hat{y}$:

מכיוון שהוקטור נמצא ברביע הרביעי ($x > 0$, $y < 0$), נחשב:

\[\theta_a = \tan^{-1}(\frac{-3}{3}) = \tan^{-1}(-1) = -45°\]

ומכיוון שאנו מודדים נגד כיוון השעון, נוסיף $360°$:

\[\theta_a = 360° - 45° = 315°\]

עבור $\vec{b} = -2\hat{x} + \hat{y}$:

מכיוון שהוקטור נמצא ברביע השני ($x < 0$, $y > 0$), נחשב:

\[\theta_b = \tan^{-1}(\frac{1}{-2}) = \tan^{-1}(-0.5) \approx -26.57°\]

ונוסיף $180°$:

\[\theta_b = 180° - 26.57° = 153.43°\]

עבור $\vec{c} = -12\hat{x} + 9\hat{y}$:

מכיוון שהוקטור נמצא ברביע השני ($x < 0$, $y > 0$), נחשב:

\[\theta_c = \tan^{-1}(\frac{9}{-12}) = \tan^{-1}(-0.75) \approx -36.87°\]

ונוסיף $180°$:

\[\theta_c = 180° - 36.87° = 143.13°\]

שאלה 2: וקטורים תלת-מימדיים

נתונים שלושת הוקטורים התלת-מימדיים:

\[\begin{aligned} \vec{a} &= (2,2,0) \\[10pt] \vec{b} &= (2,0,2) \\[10pt] \vec{c} &= (0,2,2) \end{aligned}\]

א. ציור הוקטורים במערכת צירים קרטזית

לציור וקטורים תלת-מימדיים, יש לסמן מערכת צירים תלת-מימדית ולשרטט:

  • את $\vec{a}$ מראשית הצירים לנקודה $(2, 2, 0)$
  • את $\vec{b}$ מראשית הצירים לנקודה $(2, 0, 2)$
  • את $\vec{c}$ מראשית הצירים לנקודה $(0, 2, 2)$
איור של הוקטורים במערכת צירים תלת-מימדית הדמיה של הפרמטריזציה הלינארית
איור של הוקטורים במערכת צירים תלת-מימדית הדמיה של הפרמטריזציה הלינארית של שלושת הוקטורים

ב. ציור השקול הוקטורי

השקול הוקטורי של שלושת הוקטורים הוא:

\[\begin{aligned} \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} &= (2,2,0) + (2,0,2) + (0,2,2) \\[10pt] &= (2+2+0, 2+0+2, 0+2+2) \\[10pt] &= (4, 4, 4) \end{aligned}\]

לציור השקול הוקטורי, יש לשרטט וקטור מראשית הצירים לנקודה $(4, 4, 4)$.

ג. נרמול הוקטורים

נרמול וקטור פירושו חישוב וקטור היחידה בכיוון הוקטור המקורי.

עבור $\vec{a}$:

\[\vert \vec{a}\vert = \sqrt{2^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\]

הוקטור המנורמל:

\[\hat{a} = \frac{\vec{a}}{\vert \vec{a}\vert} = \frac{(2,2,0)}{2\sqrt{2}} = (\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0)\]

עבור $\vec{b}$:

\[\vert \vec{b}\vert = \sqrt{2^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\]

הוקטור המנורמל:

\[\hat{b} = \frac{\vec{b}}{\vert \vec{b}\vert} = \frac{(2,0,2)}{2\sqrt{2}} = (\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, \frac{1}{\sqrt{2}})\]

עבור $\vec{c}$:

\[\vert \vec{c}\vert = \sqrt{0^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\]

הוקטור המנורמל:

\[\hat{c} = \frac{\vec{c}}{\vert \vec{c}\vert} = \frac{(0,2,2)}{2\sqrt{2}} = (0, \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})\]

ד. בדיקת התלכדות

נבדוק האם השקול של שלושת הוקטורים המנורמלים מתלכד עם וקטור היחידה של השקול הוקטורי.

סכום הוקטורים המנורמלים:

\[\hat{a} + \hat{b} + \hat{c} = (\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0) + (\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, \frac{1}{\sqrt{2}}) + (0, \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})\] \[\begin{aligned} &= (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + 0, \frac{1}{\sqrt{2}} + 0 + \frac{1}{\sqrt{2}}, 0 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) \\[10pt] &= (\frac{2}{\sqrt{2}}, \frac{2}{\sqrt{2}}, \frac{2}{\sqrt{2}}) \\[10pt] &= \sqrt{2} \cdot (1, 1, 1) \end{aligned}\]

וקטור היחידה של השקול:

השקול הוקטורי:

\[\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = (4, 4, 4)\]

האורך שלו:

\[\vert \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}\vert = \sqrt{4^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}\]

וקטור היחידה:

\[\frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{\vert \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}\vert} = \frac{(4, 4, 4)}{4\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot (1, 1, 1)\]

מכיוון ש-$\hat{a} + \hat{b} + \hat{c} = \sqrt{2} \cdot (1, 1, 1)$ והוקטור היחידה של השקול הוא $\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot (1, 1, 1)$, הם אינם מתלכדים. הסכום של הוקטורים המנורמלים גדול פי $\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{6}$ מוקטור היחידה של השקול.

ה. מציאת המקדמים בצרוף הלינארי

נתון הוקטור

\[\vec{d} = (3, 3, 3)\]

ואנו מחפשים את הערכים $\alpha, \beta, \gamma$ כך ש:

\[\vec{d} = \alpha\vec{a} + \beta\vec{b} + \gamma\vec{c}\]

נציב את הוקטורים הנתונים:

\[\vec{d} = \alpha(2,2,0) + \beta(2,0,2) + \gamma(0,2,2)\]

נפרק לרכיבים:

\[\begin{aligned} 3 &= 2\alpha + 2\beta \\[10pt] 3 &= 2\alpha + 2\gamma \\[10pt] 3 &= 2\beta + 2\gamma \end{aligned}\]

מהשוואת המשוואה הראשונה והשנייה, מקבלים: $\beta = \gamma$

נסכם את שלוש המשוואות:

\[9 = 4\alpha + 4\beta + 4\gamma\]

מכיוון ש-$\beta = \gamma$, מקבלים:

\[9 = 4\alpha + 8\beta\] \[\frac{9}{4} = \alpha + 2\beta\]

מהמשוואה הראשונה:

\[\frac{3}{2} = \alpha + \beta\]

נפתור את המערכת:

\[\alpha + 2\beta = \frac{9}{4}\] \[\alpha + \beta = \frac{3}{2}\]

נחסר את המשוואה השנייה מהראשונה:

\[\beta = \frac{9}{4} - \frac{3}{2} = \frac{9 - 6}{4} = \frac{3}{4}\]

נציב בחזרה:

\[\alpha + \frac{3}{4} = \frac{3}{2}\] \[\alpha = \frac{3}{2} - \frac{3}{4} = \frac{6 - 3}{4} = \frac{3}{4}\]

כיוון ש-$\beta = \gamma$, מקבלים: $\alpha = \beta = \gamma = \frac{3}{4}$

נבדוק את התוצאה:

\[\alpha\vec{a} + \beta\vec{b} + \gamma\vec{c} = \frac{3}{4}(2,2,0) + \frac{3}{4}(2,0,2) + \frac{3}{4}(0,2,2)\] \[= \frac{3}{4}(4, 4, 4) = (3, 3, 3) = \vec{d}\]

הערה: יש שיטה מתודולוגית יותר לפתור את הבעיה של מציאת מקדמים בצירוף לינארי באמצעות מטריצות. זוהי למעשה השיטה הסטנדרטית בעולם האלגברה הלינארית. יש שיטות נוספות לפתרון, כמו מטריצה הפוכה.


שאלה 3: קואורדינטות גליליות

קואורדינטות גליליות מורכבות משלושה מרכיבים: $(ρ, \theta, z)$, כאשר:

  • $ρ$ הוא המרחק מציר ה-$z$ (ולא מהראשית)
  • $\theta$ היא הזווית במישור $x$-$y$, הנמדדת מציר ה-$x$ (נגד כיוון השעון)
  • $z$ היא הקואורדינטה לאורך ציר ה-$z$

א. נוסחאות המעבר

המעבר מקואורדינטות קרטזיות לגליליות:

$ρ = \sqrt{x^2 + y^2}$ (המרחק מציר ה-$z$) $\theta = \tan^{-1}(y/x)$ (הזווית במישור $x$-$y$) $z$ נשאר זהה

המעבר מקואורדינטות גליליות לקרטזיות:

$x = ρ \cos \theta$ $y = ρ \sin \theta$ $z$ נשאר זהה

ב. הקשר הפיתגוראי

המרחק של נקודה מהראשית בקואורדינטות קרטזיות הוא:

\[r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\]

בקואורדינטות גליליות, הקשר הפיתגוראי הוא:

\[r^2 = ρ^2 + z^2 = x^2 + y^2 + z^2\]

שאלה 4: יישומי וקטורים בגיאומטריה

בשאלה זו מובאות דוגמאות לשימושים של וקטורים לפתרון בעיות גיאומטריות:

  1. הוכחה שאלכסוני מקבילית חוצים זה את זה:

    במקבילית ABCD עם אלכסונים הנפגשים בנקודה P, ניתן לייצג את הוקטורים מהראשית:

    • $\vec{P} = \frac{1}{2}(\vec{A} + \vec{C}) = \frac{1}{2}(\vec{B} + \vec{D})$

    כלומר, P היא נקודת האמצע של שני האלכסונים, מה שמוכיח שהם חוצים זה את זה.

  2. הוכחת משפט על קו המחבר את נקודות האמצע של שתי צלעות במשולש:

    במשולש ABC, אם D היא נקודת האמצע של AB ו-E היא נקודת האמצע של AC, אז:

    • $\vec{DE} = \vec{E} - \vec{D} = \frac{1}{2}\vec{C} - \frac{1}{2}\vec{B} = \frac{1}{2}(\vec{C} - \vec{B}) = \frac{1}{2}\vec{BC}$

    מכאן, הקו DE מקביל לצלע BC ואורכו מחצית מאורך BC.

דור פסקל