העמוד עדיין בעבודה.
נוסחאות
חוק קולון:
\[F = k \frac{q_1 q_2}{r^2}\]שדה חשמלי של מטען נקודתי:
\[E = k \frac{q}{r^2}\]קבוע קולון:
\[k = 8.99 \times 10^9 \, \frac{N \cdot m^2}{C^2}\]חוק ניוטון השלישי:
\[\vec{F}_{12} = -\vec{F}_{21}\]מונחים
- שדה חשמלי (Electric field) - עוצמה וכיוון הכוח ליחידת מטען
- סופרפוזיציה - שדות/כוחות מסתכמים וקטורית
- מטען נקודתי - מטען שכל מימדיו זניחים ביחס למרחק
- שיווי משקל חשמלי - נקודה בה השדה או שקול הכוחות מתאפס
שאלה 1
שני מטענים של 6 קולון (מימין בתרשים מטה) ו-3 קולון (משמאל) נמצאים לאורך קו ישר. המרחק בין המטענים הוא מטר אחד.
+3 C +6 C ---|--------------------|--- |<------- 1 m ------>|
- האם קיימת נקודה לאורך הקו הישר שבה השדה החשמלי מתאס? אם לא, נמקו מדוע לא, אם קיימת נקודה כזו, חשבו את מיקומה לאורך הקו הישר.
- מניחים מטען שלישי במרחק שני מטר משמאל למטען בן שלשת הקולון. מה צריך להיות גודלו ומה מטענו כדי ששקול הכוחות על המטען בן ששת הקולון יתאפס?
- מה גודל הכוח שמפעיל המטען בן ששת הקולון על המטען השלישי שהונח שלשה מטר משמאלו?
סעיף 1
מעקרון הסופרפוזיציה לשדות חשמליים:
\[\vec{E}_{total} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2\]נוסחת השדה של מטען נקודתי:
\[E = k \frac{q}{r^2}\]תנאי להתאפסות:
\[E_1 = E_2\]כלומר:
\[k \frac{q_1}{r_1^2} = k \frac{q_2}{r_2^2}\]נציב בנתוני השאלה:
\[q_1 = 3\] \[q_2 = 6\]נמצא את המרחקים. הבעיה חד מימדית, אם המרחק מהנקודה השמאלית הוא $x$ מהנקודה הימנית יהיה $(1-x)$.
\[\frac{3}{r_1^2} = \frac{6}{r_2^2}\]הופך ל:
\[\frac{3}{x^2} = \frac{6}{(1-x)^2}\] \[\frac{x^2}{(1-x)^2} = \frac{1}{2}\]מכאן זה פיתוח מתמטי. נוציא שורש:
\[\frac{x}{1-x} = \frac{1}{\sqrt{2}}\] \[\sqrt{2} x = 1 - x\] \[x (\sqrt{2} + 1) = 1\] \[\boxed{x = \frac{1}{\sqrt{2} + 1} \approx 0.414 \, \mathrm{m}}\]הנקודה במרחק של כ-0.414 מטר מימין למטען השמאלי (בין שני המטענים).
מניחים מטען שלישי במרחק שני מטר משמאל למטען בן שלשת הקולון. מה צריך להיות גודלו ומה מטענו כדי ששקול הכוחות על המטען בן ששת הקולון יתאפס?
להבנתי צריך להשתמש בסופר פוזיציה.
הוא צריך להיות שלילי כנראה.
נציב במשוואה.
שקול הכוחות על המטען בן ששת הכולון הוא:
\[F_{3 \to 6} + F_{? \to 6} = 0\]ניעזר בחוק קולון:
\[k\frac{3 \cdot 6}{1^2} + k \frac{q_3 \cdot 6}{9} = 0\] \[\frac{2q_3}{3} = -18\] \[\boxed{q_3 = -27}\]הכיוון צריך להיות שלילי כי המטען המקורי של 6 היה חיובי.
מה גודל הכוח שמפעיל המטען בן ששת הקולון על המטען השלישי שהונח שלשה מטר משמאלו?
זה לא פשוט 6? מה זה גודל הכוח?
גודל הכוח הכוונה לערך המוחלט של הכוח בניוטונים, לא רק ערך המטען.
צריך להשתמש בחוק קולון:
\[F = k\frac{q_1 \cdot q_2}{r^2}\]הנתונים:
- $q_1 = 6C$
- $q_2 = -27C$ (המטען מהסעיף הקודם)
- $r = 3m$
- $k = 8.99 \times 10^9$
ננסה להציב ולחשב:
\[F = k \frac{-27 \cdot 6}{9} = - 18 k\]בערך מוחלט:
\[18k\]אם נציב את הערך של $k$ כדי לקבל תשובה ביחידות של ניוטון:
\[\boxed{F = 18k = 18 \times 8.99 \times 10^9 \approx 1.62 \times 10^{11} \, \mathrm{N}}\]שאלה 2
בכל אחד מחמשת הקודקודים $\text{A, B, C, D, E}$ של משושה משוכלל שאורך צלעו $a$ נמצא מטען חיובי $Q$. בקודקוד $\text{F}$ אין מטען.
a Q ----- Q / \ / a a \ Q ----- O -----F \ / \ / Q ----- Q
- מה וקטור השדה החשמלי השקול (גודל וכיוון) במרכזו של המשושה - נקודה O?
- מעבירים מטען נוסף $\text{Q}$ ממרחק גדול מאוד (לצורך עניין אינסוף) אל הנקודה $\text{O}$. מהי העבודה שנעשתה נגד כוחות השדה החשמלי?
- מעבירים את המטען מהסעיף הקודם מנקודה O אל נקודה F.
- מה השדה החשמלי בנקודה O כעת?
- האם דרושה עבודה חיצונית כדי להביא מטען כלשהו $q$ מאינסוף אל מרכז המשושה? אם כן חשבו את העבודה.
- בכל אחד משלושת קודקודי המשושה $\text{E, C, A}$ מחליפים את המטען החיובי $Q$ במטען שלילי $-Q$. מה השדה בקוקדוים האחרים מטען חיובי ובמרכז אין מטען. האם פעולה זו תגרום לשינוי העבודה הדרושה להבאת אותו מטען $q$ מאינסוף למרכז המשושה?
אפשר לזהות שכל המטענים מתבטלים משיקולי סימטריות למעט המעטן שמול הנקודה F.
\[\boxed{F = k\frac{Q}{(a)^2}}\]$a$ כי זה המרחק של צלע המשושה, וזה המרחק מהנקודה O למטען Q שמולה.
השדה מצביע לכיוון ציר $x$ חיובי, כלומר ימינה.
מעבירים מטען נוסף $\text{Q}$ ממרחק גדול מאוד (לצורך עניין אינסוף) אל הנקודה $\text{O}$. מהי העבודה שנעשתה נגד כוחות השדה החשמלי?
נראה שצריך כאן נוסחאות של אנרגיה פוטנציאלית ועבודה.
דור פסקלנוסחאות נדרשות:
פוטנציאל חשמלי של מטען נקודתי:
\[V = k\frac{q}{r}\]עבודה נגד השדה:
\[W = q \cdot \Delta V = q(V_{final} - V_{initial})\]או דרך אנרגיה פוטנציאלית:
\[W = \Delta U = U_{final} - U_{initial}\]רמז מקלוד: הפוטנציאל באינסוף שווה לאפס. צריך לחשב את הפוטנציאל בנקודה O שנוצר מכל 5 המטענים, ואז להכפיל ב-Q.