חזרה: חוקי שימור אנרגיה
בשיעור הקודם למדנו על אחד העקרונות החשובים בפיזיקה - חוק שימור האנרגיה המכנית. כדי להבין אותו נתחיל מהמושג הבסיסי של עבודה.
הגדרת העבודה
העבודה $W$ שמבצע כוח $\vec{F}$ על גוף הנע לאורך מסלול מנקודה $\vec{r}_1$ לנקודה $\vec{r}_2$ מוגדרת כאינטגרל המסלולי:
\[W = \int_{\vec{r}_1}^{\vec{r}_2} \vec{F} \cdot d\vec{r}\]שימו לב שהעבודה היא גודל סקלרי (מספר) - היא מחושבת ממכפלה סקלרית של וקטורים. היחידות שלה הן יחידות של אנרגיה - ג’אול (Joule).
הקשר בין עבודה לאנרגיה
התגלית המרכזית היא שניתן לבטא את גודל העבודה בשתי דרכים שונות:
1. מצד האנרגיה הקינטית:
\[W = E_{kf} - E_{ki} = \Delta E_K\]כאשר האנרגיה הקינטית מוגדרת תמיד כ:
\[E_K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{p^2}{2m}\]2. מצד האנרגיה הפוטנציאלית (עבור כוחות משמרים בלבד):
\[W = \phi_{i} - \phi_{f} = -\Delta \phi\]שימו לב לסימן המינוס: כאשר האנרגיה הפוטנציאלית יורדת, העבודה חיובית.
כוחות משמרים
מהו כוח משמר?
כוח משמר הוא כוח בעל תכונה מיוחדת: העבודה שהוא מבצע תלויה רק בנקודות ההתחלה והסיום, ולא במסלול ביניהן. מתמטית, כוח משמר $\vec{F}$ ניתן לכתיבה כ:
\[\vec{F}_{\text{conservative}} = -\nabla \phi\]כלומר, הכוח הוא מינוס הגרדיאנט של פונקציית הפוטנציאל $\phi$.
התכונה המגדירה של כוח משמר
עבור כוח משמר, העבודה על מסלול סגור (כאשר נקודת ההתחלה והסיום זהות) היא תמיד אפס:
\[\oint \vec{F} \cdot d\vec{r} = 0\]דוגמה מעניינת: כאשר הירח מקיף את כדור הארץ במסלול סגור, כוח הכבידה (שהוא כוח משמר) מבצע עבודה כוללת של אפס - למרות שהכוח פועל כל הזמן!
חוק שימור האנרגיה המכנית
כעת, אם נשווה את שני הביטויים לעבודה:
- $W = E_{kf} - E_{ki}$
- $W = \phi_{i} - \phi_{f}$
נקבל:
\[E_{kf} - E_{ki} = \phi_{i} - \phi_{f}\]או לאחר סידור מחדש:
\[\boxed{E_{ki} + \phi_{i} = E_{kf} + \phi_{f}}\]זהו חוק שימור האנרגיה המכנית: סכום האנרגיה הקינטית והפוטנציאלית נשאר קבוע לאורך התנועה (כאשר פועלים רק כוחות משמרים).
כאשר פועלים גם כוחות שאינם משמרים (כמו חיכוך), נוסיף את העבודה של כוחות אלה:
\[\boxed{W_{\text{NC}} = E_{f} - E_{i}}\]כאשר $W_{\text{NC}}$ היא העבודה של כוחות לא משמרים (None Conservative), $E_f$ ו-$E_i$ הן האנרגיה המכנית הכוללת בסוף ובתחילת התנועה (כוללת גם אנרגיה קינטית וגם פוטנציאלית).
דוגמאות לאנרגיה פוטנציאלית
1. כוח כובד קבוע (ליד פני כדור הארץ)
עבור גוף בגובה $h$ מעל נקודת ייחוס:
\[\phi_{\text{gravity}} = mgh\]2. כוח אלסטי (קפיץ אידיאלי)
עבור קפיץ עם קבוע קפיץ $k$ והעתקה $x$ ממצב שיווי משקל:
\[\phi_{\text{elastic}} = \frac{1}{2}kx^2\]סוגי התנגשויות
כששני גופים מתנגשים, אנו מבחינים בין שני סוגים עיקריים:
1. התנגשות אלסטית
- נשמר התנע: \(\vec{p}_{i} = \vec{p}_{f}\)
- נשמרת האנרגיה המכנית: $E_{i} = E_{f}$
- הגופים “קופצים” זה מזה לאחר ההתנגשות
2. התנגשות פלסטית (לא-אלסטית לחלוטין)
- נשמר התנע: \(\vec{p}_{i} = \vec{p}_{f}\)
- האנרגיה המכנית אינה נשמרת (חלק ממנה הופך לחום, עיוות, וכו’)
- במקרה הקיצוני, הגופים נצמדים זה לזה לאחר ההתנגשות
דוגמה טריוויאלית: נפילה חופשית
נניח שגוף נופל מגובה $h_1$ לגובה $h_2$ (כאשר $h_1 > h_2$). נוכל להשתמש בחוק שימור האנרגיה:
\[\underbrace{mgh_1}_{\phi_1} + \underbrace{\frac{1}{2}mv_1^2}_{E_{K,1}} = \underbrace{mgh_2}_{\phi_2} + \underbrace{\frac{1}{2}mv_2^2}_{E_{K,2}}\]היופי בשיטה זו הוא שאיננו צריכים לדעת כלום על המסלול או על הזמן - רק את המצב ההתחלתי והסופי! זה הופך בעיות מורכבות לפשוטות הרבה יותר.
לדוגמה, אם הגוף מתחיל ממנוחה ($v_1 = 0$) בגובה $h_1$, נוכל למצוא את מהירותו בגובה $h_2$:
\[mgh_1 = mgh_2 + \frac{1}{2}mv_2^2\]ולאחר פישוט:
\[v_2 = \sqrt{2g(h_1 - h_2)}\]שימו לב כיצד המסה $m$ מצטמצמת - כל הגופים נופלים באותו קצב בשדה כבידה אחיד!
2 יישום: חשבון אנרגיות בתנועת מטוטלת
נסתכל על מטוטלת פשוטה: מסה נקודתית $m$ התלויה על חוט חסר מסה באורך $L$. מסיטים את המטוטלת בזווית $\theta_0$ ביחס לאנך ומשחררים ממנוחה.
שאלה: מהי מהירות המטוטלת בנקודה הנמוכה ביותר של מסלולה?
נבחר את מישור הייחוס לאנרגיה פוטנציאלית ($\phi_g=0$) בנקודה הנמוכה ביותר ($h=0$).
הגובה ההתחלתי של המטוטלת, כאשר היא בזווית $\theta_0$, הוא:
\[h_0 = L - L\cos\theta_0 = L(1 - \cos\theta_0)\]
כעת נשתמש בחוק שימור האנרגיה המכנית:
\[E_{i} = E_{f}\]בנקודה ההתחלתית (בזווית $\theta_0$):
- אנרגיה קינטית: $E_{ki} = 0$ (שוחרר ממנוחה)
- אנרגיה פוטנציאלית: $\phi_i = mgh_0 = mgL(1 - \cos\theta_0)$
בנקודה הנמוכה ביותר:
- אנרגיה קינטית: $E_{kf} = \frac{1}{2}mv^2$
- אנרגיה פוטנציאלית: $\phi_f = 0$ (לפי בחירתנו)
משימור אנרגיה:
\[0 + mgL(1 - \cos\theta_0) = \frac{1}{2}mv^2 + 0\]נצמצם את $m$ ונפתור עבור $v$:
\[\boxed{v = \sqrt{2gL(1 - \cos\theta_0)}}\]שימו לב: אם $\theta_0 = 90^\circ = \frac{\pi}{2}$ (שחרור ממצב אופקי), אז $\cos(\pi/2) = 0$ ונקבל:
\[v = \sqrt{2gL}\]זו בדיוק המהירות של גוף בנפילה חופשית מגובה $L$!
הקואורדינטה המוכללת של המטוטלת
נוכל להגדיר קבוע של התנועה $E$ עבור המטוטלת:
\[E = \frac{1}{2}mv^2 + mgh\]כאשר $v$ היא המהירות הרגעית, ו-$h$ הוא הגובה מעל מישור הייחוס.
תזכורת: קואורדינטות במטוטלת
הקואורדינטה הנוחה היא הזווית $\theta$. נוכל להגדיר את ״קואורדינטת״ הדרך של המטוטלת $X$ באופן הבא:
\[X = L\theta\]ובהתאם להגדרת המיקום שבחרנו, המהירות (השינוי של הדרך לפי הזמן) יהיה:
\[v = L\dot{\theta}\](נגזרת של $X$ לפי הזמן, בשים לב לכך ש-$L$ הוא קבוע).
אז האנרגיה הכוללת של המטוטלת כפונקציה של $\theta$ ו-$\dot{\theta}$:
\[\begin{aligned} E &= E_K + \phi_g \\ &= \frac{1}{2}mv^2 + mgh \\ &= \frac{1}{2}m(L\dot{\theta})^2 + mgL(1 - \cos\theta) \end{aligned}\]$\theta$ היא הקואורדינטה המוכללת - דרגת החופש הדינמית היחידה בבעיה. האנרגיה המכנית הכוללת $E$ היא קבוע של התנועה.
מציאת משוואת התנועה משימור אנרגיה
אם האנרגיה המכני במקרה הזה היא קבוע של התנועה (קבועה בזמן), הנגזרת שלה לפי הזמן היא אפס: $\frac{dE}{dt} = 0$. נגזור את הביטוי לאנרגיה:
\[\frac{dE}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{2}mL^2\dot{\theta}^2 + mgL(1 - \cos\theta) \right) = 0\] \[\frac{1}{2}mL^2 \cdot (2\dot{\theta} \cdot \ddot{\theta}) + mgL(0 - (-\sin\theta \cdot \dot{\theta})) = 0\] \[mL^2\dot{\theta}\ddot{\theta} + mgL\left(\sin\theta\right)\dot{\theta} = 0\]נוציא גורם משותף $mL\dot{\theta}$:
\[mL\dot{\theta}(L\ddot{\theta} + g\sin\theta) = 0\]בהנחה שהמטוטלת בתנועה ($\dot{\theta} \neq 0$, למעט בנקודות הקצה), נוכל לחלק ולקבל:
\[\boxed{\ddot{\theta} = - \frac{g}{L}\sin\theta}\]זוהי בדיוק משוואת התנועה של המטוטלת שמתקבלת גם לפי החוק השני של ניוטון.
הערה: במצבים בהם האנרגיה המכנית נשמרת, הנגזרת לפי הזמן של האנרגיה המכנית מנפקת את משוואת התנועה המתקבלת מהחוק השני של ניוטון.
3 המטוטלת הבליסטית
המטוטלת הבליסטית היא מכשיר למדידת מהירות של קליעים. היא מורכבת מגוף מסיבי (למשל, בול עץ) במסה $M$, תלוי על חוטים באורך $L$. יורים לתוכו קליע במסה $m$ ובמהירות אופקית $v$.
התהליך מורכב משני שלבים נפרדים:
- ההתנגשות: התנגשות פלסטית מהירה מאוד.
- התנודה: תנועת המטוטלת (עם הקליע בתוכה) כלפי מעלה.
מקרה א’: הקליע נתקע בתוך המטוטלת
זאת התנגשות פלסטית - אין שימור אנרגיה מכנית (חלק מהאנרגיה מומר לחום, עיוות וכו’), אבל כן יש שימור תנע - בציר $\hat{x}$:
שלב 1 - ההתנגשות (שימור תנע): במהלך ההתנגשות הקצרה, התנע האופקי של המערכת (קליע + גוש) נשמר (בעת הפגיעה ציר $y$ לא רלוונטי - רק לאחר הפגיעה מתחילה תנועה מעלה). האנרגיה המכנית כאמור אינה נשמרת.
\[p_{\text{before}} = p_{\text{after}}\] \[mv = (m + M)V\]כאשר $V$ היא המהירות המשותפת של הגוש והקליע מיד לאחר ההתנגשות (יותר קטנה):
\[\boxed{V = \frac{m}{m + M}v}\]שלב 2 - העלייה (שימור אנרגיה): מרגע שהקליע נתקע, המערכת המשולבת (מסה $m+M$) מתחילה לנוע כמטוטלת. בשלב זה, האנרגיה המכנית כן נשמרת (בנפנופי ידיים, זה מורכב יותר במציאות - למשל בגלל כוח המתיחות).
\[E_{i} = E_{f}\] \[\frac{1}{2}(m + M)V^2 = (m + M)gh\]מכאן ניתן למצוא את הגובה המקסימלי $h$ שאליו המערכת מגיעה:
\[h = \frac{V^2}{2g} = \frac{1}{2g} \left( \frac{m}{m+M}v \right)^2 = \frac{m^2v^2}{2g(m + M)^2} \, \mathrm{ [meters]}\]ניתן לוודא לפי יחידות.
מקרה ב’: הקליע עובר דרך המטוטלת
נניח שהקליע נכנס במהירות $v_1$ ויוצא מהצד השני במהירות $v_2$. הבול קיבל אנרגיה אבל מתרומם בלי הקליע. זאת התנגשות שהיא לא פלסטית ולא אלסטית.
שלב 1 - ההתנגשות (שימור תנע): התנע עדיין נשמר:
\[mv_1 = MV + mv_2\]כאשר $V$ היא מהירות בול העץ מיד לאחר שהקליע יצא ממנו.
\[\boxed{V = \frac{m(v_1 - v_2)}{M}}\]חשוב: אנחנו לא יכולים להניח שימור אנרגיה מכנית במהלך ההתנגשות עצמה.
כלומר, אנרגיה מכנית לא נשמרת:
\[v_2 - v_1 \ne V_1 - V_2\]
שלב 2 - העלייה (שימור אנרגיה): לאחר ההתנגשות, מסה $M$ עולה לגובה $h$ תוך שימור אנרגיה:
\[\begin{aligned} E_{i} &= E_{f} \\ \frac{1}{2}MV^2 + \cancel{mg 0} &= \cancel{\frac{1}{2}M 0^2} + Mgh \end{aligned}\] \[\frac{1}{2}M(V)^2 = Mgh \implies \boxed{h = \frac{(V)^2}{2g}}\]הערה: ניתן גם לחשב את המתקף שפעל על הגוף
\[J = \int F dt = \Delta p = MV - M0\]בגלל שהמתקף שהקליע הפעיל שווה למתקף שהבול הפעיל על הקליע, ניתן לחשב את המתקף גם לפי הקליע:
\[= mv_2 - mv_1\]הערה נוספת - לא בטוח שהבנתי את היישום של זה בשלב הזה.
4 חוק הכבידה של ניוטון - משיכה בין מסות
ניוטון גילה שכל שתי מסות ביקום מושכות זו את זו. גודל כוח המשיכה ההדדי הוא:
\[\boxed{F_g = G\frac{m_1m_2}{r^2}}\]כאשר $G \approx 6.674 \times 10^{-11} \, \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ הוא קבוע הכבידה האוניברסלי, ו-$r$ הוא המרחק בין מרכזי המסות.
בצורה וקטורית, הכוח שמפעילה מסה $m_1$ על מסה $m_2$ הוא:
\[\vec{F}_{1 \to 2} = -G\frac{m_1m_2}{r^2}\hat{r}_{12}\]כאשר $\hat{r}_{12}$ הוא וקטור יחידה המצביע מ-$m_1$ אל $m_2$. הסימן השלילי מציין שזהו כוח משיכה.
דוגמה: כוח המשיכה בין השמש לכדור הארץ
הכוח שהשמש ($M_{\odot}$) מפעילה על כדור הארץ ($M_{\oplus}$):
\[\vec{F}_{\text{sun}\to\text{earth}} = -G\frac{M_{\odot}M_{\oplus}}{r^2}\hat{r}\]מהחוק השלישי של ניוטון, הכוח שכדור הארץ מפעיל על השמש שווה בגודלו והפוך בכיוונו:
\[\vec{F}_{\text{earth}\to\text{sun}} = -\vec{F}_{\text{sun}\to\text{earth}} = +G\frac{M_{\odot}M_{\oplus}}{r^2}\hat{r}\]כן, כדור הארץ מושך את השמש באותו כוח! ההבדל הדרמטי הוא בתאוצה: $a = F/m$. מכיוון שמסת השמש גדולה פי כ-333,000 ממסת כדור הארץ, תאוצתה זניחה בהשוואה לתאוצת כדור הארץ.
תאוצת הכבידה על פני כדור הארץ
הכוח על גוף במסה $m$ על פני כדור הארץ (ברדיוס $R_{\oplus}$) הוא מה שאנחנו מכנים “משקל”:
\[F_g = G\frac{M_{\oplus}m}{R_{\oplus}^2}\]לפי החוק השני של ניוטון, $F_g = mg$. נשווה ונקבל:
\[mg = G\frac{M_{\oplus}m}{R_{\oplus}^2} \implies g = \frac{GM_{\oplus}}{R_{\oplus}^2}\]עם הערכים: $M_{\oplus} \approx 5.97 \times 10^{24}$ ק”ג, $R_{\oplus} \approx 6.37 \times 10^6$ מ’, נקבל:
\[g = \frac{(6.674 \times 10^{-11}) \cdot (5.97 \times 10^{24})}{(6.37 \times 10^6)^2} \approx 9.8 \, \text{m/s}^2\]\[F_g = G\frac{m_1m_2}{r^2} = (6.674 \times 10^{-11}) \cdot \frac{80 \cdot 60}{1^2}\] \[F_g \approx 3.2 \times 10^{-7} \, \text{N}\]כוח המשיכה בין תלמידים
שאלה: באיזה כוח מושכים זה את זה שני תלמידים, שמסתם 80 ק”ג ו-60 ק”ג, היושבים במרחק מטר זה מזה?
זה כוח זעיר ביותר, שקול למשקל של כ-30 מיקרוגרם! לשם השוואה, משקלו של כל תלמיד הוא מאות ניוטונים.
השתנות g עם הגובה
$g$ אינו קבוע, אלא תלוי במרחק $r$ ממרכז כדור הארץ:
\[g(r) = \frac{GM_{\oplus}}{r^2}\]בגובה של 400 ק”מ (מסלול תחנת החלל הבינלאומית):
\[r = R_{\oplus} + h = 6370 \, \text{km} + 400 \, \text{km} = 6770 \, \text{km}\] \[g_{400} = \frac{GM_{\oplus}}{(6.77 \times 10^6)^2} \approx 8.7 \, \text{m/s}^2\]כלומר, בתחנת החלל, תאוצת הכבידה היא כ-89% מערכה על פני הים. “חוסר המשקל” שאסטרונאוטים חווים נובע מהנפילה החופשית המתמדת שלהם סביב כדור הארץ, לא מהיעדר כבידה.
דור פסקל