חזרה על פעולות בסיסיות בווקטורים
בשיעור הקודם למדנו על הפעולות הבסיסיות בווקטורים. עבור וקטור $\vec{v}$ וסקלר $\alpha$, פעולת הכפל מוגדרת:
\[\alpha \vec{v} = (\alpha v_x, \alpha v_y, \alpha v_z)\]עבור שני וקטורים $\vec{v}$ ו-$\vec{w}$, פעולות החיבור והחיסור מתבצעות רכיב-רכיב:
\[\vec{v} \pm \vec{w} = (v_x \pm w_x, v_y \pm w_y, v_z \pm w_z)\]הבסיס הסטנדרטי במרחב התלת-ממדי
הבסיס הסטנדרטי של המרחב התלת-ממדי מורכב משלושה וקטורי יחידה ניצבים זה לזה:
\[\hat{x} = \begin{pmatrix} 1 \\[10pt] 0 \\[10pt] 0 \end{pmatrix}, \quad \hat{y} = \begin{pmatrix} 0 \\[10pt] 1 \\[10pt] 0 \end{pmatrix}, \quad \hat{z} = \begin{pmatrix} 0 \\[10pt] 0 \\[10pt] 1 \end{pmatrix}\]כל אחד מווקטורי הבסיס הללו הוא וקטור יחידה (באורך 1) המצביע בכיוון אחד הצירים הקרטזיים.
ייצוג וקטורים: שורה ועמודה
וקטור ניתן לייצוג בשתי צורות שקולות:
-
וקטור שורה:
\[(3, 2, 1)\] -
וקטור עמודה:
\[\begin{pmatrix} 3 \\[10pt] 2 \\[10pt] 1 \end{pmatrix}\]
במסגרת החשבון הווקטורי במרחב האוקלידי, אין הבדל עקרוני בין שני הייצוגים. הבחירה ביניהם נקבעת בדרך כלל על פי הנוחות החישובית בהקשר הספציפי.
פריסת וקטור בבסיס
פריסה בבסיס הסטנדרטי
כל וקטור במרחב התלת-ממדי ניתן לביטוי כקומבינציה לינארית של וקטורי הבסיס הסטנדרטי. לדוגמה, הוקטור $\vec{a} = (3, 2, 1)$ ניתן לכתיבה כך:
\[\vec{a} = 3\hat{x} + 2\hat{y} + \hat{z}\]פירוש גיאומטרי: כדי להגיע לנקודה המייצגת את הוקטור, נלך 3 צעדים בכיוון ציר $x$, 2 צעדים בכיוון ציר $y$, וצעד אחד בכיוון ציר $z$.
הביטוי הזה נקרא הפריסה של הוקטור $\vec{a}$ בבסיס הסטנדרטי. המקדמים 3, 2, 1 הם הקואורדינטות שלו במערכת הצירים הקרטזית.
בסיס לא סטנדרטי
ניתן להגדיר בסיסים אחרים למרחב התלת-ממדי. לדוגמה, הקבוצה:
\[\vec{e}_1 = (1, 1, 0), \quad \vec{e}_2 = (1, 0, 1), \quad \vec{e}_3 = (0, 1, 1)\]מהווה בסיס חוקי למרחב התלת-ממדי.
תנאי לקבוצת בסיס
קבוצת וקטורים מהווה בסיס אם ורק אם הווקטורים בלתי תלויים לינארית - כלומר, אף וקטור בקבוצה אינו ניתן לביטוי כקומבינציה לינארית של האחרים.
ניתן להדגים שהווקטורים $\vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3$ אכן בלתי תלויים על ידי ניסיון לבטא את $\vec{e}_1$ כקומבינציה לינארית של $\vec{e}_2$ ו-$\vec{e}_3$:
\[\vec{e}_1 = \alpha \vec{e}_2 + \beta \vec{e}_3\]פיתוח המשוואה:
\[\begin{pmatrix} 1 \\[10pt] 1 \\[10pt] 0 \end{pmatrix} = \alpha \begin{pmatrix} 1 \\[10pt] 0 \\[10pt] 1 \end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix} 0 \\[10pt] 1 \\[10pt] 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha \\[10pt] \beta \\[10pt] \alpha + \beta \end{pmatrix}\]השוואת הרכיבים נותנת את מערכת המשוואות:
\[\begin{aligned} \alpha &= 1 \\[10pt] \beta &= 1 \\[10pt] \alpha + \beta &= 0 \end{aligned}\]מערכת זו סותרת (מהמשוואות הראשונות נובע ש-$\alpha + \beta = 2$, בעוד המשוואה השלישית דורשת $\alpha + \beta = 0$). לכן אין ערכים של $\alpha$ ו-$\beta$ המקיימים את המשוואה, והווקטורים אכן בלתי תלויים לינארית.
פריסת וקטור בבסיס לא סטנדרטי
כעת נרצה לפרוס את הוקטור $\vec{a} = (3, 2, 1)$ בבסיס החדש ${\vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3}$. אנו מחפשים מקדמים $\alpha, \beta, \gamma$ כך ש:
\[\vec{a} = \alpha \vec{e}_1 + \beta \vec{e}_2 + \gamma \vec{e}_3\]הצבת הווקטורים:
\[\begin{pmatrix} 3 \\[10pt] 2 \\[10pt] 1 \end{pmatrix} = \alpha \begin{pmatrix} 1 \\[10pt] 1 \\[10pt] 0 \end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix} 1 \\[10pt] 0 \\[10pt] 1 \end{pmatrix} + \gamma \begin{pmatrix} 0 \\[10pt] 1 \\[10pt] 1 \end{pmatrix}\]פיתוח אגף ימין:
\[\begin{pmatrix} 3 \\[10pt] 2 \\[10pt] 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha + \beta \\[10pt] \alpha + \gamma \\[10pt] \beta + \gamma \end{pmatrix}\]השוואת הרכיבים מניבה מערכת של שלוש משוואות בשלושה נעלמים:
\[\begin{aligned} \alpha + \beta &= 3 \\[10pt] \alpha + \gamma &= 2 \\[10pt] \beta + \gamma &= 1 \end{aligned}\]פתרון מערכת משוואות זו ייתן את המקדמים $\alpha, \beta, \gamma$ - הקואורדינטות של הוקטור $\vec{a}$ בבסיס החדש. שימו לב שאותו וקטור מיוצג על ידי קואורדינטות שונות בבסיסים שונים, אך הוא נשאר אותו וקטור גיאומטרי במרחב.
המכפלה הסקלרית
המכפלה הסקלרית היא פעולה מתמטית בסיסית וחשובה בחשבון וקטורי. בניגוד לפעולות שראינו עד כה (חיבור וקטורים, כפל בסקלר), המכפלה הסקלרית מקבלת כקלט שני וקטורים ומחזירה כפלט סקלר - גודל המתואר על ידי מספר יחיד ללא כיוון. לדוגמה, הטמפרטורה (37.2 מעלות) היא גודל סקלרי טיפוסי.
הגדרה מתמטית
המכפלה הסקלרית בין שני וקטורים $\vec{a}$ ו-$\vec{b}$ מוגדרת כך:
\[\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\]כאשר:
- $|\vec{a}|$ ו-$|\vec{b}|$ הם אורכי הווקטורים
- $\theta$ היא הזווית בין הווקטורים
- הנקודה (·) מסמנת מכפלה סקלרית (להבדיל ממכפלה רגילה בין מספרים)
תכונות המכפלה הסקלרית עבור וקטורי הבסיס
נבחן את התנהגות המכפלה הסקלרית עבור וקטורי היחידה של הבסיס הסטנדרטי:
מכפלה של וקטור יחידה בעצמו
עבור וקטור יחידה כמו $\hat{x}$:
\[\hat{x} \cdot \hat{x} = |\hat{x}||\hat{x}|\cos(0°) = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1\]הזווית בין וקטור לעצמו היא אפס, ו-$\cos(0°) = 1$.
באופן דומה:
\[\hat{x} \cdot \hat{x} = \hat{y} \cdot \hat{y} = \hat{z} \cdot \hat{z} = 1\]מכפלה בין וקטורי יחידה שונים
עבור וקטורי יחידה ניצבים:
\[\hat{x} \cdot \hat{y} = |\hat{x}||\hat{y}|\cos(90°) = 1 \cdot 1 \cdot 0 = 0\]מכיוון שהזווית בין $\hat{x}$ ל-$\hat{y}$ היא 90 מעלות, ו-$\cos(90°) = 0$.
באופן כללי, לכל זוג וקטורי בסיס שונים:
\[\hat{x} \cdot \hat{y} = \hat{x} \cdot \hat{z} = \hat{y} \cdot \hat{z} = 0\]התנאי לניצבות וקטורים
המכפלה הסקלרית מספקת לנו כלי אלגנטי לזיהוי ניצבות בין וקטורים. אם המכפלה הסקלרית בין שני וקטורים מתאפסת, אחת משלוש האפשרויות הבאות מתקיימת:
- הווקטור הראשון הוא וקטור האפס (כל רכיביו אפס)
- הווקטור השני הוא וקטור האפס
- שני הווקטורים שונים מאפס וניצבים זה לזה
מכיוון שווקטור האפס הוא מקרה טריוויאלי, אנו מתמקדים במקרה השלישי ומגדירים:
\[\vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0\]כלומר, שני וקטורים (שאינם וקטור האפס) ניצבים זה לזה אם ורק אם המכפלה הסקלרית ביניהם היא אפס.
חישוב מכפלה סקלרית ברכיבים קרטזיים
נפתח כעת נוסחה לחישוב המכפלה הסקלרית באמצעות הרכיבים הקרטזיים של הווקטורים. נתונים שני וקטורים:
\[\vec{a} = a_x\hat{x} + a_y\hat{y} + a_z\hat{z}\] \[\vec{b} = b_x\hat{x} + b_y\hat{y} + b_z\hat{z}\]המכפלה הסקלרית ביניהם:
\[\vec{a} \cdot \vec{b} = (a_x\hat{x} + a_y\hat{y} + a_z\hat{z}) \cdot (b_x\hat{x} + b_y\hat{y} + b_z\hat{z})\]בפיתוח הביטוי, נקבל תשעה איברים. כל איבר מהצורה $(a_i\hat{i}) \cdot (b_j\hat{j})$ ייתן:
- $a_ib_i$ כאשר $i = j$ (כי $\hat{i} \cdot \hat{i} = 1$)
- 0 כאשר $i \neq j$ (כי וקטורי הבסיס ניצבים)
לכן, רק שלושה איברים שורדים:
\[\vec{a} \cdot \vec{b} = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z\]זוהי נוסחה פשוטה ויעילה: המכפלה הסקלרית בין שני וקטורים שווה לסכום מכפלות רכיביהם המתאימים.
חישוב אורך וקטור באמצעות מכפלה סקלרית
יישום מיוחד וחשוב של המכפלה הסקלרית הוא חישוב אורך וקטור. כאשר מכפילים וקטור בעצמו:
\[\vec{a} \cdot \vec{a} = a_xa_x + a_ya_y + a_za_z = a_x^2 + a_y^2 + a_z^2\]אך לפי הגדרת המכפלה הסקלרית:
\[\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}||\vec{a}|\cos(0°) = |\vec{a}|^2\]לכן:
\[|\vec{a}|^2 = a_x^2 + a_y^2 + a_z^2\]ומכאן:
\[|\vec{a}| = \sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}}\]נוסחה זו מספקת דרך אלגנטית לחישוב אורך וקטור באמצעות המכפלה הסקלרית, ומקשרת בין הגדרה גיאומטרית (אורך) לחישוב אלגברי (מכפלה סקלרית).
נרמול וקטור
נרמול וקטור הוא תהליך של יצירת וקטור יחידה (באורך 1) המצביע באותו כיוון של הווקטור המקורי. תהליך זה מתבצע על ידי חלוקת הווקטור באורכו:
\[\hat{a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = \frac{\vec{a}}{\sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}}}\]דוגמה לנרמול וקטור
נבחן את וקטורי הבסיס הלא-סטנדרטי שהגדרנו קודם. עבור הווקטור $\vec{e}_1 = (1, 1, 0)$:
ראשית נחשב את אורכו באמצעות המכפלה הסקלרית:
\[\vec{e}_1 \cdot \vec{e}_1 = 1^2 + 1^2 + 0^2 = 2\]לכן:
\[|\vec{e}_1| = \sqrt{2}\]כעת נוכל לבנות וקטור יחידה בכיוון $\vec{e}_1$:
\[\hat{e}_1 = \frac{\vec{e}_1}{|\vec{e}_1|} = \frac{1}{\sqrt{2}}(1, 1, 0)\]באופן דומה, עבור $\vec{e}_2 = (1, 0, 1)$:
\[\hat{e}_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1, 0, 1)\]מציאת הזווית בין וקטורים
המכפלה הסקלרית מאפשרת לנו לחשב את הזווית בין כל שני וקטורים במרחב. מההגדרה של המכפלה הסקלרית:
\[\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\]נוכל לבודד את הזווית:
\[\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\]ולכן:
\[\theta = \arccos\left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\right)\]דוגמה מפורטת למציאת זווית
נתונים שני וקטורים:
\[\vec{a} = 3\hat{x} - 3\hat{y} + \hat{z} = (3, -3, 1)\] \[\vec{b} = 2\hat{x} + \hat{y} - 3\hat{z} = (2, 1, -3)\]שלב 1: חישוב המכפלה הסקלרית
\[\vec{a} \cdot \vec{b} = 3(2) + (-3)(1) + 1(-3) = 6 - 3 - 3 = 0\]שלב 2: חישוב אורכי הווקטורים
\[|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + (-3)^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 9 + 1} = \sqrt{19}\] \[|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14}\]שלב 3: חישוב הזווית
\[\cos\theta = \frac{0}{\sqrt{19}\sqrt{14}} = 0\]לכן:
\[\theta = \arccos(0) = 90°\]המסקנה: הווקטורים ניצבים זה לזה.
 |
|---|
| וקטורים ניצבים - המכפלה הסקלרית ביניהם היא אפס |
בדיקת ניצבות בין וקטורים
כפי שראינו, תנאי הכרחי ומספיק לניצבות בין שני וקטורים (שאינם וקטור האפס) הוא שהמכפלה הסקלרית ביניהם תתאפס. נבדוק האם וקטורי הבסיס הלא-סטנדרטי שהגדרנו ניצבים זה לזה:
\[\vec{e}_1 \cdot \vec{e}_2 = (1, 1, 0) \cdot (1, 0, 1) = 1(1) + 1(0) + 0(1) = 1\]מכיוון שהמכפלה הסקלרית אינה אפס, הווקטורים $\vec{e}_1$ ו-$\vec{e}_2$ אינם ניצבים. חשוב להבחין: וקטורים יכולים להיות בלתי תלויים לינארית (כפי שהוכחנו קודם) מבלי להיות ניצבים זה לזה.
וקטורים חשובים בפיזיקה
וקטור המקום
וקטור המקום (position vector) הוא אחד הווקטורים הבסיסיים ביותר בפיזיקה. הוא מוגדר כווקטור המצביע מראשית הצירים אל מיקומו של חלקיק במרחב. בחירת ראשית הצירים נתונה לבחירתנו, ובדרך כלל נבחר אותה במקום שיפשט את פתרון הבעיה.
בעולם הפיזיקלי, כל דבר נמצא בתנועה, ולכן וקטור המקום הוא פונקציה של הזמן:
\[\vec{r}(t) = x(t)\hat{x} + y(t)\hat{y} + z(t)\hat{z}\]כל אחד מרכיבי הווקטור הוא פונקציה של הזמן, ולכן $\vec{r}(t)$ הוא פונקציה וקטורית - פונקציה שמחזירה וקטור עבור כל ערך של $t$.
וקטור ההעתק
כאשר חלקיק נע במרחב, הוא משנה את מיקומו מרגע לרגע. וקטור ההעתק $\Delta\vec{r}$ מתאר את השינוי במיקום החלקיק בין שני רגעי זמן.
אם ברגע $t$ החלקיק נמצא במיקום $\vec{r}(t)$, וברגע $t + \Delta t$ הוא נמצא במיקום $\vec{r}(t + \Delta t)$, אז וקטור ההעתק מוגדר:
\[\Delta\vec{r} = \vec{r}(t + \Delta t) - \vec{r}(t)\] |
|---|
| וקטור ההעתק מחבר בין שתי נקודות על מסלול התנועה |
המהירות הממוצעת במהלך פרק הזמן $\Delta t$ היא:
\[\vec{v}_{avg} = \frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t} = \frac{\vec{r}(t + \Delta t) - \vec{r}(t)}{\Delta t}\]וקטור המהירות הרגעית
המהירות הרגעית מתקבלת כאשר אנו לוקחים את הגבול של המהירות הממוצעת כאשר $\Delta t$ שואף לאפס:
\[\vec{v}(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t} = \frac{d\vec{r}}{dt}\]וקטור המהירות הרגעית הוא הנגזרת של וקטור המקום לפי הזמן. זוהי פונקציה וקטורית המורכבת משלושה רכיבים:
\[\vec{v}(t) = v_x(t)\hat{x} + v_y(t)\hat{y} + v_z(t)\hat{z}\]חשוב להבחין בין שני מושגים:
- Velocity (מהירות): גודל וקטורי הכולל גודל וכיוון
- Speed (מהירות סקלרית): הגודל בלבד, $|\vec{v}|$
לדוגמה, “נוסע במהירות 100 קמ”ש צפונה” מתאר velocity, בעוד “נוסע במהירות 100 קמ”ש” מתאר רק speed.
תנועה מעגלית קצובה
תנועה מעגלית קצובה היא תנועה שבה חלקיק נע במסלול מעגלי בקצב זוויתי קבוע. המאפיין המרכזי של תנועה זו הוא שהזווית משתנה באופן לינארי עם הזמן:
\[\theta(t) = \omega t\]כאשר $\omega$ היא המהירות הזוויתית, ביחידות של רדיאנים לשנייה.
 |
|---|
| תנועה מעגלית קצובה - החלקיק נע על מסלול מעגלי |
 |
|---|
| הזווית גדלה באופן לינארי עם הזמן |
וקטור המקום בתנועה מעגלית
עבור חלקיק הנע במעגל ברדיוס $r$, וקטור המקום נתון על ידי:
\[\vec{r}(t) = r\cos(\omega t)\hat{x} + r\sin(\omega t)\hat{y}\]נוכל לוודא שהחלקיק אכן נע במסלול מעגלי על ידי חישוב אורך וקטור המקום:
\[\begin{aligned} |\vec{r}|^2 &= \vec{r} \cdot \vec{r} \\[10pt] &= (r\cos(\omega t)\hat{x} + r\sin(\omega t)\hat{y}) \cdot (r\cos(\omega t)\hat{x} + r\sin(\omega t)\hat{y}) \\[10pt] &= r^2\cos^2(\omega t) + r^2\sin^2(\omega t) \end{aligned}\]לכן $|\vec{r}| = r$ - קבוע לכל זמן $t$. החלקיק נשאר תמיד במרחק $r$ מהראשית.
וקטור המהירות בתנועה מעגלית
וקטור המהירות מתקבל מגזירת וקטור המקום:
\[\vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}}{dt} = -\omega r\sin(\omega t)\hat{x} + \omega r\cos(\omega t)\hat{y}\]גודל המהירות:
\[|\vec{v}|^2 = \omega^2r^2\sin^2(\omega t) + \omega^2r^2\cos^2(\omega t) = \omega^2r^2\]לכן:
\[|\vec{v}| = \omega r\]גודל המהירות קבוע, אך כיוונה משתנה כל הזמן.
הוכחה שהמהירות משיקה למסלול
כדי להוכיח שוקטור המהירות משיק למסלול המעגלי, נראה שהוא ניצב לוקטור המקום:
\[\begin{aligned} \vec{r} \cdot \vec{v} &= r\cos(\omega t) \cdot (-\omega r\sin(\omega t)) + r\sin(\omega t) \cdot (\omega r\cos(\omega t)) \\[10pt] &= -\omega r^2\cos(\omega t)\sin(\omega t) + \omega r^2\sin(\omega t)\cos(\omega t) \\[10pt] &= 0 \end{aligned}\]מכיוון שהמכפלה הסקלרית מתאפסת, הווקטורים ניצבים. וקטור המקום מצביע מהמרכז אל החלקיק (בכיוון הרדיוס), ולכן וקטור המהירות חייב להיות משיק למעגל.
 |
|---|
| וקטור המהירות (אדום) תמיד ניצב לוקטור המקום (כחול) |
שלבים שונים בתנועה המעגלית
הטבלה הבאה מציגה את התנועה המעגלית בארבע נקודות זמן שונות:
| t = 0 | t = T/8 | t = T/4 | t = 3T/8 |
|---|---|---|---|
 |  |  |  |
בכל רגע, וקטור המהירות משיק למסלול וניצב לוקטור המקום.
כיוון המהירות
וקטור היחידה בכיוון המהירות הוא:
\[\hat{v} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \frac{\vec{v}}{\omega r} = -\sin(\omega t)\hat{x} + \cos(\omega t)\hat{y}\]כיוון המהירות משתנה ברציפות עם הזמן, אך גודלה נשאר קבוע. זוהי תכונה מאפיינת של תנועה מעגלית קצובה - התאוצה כולה מופנית למרכז המעגל (תאוצה צנטריפטלית) ומשנה רק את כיוון המהירות, לא את גודלה.
דור פסקל