חזרה על וקטורים
- וקטור יחידה
- חיבור וקטורי (כבר עבדנו עליו במכניקה - חיבור מהירויות, חיבור כוחות)
- כפל סקלרי
- מעבר מקורדינטות קרטזיות לפולריות
מכפלה סקלרית (Scalar Product)
הגדרה
המכפלה הסקלרית היא פעולה שלוקחת שני וקטורים והתוצאה היא מספר ממשי (לא וקטור).
תכונות
כאשר מכפילים וקטור בעצמו מכפלה סקלרית: $\vec{a} \cdot \vec{a} \geq 0$
התוצאה תמיד חיובית, אלא אם כן הוקטור עצמו אפס.
נוסחאות
-
בקורדינטות קרטזיות: סכום המכפלות של הרכיבים
\[\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z\] -
ביטוי גיאומטרי:
\[\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\theta\]כאשר $\theta$ היא הזווית המרחבית בין הוקטורים.
שימושים
- בדיקת ניצבות: אם $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ אז הוקטורים ניצבים
-
חישוב זווית במרחב:
\[\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}\] - התוצאה תמיד בין $-1$ ל-$1$ (גם במרחב ארבע ממדים, חמש ממדים, ואפילו בפונקציות)
מכפלה וקטורית (Vector Product / Cross Product)
תוצאה ותכונות
- התוצאה היא וקטור (בניגוד למכפלה סקלרית)
- הוקטור המתקבל ניצב למישור שנפרש על ידי $\vec{a}$ ו-$\vec{b}$
- הכיוון נקבע לפי כלל יד ימין
נוסחה
\[\boxed{\vec{a} \times \vec{b} = \hat{x}(y_a z_b - z_a y_b) + \hat{y}(z_a x_b - x_a z_b) + \hat{z}(x_a y_b - y_a x_b)}\]גודל
\[\boxed{|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| |\sin\theta |}\]כיוון לפי כלל יד ימין
(מוזמנים לקרוא בהרחבה בשיעור על וקטורים)
שימושים
- מציאת וקטור הניצב למישור של שני וקטורים
- אם $\vec{a} \times \vec{b} = 0$ אז הוקטורים מקבילים
פונקציות סקלריות במרחב
הגדרה
פונקציה סקלרית: $\phi: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$
פונקציה שלוקחת שלושה משתנים $(x, y, z)$ ומחזירה מספר.
דוגמה: פוטנציאל חשמלי - $V(x, y, z)$
הגרדיאנט (Gradient)
הגדרה
\[\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial x}\hat{x} + \frac{\partial\phi}{\partial y}\hat{y} + \frac{\partial\phi}{\partial z}\hat{z}\]כאשר $\frac{\partial\phi}{\partial x}$ היא נגזרת חלקית - נגזרת לפי $x$ כאשר $y$ ו-$z$ קבועים.
פרשנות פיזיקית
- כיוון השינוי המרבי: הגרדיאנט מצביע לכיוון שבו הפונקציה משתנה הכי מהר
- גודל השינוי: $|\nabla\phi|$ מייצג את קצב השינוי המרבי
- ניצב למשטח: הגרדיאנט ניצב למישור המשיק למשטח $\phi = const$
תרגיל מכפלה סקלרית ווקטורית
נתונים שני וקטורים:
\[\vec{A} = 2\hat{x} + 3\hat{y} + 4\hat{z}\] \[\vec{B} = -\hat{x} + 2\hat{y} + 3\hat{z}\]מיצאו את קוסינוס וסינוס הזווית בין שני הווקטורים.
מצאו את כל הווקטורים הניצבים לווקטור:
\[\vec{C} = e\hat{x} + \pi\hat{y} + \hat{z}\]רישמו את הווקטור $\vec{C}$ בקורואדינטות כדוריות $(r, \theta, \phi)$.
עבור אילו ערכים של $\alpha$, $\beta$ הווקטורים:
\[\vec{A} = 3\hat{x} + \alpha\hat{y} + 5\hat{z}\] \[\vec{B} = -2\hat{x} + \alpha\hat{y} - 2\beta\hat{z}\]מצביעים באותו כיוון (קוליניאריים)?
פתרון תרגיל 1
בשביל הקוסינוס ניעזר בנוסחה של המכפלה הסקלרית:
\[\boxed{\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| |\vec{B}| \cos\theta}\]נבודד ונציב:
\[\begin{aligned} \cos\theta &= \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}| |\vec{B}|} \\ &= \frac{(2)(-1) + (3)(2) + (4)(3)}{\sqrt{2^2 + 3^2 + 4^2} \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 3^2}} \\ &= \frac{-2 + 6 + 12}{\sqrt{4 + 9 + 16} \sqrt{1 + 4 + 9}} \\ &= \frac{16}{\sqrt{29} \sqrt{14}} \\ &= \frac{16}{\sqrt{406}} \approx 0.79 \end{aligned}\]בשביל הסינוס נשתמש בנוסחה של המכפלה הווקטורית:
\[\boxed{|\vec{A} \times \vec{B}| = |\vec{A}| |\vec{B}| \sin\theta}\]כדי לפתח את המכפלה הווקטורית נשתמש בדטרמיננטה (בשיעור דווקא נעזרנו בהגדרה המפורטת):
\[\begin{aligned} \vec{A} \times \vec{B} &= \begin{vmatrix} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\ 2 & 3 & 4 \\ -1 & 2 & 3 \end{vmatrix} \\ &= \hat{x}(3 \cdot 3 - 4 \cdot 2) - \hat{y}(2 \cdot 3 - 4 \cdot -1) + \hat{z}(2 \cdot 2 - 3 \cdot -1) \\ &= \hat{x}(9 - 8) - \hat{y}(6 + 4) + \hat{z}(4 + 3) \\ &= \hat{x}(1) - \hat{y}(10) + \hat{z}(7) \\ &= \hat{x} - 10\hat{y} + 7\hat{z} \end{aligned}\]כדי למצוא את גודל הווקטור המתקבל:
\[\begin{aligned} |\vec{A} \times \vec{B}| &= \sqrt{1^2 + (-10)^2 + 7^2} \\ &= \sqrt{1 + 100 + 49} = \sqrt{150} = 5\sqrt{6} \end{aligned}\]נציב את גודל המכפלה הווקטורית ואת גודל הווקטורים בזהות:
\[\begin{aligned} \sin\theta &= \frac{|\vec{A} \times \vec{B}|}{|\vec{A}| |\vec{B}|} = \frac{5\sqrt{6}}{\sqrt{29} \sqrt{14}} = \frac{5\sqrt{6}}{\sqrt{406}} \approx 0.608 \end{aligned}\]סך הכל:
\[\boxed{\cos\theta \approx 0.79, \quad \sin\theta \approx 0.608}\]אפשר לבדוק בעזרת זהויות טריגונומטריות (גם ניתן לקבל את הסינוס ישירות מהקוסינוס):
\[\sin\theta = \sqrt{1 - \cos^2\theta} = \sqrt{1 - (0.79)^2} \approx 0.608\]או לחלופין:
\[\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \implies 0.608^2 + 0.79^2 \approx 1\]לא הספקנו לפתור את תרגילים 2 ו-3 בכתה.
תרגילי גרדיאנט
הבהרה: הגרדיאנט ניצב למשטח המשיק לשדה $f(x,y,z)=const$ בנקודה נתונה.
- מהו וקטור היחידה הניצב למישור המשיק למשטח $xyz=6$ בנקודה $(2,-1, -3)$?
- מהי הזווית בין הוקטור היצב למישור המשיק למשטח $x^2y = z$ בנקודה $(-2,1,4)$ לבין הוקטור הניצב למישור המשיק למשטח $x^3y^4 = z+2$ בנקודה $(2,-1,6)$?
- נתון שדה הלחץ: $A(x,y,z,t)=x^2+y^2t-2z$ כך ש-$x,y,z$ במטרים ו-$t$ בשניות.
- מהו הגרדיאנט של $A$?
- מהו גודל הגרדיאנט בנקודה $(4,1,10)$ לאחר 2 שניות?
- מהו הרכיב (ההיטל) של הגרדיאנט בכיוון $r=6x\hat{x}-\hat{y}+y\hat{z}$?
תלות בזמן
- פונקציה יכולה להיות תלויה לא רק ב-$x, y, z$ אלא גם בזמן $t$
- כל הפרמטרים (כולל הפוטנציאל) יכולים להשתנות בזמן ובמקום
- כאשר מחשבים נגזרת חלקית לפי זמן, מציבים את הזמן כקבוע (לא גוזרים לפי זמן)
דוגמה לפונקציה
\[\phi(x,y,z,t) = 2x + x^3 + 2y + y^3 - 2z\]הערה: הזמן $t$ הוא פרמטר נוסף של הפונקציה
הגרדיאנט ותלות בזמן
- הגרדיאנט הוא שיפוע מרחבי בלבד - לא שיפוע הקשור בזמן
- גם אם המשטח עצמו משתנה בזמן, הגרדיאנט עדיין מחושב רק לפי הקוורדינטות המרחביות
- הזמן הוא פרמטר שמשפיע על הפונקציה, אך אינו חלק מהגרדיאנט
שאלה: האם זמן הוא ממד מרחבי?
- במובן מסוים, המרחב יכול להיות ארבעה ממדי (כולל זמן)
- אבל: זה לא רלוונטי לחישוב הגרדיאנט
- הגרדיאנט מתייחס רק לשיפוע המרחבי, לא לשינויים בזמן
הבהרה:
- כאשר כותבים $\phi(x,y,z,t)$, הזמן $t$ הוא פרמטר נוסף
- ניתן לכתוב זאת באופן מפורש יותר כ-$\phi(x,y,z; t)$ כדי להבהיר שהזמן הוא פרמטר ולא קוורדינטה מרחבית
בעיית יחידות
שאלה: איך מודדים זמן ביחידות של מרחב (שניות במטרים)?
- זוהי בעיה של יחידות - זמן ומרחב נמדדים ביחידות שונות