הסיכום עדיין בכתיבה, עמכם הסליחה.
1 תזכורת: חוק שימור האנרגיה המכנית
בשיעור הקודם ראינו שהעבודה $W$ שמבצע כוח על גוף שווה לאינטגרל:
\[W = \int_{\vec{r}_1}^{\vec{r}_2} \vec{F} \cdot d\vec{r}\]מצד אחד, העבודה הזו שווה לשינוי באנרגיה הקינטית:
\[W = E_{K,\text{final}} - E_{K,\text{initial}}\]מצד שני, עבור כוח משמר, העבודה שווה להפרש באנרגיה הפוטנציאלית:
\[W = U_{\text{initial}} - U_{\text{final}}\]כאשר \(E_{K,\text{final}}\) היא האנרגיה הקינטית בנקודה \(\vec{r}_2\), ו-\(U_{\text{initial}}\) היא האנרגיה הפוטנציאלית בנקודה \(\vec{r}_1\).
מכאן קיבלנו את חוק שימור האנרגיה המכנית:
\[E_{K,\text{initial}} + U_{\text{initial}} = E_{K,\text{final}} + U_{\text{final}}\]או בקיצור: $E_{\text{initial}} = E_{\text{final}}$.
סוגי התנגשויות
דיברנו על שני סוגים של התנגשויות בין גופים:
- התנגשות אלסטית: משמרת גם תנע וגם אנרגיה מכנית
- התנגשות פלסטית: משמרת תנע בלבד, לא משמרת אנרגיה מכנית (שני הגופים נצמדים)
ביטויים לאנרגיה במקרים שונים
עבור כוח קבוע כמו $mg$, האנרגיה הפוטנציאלית בגובה $h$ היא:
\[U = mgh\]האנרגיה הקינטית תמיד נתונה על ידי:
\[E_K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{p^2}{2m}\]עבור כוח מחזיר (כמו קפיץ) בממד אחד:
\[U = \frac{1}{2}kx^2\]2 יישום: תנועת מטוטלת
נסתכל על מטוטלת התלויה מהתקרה. אורך החוט הוא $L$, ואני לוקח את המטוטלת ומסיט אותה בזווית $\theta_0$ ומשחרר.
שאלה: מהי המהירות של המטוטלת בנקודה הנמוכה ביותר?
נבחר את הנקודה הנמוכה ביותר להיות $h = 0$. הנקודה העליונה נמצאת בגובה $h = L$.
אבל מהו הגובה כאשר המטוטלת בזווית $\theta_0$? הגובה הוא כל ה-$L$ פחות החלק האנכי שהוא $L\cos\theta_0$:
\[h = L - L\cos\theta_0 = L(1 - \cos\theta_0)\]
כעת נשתמש בחוק שימור האנרגיה:
בנקודה ההתחלתית (בזווית $\theta_0$):
- אנרגיה קינטית: 0 (משחררים ממנוחה)
- אנרגיה פוטנציאלית: $mgL(1 - \cos\theta_0)$
בנקודה הנמוכה:
- אנרגיה קינטית: $\frac{1}{2}mv^2$
- אנרגיה פוטנציאלית: 0
משימור אנרגיה:
\[0 + mgL(1 - \cos\theta_0) = \frac{1}{2}mv^2 + 0\]נצמצם את $m$ ונקבל:
\[v = \sqrt{2gL(1 - \cos\theta_0)}\]שימו לב: אם $\theta_0 = \frac{\pi}{2}$ (משחררים מגובה אופקי), אז $\cos(\pi/2) = 0$ ונקבל:
\[v = \sqrt{2gL}\]זה בדיוק כמו נפילה חופשית מגובה $L$!
הקואורדינטה המוכללת של המטוטלת
בתנועת המטוטלת, הקואורדינטה הרלוונטית היא הזווית $\theta$. הדרך שעוברת המטוטלת היא אורך הקשת:
\[s = L\theta\]לכן המהירות היא:
\[v = L\dot{\theta}\]כאשר $\dot{\theta} = \frac{d\theta}{dt}$ היא המהירות הזוויתית.
האנרגיה הכוללת של המטוטלת:
\[\begin{aligned} E &= \frac{1}{2}m(L\dot{\theta})^2 + mgL(1 - \cos\theta) \\[10pt] &= \frac{1}{2}mL^2\dot{\theta}^2 + mgL(1 - \cos\theta) \end{aligned}\]$\theta$ היא הקואורדינטה המוכללת - דרגת החופש הדינמית בבעיה. האנרגיה המכנית היא קבוע של התנועה.
מציאת משוואת התנועה משימור אנרגיה
אם האנרגיה קבועה בזמן, אז $\frac{dE}{dt} = 0$. נגזור:
\[\frac{dE}{dt} = mL^2 \cdot 2\dot{\theta} \cdot \ddot{\theta} + mgL\sin\theta \cdot \dot{\theta} = 0\]בהנחה ש-$\dot{\theta} \neq 0$ (למעט בנקודות הקצה), נוכל לצמצם ונקבל:
\[\ddot{\theta} = -\frac{g}{L}\sin\theta\]זאת בדיוק משוואת התנועה של המטוטלת שמתקבלת מהחוק השני של ניוטון!
הערה חשובה: כוח המתיחות בחוט לא נכנס לחשבון האנרגיות כי הוא תמיד ניצב לכיוון התנועה (במסלול מעגלי) ולכן לא מבצע עבודה.
3 המטוטלת הבליסטית
המטוטלת הבליסטית היא גוף מסיבי (נניח עשוי מעץ) בעל מסה $M$, תלוי על חוטים באורך $L$. יורים לתוכו קליע במסה $m$ ומהירות $v$.
נבחן שני מקרים:
מקרה א’: הקליע נתקע בתוך הגוש
זאת התנגשות פלסטית - אובדת אנרגיה מכנית אבל התנע נשמר.
שלב 1 - ההתנגשות:
משימור תנע (בכיוון אופקי):
\[mv = (m + M)V\]כאשר $V$ היא המהירות המשותפת מיד אחרי ההתנגשות:
\[V = \frac{m}{m + M}v\]שימו לב שהמהירות הרבה יותר איטית כי $M$ גדול.
שלב 2 - העלייה:
מרגע שהקליע נתקע, המערכת המשולבת עולה למעלה. כעת האנרגיה המכנית כן נשמרת:
\[\frac{1}{2}(m + M)V^2 = (m + M)gh\]מכאן הגובה המקסימלי:
\[h = \frac{V^2}{2g} = \frac{m^2v^2}{2g(m + M)^2}\]
מקרה ב’: הקליע עובר דרך הגוש
נניח שהקליע נכנס במהירות $v$ ויוצא במהירות $v_2$. זאת התנגשות שאינה אלסטית ואינה פלסטית - מצב ביניים.
משימור תנע:
\[mv = MV + mv_2\]מהירות הגוש:
\[V = \frac{m(v - v_2)}{M}\]חשוב: אנחנו לא יכולים להשתמש כאן בנוסחת ההתנגשות האלסטית $v_2 - v_1 = -(u_2 - u_1)$ כי האנרגיה המכנית לא נשמרת!
לאחר ההתנגשות, הגוש עולה לגובה שניתן לחשב משימור אנרגיה:
\[\frac{1}{2}MV^2 = Mgh\]4 חוק הכבידה האוניברסלי
ניוטון גילה שכל המסות ביקום - בין אם זה שני זבובים, שני כיסאות, או השמש וכדור הארץ - מושכות זו את זו בכוח שגודלו:
\[F = G\frac{m_1m_2}{r^2}\]כאשר $G = 6.67 \times 10^{-11} \, \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ הוא קבוע הכבידה האוניברסלי.
בצורה וקטורית:
\[\vec{F} = -G\frac{m_1m_2}{r^3}\vec{r}\]הסימן השלילי מציין שזה כוח משיכה - הכוח מכוון לעבר המסה השנייה.
דוגמה: כוח המשיכה בין השמש לכדור הארץ
המרחק בין כדור הארץ לשמש הוא 150 מיליון ק”מ. מסת השמש גדולה פי 333,000 ממסת כדור הארץ.
הכוח שהשמש מפעילה על כדור הארץ:
\[\vec{F}_{\text{sun}\to\text{earth}} = -G\frac{M_{\odot}M_{\oplus}}{r^2}\hat{r}\]מהחוק השלישי של ניוטון:
\[\vec{F}_{\text{earth}\to\text{sun}} = -\vec{F}_{\text{sun}\to\text{earth}} = G\frac{M_{\odot}M_{\oplus}}{r^2}\hat{r}\]כן, כדור הארץ מושך את השמש באותו הכוח! ההבדל הוא שהתאוצה של כדור הארץ גדולה בהרבה כי המסה שלו קטנה בהרבה.
תאוצת הכבידה ליד כדור הארץ
הכוח על גוף במסה $m$ על פני כדור הארץ:
\[F = G\frac{M_{\oplus}m}{R_{\oplus}^2} = mg\]מכאן:
\[g = \frac{GM_{\oplus}}{R_{\oplus}^2}\]עם הערכים: $M_{\oplus} = 6 \times 10^{24}$ ק”ג, $R_{\oplus} = 6.37 \times 10^6$ מ’, נקבל:
\[g = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24}}{(6.37 \times 10^6)^2} \approx 10 \, \text{m/s}^2\]כוח המשיכה בין תלמידים
שאלה: באיזה כוח מושכים זה את זה שני תלמידים שיושבים במרחק מטר זה מזה?
נניח תלמיד במסה 80 ק”ג ותלמידה במסה 60 ק”ג:
\[F = G\frac{m_1m_2}{r^2} = 6.67 \times 10^{-11} \times \frac{80 \times 60}{1^2}\] \[F \approx 350 \times 10^{-9} \, \text{N} \approx 3.5 \times 10^{-7} \, \text{N}\]זה כוח זעיר - כמיליארדית ניוטון! לשם השוואה, המשקל של כל תלמיד הוא כ-800 ניוטון.
השתנות g עם הגובה
$g$ אינו באמת קבוע - הוא תלוי במרחק ממרכז כדור הארץ:
\[g(r) = \frac{GM_{\oplus}}{r^2}\]בגובה של 400 ק”מ (שם נמצאת תחנת החלל הבינלאומית):
\[r = 6370 + 400 = 6770 \, \text{km}\] \[g_{400} = \frac{GM_{\oplus}}{(6.77 \times 10^6)^2} \approx 8.7 \, \text{m/s}^2\]כלומר, בתחנת החלל g קטן בכ-13% לעומת פני הים.
סיכום
ראינו כיצד חוק שימור האנרגיה המכנית מאפשר לנו לפתור בעיות מורכבות בקלות יחסית. השתמשנו בו לניתוח תנועת מטוטלת ומטוטלת בליסטית. הצגנו את חוק הכבידה האוניברסלי וראינו שהוא מסביר את התאוצה $g$ המוכרת לנו, שאינה אלא מקרה פרטי של החוק הכללי. בשיעור הבא נדון במה שקורה כאשר יש כוחות לא משמרים ואיך האנרגיה “האבודה” הופכת לחום.
דור פסקל