הסיכום עדיין לא מוכן - טיוטה בעבודה.
הקדמה: מערכות ייחוס מסתובבות ותופעות פיזיקליות
כאשר אנו חוקרים תנועה פיזיקלית, הבחירה במערכת הייחוס המתאימה היא קריטית להבנת התופעות ולפישוט החישובים. במערכות מסתובבות, כגון כדור הארץ או גלגל ענק, מופיעות תופעות פיזיקליות מעניינות הנובעות מהאופי הלא-אינרציאלי של מערכת הייחוס.
המושג היסודי שעליו נתבסס הוא שכאשר אנו נמצאים במערכת ייחוס מואצת (כולל מסתובבת), אנו חווים כוחות נוספים שאינם קיימים במערכת ייחוס אינרציאלית. כוחות אלה נקראים “כוחות מדומים” או “כוחות פיקטיביים”, ואף שהם אינם נובעים מאינטראקציה פיזיקלית ממשית, השפעתם על התנועה ועל התחושות שלנו היא ממשית לחלוטין.
תאוצה צנטריפטלית ותנועה מעגלית
היסודות התיאורטיים
כאשר גוף נע בתנועה מעגלית ברדיוס קבוע $R$, הוא חווה תאוצה הפונה כלפי מרכז המעגל. תאוצה זו נקראת תאוצה צנטריפטלית (רדיאלית), והיא נתונה על ידי:
\[a_r = \omega^2 R\]כאשר $\omega$ היא המהירות הזוויתית של התנועה המעגלית. חשוב להבין שהתאוצה הזו היא תוצאה הכרחית של השמירה על תנועה מעגלית - גם אם המהירות הטנגנציאלית קבועה, כיוון המהירות משתנה ללא הרף, ולכן קיימת תאוצה.
הקשר בין מהירות זוויתית לתאוצה צנטריפטלית
המהירות הזוויתית $\omega$ מוגדרת כשיעור השינוי של הזווית בזמן: $\omega = \frac{d\theta}{dt}$. כאשר הרדיוס קבוע, המהירות הטנגנציאלית היא $v = \omega R$, והתאוצה הצנטריפטלית יכולה להיכתב גם כ:
\[a_r = \frac{v^2}{R} = \omega^2 R\]הביטוי הזה מראה כיצד התאוצה תלויה הן במהירות הליניארית והן במהירות הזוויתית, תלוי באיזה פרמטרים נוחים לנו לעבוד בבעיה הספציפית.
כוחות מדומים במערכות מסתובבות
הכוח הצנטריפוגלי
כאשר אנו יושבים במערכת ייחוס המסתובבת עם הגוף, אנו חווים כוח הדוחף אותנו החוצה ממרכז הסיבוב. זהו הכוח הצנטריפוגלי, והוא נתון על ידי:
\[\vec{F}_{centrifugal} = m\omega^2 R \hat{r}\]כאשר $\hat{r}$ הוא וקטור יחידה הפונה החוצה ממרכז הסיבוב. חשוב להדגיש שכוח זה קיים רק במערכת הייחוס המסתובבת - צופה חיצוני יראה שהגוף נדרש לכוח צנטריפטלי כלפי פנים כדי לשמור על התנועה המעגלית.
עקרון שקילות הכוחות
במערכת הייחוס המסתובבת, הגוף נמצא בשיווי משקל (מנקודת מבטו), כלומר סכום הכוחות עליו הוא אפס. לכן:
\[\sum \vec{F}_{real} + \vec{F}_{centrifugal} = 0\]זהו עיקרון יסודי המאפשר לנו לנתח בעיות במערכת המסתובבת תוך התייחסות לכוח הצנטריפוגלי כאל כוח “אמיתי” הפועל על הגוף.
השפעת סיבוב כדור הארץ על המשקל
הניתוח התיאורטי
אחת ההשלכות המעניינות של סיבוב כדור הארץ היא השפעתה על המשקל הנמדד. כאשר אדם עומד על פני כדור הארץ בקו רוחב $\theta$, הוא מבצע תנועה מעגלית סביב ציר כדור הארץ ברדיוס $r = R_E \cos\theta$, כאשר $R_E$ הוא רדיוס כדור הארץ.
הכוחות הפועלים על האדם הם:
- כוח הכבידה: $mg$ כלפי מרכז כדור הארץ
- כוח הנורמל מהקרקע: $N$ כלפי מעלה
- כוח צנטריפוגלי (במערכת הייחוס הארצית): $m\omega^2 r$ כלפי חוץ
פירוק הכוחות במערכת צירים רדיאלית
נבחר מערכת צירים כך שהציר הרדיאלי פונה מהמרכז החוצה, והציר הטנגנציאלי מאונך לו. בכיוון הרדיאלי, תנאי השיווי משקל (במערכת הייחוס הארצית) הוא:
\[N - mg\cos\theta + m\omega^2 R_E \cos\theta = 0\]מכאן נוכל להסיק את כוח הנורמל:
\[N = mg\cos\theta - m\omega^2 R_E \cos\theta = m\cos\theta(g - \omega^2 R_E)\]
המשמעות הפיזיקלית של התוצאה
הביטוי שקיבלנו מראה שהמשקל הנמדד (שהוא הכוח הנורמל) קטן מהמשקל “האמיתי” $mg$ בגורם $\omega^2 R_E \cos\theta$. השפעה זו תלויה בקו הרוחב - היא מקסימלית בקו המשווה ($\theta = 0$) ומתאפסת בקטבים ($\theta = 90°$).
הירידה במשקל הנמדד היא:
\[\Delta mg = mg - N = m\omega^2 R_E \cos^2\theta\]עבור כדור הארץ, עם $\omega \approx 7.3 \times 10^{-5}$ רד/שנייה ו-$R_E \approx 6.4 \times 10^6$ מטר, השפעה זו מהווה כ-0.3% מהמשקל בקו המשווה.
מכניקה של חבלים ומתיחות
העקרונות הבסיסיים
בבעיות מכניקה הכוללות חבלים או כבלים, חשוב להבין שהחבל מעביר כוח (מתיחות) לאורכו. אם החבל חסר מסה או שמסתו זניחה, המתיחות זהה בכל נקודה לאורכו. עם זאת, כאשר לחבל יש מסה משמעותית, המתיחות משתנה לאורכו בהתאם לכוחות הפועלים על חלקים שונים שלו.
ניתוח מערכת חבל עם מסה
נדון במערכת שבה חבל במסה $M$ ואורך $L$ תלוי אנכית, כאשר חלק ממנו (באורך $x$) שקוע במים. הצפיפות של החבל היא $\rho$, והוא חווה כוח ציפה במים.
הכוחות הפועלים על המערכת הם:
- משקל החלק שמחוץ למים: $(L-x)\frac{M}{L}g$
- כוח ציפה על החלק שבמים: $x\frac{M}{L}g\frac{\rho_{water}}{\rho_{rope}}$
- מתיחות בחבל: $T$
- כוח חיכוך עם המים: $f = \mu \dot{x}$ (פרופורציונלי למהירות)
המשוואה הדיפרנציאלית של התנועה
יישום חוק ניוטון השני על המערכת נותן:
\[M\ddot{x} = (L-x)\frac{M}{L}g - x\frac{M}{L}g\frac{\rho_{water}}{\rho_{rope}} - \mu \dot{x}\]זוהי משוואה דיפרנציאלית מסדר שני הקושרת בין המיקום, המהירות והתאוצה של החבל. פתרון משוואה זו ייתן לנו את התנועה של החבל כפונקציה של הזמן.
בחירת מערכת צירים ופירוק כוחות
עקרונות הבחירה
בחירת מערכת צירים מתאימה היא מפתח לפתרון יעיל של בעיות מכניקה. העקרונות המנחים הם:
- הקלה על הפירוק: נבחר צירים כך שכמה שיותר כוחות יפעלו לאורך הצירים ולא באלכסון
- התאמה לכיוון התנועה: אם התנועה ידועה מראש, נעדיף צירים המתואמים לכיוון התנועה
- ניצול הסימטריות: במערכות עם סימטריות טבעיות, נבחר צירים המשקפים סימטריות אלו
דוגמה: גוף על מישור משופע
עבור גוף הנמצא על מישור משופע בזווית $\alpha$, הבחירה הטבעית היא:
- ציר אחד לאורך המישור (כיוון התנועה הפוטנציאלי)
- ציר שני מאונך למישור
בבחירה זו, כוח הכבידה מתפרק לרכיב אחד לאורך המישור ($mg\sin\alpha$) ורכיב אחד מאונך למישור ($mg\cos\alpha$), מה שמפשט משמעותית את הניתוח.
פירוק כוחות במערכות מורכבות
במערכות מורכבות יותר, כגון מערכת עם חבלים על גלגלות, יש לנתח כל חלק של המערכת בנפרד תוך הקפדה על התאמת הכוחות בנקודות החיבור. עקרון החוק השלישי של ניוטון מבטיח שכוחות הפעולה והתגובה בין חלקי המערכת יתבטלו בניתוח המערכת הכוללת.
יישומים מתקדמים וטכניקות פתרון
משוואות בעלות מספר דרגות חופש
במערכות מכניקות מורכבות, לעיתים יש מספר דרגות חופש (כמה פרמטרים עצמאיים המתארים את מצב המערכת). במקרה כזה, נדרשות כמה משוואות כמספר דרגות החופש. לדוגמה, במערכת עם שני גופים המחוברים בחבל, יש שתי דרגות חופש (מיקום של כל גוף), ולכן נדרשות שתי משוואות עצמאיות.
טכניקות פתרון מתקדמות
כאשר המערכת מורכבת מדי לפתרון אנליטי פשוט, ניתן להשתמש בטכניקות כמו:
- הנחות פשטות: זניחת כוחות קטנים או השימוש בקירובים לינאריים
- ניתוח איכותני: הבנת התנהגות המערכת מבלי לפתור במדויק
- שיטות נומריות: פתרון המשוואות באמצעות מחשב
חזור לתרגול 8
עבור לשיעור 9