חזרה: חוק שימור האנרגיה המכנית

בשיעור הקודם למדנו על אחד העקרונות החשובים בפיזיקה - חוק שימור האנרגיה המכנית. כדי להבין אותו נתחיל מהמושג הבסיסי של עבודה.

הגדרת העבודה

העבודה $W$ שמבצע כוח $\vec{F}$ על גוף הנע לאורך מסלול מנקודה $\vec{r}_1$ לנקודה $\vec{r}_2$ מוגדרת כאינטגרל המסלולי:

\[W = \int_{\vec{r}_1}^{\vec{r}_2} \vec{F} \cdot d\vec{r}\]

שימו לב שהעבודה היא גודל סקלרי (מספר) - היא מחושבת ממכפלה סקלרית של וקטורים. היחידות שלה הן יחידות של אנרגיה - ג’אול (Joule).

הקשר בין עבודה לאנרגיה

התגלית המרכזית היא שניתן לבטא את גודל העבודה בשתי דרכים שונות:

1. מצד האנרגיה הקינטית:

\[W = E_{kf} - E_{ki} = \Delta E_K\]

כאשר האנרגיה הקינטית מוגדרת תמיד כ:

\[E_K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{p^2}{2m}\]

2. מצד האנרגיה הפוטנציאלית (עבור כוחות משמרים בלבד):

\[W = \phi_{i} - \phi_{f} = -\Delta \phi\]

שימו לב לסימן המינוס: כאשר האנרגיה הפוטנציאלית יורדת, העבודה חיובית.

כוחות משמרים

מהו כוח משמר?

כוח משמר הוא כוח בעל תכונה מיוחדת: העבודה שהוא מבצע תלויה רק בנקודות ההתחלה והסיום, ולא במסלול ביניהן. מתמטית, כוח משמר $\vec{F}$ ניתן לכתיבה כ:

\[\vec{F}_{\text{conservative}} = -\nabla \phi\]

כלומר, הכוח הוא מינוס הגרדיאנט של פונקציית הפוטנציאל $\phi$.

התכונה המגדירה של כוח משמר

עבור כוח משמר, העבודה על מסלול סגור (כאשר נקודת ההתחלה והסיום זהות) היא תמיד אפס:

\[\oint \vec{F} \cdot d\vec{r} = 0\]

דוגמה מעניינת: כאשר הירח מקיף את כדור הארץ במסלול סגור, כוח הכבידה (שהוא כוח משמר) מבצע עבודה כוללת של אפס - למרות שהכוח פועל כל הזמן!

חוק שימור האנרגיה המכנית

כעת, אם נשווה את שני הביטויים לעבודה:

  • $W = E_{kf} - E_{ki}$
  • $W = \phi_{i} - \phi_{f}$

נקבל:

\[E_{kf} - E_{ki} = \phi_{i} - \phi_{f}\]

או לאחר סידור מחדש:

\[\boxed{E_{ki} + \phi_{i} = E_{kf} + \phi_{f}}\]

זהו חוק שימור האנרגיה המכנית: סכום האנרגיה הקינטית והפוטנציאלית נשאר קבוע לאורך התנועה (כאשר פועלים רק כוחות משמרים).

כאשר פועלים גם כוחות שאינם משמרים (כמו חיכוך), נוסיף את העבודה של כוחות אלה:

\[\boxed{W_{\text{NC}} = E_{f} - E_{i}}\]

כאשר $W_{\text{NC}}$ היא העבודה של כוחות לא משמרים (None Conservative), $E_f$ ו-$E_i$ הן האנרגיה המכנית הכוללת בסוף ובתחילת התנועה (כוללת גם אנרגיה קינטית וגם פוטנציאלית).

דוגמאות לאנרגיה פוטנציאלית

1. כוח כובד קבוע (ליד פני כדור הארץ)

עבור גוף בגובה $h$ מעל נקודת ייחוס:

\[\phi_{\text{gravity}} = mgh\]

2. כוח אלסטי (קפיץ אידיאלי)

עבור קפיץ עם קבוע קפיץ $k$ והעתקה $x$ ממצב שיווי משקל:

\[\phi_{\text{elastic}} = \frac{1}{2}kx^2\]

סוגי התנגשויות

כששני גופים מתנגשים, אנו מבחינים בין שני סוגים עיקריים:

1. התנגשות אלסטית

  • נשמר התנע: \(\vec{p}_{i} = \vec{p}_{f}\)
  • נשמרת האנרגיה המכנית: $E_{i} = E_{f}$
  • הגופים “קופצים” זה מזה לאחר ההתנגשות

2. התנגשות פלסטית (לא-אלסטית לחלוטין)

  • נשמר התנע: \(\vec{p}_{i} = \vec{p}_{f}\)
  • האנרגיה המכנית אינה נשמרת (חלק ממנה הופך לחום, עיוות, וכו’)
  • במקרה הקיצוני, הגופים נצמדים זה לזה לאחר ההתנגשות

דוגמה טריוויאלית: נפילה חופשית

נניח שגוף נופל מגובה $h_1$ לגובה $h_2$ (כאשר $h_1 > h_2$). נוכל להשתמש בחוק שימור האנרגיה:

\[\underbrace{mgh_1}_{\phi_1} + \underbrace{\frac{1}{2}mv_1^2}_{E_{K,1}} = \underbrace{mgh_2}_{\phi_2} + \underbrace{\frac{1}{2}mv_2^2}_{E_{K,2}}\]

היופי בשיטה זו הוא שאיננו צריכים לדעת כלום על המסלול או על הזמן - רק את המצב ההתחלתי והסופי! זה הופך בעיות מורכבות לפשוטות הרבה יותר.

לדוגמה, אם הגוף מתחיל ממנוחה ($v_1 = 0$) בגובה $h_1$, נוכל למצוא את מהירותו בגובה $h_2$:

\[mgh_1 = mgh_2 + \frac{1}{2}mv_2^2\]

ולאחר פישוט:

\[v_2 = \sqrt{2g(h_1 - h_2)}\]

שימו לב כיצד המסה $m$ מצטמצמת - כל הגופים נופלים באותו קצב בשדה כבידה אחיד!

2 יישום: תנועת מטוטלת

נסתכל על מטוטלת פשוטה: מסה נקודתית $m$ התלויה על חוט חסר מסה באורך $L$. מסיטים את המטוטלת בזווית $\theta_0$ ביחס לאנך ומשחררים ממנוחה.

שאלה: מהי מהירות המטוטלת בנקודה הנמוכה ביותר של מסלולה?

Image

נבחר את מישור הייחוס לאנרגיה פוטנציאלית ($\phi_g=0$) בנקודה הנמוכה ביותר ($h=0$).

הגובה ההתחלתי של המטוטלת, כאשר היא בזווית $\theta_0$, הוא:

\[h_0 = L - L\cos\theta_0 = L(1 - \cos\theta_0)\]

Image

כעת נשתמש בחוק שימור האנרגיה המכנית:

\[E_{i} = E_{f}\]

בנקודה ההתחלתית (בזווית $\theta_0$):

  • אנרגיה קינטית: $E_{ki} = 0$ (שוחרר ממנוחה)
  • אנרגיה פוטנציאלית: $\phi_i = mgh_0 = mgL(1 - \cos\theta_0)$

בנקודה הנמוכה ביותר:

  • אנרגיה קינטית: $E_{kf} = \frac{1}{2}mv^2$
  • אנרגיה פוטנציאלית: $\phi_f = 0$ (לפי בחירתנו)

משימור אנרגיה:

\[0 + mgL(1 - \cos\theta_0) = \frac{1}{2}mv^2 + 0\]

נצמצם את $m$ ונפתור עבור $v$:

\[\boxed{v = \sqrt{2gL(1 - \cos\theta_0)}}\]

שימו לב: אם $\theta_0 = 90^\circ = \frac{\pi}{2}$ (שחרור ממצב אופקי), אז $\cos(\pi/2) = 0$ ונקבל:

\[v = \sqrt{2gL}\]

זו בדיוק המהירות של גוף בנפילה חופשית מגובה $L$!

הקואורדינטה המוכללת של המטוטלת

בתנועת המטוטלת, הקואורדינטה הנוחה לתיאור המערכת היא הזווית $\theta$. אורך הקשת שהמטוטלת עוברת הוא:

\[s = L\theta\]

לכן המהירות המשיקית היא:

\[v = \frac{ds}{dt} = L\frac{d\theta}{dt} = L\dot{\theta}\]

כאשר $\dot{\theta}$ היא המהירות הזוויתית.

האנרגיה הכוללת של המטוטלת כפונקציה של $\theta$ ו-$\dot{\theta}$:

\[\begin{aligned} E &= E_K + \phi_g = \frac{1}{2}mv^2 + mgh \\ &= \frac{1}{2}m(L\dot{\theta})^2 + mgL(1 - \cos\theta) \end{aligned}\]

$\theta$ היא הקואורדינטה המוכללת - דרגת החופש הדינמית היחידה בבעיה. האנרגיה המכנית הכוללת $E$ היא קבוע של התנועה.

מציאת משוואת התנועה משימור אנרגיה

אם האנרגיה קבועה בזמן, הנגזרת שלה לפי הזמן היא אפס: $\frac{dE}{dt} = 0$. נגזור את הביטוי לאנרגיה:

\[\frac{dE}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{2}mL^2\dot{\theta}^2 + mgL(1 - \cos\theta) \right) = 0\] \[\frac{1}{2}mL^2 \cdot (2\dot{\theta} \cdot \ddot{\theta}) + mgL(0 - (-\sin\theta \cdot \dot{\theta})) = 0\] \[mL^2\dot{\theta}\ddot{\theta} + mgL\dot{\theta}\sin\theta = 0\]

נוציא גורם משותף $mL\dot{\theta}$:

\[mL\dot{\theta}(L\ddot{\theta} + g\sin\theta) = 0\]

בהנחה שהמטוטלת בתנועה ($\dot{\theta} \neq 0$, למעט בנקודות הקצה), נוכל לחלק ולקבל:

\[\boxed{\ddot{\theta} + \frac{g}{L}\sin\theta = 0}\]

זוהי בדיוק משוואת התנועה של המטוטלת, אותה ניתן לקבל גם מהחוק השני של ניוטון!

הערה חשובה: כוח המתיחות בחוט $\vec{T}$ הוא כוח אילוץ. הוא תמיד ניצב לכיוון התנועה (במסלול מעגלי), ולכן העבודה שהוא מבצע היא אפס ($\vec{T} \cdot d\vec{r} = 0$). לכן, הוא אינו משפיע על האנרגיה המכנית של המערכת.

3 המטוטלת הבליסטית

המטוטלת הבליסטית היא מכשיר למדידת מהירות של קליעים. היא מורכבת מגוף מסיבי (למשל, בול עץ) במסה $M$, התלוי על חוטים באורך $L$. יורים לתוכו קליע במסה $m$ ובמהירות אופקית $v$.

Image

התהליך מורכב משני שלבים נפרדים:

  1. ההתנגשות: התנגשות פלסטית מהירה מאוד.
  2. התנודה: תנועת המטוטלת (עם הקליע בתוכה) כלפי מעלה.

מקרה א’: הקליע נתקע בתוך הגוש

זוהי התנגשות פלסטית מושלמת.

Image

שלב 1 - ההתנגשות (שימור תנע): במהלך ההתנגשות הקצרה, התנע האופקי של המערכת (קליע + גוש) נשמר. האנרגיה המכנית אינה נשמרת.

\[p_{\text{before}} = p_{\text{after}}\] \[mv = (m + M)V\]

כאשר $V$ היא המהירות המשותפת של הגוש והקליע מיד לאחר ההתנגשות:

\[V = \frac{m}{m + M}v\]

שלב 2 - העלייה (שימור אנרגיה): מרגע שהקליע נתקע, המערכת המשולבת (מסה $m+M$) מתחילה לנוע כמטוטלת. בשלב זה, האנרגיה המכנית כן נשמרת.

\[E_{i} = E_{f}\] \[\frac{1}{2}(m + M)V^2 = (m + M)gh\]

מכאן ניתן למצוא את הגובה המקסימלי $h$ שאליו המערכת מגיעה:

\[h = \frac{V^2}{2g} = \frac{1}{2g} \left( \frac{m}{m+M}v \right)^2 = \frac{m^2v^2}{2g(m + M)^2}\]

Image

מקרה ב’: הקליע עובר דרך הגוש

נניח שהקליע נכנס במהירות $v$ ויוצא מהצד השני במהירות $v_2$. זוהי התנגשות אי-אלסטית (לא פלסטית מושלמת).

Image

שלב 1 - ההתנגשות (שימור תנע): התנע עדיין נשמר:

\[mv = MV' + mv_2\]

כאשר $V’$ היא מהירות הגוש מיד לאחר שהקליע יצא ממנו.

\[V' = \frac{m(v - v_2)}{M}\]

חשוב: איננו יכולים להניח שימור אנרגיה מכנית במהלך ההתנגשות עצמה.

שלב 2 - העלייה (שימור אנרגיה): לאחר ההתנגשות, הגוש (מסה $M$) עולה לגובה $h$ תוך שימור אנרגיה:

\[\frac{1}{2}M(V')^2 = Mgh \implies h = \frac{(V')^2}{2g}\]

4 חוק הכבידה האוניברסלי

ניוטון גילה שכל שתי מסות ביקום מושכות זו את זו. גודל כוח המשיכה ההדדי הוא:

\[\boxed{F_g = G\frac{m_1m_2}{r^2}}\]

כאשר $G \approx 6.674 \times 10^{-11} \, \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ הוא קבוע הכבידה האוניברסלי, ו-$r$ הוא המרחק בין מרכזי המסות.

בצורה וקטורית, הכוח שמפעילה מסה $m_1$ על מסה $m_2$ הוא:

\[\vec{F}_{1 \to 2} = -G\frac{m_1m_2}{r^2}\hat{r}_{12}\]

כאשר $\hat{r}_{12}$ הוא וקטור יחידה המצביע מ-$m_1$ אל $m_2$. הסימן השלילי מציין שזהו כוח משיכה.

דוגמה: כוח המשיכה בין השמש לכדור הארץ

הכוח שהשמש ($M_{\odot}$) מפעילה על כדור הארץ ($M_{\oplus}$):

\[\vec{F}_{\text{sun}\to\text{earth}} = -G\frac{M_{\odot}M_{\oplus}}{r^2}\hat{r}\]

מהחוק השלישי של ניוטון, הכוח שכדור הארץ מפעיל על השמש שווה בגודלו והפוך בכיוונו:

\[\vec{F}_{\text{earth}\to\text{sun}} = -\vec{F}_{\text{sun}\to\text{earth}} = +G\frac{M_{\odot}M_{\oplus}}{r^2}\hat{r}\]

כן, כדור הארץ מושך את השמש באותו כוח! ההבדל הדרמטי הוא בתאוצה: $a = F/m$. מכיוון שמסת השמש גדולה פי כ-333,000 ממסת כדור הארץ, תאוצתה זניחה בהשוואה לתאוצת כדור הארץ.

תאוצת הכבידה על פני כדור הארץ

הכוח על גוף במסה $m$ על פני כדור הארץ (ברדיוס $R_{\oplus}$) הוא מה שאנו מכנים “משקל”:

\[F_g = G\frac{M_{\oplus}m}{R_{\oplus}^2}\]

לפי החוק השני של ניוטון, $F_g = mg$. נשווה ונקבל:

\[mg = G\frac{M_{\oplus}m}{R_{\oplus}^2} \implies g = \frac{GM_{\oplus}}{R_{\oplus}^2}\]

עם הערכים: $M_{\oplus} \approx 5.97 \times 10^{24}$ ק”ג, $R_{\oplus} \approx 6.37 \times 10^6$ מ’, נקבל:

\[g = \frac{(6.674 \times 10^{-11}) \cdot (5.97 \times 10^{24})}{(6.37 \times 10^6)^2} \approx 9.8 \, \text{m/s}^2\]

כוח המשיכה בין תלמידים

שאלה: באיזה כוח מושכים זה את זה שני תלמידים, שמסתם 80 ק”ג ו-60 ק”ג, היושבים במרחק מטר זה מזה?

\[F_g = G\frac{m_1m_2}{r^2} = (6.674 \times 10^{-11}) \cdot \frac{80 \cdot 60}{1^2}\] \[F_g \approx 3.2 \times 10^{-7} \, \text{N}\]

זהו כוח זעיר ביותר, שקול למשקל של כ-30 מיקרוגרם! לשם השוואה, משקלו של כל תלמיד הוא מאות ניוטונים.

השתנות g עם הגובה

$g$ אינו קבוע, אלא תלוי במרחק $r$ ממרכז כדור הארץ:

\[g(r) = \frac{GM_{\oplus}}{r^2}\]

בגובה של 400 ק”מ (מסלול תחנת החלל הבינלאומית):

\[r = R_{\oplus} + h = 6370 \, \text{km} + 400 \, \text{km} = 6770 \, \text{km}\] \[g_{400} = \frac{GM_{\oplus}}{(6.77 \times 10^6)^2} \approx 8.7 \, \text{m/s}^2\]

כלומר, בתחנת החלל, תאוצת הכבידה היא כ-89% מערכה על פני הים. “חוסר המשקל” שאסטרונאוטים חווים נובע מהנפילה החופשית המתמדת שלהם סביב כדור הארץ, לא מהיעדר כבידה.

דור פסקל