חזרה: חוקי שימור אנרגיה
בשיעור הקודם למדנו על אחד העקרונות החשובים בפיזיקה - חוק שימור האנרגיה המכנית. כדי להבין אותו נתחיל מהמושג הבסיסי של עבודה.
הגדרת העבודה
העבודה $W$ שמבצע כוח $\vec{F}$ על גוף הנע לאורך מסלול מנקודה $\vec{r}_1$ לנקודה $\vec{r}_2$ מוגדרת כאינטגרל המסלולי:
\[W = \int_{\vec{r}_1}^{\vec{r}_2} \vec{F} \cdot d\vec{r}\]שימו לב שהעבודה היא גודל סקלרי (מספר) - היא מחושבת ממכפלה סקלרית של וקטורים. היחידות שלה הן יחידות של אנרגיה - ג׳אול (Joule).
הקשר בין עבודה לאנרגיה
התגלית המרכזית היא שניתן לבטא את גודל העבודה בשתי דרכים שונות:
1. מצד האנרגיה הקינטית:
\[W = E_{kf} - E_{ki} = \Delta E_K\]כאשר האנרגיה הקינטית מוגדרת תמיד כ:
\[E_K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{p^2}{2m}\]2. מצד האנרגיה הפוטנציאלית (עבור כוחות משמרים בלבד):
\[W = \phi_{i} - \phi_{f} = -\Delta \phi\]שימו לב לסימן המינוס: כאשר האנרגיה הפוטנציאלית יורדת, העבודה חיובית.
כוחות משמרים
מהו כוח משמר?
כוח משמר הוא כוח בעל תכונה מיוחדת: העבודה שהוא מבצע תלויה רק בנקודות ההתחלה והסיום, ולא במסלול ביניהן. מתמטית, כוח משמר $\vec{F}$ ניתן לכתיבה כ:
\[\vec{F}_{\text{conservative}} = -\nabla \phi\]כלומר, הכוח הוא מינוס הגרדיאנט של פונקציית הפוטנציאל $\phi$.
התכונה המגדירה של כוח משמר
עבור כוח משמר, העבודה על מסלול סגור (כאשר נקודת ההתחלה והסיום זהות) היא תמיד אפס:
\[\oint \vec{F} \cdot d\vec{r} = 0\]דוגמה מעניינת: כאשר הירח מקיף את כדור הארץ במסלול סגור, כוח הכבידה (שהוא כוח משמר) מבצע עבודה כוללת של אפס - למרות שהכוח פועל כל הזמן!
חוק שימור האנרגיה המכנית
כעת, אם נשווה את שני הביטויים לעבודה:
- $W = E_{kf} - E_{ki}$
- $W = \phi_{i} - \phi_{f}$
נקבל:
\[E_{kf} - E_{ki} = \phi_{i} - \phi_{f}\]או לאחר סידור מחדש:
\[\boxed{E_{ki} + \phi_{i} = E_{kf} + \phi_{f}}\]זהו חוק שימור האנרגיה המכנית: סכום האנרגיה הקינטית והפוטנציאלית נשאר קבוע לאורך התנועה (כאשר פועלים רק כוחות משמרים).
כאשר פועלים גם כוחות שאינם משמרים (כמו חיכוך), נוסיף את העבודה של כוחות אלה:
\[\boxed{W_{\text{NC}} = E_{f} - E_{i}}\]כאשר $W_{\text{NC}}$ היא העבודה של כוחות לא משמרים (None Conservative), $E_f$ ו־$E_i$ הן האנרגיה המכנית הכוללת בסוף ובתחילת התנועה (כוללת גם אנרגיה קינטית וגם פוטנציאלית).
דוגמאות לאנרגיה פוטנציאלית
1. כוח כובד קבוע (ליד פני כדור הארץ)
עבור גוף בגובה $h$ מעל נקודת ייחוס:
\[\phi_{\text{gravity}} = mgh\]2. כוח אלסטי (קפיץ אידיאלי)
עבור קפיץ עם קבוע קפיץ $k$ והעתקה $x$ ממצב שיווי משקל:
\[\phi_{\text{elastic}} = \frac{1}{2}kx^2\]סוגי התנגשויות
כששני גופים מתנגשים, אנו מבחינים בין שני סוגים עיקריים:
1. התנגשות אלסטית
- נשמר התנע: \(\vec{p}_{i} = \vec{p}_{f}\)
- נשמרת האנרגיה המכנית: $E_{i} = E_{f}$
- הגופים “קופצים” זה מזה לאחר ההתנגשות
2. התנגשות פלסטית (לא־אלסטית לחלוטין)
- נשמר התנע: \(\vec{p}_{i} = \vec{p}_{f}\)
- האנרגיה המכנית אינה נשמרת (חלק ממנה הופך לחום, עיוות, וכו’)
- במקרה הקיצוני, הגופים נצמדים זה לזה לאחר ההתנגשות
דוגמה טריוויאלית: נפילה חופשית
נניח שגוף נופל מגובה $h_1$ לגובה $h_2$ (כאשר $h_1 > h_2$). נוכל להשתמש בחוק שימור האנרגיה:
\[\underbrace{mgh_1}_{\phi_1} + \underbrace{\frac{1}{2}mv_1^2}_{E_{K,1}} = \underbrace{mgh_2}_{\phi_2} + \underbrace{\frac{1}{2}mv_2^2}_{E_{K,2}}\]היופי בשיטה זו הוא שאיננו צריכים לדעת כלום על המסלול או על הזמן - רק את המצב ההתחלתי והסופי! זה הופך בעיות מורכבות לפשוטות הרבה יותר.
לדוגמה, אם הגוף מתחיל ממנוחה ($v_1 = 0$) בגובה $h_1$, נוכל למצוא את מהירותו בגובה $h_2$:
\[mgh_1 = mgh_2 + \frac{1}{2}mv_2^2\]ולאחר פישוט:
\[v_2 = \sqrt{2g(h_1 - h_2)}\]שימו לב כיצד המסה $m$ מצטמצמת - כל הגופים נופלים באותו קצב בשדה כבידה אחיד!
2 יישום: חשבון אנרגיות בתנועת מטוטלת
נסתכל על מטוטלת פשוטה: מסה נקודתית $m$ התלויה על חוט חסר מסה באורך $L$. מסיטים את המטוטלת בזווית $\theta_0$ ביחס לאנך ומשחררים ממנוחה.
שאלה: מהי מהירות המטוטלת בנקודה הנמוכה ביותר של מסלולה?
נבחר את מישור הייחוס לאנרגיה פוטנציאלית ($\phi_g=0$) בנקודה הנמוכה ביותר ($h=0$).
הגובה ההתחלתי של המטוטלת, כאשר היא בזווית $\theta_0$, הוא:
\[h_0 = L - L\cos\theta_0 = L(1 - \cos\theta_0)\]
כעת נשתמש בחוק שימור האנרגיה המכנית:
\[E_{i} = E_{f}\]בנקודה ההתחלתית (בזווית $\theta_0$):
- אנרגיה קינטית: $E_{ki} = 0$ (שוחרר ממנוחה)
- אנרגיה פוטנציאלית: $\phi_i = mgh_0 = mgL(1 - \cos\theta_0)$
בנקודה הנמוכה ביותר:
- אנרגיה קינטית: $E_{kf} = \frac{1}{2}mv^2$
- אנרגיה פוטנציאלית: $\phi_f = 0$ (לפי בחירתנו)
משימור אנרגיה:
\[0 + mgL(1 - \cos\theta_0) = \frac{1}{2}mv^2 + 0\]נצמצם את $m$ ונפתור עבור $v$:
\[\boxed{v = \sqrt{2gL(1 - \cos\theta_0)}}\]שימו לב: אם $\theta_0 = 90^\circ = \frac{\pi}{2}$ (שחרור ממצב אופקי), אז $\cos(\pi/2) = 0$ ונקבל:
\[v = \sqrt{2gL}\]זו בדיוק המהירות של גוף בנפילה חופשית מגובה $L$!
הקואורדינטה המוכללת של המטוטלת
נוכל להגדיר קבוע של התנועה $E$ עבור המטוטלת:
\[E = \frac{1}{2}mv^2 + mgh\]כאשר $v$ היא המהירות הרגעית, ו־$h$ הוא הגובה מעל מישור הייחוס.
תזכורת: קואורדינטות במטוטלת
הקואורדינטה הנוחה היא הזווית $\theta$. נוכל להגדיר את ״קואורדינטת״ הדרך של המטוטלת $X$ באופן הבא:
\[X = L\theta\]ובהתאם להגדרת המיקום שבחרנו, המהירות (השינוי של הדרך לפי הזמן) יהיה:
\[v = L\dot{\theta}\](נגזרת של $X$ לפי הזמן, בשים לב לכך ש־$L$ הוא קבוע).
אז האנרגיה הכוללת של המטוטלת כפונקציה של $\theta$ ו־$\dot{\theta}$:
\[\begin{aligned} E &= E_K + \phi_g \\ &= \frac{1}{2}mv^2 + mgh \\ &= \frac{1}{2}m(L\dot{\theta})^2 + mgL(1 - \cos\theta) \end{aligned}\]$\theta$ היא הקואורדינטה המוכללת - דרגת החופש הדינמית היחידה בבעיה. האנרגיה המכנית הכוללת $E$ היא קבוע של התנועה.
מציאת משוואת התנועה משימור אנרגיה
אם האנרגיה המכני במקרה הזה היא קבוע של התנועה (קבועה בזמן), הנגזרת שלה לפי הזמן היא אפס: $\frac{dE}{dt} = 0$. נגזור את הביטוי לאנרגיה:
\[\frac{dE}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{2}mL^2\dot{\theta}^2 + mgL(1 - \cos\theta) \right) = 0\] \[\frac{1}{2}mL^2 \cdot (2\dot{\theta} \cdot \ddot{\theta}) + mgL(0 - (-\sin\theta \cdot \dot{\theta})) = 0\] \[mL^2\dot{\theta}\ddot{\theta} + mgL\left(\sin\theta\right)\dot{\theta} = 0\]נוציא גורם משותף $mL\dot{\theta}$:
\[mL\dot{\theta}(L\ddot{\theta} + g\sin\theta) = 0\]בהנחה שהמטוטלת בתנועה ($\dot{\theta} \neq 0$, למעט בנקודות הקצה), נוכל לחלק ולקבל:
\[\boxed{\ddot{\theta} = - \frac{g}{L}\sin\theta}\]זוהי בדיוק משוואת התנועה של המטוטלת שמתקבלת גם לפי החוק השני של ניוטון.
הערה: במצבים בהם האנרגיה המכנית נשמרת, הנגזרת לפי הזמן של האנרגיה המכנית מנפקת את משוואת התנועה המתקבלת מהחוק השני של ניוטון.
3 המטוטלת הבליסטית
המטוטלת הבליסטית היא מכשיר למדידת מהירות של קליעים. היא מורכבת מגוף מסיבי (למשל, בול עץ) במסה $M$, תלוי על חוטים באורך $L$. יורים לתוכו קליע במסה $m$ ובמהירות אופקית $v$.
התהליך מורכב משני שלבים נפרדים:
- ההתנגשות: התנגשות פלסטית מהירה מאוד.
- התנודה: תנועת המטוטלת (עם הקליע בתוכה) כלפי מעלה.
מקרה א׳: הקליע נתקע בתוך המטוטלת
זאת התנגשות פלסטית - אין שימור אנרגיה מכנית (חלק מהאנרגיה מומר לחום, עיוות וכו’), אבל כן יש שימור תנע - בציר $\hat{x}$:
שלב 1 - ההתנגשות (שימור תנע): במהלך ההתנגשות הקצרה, התנע האופקי של המערכת (קליע + גוש) נשמר (בעת הפגיעה ציר $y$ לא רלוונטי - רק לאחר הפגיעה מתחילה תנועה מעלה). האנרגיה המכנית כאמור אינה נשמרת.
\[p_{\text{before}} = p_{\text{after}}\] \[mv = (m + M)V\]כאשר $V$ היא המהירות המשותפת של הגוש והקליע מיד לאחר ההתנגשות (יותר קטנה):
\[\boxed{V = \frac{m}{m + M}v}\]שלב 2 - העלייה (שימור אנרגיה): מרגע שהקליע נתקע, המערכת המשולבת (מסה $m+M$) מתחילה לנוע כמטוטלת. בשלב זה, האנרגיה המכנית כן נשמרת (בנפנופי ידיים, זה מורכב יותר במציאות - למשל בגלל כוח המתיחות).
\[E_{i} = E_{f}\] \[\frac{1}{2}(m + M)V^2 = (m + M)gh\]מכאן ניתן למצוא את הגובה המקסימלי $h$ שאליו המערכת מגיעה:
\[h = \frac{V^2}{2g} = \frac{1}{2g} \left( \frac{m}{m+M}v \right)^2 = \frac{m^2v^2}{2g(m + M)^2} \, \mathrm{ [meters]}\]ניתן לוודא לפי יחידות.
מקרה ב׳: הקליע עובר דרך המטוטלת
נניח שהקליע נכנס במהירות $v_1$ ויוצא מהצד השני במהירות $v_2$. הבול קיבל אנרגיה אבל מתרומם בלי הקליע. זאת התנגשות שהיא לא פלסטית ולא אלסטית.
שלב 1 - ההתנגשות (שימור תנע): התנע עדיין נשמר:
\[mv_1 = MV + mv_2\]כאשר $V$ היא מהירות בול העץ מיד לאחר שהקליע יצא ממנו.
\[\boxed{V = \frac{m(v_1 - v_2)}{M}}\]חשוב: אנחנו לא יכולים להניח שימור אנרגיה מכנית במהלך ההתנגשות עצמה.
כלומר, אנרגיה מכנית לא נשמרת:
\[v_2 - v_1 \ne V_1 - V_2\]
שלב 2 - העלייה (שימור אנרגיה): לאחר ההתנגשות, מסה $M$ עולה לגובה $h$ תוך שימור אנרגיה:
\[\begin{aligned} E_{i} &= E_{f} \\ \frac{1}{2}MV^2 + \cancel{mg 0} &= \cancel{\frac{1}{2}M 0^2} + Mgh \end{aligned}\] \[\frac{1}{2}M(V)^2 = Mgh \implies \boxed{h = \frac{(V)^2}{2g}}\]הערה: ניתן גם לחשב את המתקף שפעל על הגוף
\[J = \int F dt = \Delta p = MV - M0\]בגלל שהמתקף שהקליע הפעיל שווה למתקף שהבול הפעיל על הקליע, ניתן לחשב את המתקף גם לפי הקליע:
\[= mv_2 - mv_1\]הערה נוספת - לא בטוח שהבנתי את היישום של זה בשלב הזה.
4 חוק הכבידה של ניוטון - משיכה בין מסות
ניוטון גילה שכל שתי מסות ביקום מושכות זו את זו. גודל כוח המשיכה ההדדי הוא:
\[\boxed{F_g = G\frac{m_1m_2}{r^2}}\]כאשר $G \approx 6.674 \times 10^{-11} \, \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ הוא קבוע הכבידה האוניברסלי, ו־$r$ הוא המרחק בין מרכזי המסות.
בצורה וקטורית, הכוח שמפעילה מסה $m_1$ על מסה $m_2$ הוא:
\[\vec{F}_{1 \to 2} = -G\frac{m_1m_2}{r^2}\hat{r}_{12}\]כאשר $\hat{r}_{12}$ הוא וקטור יחידה המצביע מ־$m_1$ אל $m_2$. הסימן השלילי מציין שזהו כוח משיכה.
דוגמה: כוח המשיכה בין השמש לכדור הארץ
הכוח שהשמש ($M_{\odot}$) מפעילה על כדור הארץ ($M_{\oplus}$):
\[\vec{F}_{\text{sun}\to\text{earth}} = -G\frac{M_{\odot}M_{\oplus}}{r^2}\hat{r}\]מהחוק השלישי של ניוטון, הכוח שכדור הארץ מפעיל על השמש שווה בגודלו והפוך בכיוונו:
\[\vec{F}_{\text{earth}\to\text{sun}} = -\vec{F}_{\text{sun}\to\text{earth}} = +G\frac{M_{\odot}M_{\oplus}}{r^2}\hat{r}\]כן, כדור הארץ מושך את השמש באותו כוח! ההבדל הדרמטי הוא בתאוצה: $a = F/m$. מכיוון שמסת השמש גדולה פי כ־333,000 ממסת כדור הארץ, תאוצתה זניחה בהשוואה לתאוצת כדור הארץ.
תאוצת הכבידה על פני כדור הארץ
הכוח על גוף במסה $m$ על פני כדור הארץ (ברדיוס $R_{\oplus}$) הוא מה שאנחנו מכנים “משקל”:
\[F_g = G\frac{M_{\oplus}m}{R_{\oplus}^2}\]לפי החוק השני של ניוטון, $F_g = mg$. נשווה ונקבל:
\[mg = G\frac{M_{\oplus}m}{R_{\oplus}^2} \implies g = \frac{GM_{\oplus}}{R_{\oplus}^2}\]עם הערכים: $M_{\oplus} \approx 5.97 \times 10^{24}$ ק”ג, $R_{\oplus} \approx 6.37 \times 10^6$ מ’, נקבל:
\[g = \frac{(6.674 \times 10^{-11}) \cdot (5.97 \times 10^{24})}{(6.37 \times 10^6)^2} \approx 9.8 \, \text{m/s}^2\]\[F_g = G\frac{m_1m_2}{r^2} = (6.674 \times 10^{-11}) \cdot \frac{80 \cdot 60}{1^2}\] \[F_g \approx 3.2 \times 10^{-7} \, \text{N}\]כוח המשיכה בין תלמידים
שאלה: באיזה כוח מושכים זה את זה שני תלמידים, שמסתם 80 ק”ג ו־60 ק”ג, היושבים במרחק מטר זה מזה?
זה כוח זעיר ביותר, שקול למשקל של כ־30 מיקרוגרם! לשם השוואה, משקלו של כל תלמיד הוא מאות ניוטונים.
השתנות g עם הגובה
$g$ אינו קבוע, אלא תלוי במרחק $r$ ממרכז כדור הארץ:
\[g(r) = \frac{GM_{\oplus}}{r^2}\]בגובה של 400 ק”מ (מסלול תחנת החלל הבינלאומית):
\[r = R_{\oplus} + h = 6370 \, \text{km} + 400 \, \text{km} = 6770 \, \text{km}\] \[g_{400} = \frac{GM_{\oplus}}{(6.77 \times 10^6)^2} \approx 8.7 \, \text{m/s}^2\]כלומר, בתחנת החלל, תאוצת הכבידה היא כ־89% מערכה על פני הים. “חוסר המשקל” שאסטרונאוטים חווים נובע מהנפילה החופשית המתמדת שלהם סביב כדור הארץ, לא מהיעדר כבידה.
דור פסקל