שאלה 1: איפוס שדה וכוחות במערכת מטענים נקודתיים על קו ישר
שני מטענים של 6 קולון (מימין בתרשים מטה) ו-3 קולון (משמאל) נמצאים לאורך קו ישר. המרחק בין המטענים הוא מטר אחד.
+3 C +6 C ---|--------------------|--- |<------- 1 m ------>|
- האם קיימת נקודה לאורך הקו הישר שבה השדה החשמלי מתאס? אם לא, נמקו מדוע לא, אם קיימת נקודה כזו, חשבו את מיקומה לאורך הקו הישר.
- מניחים מטען שלישי במרחק שני מטר משמאל למטען בן שלשת הקולון. מה צריך להיות גודלו ומה מטענו כדי ששקול הכוחות על המטען בן ששת הקולון יתאפס?
- מה גודל הכוח שמפעיל המטען בן ששת הקולון על המטען השלישי שהונח שלשה מטר משמאלו?
סעיף 1
מעקרון הסופרפוזיציה לשדות חשמליים:
\[\vec{E}_{total} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2\]נוסחת השדה של מטען נקודתי:
\[E = k \frac{q}{r^2}\]תנאי להתאפסות:
\[E_1 = E_2\]כלומר:
\[k \frac{q_1}{r_1^2} = k \frac{q_2}{r_2^2}\]נציב בנתוני השאלה:
\[q_1 = 3\] \[q_2 = 6\]נמצא את המרחקים. הבעיה חד מימדית, אם המרחק מהנקודה השמאלית הוא $x$ מהנקודה הימנית יהיה $(1-x)$.
\[\frac{3}{r_1^2} = \frac{6}{r_2^2}\]הופך ל:
\[\frac{3}{x^2} = \frac{6}{(1-x)^2}\] \[\frac{x^2}{(1-x)^2} = \frac{1}{2}\]מכאן זה פיתוח מתמטי. נוציא שורש:
\[\frac{x}{1-x} = \frac{1}{\sqrt{2}}\] \[\sqrt{2} x = 1 - x\] \[x (\sqrt{2} + 1) = 1\] \[\boxed{x = \frac{1}{\sqrt{2} + 1} \approx 0.414 \, \mathrm{m}}\]הנקודה במרחק של כ-0.414 מטר מימין למטען השמאלי (בין שני המטענים).
מניחים מטען שלישי במרחק שני מטר משמאל למטען בן שלשת הקולון. מה צריך להיות גודלו ומה מטענו כדי ששקול הכוחות על המטען בן ששת הקולון יתאפס?
להבנתי צריך להשתמש בסופר פוזיציה.
הוא צריך להיות שלילי כנראה.
נציב במשוואה.
שקול הכוחות על המטען בן ששת הכולון הוא:
\[F_{3 \to 6} + F_{? \to 6} = 0\]ניעזר בחוק קולון:
\[k\frac{3 \cdot 6}{1^2} + k \frac{q_3 \cdot 6}{9} = 0\] \[\frac{2q_3}{3} = -18\] \[\boxed{q_3 = -27}\]הכיוון צריך להיות שלילי כי המטען המקורי של 6 היה חיובי.
מה גודל הכוח שמפעיל המטען בן ששת הקולון על המטען השלישי שהונח שלשה מטר משמאלו?
זה לא פשוט 6? מה זה גודל הכוח?
גודל הכוח הכוונה לערך המוחלט של הכוח בניוטונים, לא רק ערך המטען.
צריך להשתמש בחוק קולון:
\[F = k\frac{q_1 \cdot q_2}{r^2}\]הנתונים:
- $q_1 = 6C$
- $q_2 = -27C$ (המטען מהסעיף הקודם)
- $r = 3m$
- $k = 8.99 \times 10^9$
ננסה להציב ולחשב:
\[F = k \frac{-27 \cdot 6}{9} = - 18 k\]בערך מוחלט:
\[18k\]אם נציב את הערך של $k$ כדי לקבל תשובה ביחידות של ניוטון:
\[\boxed{F = 18k = 18 \times 8.99 \times 10^9 \approx 1.62 \times 10^{11} \, \mathrm{N}}\]שאלה 2: שדה, פוטנציאל ועבודה במערכת סימטרית של מטענים על משושה משוכלל
בכל אחד מחמשת הקודקודים $\text{A, B, C, D, E}$ של משושה משוכלל שאורך צלעו $a$ נמצא מטען חיובי $Q$. בקודקוד $\text{F}$ אין מטען.
a B(Q)-----(Q) A / \ / a a \ C(Q)-----O ----- F \ / \ / D(Q)-----E(Q)
מה וקטור השדה החשמלי השקול (גודל וכיוון) במרכזו של המשושה - נקודה O?
מעבירים מטען נוסף $\text{Q}$ ממרחק גדול מאוד (לצורך עניין אינסוף) אל הנקודה $\text{O}$. מהי העבודה שנעשתה נגד כוחות השדה החשמלי?
- מעבירים את המטען מהסעיף הקודם מנקודה O אל נקודה F.
- מה השדה החשמלי בנקודה O כעת?
- האם דרושה עבודה חיצונית כדי להביא מטען כלשהו $q$ מאינסוף אל מרכז המשושה? אם כן חשבו את העבודה.
בכל אחד משלושת קודקודי המשושה $\text{E, C, A}$ מחליפים את המטען החיובי $Q$ במטען שלילי $-Q$. בכל אחד משלושת הקודקודים האחרים נמצא מטען $Q$ ובנקודה $O$ שבמרכז המשושה אין מטען.
האם פעולה זו תגרום לשינוי העבודה הדרושה להבאת אותו מטען $q$ מאינסוף למרכז המשושה?
סעיף א׳ - וקטור השדה החשמלי במרכז
אפשר לזהות שכל המטענים מתבטלים משיקולי סימטריות למעט המעטן שמול הנקודה F.
\[\boxed{E(O) = k\frac{Q}{(a)^2} \hat{x}}\]$a$ כי זה המרחק של צלע המשושה, וזה המרחק מהנקודה O למטען Q שמולה.
השדה מצביע לכיוון ציר $x$ חיובי, כלומר ימינה.
סעיף ב׳ - עבודה להביא מטען מאינסוף
מעבירים מטען נוסף $\text{Q}$ ממרחק גדול מאוד (לצורך עניין אינסוף) אל הנקודה $\text{O}$. מהי העבודה שנעשתה נגד כוחות השדה החשמלי?
נראה שצריך כאן נוסחאות של אנרגיה פוטנציאלית ועבודה.
נוסחאות נדרשות:
פוטנציאל חשמלי של מטען נקודתי:
\[V = k\frac{q}{r}\]עבודה נגד השדה:
\[W = q \cdot \Delta V = q(V_{final} - V_{initial})\]או דרך אנרגיה פוטנציאלית:
\[W = \Delta U = U_{final} - U_{initial}\]רמז מקלוד: הפוטנציאל באינסוף שווה לאפס. צריך לחשב את הפוטנציאל בנקודה O שנוצר מכל 5 המטענים, ואז להכפיל ב-Q.
הפוטנציאל מכל אחד מהמטענים הוא:
\[V_i = \frac{kQ}{a}\]סך הכל:
\[V = \frac{5kQ}{a}\]אז העבודה היא:
\[W = Q(\frac{5kQ}{a} - 0) = \boxed{\frac{5kQ^2}{a}}\]סעיף ג - מזיזים את המטען הנוסף
לאחר ההזזה השדה הוא אפס משיקולי סימטריה.
אכן דרושה עבודה כזאת - בדומה למה שעשינו מקודם רק שהפעם יש שישה מטענים:
\[W = Q(\frac{6kQ}{a} - 0) = \boxed{\frac{6kQ^2}{a}}\]סעיף ד - שינוי המטענים
עכשיו זה אפס.
אפשר לראות מסופרפוזיציה:
\[W = \sum _{i=1}^3 \frac{kQ^2}{a} + \sum _{i=1}^3\frac{k(-Q)\cdot Q}{a} = 0\]שאלה 3: שדה חשמלי בכדור מבודד עם חלל פנימי קונצנטרי – שימוש בחוק גאוס
פתרון מלא נמצא בתרגול 5. להלן ניסיון מענה נוסף.
נתון לנו כדור מבודד עם חלל פנימי כדורי אשר מרכזו מתלכד עם מרכז הכדור. רדיוס החלל הפנימי הוא $R_1$, רדיוס הכדור הוא $R_2$. הכדור טעון בצפיפות מטען חשמלי אחידה, וסך כל המטען עליו הוא $Q$. קבלו את:
- $\vec{E}(r<R_1)$
- $\vec{E}(R_1<r<R_2)$
- $\vec{E}(r>R_2)$
במונחים של הפרמטרים $Q, R_1,R_2,K$ וכתלות במרחק $r$ מן הראשית.
השדה בתוך החלל
בתוך החלל אין מטען כי נתון שזה חלל ריק (לא חומר מבודד). אפשר לראות מחוק גאוס שהשדה חייב להיות אפס.
השדה בין הכדור הפנימי לחיצוני
נשתמש בחוק גאוס - נבנה מעטפת סביב הכדור הפנימי.
צריך למצוא כמה מטען נמצא בתוך משטח גאוס ברדיו $R_1 < r < R_2$.
אפשר לקבל את זה בעזרת צפיפות המטען $\rho$.
המטען $Q$ מפוזר בנפח הכדור פחות נפח החלל, כלומר:
\[\rho = \frac{Q}{\frac{4}{3}\pi R_2^3 - \frac{4}{3}\pi R_1^3}\]\[\rho = \frac{Q}{\frac{4}{3}\pi (R_2 - R_1)} = \frac{3Q}{4\pi (R_2 - R_1)}\]תזכורת - נפח של כדור
\[\frac{4}{3}\pi R^3\]
המטען בתוך משטח גאוסי דמיוני ברדיוס $r$:
\[Q_{enc} = \rho \cdot \underbrace{\frac{4}{3}\pi(r^3 - R_1^3)}_{\text{volume between } R_1 \text{ to } r}\]נציב בחוק גאוס ונמצא את $E$:
חוק גאוס הוא:
\[\oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{Q_{enc}}{\epsilon_0}\]
צד שמאל (השטף):
\[E \cdot 4\pi r^2\]צד ימין:
\[\frac{\rho \cdot \frac{4}{3}\pi(r^3 - R_1^3)}{\epsilon_0}\]אז:
\[E \cdot 4\pi r^2 = \frac{\rho \cdot \frac{4}{3}\pi(r^3 - R_1^3)}{\epsilon_0}\]נפתור עבור $E$ ונציב את $\rho = \frac{3Q}{4\pi(R_2^3 - R_1^3)}$:
\[E = \frac{\rho \cdot \frac{4}{3}\pi(r^3 - R_1^3)}{\epsilon_0 \cdot 4\pi r^2 }\] \[E = \frac{\frac{\cancel{3}Q}{\cancel{4\pi}(R_2^3 - R_1^3)} \cdot \frac{\cancel{4\pi}}{\cancel{3}}(r^3 - R_1^3)}{\epsilon_0 \cdot 4\pi r^2 }\] \[\boxed{E(R_1 < r < R_2) = \frac{kQ(r^3 - R_1^3)}{r^2(R_2^3 - R_1^3)}\hat{r}}\]השדה מחוץ לכדור החיצוני
אפשר להתייחס כמטען נקודתי להבנתי:
\[E = \frac{kQ}{r^2}\]שאלה 4: שדה חשמלי של מוט טעון אחיד על ציר – חישוב באמצעות אינטגרל
מוט דק באורך $L$ טעון בצפיפות מטען אחידה $\lambda$ קולון למטר. המוט מונח על ציר $y$ השלילי כך שקצהו העליון מתלכד עם ראשית הצירים. מהו השדה החשמלי שיוצר המוט על ציר $y$ החיובי?
לדעתי אינטגרל.
אל אלמנט $dy’$ על המוט יוצר שדה בנקודה $y$ על ציר $y$ החיובי.
המרחק בין אלמנט $y’$, יעני וואי שלילי, לבין החיובי הוא:
\[d= y-y'\]המוט נמצא מ-$y’ = -L$ עד $y’ = 0$, אז:
\[dq = \lambda \, dy'\] \[dE = \frac{k \, dq}{(y - y')^2} = \frac{k\lambda \, dy'}{(y - y')^2}\] \[E = \int_{-L}^{0} \frac{k\lambda \, dy'}{(y - y')^2}\]מכאן הסתבכתי עם האינטגרל, לפי קלוד זה די קל וצריך פשוט הצבה.
שאלה 5: שדה ועבודה של דיסקה עם צפיפות מטען רדיאלית משתנה
דיסקה עגולה ברדיוס $R$ טעונה בצפיפות מטען משטחית רדיאלית $\sigma(r) = \sigma _0 e6{-kr}$
- מהו השדה החשמלי על ציר $y$ החיובי?
- חלקיק שמסתו $m$ ומטענו החשמלי הוא $q$ נופל מטה על ציר $y$ החיובי מגובה $y=b$ לגובה $y=a (b>a)$. קבלו את משוואת שימור האנרגיה של החלקיק בפרמטרים של הבעייה.
זאת צפיפות משתנה , אז נדרש לדעתי אינטגרל.
נוסחה לשדה של טבעת על הציר
השדה בנקודה $y$ מטבעת ברדיוס $r$:
\[dE_y = \frac{k \cdot dq \cdot y}{(r^2 + y^2)^{3/2}}\](רק רכיב $y$ שורד מסימטריה)
המטען על טבעת
\[dq = \sigma(r) \cdot dA = \sigma_0 e^{-kr} \cdot 2\pi r \, dr\]האינטגרל
\[E_y = \int_0^R \frac{k \cdot \sigma_0 e^{-kr} \cdot 2\pi r \cdot y}{(r^2 + y^2)^{3/2}} dr\]זה אינטגרל מסובך. שוין.
אגב היה פוטנציאל של טבעת בשאלה 8 במבחן אמצע תשפה:
\[\int \frac{kdq}{\sqrt{r^2 + z^2}}dA = k \int \frac{dq}{\sqrt{r^2 + z^2}}\]שאלה 6: אטום המימן
אטום המימן
שאלה 7
פתרון מלא נמצא בתרגול 5.
שאלה 8: סופרפוזיציה של שדות - קליפה כדורית טעונה ומישור אינסופי
משטח מישורי אין סופי הטעון בצפיפות מטענים $+\sigma$ קולון למטר מרובע נמצא במרחק $L$ ממרכזה של קליפה כדורית דקה בעלת רדיוס $R$. הקליפה הכדורית טעונה אף היא בצפיפות מטענים $+\sigma$ קולון למטר מרובע.
סעיף 1: שדה בנקודה A
השדה החשמלי בנקודה A בין הקליפה הכדורית למשטח המישורי, במרחק $a$ ממרכז הקליפה הכדורית יהיה (משתמשים במערכת הצירים שבציור לקביעת הכיוון החיובי):
כנראה שצריך לעשות סופר פוזיציה.
הקליפה מבחוץ היא כמו מטען נקודתי אז ההשפעה שלה היא:
\[E = \frac{kQ}{a^2}\]כאשר
\[Q = 4\pi R^2 \sigma\](זאת קליפה כדורית - לשים לב לא להתבלבל עם מעגל כמו שקרה לי כבר)
סך הכל:
\[E = \frac{k 4\pi R^2 \sigma}{a^2}\]לכיוון $x$ חיובי.
המשטח לעומת זאת משפיע בכיוון הפוך. משטח אינסופי מתקבל על ידי הנוסחה:
\[E_{plane} = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}\]הערה: השדה קבוע ולא תלוי במרחק! והא מצביע הרחק מהמשטח - בכיוון מינוס איקס.
סופרפוזיציה בנקודה A
\[\vec{E}_A = \underbrace{\frac{kQ}{a^2}\hat{x}}_{\text{shell}} + \underbrace{\left(-\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\right)\hat{x}}_{\text{plane}}\]ננסה להציב $Q = 4\pi R^2 \sigma$ ולפשט:
\[\vec{E}_A = \frac{k4\pi R^2 \sigma}{a^2}\hat{x} + \left(-\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\right)\hat{x}\]קיצור דרך:
\[k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\]אז:
\[E_{sphere} = \frac{kQ}{a^2} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{4\pi R^2 \sigma}{a^2} = \frac{R^2 \sigma}{\epsilon_0 a^2}\]סופרפוזיציה
\[E_A = \frac{R^2 \sigma}{\epsilon_0 a^2} - \frac{\sigma}{2\epsilon_0} = \boxed{\frac{\sigma}{\epsilon_0}\left(\frac{R^2}{a^2} - \frac{1}{2}\right)}\]סעיף 2: עבודה בין הנקודות B ו-A
מהי העבודה הדרושה כדי להעביר מטען חיובי קטן $q$ מהנקודה $B$ לנקודה $A$ שבציור?
יש לנו את השדה החשמלי אולי אפשר לקבל ממנו את הפוטנציאל?
כנראה שצריך להיעזר בהפרש פוטנציאלים כי:
\[W = q\Delta V = q (V_A - V_B) = -q \int _B^A \vec{E}d\vec{l}\]אורך המסלול הוא $2a$.
תרומת הקליפה לעבודה מתבטלת משיקולי סמיטריה ולכן רק המשטח האינסופי תורם:
\[W=-q\int _{-a}^a \left(-\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\right)dx = \frac{q \sigma }{2 \epsilon_0} x \bigg{|}_{-a}^{a} = \frac{q \sigma }{2 \epsilon_0} (a - (-a)) = \boxed{\frac{q\sigma a}{\epsilon_0}}\]שאלה 9: שדות, פוטנציאל וכוחות בין לוחות מוליכים מקבילים טעונים
נתונות שטי טבללאות $\text{I}$ ו- $\text{II}$ מישוריות, מוליכות, אינסופיות בעלות עובי של 2 מילימטר כל אחת, ומקבילות זו לזו. המרחק בין הטבלאות הוא $D=0.1$ מטר. הטבלה השמאלית $(\text{I})$ טעונה בצפיפות מטען חיובית $\sigma_1 = +10\cdot 10^{-9}$ קולון למטר בריבוע, והטבלה הימנית $(\text{II})$ טעונה בצפיפות מטען שלילית $\sigma_2 = -6 \cdot 10^{-9}$ מטר לריבוע.
נסמן ב א את המרחב שמשמאלת לטבלה I, ב ב את המרחב שבין שתי הטבלאות וב ג את המרחב שמימין לטבלה II:
סעיף 1: שדה חשמלי משמאל
מהו ערכו של השדה החמשלי (ביחידות של וולט למטר) באזור א?
הפתרון הבא כנראה שגוי אבל הביא לתשובה הנכונה:
חישבתי כך: שדה אינסופי נתון על ידי:
\[\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\]בגלל שהלוח מוליך המטען מצטבר על הקצוות, ובגלל שמימין יש לוח עם מטען שלילי, על הדופן הימנית של הלוח השמאלי מצטבר מטען באותו גודל, של $+6 \cdot 10^{-9}$ כך שעל הצד השמאלי נשאר $+4 \cdot 10^{-9}$.
נציב בנוסחה:
\[E_א = \frac{4 \cdot 10^{-9}}{2\epsilon_0}\]נציב:
\[\epsilon_0 \approx 8.854 \cdot 10^{-12}\]אז:
\[E_א = \frac{2 \cdot 10^{3}}{8.854} \approx 226\]הערה: בפתרון הרשמי נראו שהשתמשו דווקא ב $k$:
\[k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\]אז:
\[\frac{\sigma}{2\varepsilon_0} = \frac{\sigma \cdot 4\pi k}{2} = 2\pi k \sigma\]גם השתמשו בנוסחה אחרת:
באזור החיצוני (א או ג):
\[E = \frac{|\sigma_1| - |\sigma_2|}{2\varepsilon_0}\]באזור הפנימי (ב):
\[E = \frac{|\sigma_1| + |\sigma_2|}{2\varepsilon_0}\]
סעיף 2: הפרש פוטנציאלים
מהו הפרט הפוטנציאלים (בוולטים) בין שני הלוחות?
נשתמש בנוסחה:
\[\Delta V = E \cdot d\]מסופר פוזיציה:
\[\Delta V = 0.1 \left(\frac{\sigma_1}{2\epsilon_0} + \frac{\sigma_1}{2\epsilon_0}\right)\]כאן יש משהו טריקי, כנראה שלא אמורים לחסר (במקור הצבתי מינוס ויצא לא נכון). זה כנראה בגלל שהם באותו כיוון.
\[\Delta V = \frac{0.1}{2\epsilon_0} \left(+10\cdot 10^{-9} + 6 \cdot 10^{-9} \right) \approx \boxed{90.4}\]בהתחלה גם חשבתי ששואלים רק על האזור של ב׳, אבל כנראה שזה לא היה המצב. הנה התשובה השגויה שלי לתיעוד:
יש לנו את השדה באזור ב (בין הלוחות). הפרש פוטנציאלים קשור לשדה על ידי:
\[\Delta V = E \cdot d\]$d$ הוא המרחק.
אבל קודם צריך לחשב את השדה באזור ב.
כאמור בסעיף 1 על הצד הפנימי של הלוח השמאלי יש $+6 \cdot 10^{-9}$, ועל הצד הפנימי של הלוח הימני יש $-6 \cdot 10^{-9}$.
אז השדה באזור ב נוצר משני המשטחים האלה:
\[E_ב = \frac{6 \cdot 10^{-9}}{2\varepsilon_0} + \frac{6 \cdot 10^{-9}}{2\varepsilon_0} = \frac{6 \cdot 10^{-9}}{\varepsilon_0}\](שני השדות באותו כיוון - מהחיובי לשלילי)
עכשיו אפשר לחשב את הפרש הפוטנציאלים עם $\Delta V = E \cdot D$:
\[\Delta V = \frac{6 \cdot 10^{-9}}{\varepsilon_0} \cdot 0.1\] \[\Delta V = \frac{6 \cdot 10^{-9}}{8.854 \cdot 10^{-12}} \cdot 0.1\] \[= \frac{6 \cdot 10^{-9} \cdot 0.1}{8.854 \cdot 10^{-12}}\] \[= \frac{6 \cdot 10^{-10}}{8.854 \cdot 10^{-12}}\] \[= \frac{600}{8.854} \approx 67.7\]
סעיף 3: כוח חשמלי על לוח 2
מהו הכוח החשמלי (בניוטונים) הפועל על יחידת שטח של לוח $\text{II}$?
הנוסחה לכוח על מטען:
\[F = qE\]במקרה שלנו צריך להתאים ליחידת שטח (לחץ?)
כוח על שטח טעון:
אם יש לנו שטח $A$ עם צפיפות מטען $\sigma$, אז המטען הכולל הוא:
\[q = \sigma \cdot A\]לכן:
\[F = qE = \sigma A \cdot E\]כוח ליחידת שטח:
\[\frac{F}{A} = \sigma \cdot E\]במקרה שלנו:
\[\frac{F}{A} = \sigma_{II} \cdot E_{I} = -6 \cdot 10^{-9} \cdot \frac{10 \cdot 10^{-9}}{2\epsilon_0}\] \[\frac{F}{A} = 6 \cdot 10^{-9} \cdot \frac{10 \cdot 10^{-9}}{2 \cdot 8.854 \cdot 10^{-12}}\] \[= \frac{60 \cdot 10^{-18}}{17.7 \cdot 10^{-12}}\] \[= \frac{60 \cdot 10^{-18}}{1.77 \cdot 10^{-11}}\] \[\approx 3.4 \cdot 10^{-6} \text{ N/m}^2\]סעיף 4: צפיפות המטענים על השפה הימנית של 1
מה צפיפות המטענים (ביחידות של קולון למטר בריבוע) על השפה הימנית של לוח $\text{I}$?
במקור חשבתי שש (כך פתרתי את התרגיל הראשון) אבל זה שגוי.
כלל ידוע למודלי MML: בשני לוחות מוליכים מקבילים, המטען על שני הצדדים החיצוניים שווה ומתחלק:
\[\sigma_{external} = \frac{\sigma_1 + \sigma_2}{2} = \frac{(10-6) \cdot 10^{-9}}{2} = 2 \cdot 10^{-9}\]
אז על הצדדים הפנימיים:
- לוח I פנימי: $10 - 2 = 8 \cdot 10^{-9}$
- לוח II פנימי: $-6 - 2 = -8 \cdot 10^{-9}$
פתרון שיטתי יותר (כמו זה שפורסם).
בתוך לוח 1 השדה הוא אפס, המטענים מצטברים על הדפנות. נסמן $\sigma_1 ‘$ את הצפיפות על דופן ימין (הפנימית), אז הצפיפות בדופן שמאל (החיצונית) היא: $\sigma_1 - \sigma_1 ‘$.
עכשיו החלק שלא הבנתי עד הסוף, למה:
\[\sigma_1 ' = |\sigma_2| +\sigma_1 - \sigma_1 '\]הסבר:
זה מגיע מהתנאי שהשדה בתוך המוליך חייב להיות אפס.
בתוך לוח I, השדה הכולל = 0:
השדות שמשפיעים על נקודה בתוך לוח I:
הצד השמאלי של לוח I ($\sigma_1 - \sigma_1’$): שדה ימינה → $+\frac{\sigma_1 - \sigma_1’}{2\varepsilon_0}$
הצד הימני של לוח I ($\sigma_1’$): שדה שמאלה ← $-\frac{\sigma_1’}{2\varepsilon_0}$
הצד השמאלי של לוח II ($-|\sigma_2|$): שדה ימינה (לכיוון השלילי) → $+\frac{|\sigma_2|}{2\varepsilon_0}$
הצד הימני של לוח II: תורם גם, אבל בגלל סימטריה אפשר להתעלם כאן
התנאי:
\[\frac{\sigma_1 - \sigma_1'}{2\varepsilon_0} + \frac{|\sigma_2|}{2\varepsilon_0} = \frac{\sigma_1'}{2\varepsilon_0}\]נכפיל ב-$2\varepsilon_0$:
\[\sigma_1 - \sigma_1' + |\sigma_2| = \sigma_1'\]
נוסחאות
דור פסקלחוק קולון:
\[F = k \frac{q_1 q_2}{r^2}\]שדה חשמלי של מטען נקודתי:
\[E = k \frac{q}{r^2}\]קבוע קולון:
\[k = 8.99 \times 10^9 \, \frac{N \cdot m^2}{C^2}\]חוק ניוטון השלישי:
\[\vec{F}_{12} = -\vec{F}_{21}\]מונחים
- שדה חשמלי (Electric field) - עוצמה וכיוון הכוח ליחידת מטען
- סופרפוזיציה - שדות/כוחות מסתכמים וקטורית
- מטען נקודתי - מטען שכל מימדיו זניחים ביחס למרחק
- שיווי משקל חשמלי - נקודה בה השדה או שקול הכוחות מתאפס