הסיכום עדיין בעבודה.
חזרה - מטען נקודתי וסופר פוזיציה
מטען נקודתי:
\[\vec{E} = \frac{kq}{r^3}\vec{r}\]סופר פוזיציה:
\[\vec{E}(\vec{r}) = \sum_i \vec{E}_i(\vec{r})\]ציור לדוגמה:
דרף אחרת לכתיבת השדה כסופר פוזיציה:
\[\vec{E}(\vec{r}) = k \sum_i \frac{q_i}{|\vec{r} - \vec{r_i}|^3} (\vec{r} - \vec{r_i})\]דוגמה לסופר פוזיציה של מספר מטענים
נתבונן בטבעת שטעונה בצפיפות מטען כלשהי $\lambda$ קולון ליחידת אורך.
נוריד נקודה אחת על פני המעגל (נבטל את הסימטריה - לא את הסופר פיזציה).
מה יהיה השדה במרכז המעגל?
נוכל לבצע סופר פוזיציה של שתי קונפיגורציות פשוטות: המעגל המעלה והמטען השלילי שהורדנו מהנקודה בקצה ($\Delta q$).
\[0 + \vec{E}_{\Delta q} = \vec{E}_{total}\] \[0 + \frac{k \Delta q}{R^2} \hat{r} = \vec{E}_{total}\]כדולר מלא מוליך:
כדולר מלא עם מטען כולל $Q$:
מלא לא מוליך:
כדור מלא ומוליך זה כמו קליפה טעונה זאת אותה קוניפגורציה מבחינה אלקטורמגנטית. בשני המקרים המטענים על השפה ובפנים השדה הוא אפס.
בפנים (בתוך) מטען לא ימשך כי השדה הוא אפס. לא פועל עליו כוח.
איך זה יכול להיות?
נניח שאנחנו שמים מטען $q$ שלילי בפנים. אז מטענים בקליפה החיובית ינועו.
נזכיר ש $\rho$ קבוע.
נבנה כדור קונצרטני.
יש כדור $Q$ Pפנימי הוא:
\[Q_{in} = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi r^3\]$Q$ חיצוני הוא:
\[Q_{out} = Q - Q_{in} = \rho \cdot \left( \frac{4}{3} \pi R^3 - \frac{4}{3} \pi r^3 \right)\]זה מחוק גאוס. השטף דרך המעטפת הגאוסית:
\[4\pi r^2 E = \frac{Q_{in}}{\epsilon_0} = \frac{\rho \cdot \frac{4}{3} \pi r^3}{\epsilon_0}\] \[\Phi_{\partial \Omega} (E) = \frac{Q_{in}}{\epsilon_0} \implies E = \frac{\rho r}{3 \epsilon_0}\]נתון כדור מבודד עם התפלגות מטען:
\[\rho(r) = \frac{\alpha}{r^2} \cosh \left( \frac{ \ln 2 r}{R} \right)\]
היחידות של $\cosh$ - חסר יחידות.
היחידות של $\rho$ - קולון למטר מעוקב.
היחידות של $\alpha$ - קולון למטר.
…
\[\Phi_{\partial \Omega} = \frac{Q_{in}}{\epsilon_0}\] \[E = \frac{Q_{in}}{4 \pi \epsilon_0 r^2}\] \[E_r(r)4 \pi r^2 = \frac{1}{\epsilon_0} \int_0^r \rho(r') 4 \pi r'^2 dr'\] \[E_r(r) = \frac{1}{\epsilon_0 r^2} \int_0^r \rho(r') r'^2 dr'\] \[E_r(r) = \frac{1}{\epsilon_0 r^2} \int_0^r \alpha \cosh \left( \frac{\ln 2 r'}{R} \right) dr'\] \[E_r(r) = \frac{\alpha}{\epsilon_0 r^2} \int_0^r \cosh \left( \frac{\ln 2 r'}{R} \right) dr'\] \[E_r(r) = \frac{\alpha}{\epsilon_0 r^2} \left[ \frac{R}{\ln 2} \sinh \left( \frac{\ln 2 r'}{R} \right) \right]_0^r\] \[E_r(r) = \frac{\alpha R}{\epsilon_0 r^2 \cdot \ln 2} \sinh \left( \frac{\ln 2 r}{R} \right)\]נסיים לפתור:
\[Q(r=R) = \int_0^R \rho(r') 4 \pi r'^2 dr' = 4 \pi \alpha \int_0^R \cosh \left( \frac{\ln 2 r'}{R} \right) dr'\] \[Q(R) = 4 \pi \alpha \left[ \frac{R}{\ln 2} \sinh \left( \frac{\ln 2 r'}{R} \right) \right]_0^R = \frac{4 \pi \alpha R}{\ln 2}\]כנראה יש שם טעות.
גליל אין סופי
…
ב _
\[\vec{E}(\vec{r}) = \frac{Ka}{r^2} \hat{r}\] \[\vec{E}(\vec{r}) = \frac{2K\lambda}{r} \hat{r}\] \[\vec{E}(\vec{r}) = \frac{ \sigma}{2 \epsilon_0} (\pm \hat{z})\]התפלגות תלת מימדית של מטען:
\[\vec{E}(\vec{r}) = \frac{\rho}{3 \epsilon_0} \vec{r}\]\[\vec{E}(\vec{r}) \propto r^{n-2}\] דור פסקל