שאלה 1: וקטורים דו-מימדיים
נתונים שני וקטורים דו-מימדיים:
\[\begin{aligned} \vec{a} &= 3\hat{x} - 3\hat{y} \\[10pt] \vec{b} &= -2\hat{x} + \hat{y} \end{aligned}\]נתון:
\[\vec{c} = -2\vec{a} + 3\vec{b}\]א. חישוב וקטור $\vec{c}$
נציב את הערכים:
\[\begin{aligned} \vec{c} &= -2(3\hat{x} - 3\hat{y}) + 3(-2\hat{x} + \hat{y}) \\[10pt] &= (-6\hat{x} + 6\hat{y}) + (-6\hat{x} + 3\hat{y}) \\[10pt] &= -12\hat{x} + 9\hat{y} \end{aligned}\]ב. חישוב וקטורי היחידה
וקטור יחידה מוגדר כוקטור בעל אותו כיוון כמו הוקטור המקורי, אך באורך 1. כדי לחשב וקטור יחידה, מחלקים את הוקטור באורכו (נורמה).
עבור $\vec{a}$:
\[|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\]וקטור היחידה:
\[\begin{aligned} \hat{a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} &= \frac{3\hat{x} - 3\hat{y}}{3\sqrt{2}} \\[10pt] &= \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{x} - \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{y} \end{aligned}\]עבור $\vec{b}$:
\[|\vec{b}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}\]וקטור היחידה:
\[\begin{aligned} \hat{b} = \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|} &= \frac{-2\hat{x} + \hat{y}}{\sqrt{5}} \\[10pt] &= -\frac{2}{\sqrt{5}}\hat{x} + \frac{1}{\sqrt{5}}\hat{y} \end{aligned}\]עבור $\vec{c}$:
\[|\vec{c}| = \sqrt{(-12)^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15\]וקטור היחידה:
\[\hat{c} = \frac{\vec{c}}{|\vec{c}|} = \frac{-12\hat{x} + 9\hat{y}}{15} = -\frac{4}{5}\hat{x} + \frac{3}{5}\hat{y}\]ג. ציור הוקטור השקול ווקטור ההפרש
הוקטור השקול $\vec{a} + \vec{b}$:
\[\vec{a} + \vec{b} = (3\hat{x} - 3\hat{y}) + (-2\hat{x} + \hat{y}) = \hat{x} - 2\hat{y}\]וקטור ההפרש $\vec{a} - \vec{b}$:
\[\begin{aligned} \vec{a} - \vec{b} &= (3\hat{x} - 3\hat{y}) - (-2\hat{x} + \hat{y}) \\[10pt] &= 3\hat{x} - 3\hat{y} + 2\hat{x} - \hat{y} \\[10pt] &= 5\hat{x} - 4\hat{y} \end{aligned}\]לציור הוקטורים על נייר משבצות, יש לסמן את מערכת הצירים ולשרטט:
- את $\vec{a}$ מראשית הצירים לנקודה $(3, -3)$
- את $\vec{b}$ מראשית הצירים לנקודה $(-2, 1)$
- את $\vec{a} + \vec{b}$ מראשית הצירים לנקודה $(1, -2)$
- את $\vec{a} - \vec{b}$ מראשית הצירים לנקודה $(5, -4)$
ד. ציור הוקטור השקול $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$
נחשב תחילה את הסכום:
\[\begin{aligned} \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} &= (3\hat{x} - 3\hat{y}) + (-2\hat{x} + \hat{y}) + (-12\hat{x} + 9\hat{y}) \\[10pt] &= (3 - 2 - 12)\hat{x} + (-3 + 1 + 9)\hat{y} \\[10pt] &= -11\hat{x} + 7\hat{y} \end{aligned}\]לציור הוקטור השקול, יש לסמן את מערכת הצירים ולשרטט את הוקטור מראשית הצירים לנקודה $(-11, 7)$.
ה. חישוב הזוויות
הזווית שוקטור יוצר עם ציר ה-$x$ (נגד כיוון השעון) ניתנת על ידי הביטוי: $\theta = \tan^{-1}(\frac{y}{x})$
כאשר צריך לקחת בחשבון את הרביע שבו נמצא הוקטור:
עבור $\vec{a} = 3\hat{x} - 3\hat{y}$:
מכיוון שהוקטור נמצא ברביע הרביעי ($x > 0$, $y < 0$), נחשב:
\[\theta_a = \tan^{-1}(\frac{-3}{3}) = \tan^{-1}(-1) = -45°\]ומכיוון שאנו מודדים נגד כיוון השעון, נוסיף $360°$:
\[\theta_a = 360° - 45° = 315°\]עבור $\vec{b} = -2\hat{x} + \hat{y}$:
מכיוון שהוקטור נמצא ברביע השני ($x < 0$, $y > 0$), נחשב:
\[\theta_b = \tan^{-1}(\frac{1}{-2}) = \tan^{-1}(-0.5) \approx -26.57°\]ונוסיף $180°$:
\[\theta_b = 180° - 26.57° = 153.43°\]עבור $\vec{c} = -12\hat{x} + 9\hat{y}$:
מכיוון שהוקטור נמצא ברביע השני ($x < 0$, $y > 0$), נחשב:
\[\theta_c = \tan^{-1}(\frac{9}{-12}) = \tan^{-1}(-0.75) \approx -36.87°\]ונוסיף $180°$:
\[\theta_c = 180° - 36.87° = 143.13°\]שאלה 2: וקטורים תלת-מימדיים
נתונים שלושת הוקטורים התלת-מימדיים:
\[\begin{aligned} \vec{a} &= (2,2,0) \\[10pt] \vec{b} &= (2,0,2) \\[10pt] \vec{c} &= (0,2,2) \end{aligned}\]א. ציור הוקטורים במערכת צירים קרטזית
לציור וקטורים תלת-מימדיים, יש לסמן מערכת צירים תלת-מימדית ולשרטט:
- את $\vec{a}$ מראשית הצירים לנקודה $(2, 2, 0)$
- את $\vec{b}$ מראשית הצירים לנקודה $(2, 0, 2)$
- את $\vec{c}$ מראשית הצירים לנקודה $(0, 2, 2)$
 |  |
|---|---|
| איור של הוקטורים במערכת צירים תלת-מימדית | הדמיה של הפרמטריזציה הלינארית של שלושת הוקטורים |
ב. ציור השקול הוקטורי
השקול הוקטורי של שלושת הוקטורים הוא:
\[\begin{aligned} \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} &= (2,2,0) + (2,0,2) + (0,2,2) \\[10pt] &= (2+2+0, 2+0+2, 0+2+2) \\[10pt] &= (4, 4, 4) \end{aligned}\]לציור השקול הוקטורי, יש לשרטט וקטור מראשית הצירים לנקודה $(4, 4, 4)$.
ג. נרמול הוקטורים
נרמול וקטור פירושו חישוב וקטור היחידה בכיוון הוקטור המקורי.
עבור $\vec{a}$:
\[|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\]הוקטור המנורמל:
\[\hat{a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = \frac{(2,2,0)}{2\sqrt{2}} = (\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0)\]עבור $\vec{b}$:
\[|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\]הוקטור המנורמל:
\[\hat{b} = \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|} = \frac{(2,0,2)}{2\sqrt{2}} = (\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, \frac{1}{\sqrt{2}})\]עבור $\vec{c}$:
\[|\vec{c}| = \sqrt{0^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\]הוקטור המנורמל:
\[\hat{c} = \frac{\vec{c}}{|\vec{c}|} = \frac{(0,2,2)}{2\sqrt{2}} = (0, \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})\]ד. בדיקת התלכדות
נבדוק האם השקול של שלושת הוקטורים המנורמלים מתלכד עם וקטור היחידה של השקול הוקטורי.
סכום הוקטורים המנורמלים:
\[\hat{a} + \hat{b} + \hat{c} = (\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0) + (\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, \frac{1}{\sqrt{2}}) + (0, \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})\] \[\begin{aligned} &= (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + 0, \frac{1}{\sqrt{2}} + 0 + \frac{1}{\sqrt{2}}, 0 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) \\[10pt] &= (\frac{2}{\sqrt{2}}, \frac{2}{\sqrt{2}}, \frac{2}{\sqrt{2}}) \\[10pt] &= \sqrt{2} \cdot (1, 1, 1) \end{aligned}\]וקטור היחידה של השקול:
השקול הוקטורי:
\[\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = (4, 4, 4)\]האורך שלו:
\[|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}| = \sqrt{4^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}\]וקטור היחידה:
\[\frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|} = \frac{(4, 4, 4)}{4\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot (1, 1, 1)\]מכיוון ש-$\hat{a} + \hat{b} + \hat{c} = \sqrt{2} \cdot (1, 1, 1)$ והוקטור היחידה של השקול הוא $\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot (1, 1, 1)$, הם אינם מתלכדים. הסכום של הוקטורים המנורמלים גדול פי $\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{6}$ מוקטור היחידה של השקול.
ה. מציאת המקדמים בצרוף הלינארי
נתון הוקטור
\[\vec{d} = (3, 3, 3)\]ואנו מחפשים את הערכים $\alpha, \beta, \gamma$ כך ש:
\[\vec{d} = \alpha\vec{a} + \beta\vec{b} + \gamma\vec{c}\]נציב את הוקטורים הנתונים:
\[\vec{d} = \alpha(2,2,0) + \beta(2,0,2) + \gamma(0,2,2)\]נפרק לרכיבים:
\[\begin{aligned} 3 &= 2\alpha + 2\beta \\[10pt] 3 &= 2\alpha + 2\gamma \\[10pt] 3 &= 2\beta + 2\gamma \end{aligned}\]מהשוואת המשוואה הראשונה והשנייה, מקבלים: $\beta = \gamma$
נסכם את שלוש המשוואות:
\[9 = 4\alpha + 4\beta + 4\gamma\]מכיוון ש-$\beta = \gamma$, מקבלים:
\[9 = 4\alpha + 8\beta\] \[\frac{9}{4} = \alpha + 2\beta\]מהמשוואה הראשונה:
\[\frac{3}{2} = \alpha + \beta\]נפתור את המערכת:
\[\alpha + 2\beta = \frac{9}{4}\] \[\alpha + \beta = \frac{3}{2}\]נחסר את המשוואה השנייה מהראשונה:
\[\beta = \frac{9}{4} - \frac{3}{2} = \frac{9 - 6}{4} = \frac{3}{4}\]נציב בחזרה:
\[\alpha + \frac{3}{4} = \frac{3}{2}\] \[\alpha = \frac{3}{2} - \frac{3}{4} = \frac{6 - 3}{4} = \frac{3}{4}\]כיוון ש-$\beta = \gamma$, מקבלים: $\alpha = \beta = \gamma = \frac{3}{4}$
נבדוק את התוצאה:
\[\alpha\vec{a} + \beta\vec{b} + \gamma\vec{c} = \frac{3}{4}(2,2,0) + \frac{3}{4}(2,0,2) + \frac{3}{4}(0,2,2)\] \[= \frac{3}{4}(4, 4, 4) = (3, 3, 3) = \vec{d}\]שיטה מטריצית לפתרון משוואות וקטוריות
יש שיטה מתודולוגית יותר לפתור את הבעיה של מציאת מקדמים בצירוף לינארי באמצעות מטריצות. זוהי למעשה השיטה הסטנדרטית בעולם האלגברה הלינארית.
הבעיה המקורית
בסעיף ה’ של שאלה 2, אנו רוצים למצוא מקדמים $\alpha, \beta, \gamma$ כך ש:
\[\vec{d} = \alpha\vec{a} + \beta\vec{b} + \gamma\vec{c}\]כאשר:
- $\vec{d} = (3,3,3)$
- $\vec{a} = (2,2,0)$
- $\vec{b} = (2,0,2)$
- $\vec{c} = (0,2,2)$
שיטת המטריצות
צעד 1: הצגת המערכת כמערכת משוואות לינאריות
נפרק את המשוואה הווקטורית לשלוש משוואות סקלריות (אחת לכל רכיב):
רכיב x: $3 = 2\alpha + 2\beta + 0\gamma$ רכיב y: $3 = 2\alpha + 0\beta + 2\gamma$ רכיב z: $3 = 0\alpha + 2\beta + 2\gamma$
צעד 2: הצגה מטריצית
נכתוב את המערכת כמכפלת מטריצות:
\[\begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 \\[10pt] 2 & 0 & 2 \\[10pt] 0 & 2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha \\[10pt] \beta \\[10pt] \gamma \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\[10pt] 3 \\[10pt] 3 \end{pmatrix}\]זוהי צורה של $A\vec{x} = \vec{b}$, כאשר:
- $A$ היא המטריצה שעמודותיה הן הווקטורים $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$
- $\vec{x}$ הוא וקטור המקדמים שאנו מחפשים $(\alpha, \beta, \gamma)$
- $\vec{b}$ הוא הווקטור $\vec{d}$
צעד 3: פתרון באמצעות אלימינציית גאוס
נרשום את המטריצה המורחבת $[A|\vec{b}]$ ונבצע עליה אלימינציית גאוס:
\[\begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 & | & 3 \\[10pt] 2 & 0 & 2 & | & 3 \\[10pt] 0 & 2 & 2 & | & 3 \end{pmatrix}\]-
נחלק את השורה הראשונה ב-2:
\[\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & | & 1.5 \\[10pt] 2 & 0 & 2 & | & 3 \\[10pt] 0 & 2 & 2 & | & 3 \end{pmatrix}\] -
נחסיר פעמיים את השורה הראשונה מהשורה השנייה:
\[\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & | & 1.5 \\[10pt] 0 & -2 & 2 & | & 0 \\[10pt] 0 & 2 & 2 & | & 3 \end{pmatrix}\] -
נוסיף את השורה השנייה לשורה השלישית:
\[\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & | & 1.5 \\[10pt] 0 & -2 & 2 & | & 0 \\[10pt] 0 & 0 & 4 & | & 3 \end{pmatrix}\] -
נחלק את השורה השלישית ב-4:
\[\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & | & 1.5 \\[10pt] 0 & -2 & 2 & | & 0 \\[10pt] 0 & 0 & 1 & | & 0.75 \end{pmatrix}\]
צעד 4: פתרון בחזרה למעלה (Back-substitution)
מהשורה השלישית, אנו מקבלים: $\gamma = 0.75$
מהשורה השנייה:
\[\begin{aligned} -2\beta + 2\gamma = 0 \\[10pt] -2\beta + 2(0.75) = 0 \\[10pt] -2\beta + 1.5 = 0 \\[10pt] \beta = 0.75 \end{aligned}\]מהשורה הראשונה:
\[\begin{aligned} \alpha + \beta = 1.5 \\[10pt] \alpha + 0.75 = 1.5 \\[10pt] \alpha = 1.5 - 0.75 \\[10pt] \alpha = 0.75 \end{aligned}\]לכן, $\alpha = \beta = \gamma = 0.75 = \frac{3}{4}$
יש שיטות נוספות לפתרון, כמו מטריצה הפוכה.
שאלה 3: קואורדינטות גליליות
קואורדינטות גליליות מורכבות משלושה מרכיבים: $(ρ, θ, z)$, כאשר:
- $ρ$ הוא המרחק מציר ה-$z$ (ולא מהראשית)
- $θ$ היא הזווית במישור $x$-$y$, הנמדדת מציר ה-$x$ (נגד כיוון השעון)
- $z$ היא הקואורדינטה לאורך ציר ה-$z$
א. נוסחאות המעבר
המעבר מקואורדינטות קרטזיות לגליליות: $ρ = \sqrt{x^2 + y^2}$ (המרחק מציר ה-$z$) $θ = \tan^{-1}(y/x)$ (הזווית במישור $x$-$y$) $z$ נשאר זהה
המעבר מקואורדינטות גליליות לקרטזיות: $x = ρ \cos θ$ $y = ρ \sin θ$ $z$ נשאר זהה
ב. הקשר הפיתגוראי
המרחק של נקודה מהראשית בקואורדינטות קרטזיות הוא:
\[r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\]בקואורדינטות גליליות, הקשר הפיתגוראי הוא:
\[r^2 = ρ^2 + z^2 = x^2 + y^2 + z^2\]שאלה 4: יישומי וקטורים בגיאומטריה
בשאלה זו מובאות דוגמאות לשימושים של וקטורים לפתרון בעיות גיאומטריות:
- הוכחה שאלכסוני מקבילית חוצים זה את זה: במקבילית ABCD עם אלכסונים הנפגשים בנקודה P, ניתן לייצג את הוקטורים מהראשית:
- $\vec{P} = \frac{1}{2}(\vec{A} + \vec{C}) = \frac{1}{2}(\vec{B} + \vec{D})$
כלומר, P היא נקודת האמצע של שני האלכסונים, מה שמוכיח שהם חוצים זה את זה.
- הוכחת משפט על קו המחבר את נקודות האמצע של שתי צלעות במשולש: במשולש ABC, אם D היא נקודת האמצע של AB ו-E היא נקודת האמצע של AC, אז:
- $\vec{DE} = \vec{E} - \vec{D} = \frac{1}{2}\vec{C} - \frac{1}{2}\vec{B} = \frac{1}{2}(\vec{C} - \vec{B}) = \frac{1}{2}\vec{BC}$
מכאן, הקו DE מקביל לצלע BC ואורכו מחצית מאורך BC.