חלק ראשון: מבוא לווקטורים והבהרות על הקורס
המרצה פתח את השיעור בהתייחסות לשאלה שעלתה בשיחה:
“אוקיי, עוד דבר אני מבקש להבין, אני מבקש להבין מכם, הייתה איזה שהיא תּוֹאֲנָה בשיחת חתך שעשה משה, שאתם מבקשים ללמוד אותם? נושאים שלא דיברתי עליהם בכיתה, ברשותכם אני רוצה רגע להתייחס לתּוֹאֲנָה הזאת, אני רוצה להזכיר לכולכם שימי הטיפורים פרו חלפו לבלי שוב, אני מאוד מקווה בשלכם שאף אחד מכם לא צריך לעבור אותו.”
המרצה הדגיש שהסטודנטים נמצאים באקדמיה, שבה הלימוד מתבצע בכיתה, בתרגול וגם בלימוד עצמי:
“אתם נמצאים באקדמיה באוניברסיטה, הלימוד נעשה גם בכיתה, גם בתרגול וגם מחוץ לכיתה. החומרים שאני מחלק לכם הם חלק מהסילאבוס של הקורס, לא כל מילה שמופיעה שם תופיע בכיתה, אבל זה חלק מהחומרים שאתם עומדים וחלק מהקורס.”
המרצה שיתף זיכרון אישי מתקופת לימודיו:
“שאני הייתי סטודנט, אני זוכר, בתואר ראשון אני חושב ששני-שליש מהזמן שלי שאני ער הייתי בספרייה, אתם כאילו שם שלחו אותי המורים שלי ושלחו אותי לספרות מסוימת והייתי צריך לקרוא אותה והייתי צריך להתרגל באמצעותיו.”
המרצה גם הזכיר בעיה טכנית:
“הם טוענים שזה לא עובד, עכשיו עובד? לא, לא עובד, אוקיי, אני לא רוצה לבאסבז על זה יותר מדי, אני אבדוק את העניין הזה, אחרי השיעור הזה אני מקווה שמעשיעור הבא או מהתרגול הבא הדברים יבדוק כמו שצריך, בסדר?”
חזרה קצרה על השיעור הקודם - וקטורים והצגתם
המרצה הזכיר:
“אוקיי, בשיעור שעבר דיברנו על וקטורים, הצגתי לכם וקטורים גם בצורה אלגברית וגם באופן גיאומטרי ואתם תרגלתם את זה בתרגול ויש לכם גם תרגיל נחמד בעניינים האלו, אני מצפה מכם כמובן לעשות את כל התרגילים כדי להצליח.”
המרצה הזכיר שבשיעור שעבר למדו שכשיש שני וקטורים $\vec{v}$ ו-$\vec{w}$, אפשר להכפיל וקטור בסקלר $\alpha$:
“אז אלפאבי זה הוקטור, אלפאבי x, אלפאבי y ואלפאבי z. ואם יש לנו שני וקטורים v וw, ואני רוצה להסתכל על הסכומו, על ההפרש שלהם, אז זה יהיה שווה מן הסתם ל-vx+-wx, vy+-wy וvz+-wz.”
כלומר:
\[\alpha \vec{v} = (\alpha v_x, \alpha v_y, \alpha v_z)\]וסכום והפרש וקטורים:
\[\vec{v} \pm \vec{w} = (v_x \pm w_x, v_y \pm w_y, v_z \pm w_z)\]הבסיס הסטנדרטי
המרצה הסביר את הבסיס הסטנדרטי:
\[\hat{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \hat{y} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \hat{z} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\]“הבסיס הסטנדרטי הוא הבסיס x יחידה שווה, שימו לב אני עובר פה לרישום, אוקיי לפני שאני עבור לרישום שאני מאוד אוהב אותו, נרשום את זה 1 0 0. y יחידה שווה ל0 1 0, z יחידה שווה ל0 0 1.”
הוא הדגיש:
“x יחידה כידוע לכם כל וקטור מתואר על ידי שלושה של מספרים, x יחידה הוא וקטור באורך אחד שמצביע בכיוון ציר x.”
בתשובה לשאלה של סטודנט המרצה הבהיר:
“תוכלו לומר מצביע בכיוון ציר x זה ממד אחד, אז בשביל מה אני צריך שלושה מספרים אני צריך מספר אחד, לא ולא, וקטור במרחב האיוקלידי התלת-ממדי זה המרחב שאנחנו מכירים אותו מחיי היומיום, וקטור במרחב הזה חייב לקבל שלשה של מספרים כדי לתאר אותו כמו כל נקודה במרחב.”
המרצה הסביר גם את ההבדל בין ייצוג וקטור כשורה או כעמודה:
“לווקטור כזה קוראים וקטור או להצגה הזאת קוראים וקטור שורה ולהצגה הזאת וקטור עמודה, אין שום הבדל עקרוני כשמדובר בחשבון וקטורי במרחב האיוקלידי.”
פריסת וקטור בבסיס
המרצה הסביר את פריסת וקטור בבסיס הסטנדרטי:
\[\vec{a} = (3, 2, 1) = 3\hat{x} + 2\hat{y} + \hat{z}\]“אוקיי, עכשיו אם אני רוצה לקחת איזה שהוא וקטור נניח שיש לי את הוקטורי וזה הוקטור שלוש שתיים אחת. מה בעצם כתוב כאן? כתוב פה שלושה x יחידה ועוד שני y יחידה ועוד z יחידה זה הוקטור, לך שלושה צעדים בציר x שני צעדים בציר y וצד אחד בציר z ותגיע לנקודה שהיא מתארת את הוקטור הזה.”
הוא המשיך:
“לרישום הזה אני קורא הפריסה של הוקטור $a$ בבסיס הסטנדרטי. למה אני קורא לו הפריסה בבסיס הסטנדרטי? כי אני יכול לרשום אותו כקומבינציה לינארית של וקטורים בבסיס הסטנדרטי עם המקדמים שמתארים את הוקטור שלוש שתיים אחד לכן קוראים ׳לפרוס׳ את הוקטור בבסיס הסטנדרטי.”
בסיס לא סטנדרטי
המרצה הציג בסיס לא סטנדרטי:
\[\vec{e}_1 = (1, 1, 0), \vec{e}_2 = (1, 0, 1), \vec{e}_3 = (0, 1, 1)\]“אוקיי, בסיס לא סטנדרטי הוא יכול להיות למשל הבסיס הזה נניח אי אחת שווה לאחת אחת אפס אי שתיים שווה לאחת אפס אחת ואי שלוש שווה לאפס לאפס אחת אחת גם זה בסיס במרחב האיוקלידי ההתלת מימדי.”
המרצה הסביר מהו בסיס:
“בסיס זה משהו שפורס וקטור, אני צריך וקטורים שלא תלויים זה בזה, כמו ש-x יחידה לא תלוי ב-y יחידה ולא תלוי ב-z יחידה, זה כיוונים ניצבים. הם לא יכולים להיות תלויים זה בזה.”
הוא המחיש את אי-התלות הלינארית בדוגמה:
\[\vec{e}_1 = \alpha \vec{e}_2 + \beta \vec{e}_3\] \[\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \alpha \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\]“בואו נראה באמת שאני לא יכול למצוא alpha וbeta שמקיימים את הדבר הזה. תסתכלו, זה הוקטור e1 וזה צריך להיות שווה לוקטור alpha 1 0 1 ועוד beta כפול הוקטור 0 1 1.”
\[\begin{pmatrix} \alpha \\ 0 \\ \alpha \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ \beta \\ \beta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \\ \alpha + \beta \end{pmatrix}\]“זה צריך להיות שווה לalpha 0 alpha ועוד 0 beta beta, נכון? כלומר זה צריך להיות שווה לוקטור alpha beta alpha ועוד beta.”
הוא המשיך:
“אוקיי, אז יש לנו כאן, מכאן יש לי alpha, מכאן יש לי beta ומכאן יש לי alpha ועוד beta. אבל אתם רואות שמכאן אני רואה, אם אני משווה את הוקטור הזה לוקטור הזה אני מקבל שהalpha שווה ל-1, beta שווה ל-1 והalpha ועוד beta אם כך צריך להיות שווה ל-2, אבל פה יש לי 0. לא יכול לייצר קובינציה כזאת, אוקיי?”
זה מוביל למערכת משוואות:
\[\begin{aligned} \alpha &= 1 \\ \beta &= 1 \\ \alpha + \beta &= 0 \end{aligned}\]שאין לה פתרון, ולכן הוקטורים אכן בלתי תלויים.
פריסת וקטור בבסיס לא סטנדרטי
המרצה הסביר איך לפרוס וקטור בבסיס לא סטנדרטי:
“עכשיו אני רוצה להראות לכם, יש לי את הוקטור הזה. פרסתי אותו בבסיס הסטנדרטי. איך הוא יראה בבסיס הזה? ובכן, כדי לדעת איך הוא יראה בבסיס הזה, אני לא יודע, אני לא יודע איך הוא יראה בבסיס הזה, אבל אני כן יודע שהוא צריך להיות קומבינציה לינארית של הוקטורים בבסיס הזה.”
הוא המשיך:
\[\vec{A} = \alpha \vec{e}_1 + \beta \vec{e}_2 + \gamma \vec{e}_3\] \[\vec{A} = \alpha \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \gamma \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\]“זאת אומרת, זה יהיה שווה בעצם לאיזשהו אלפא, זה לא שייך לאלפא וב-9. זה ישווה בעצם לאלפא כפול 1,1,0 ועוד בטא כפול 1,0,1 ועוד גמא כפול 0,1,1.”
הוא פיתח את הביטוי:
\[\begin{pmatrix} \alpha + \beta \\ \alpha + \gamma \\ \beta + \gamma \end{pmatrix}\]“וזה נותן לי בעצם וקטור חדש, שהוא, אתם יכולים לראות, אלפא ועוד בטא, אלפא ועוד גמא, בטא ועוד גמא, נכון?”
\[\begin{align*} \alpha + \beta &= 3 \\ \alpha + \gamma &= 2 \\ \beta + \gamma &= 1 \end{align*}\]“וזה צריך להיות שווה ל-3,2,1. כלומר, זה נותן לי פה משוואות, שלוש משוואות בשלושה נעלמים. אלפא ועוד בטא שווה ל-3, אלפא ועוד גמא שווה ל-2, בטא ועוד גמא שווה ל-1.”
פתרון מערכת המשוואות הזו ייתן את מקדמי הפריסה של הוקטור $\vec{A} = (3,2,1)$ בבסיס החדש.
מכפלה סקלרית
המרצה הגדיר את המכפלה הסקלרית:
“מחפלה שמקבלת אינפוט שני וקטורים הוא פולטת כאוטפוט סקלר. אתם זוכרים מה זה סקלר, סקלר זהו גודל שמתואר על ידי מספר אחד, אין לו כיוון. אוקיי, הטמפרטורה בקצה האדבש שלי היא גודל סקלרי, 37.2 מעלות, זה סקלר. בסדר.”
ההגדרה המתמטית:
\[\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}||\vec{B}|\cos\theta\]“ההגדרה המדויקת היא זאת, חושני וקטורים א ובי תכניסו אותם לתוך מכונה שפולטת החוצה את הדבר הבא. A dot B שווה לגודל של A כפול לגודל של B כפול קוסינוס עזבית ביניהם.”
המרצה הסביר את הסימון:
“מהיום מעטה ועלה כשיש נקודה היא מציינת מחפלה סקלרית בין שני וקטורים. כשאין נקודה זה מציין מחפלה רגילה בין שני מספרים A B זה A כפול B.”
תכונות המכפלה הסקלרית
המרצה הראה תכונות של המכפלה הסקלרית לגבי וקטורי היחידה של הבסיס הסטנדרטי:
\[\hat{x} \cdot \hat{x} = 1, \hat{y} \cdot \hat{y} = 1, \hat{z} \cdot \hat{z} = 1\]“בואו נסתכל על X יחידה, על Y יחידה ועל Z יחידה. מה זה X יחידה dot X יחידה? זה אומר, כך את הגודל של X יחידה, תכפיל אותו בגודל של X יחידה ובקוסינוס הזווית בין X יחידה ל-X יחידה.
מה זה קוסינוס הזווית בין X יחידה ל-X יחידה? בין וקטור לעצמו, הזווית היא אפס. קוסינוס של אפס זה 1. וכן מה שכתוב כאן זה 1 כפול 1 כפול 1 שזה שווה ל-1. נכון?
באופן דומה Y יחידה dot Y יחידה שווה ל-1 ו-Z יחידה dot Z יחידה שווה ל-1. טריוויאלי.”
הוא הסביר גם:
\[\hat{x} \cdot \hat{y} = 1 \cdot 1 \cdot \cos(90°) = 0\]“מהי המכפלה של X יחידה dot Y יחידה? בואו נסתכל על זה. בואו נראה.
זה שווה לגודל של X יחידה שזה 1 כפול לגודל של Y יחידה שזה 1 כפול קוסינוס הזווית שבין X יחידה ל-Y יחידה. מה הזווית בין X יחידה ל-Y יחידה? פי חצי. קוסינוס של פי חצי, כזכור לכם, זה שווה ל-0. לכן זה שווה ל-1 כפול 1 כפול אפס שזה שווה ל-0.”
באופן דומה:
\[\hat{x} \cdot \hat{z} = 0, \hat{y} \cdot \hat{z} = 0\]תנאי לניצבות וקטורים
המרצה הסביר את התנאי לניצבות וקטורים:
“שני וקטורים, המכפלה הסקלרית, אם המכפלה הסקלרית של שני וקטורים נותנת אפס, זה אומר אחד משלושת הדברים הבאים:
- הווקטור הראשון הוא וקטור האפס, by definition, כלומר כל הקומפוננטות שלו הם אפס.
- הווקטור השני הוא וקטור האפס, by definition, כלומר כל הקומפוננטות שלו הם אפס.
- שני הוקטורים הם לא אפס, אבל הם ניצבים זה לזה, כי קוסינוס של 90 מעלות זה אפס, נכון?”
הוא הדגיש:
\[\vec{A} \perp \vec{B} \iff \vec{A} \cdot \vec{B} = 0\]“היות ווקטורי אפס הם טריוויאלים, אין בהם קונטנט, אין בהם תוכן. אנחנו אומרים, כשהמכפלה הסקלרית מתאפסת, זה קורה כאשר שני וקטורים ניצבים זה לזה. במילים אחרות, הניצבות של וקטורים, התנאי לניצבות של וקטורים זה שהמכפלה הסקלרית ביניהם תתאפס.”
מכפלה סקלרית בין וקטורים כלליים
המרצה הראה כיצד לחשב מכפלה סקלרית בין וקטורים כלליים:
\[\vec{a} \cdot \vec{b} = (a_x\hat{x} + a_y\hat{y} + a_z\hat{z}) \cdot (b_x\hat{x} + b_y\hat{y} + b_z\hat{z})\]“עכשיו אני לוקח שני וקטורים כללים ביותר ומכפיל אותם במכפלה סקלרית. שימו לב, אני לוקח את הוקטור א וב ואני רושם אותו במכפלה סקלרית. זה יהיה שווה ל-ax יחידה ועוד ayy יחידה ועוד azz יחידה dot bxx יחידה ועוד byy יחידה ועוד bzz יחידה.”
הוא פיתח את הביטוי:
\[\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x(\hat{x} \cdot \hat{x}) + a_x b_y(\hat{x} \cdot \hat{y}) + a_x b_z(\hat{x} \cdot \hat{z}) + \ldots\]“אז כשאני מחפיל את ax יחידה בbxx יחידה, זה נותן לי גודל כפול גודל כפול קוסינוס זווית, אז אני מקבל שזה שווה פשוט ax bx כי x יחידה dot x יחידה זה שווה ל-1. אבל כשאני לוקח x יחידה dot y יחידה וx יחידה dot z יחידה זה נותן 0.”
ולאחר הפישוט:
\[\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z\]הוא סיכם:
“פנטסטי. קיבלנו ביטוי חדש למכפלה הסקלרית. הביטוי החדש הזה בעצם אומר שהמכפלה הסקלרית בין שני וקטורים זה סכום מכפלות מרכיביהם, ax bx ועוד ay by ועוד az bz.”
חישוב אורך וקטור באמצעות מכפלה סקלרית
המרצה הראה:
\[\vec{a} \cdot \vec{a} = a_x^2 + a_y^2 + a_z^2 = |\vec{a}|^2\] \[|\vec{a}| = \sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}}\]“ובפרט כשאני לוקח את a dot a אני מקבל את ax ax ועוד ay ay ועוד az az כלומר זה שווה לax בריבוע ועוד ay בריבוע ועוד az בריבוע כלומר זה שווה פשוט לאורך של a בריבוע. לכן מעטה ועד האורך של וקטור יהיה האורך של a יהיה שווה לa dot a a dot a תחת שורש זה האורך של a.”
נרמול וקטור
המרצה הסביר:
\[\hat{a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = \frac{\vec{a}}{\sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}}}\]“עכשיו אתם גם יודעים איך לנרמל וקטור, מה זה לנרמל וקטור, זה לקחת וקטור ולהפוך אותו לווקטור יחידה באותו כיוון, זה לחלק אותו באורך שלו.
אם אני רוצה לדעת מי זה $\hat{a} $ יחידה, זה ישווה ל-a חלקי השורש של $\vec{a}\cdot\vec{a}$ .”
הוא הדגים בעזרת וקטורי הבסיס שהגדיר קודם:
\[|\vec{e}_1| = \sqrt{2}\] \[\hat{e}_1 = \frac{\vec{e}_1}{|\vec{e}_1|} = \frac{1}{\sqrt{2}} (1, 1, 0)\]”$\vec{e_1}\cdot\vec{e_1}$ המכפלה הסקלרית שלהם שלא בעצמו זה שווה לאחת ועוד אחד ועוד אחד ועוד אפס שווה לשתיים. אתם רואים את זה? נכון?
\[\vec{e}_1 \cdot \vec{e}_1 = 1 + 1 + 0 = 2\]לכן אם אני רוצה לבנות $\hat{e_1}$ אז אני פשוט מחלק את זה אחת וחלקי שורש שתיים כפול אחת אחת אפס. האם אתם רואים את זה? בניתי עכשיו מאי אחת וקטור יחידה בכיוון אי אחת. איך עשיתי את זה? חילקתי את זה באורך שלו.”
באופן דומה:
\[\hat{e}_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} (1, 0, 1)\]“באופן דומה אי שתיים יחידה שווה לאחת חלקי שורש שתיים אחת אפס אחת. אי שתיים יחידה זה וקטור שמצביע בכיוון אי שתיים ואורכו אחד.”
מציאת הזווית בין וקטורים
המרצה הסביר איך למצוא זווית בין וקטורים:
\[\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\]“נניח שיש לי שני וקטורים, אתם זרקתם לי שני וקטורים לחלל האוויר, וקטורים כלליים ביותר, ואתם מבקשים ממני מיד לשלוף את הזווית ביניהם. באמצעות המכפלה הסקלרית אני יודע לעשות את זה, הסתכלו.
אם יש לי שני וקטורים a וb, אז אני יודע שa dot b, אמרנו שווה לגודל של a כפול לגודל של b כפול קוסינוס הזווית $\theta$.
במילים אחרות, קוסינוס $\theta$ שווה לa dot b חלקי הגודל של a כפול לגודל של b.”
הוא נתן דוגמה:
\[\vec{a} = 3\hat{x} - 3\hat{y} + \hat{z}\] \[\vec{b} = 2\hat{x} + \hat{y} - 3\hat{z}\]“נתונים שני הוקטורים:
מהי הזווית בין הוקטורים?
פעם הייתם לוקחים מת זווית וסרגל, הייתם מסרטטים את הוקטורים על נייר משבצות, והייתם מודדים את הזווית עם מד זווית. היום אתם לא צריכים לעשות את זה. היום אתם צריכים לחשב מי זה a dot b, מי זה האורך של a, מי זה האורך של b, ויש לכם את קוסינוס הזווית.”
הוא חישב:
\[\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 2 + (-3) \cdot 1 + 1 \cdot (-3) = 6 - 3 - 3 = 0\]“מינוס 3 כפול 1 זה מינוס 3, ועוד 1 כפול מינוס 3 זה מינוס 3, מינוס 6, מינוס 3, מינוס 3 שווה למינוס 12. מהו הגודל של a? הגודל של a שווה לשורש של 9 ועוד 9 ועוד 1 שווה לשורש 19. הגודל של b שווה לשורש של 2 בריבוע זה 4 ועוד 1 ועוד 9 שווה לשורש 14, ולכן קוסינוס $\theta$ יהיה שווה למינוס 12 חלקי שורש 19 שורש 14.”
המרצה טעה בחישוב, והתוצאה הנכונה היא:
\[\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 2 + (-3) \cdot 1 + 1 \cdot (-3) = 6 - 3 - 3 = 0\] \[|\vec{a}| = \sqrt{9 + 9 + 1} = \sqrt{19}\] \[|\vec{b}| = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14}\] \[\cos \theta = \frac{0}{\sqrt{19} \cdot \sqrt{14}} = 0\]מכאן $\theta = 90°$, כלומר הוקטורים ניצבים זה לזה.
בדיקת ניצבות
המרצה בדק אם הוקטורים בבסיס הלא סטנדרטי ניצבים זה לזה:
\[\vec{e}_1 \cdot \vec{e}_2 = (1, 1, 0) \cdot (1, 0, 1) = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 1\]“נשאלתי פה אם הם ניצבים. אתה שאלת. לא יודע. בואו נבדוק. אולי כן ואולי לא.
אי אחד דוט אי שתיים שווה. אני צריך לבצע מכפלה סקלרית. אוקיי אז זה שווה לאי אחת X כפול אי שתיים X ועוד אי אחת Y כפול אי שתיים Y ועוד אי אחת Z כפול אי שתיים Z. ניצבים או לא ניצבים? בואו נבדוק.”
הוא חישב:
“אחד כפול אחת זה אחד ועוד אחד כפול אפס אפס ועוד אפס כפול אחד אפס שווה לאחת. ניצבים או לא ניצבים? לא ניצבים. הם בלתי תלויים אבל הם לא ניצבים.”
וקטור המקום
המרצה הציג את וקטור המקום:
“האלמנטרי ביותר בעולם הפיזיקה קוראים לו וקטור המקום או במילים אחרות position vector. וקטור המקום בהגדרה הפשוטה שלו הוא אותו וקטור, קודם כל אני צריך לפה ראשית, ראשית צירים תמיד נתנונה לבחירתי ואני תמיד אבחר אותה במקום שהיא הופכת את הבעיה להכי פשוטה לפתרון.”
הוא הסביר:
“מרגע שיש לי את ראשית הצירים וקטור המקום הוא אותו וקטור שמצביע לעבר חלקיק בנקודה מסוימת שבה הוא נמצא, אלא מה, בחיים האמיתיים הכל דינמי הכל תלוי בזמן - חלקיק לא נמצא במקום מבצע איזושהי תנועה. זאת אומרת שווקטור המקום תלוי בזמן אם אני מתאר את מערכת הצירים, מערכת הצירים התלת מימדית יש לי איזושהי תנועה שחלקיק מבצע במרחב. וקטור המקום הוא הוקטור שמצביע אל החלקיק בזמן $t$.”
הוא רשם את וקטור המקום:
\[\vec{r}(t) = x(t)\hat{x} + y(t)\hat{y} + z(t)\hat{z}\]“r של t יהיה שווה לx של t x יחידה ועוד y של t y יחידה ועוד z של t z יחידה. יש לי בעצם וקטור שכל המרכיבים שלו הם פונקציות לכן וקטור המקום הוא פונקציה וקטורית.”
וקטור ההעתק והמהירות
המרצה הסביר את ההעתק:
“אם זה הוקטור R של T בזמן T נתון, מה יקרה בעוד זמן $\Delta t$, נניח T שווה לשעה 7 בבוקר, $\Delta t$ שווה לדקה אחת? אז אני שואל, יש לי את R בשעה 7 בבוקר, מי הוא R בשעה 7 ודקה?
וכן, כמו שאתם יכולים להבין בעצמכם, אם פה אני בשבע בבוקר, ופה אני בשבע ודקה, עשיתי איזושהי תנועה מסוימת, והווקטור שמתאר את ההפרש בין איפה שאני עכשיו, לאיפה שהייתי לפני, קודם לכן, זה הווקטור במקרה הזה $\Delta R$. הנה R של T, הנה R של T ועוד $\Delta t$, זהו מסלול התנועה, והנה הוקטור $\Delta R$ שמבטא את ההעתק מהזמן T לזמן T ועוד $\Delta t$.”
הוא הגדיר:
\[\Delta \vec{R} = \vec{R}(t + \Delta t) - \vec{R}(t)\]“אז בואו נכנה את R, $\Delta R$, להיות וקטור ההעתק. הוא מן הסתם יהיה תלוי ב$\Delta t$. ככל ש$\Delta t$ יהיה גדול יותר וקטור ההעתק יהיה גדול יותר.
ובפרט קל מאוד לראות מתוך הציור שמתקיים הקשר R של T ועוד $\Delta R$ שווה ל-R של T ועוד $\Delta t$.”
המרצה הסביר את הקשר להעתק חלקי זמן:
\[\frac{\Delta \vec{R}}{\Delta t} = \frac{\vec{R}(t + \Delta t) - \vec{R}(t)}{\Delta t}\]“אז אני מחלק כאן ב$\Delta t$ ומקבל שהעתק מחולק בהפרש הזמנים שווה אלה R של T ועוד $\Delta t$, פחות R של T חלקי $\Delta t$. לגודל הזה, דלטה R חלקי $\Delta t$ העתק חלקי מרווח זמן אנחנו רואים מהירות ממוצעה במהלך הזמן הזה, כן? מהירות ממוצעה זה שווה להעתק פולל חלקי זמן פולל.”
הוא הגדיר את וקטור המהירות:
\[\vec{v}(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \vec{R}}{\Delta t} = \frac{d\vec{R}}{dt}\]“אבל אנחנו לא מתעניינים במהירות ממוצעת, יש לי פה איזשהו אטום, מולקולה של חנקן, מולקולה של חלקן שהיא מבצעה תנועה בחדר… מעניין אותי המהירות הרגעית שלה, תן לי את הזמן תי המדויק ואני רוצה לדעת מה המהירות המדויקת שלה. מה עושים לצורך זה?
משאיפים את דלטה תי לאפס, נכון? ואז אני מקבל שאם אני משאיף את זה לאפס אני מקבל לים של אר של תי ועוד דלטה תי מינוס אר של תי חלקי דלטה תי, כל זה כמובן כשדלטה תי שואף לאפס באופן אינסופי ולזה אני קורא וי של תי, פעם זה וי זה לא מהמילה וקטור אלא מהמילה ולוסיטי, ולוסיטי זה וקטור המהירות של הגוף או וקטור המהירות הרגית.”
המרצה הסביר:
“וקטור המהירות הרגעית של הגוף, אני רוצה להזכיר לכם, זה פונקציה וקטורית t מתואר את וקטור המהירות הרגעית, מתואר באמצעות שלוש פונקציות וקטור המהירות הרגעית בציר X וקטור המהירות הרגעית בציר Y וקטור המהירות הרגעית בציר Z, כלומר זה מהירות עם כיוון, ומהירות עם כיוון אנחנו קוראים ולוסיטי.”
הוא הבחין בין מהירות לספיד:
“ולוסיטי, ולוסיטי, בניגוד לספיד, מה זה ספיד? ספיד זה גודל המהירות אוקיי, V, V בגודל שלו זה נקרא באנגלית ספיד, זאת המהירות שהתעניינו בה כשהיינו ילדים אבל היום אנחנו מבינים שמהירות זה גודל עם כיוון, זה לא סתם שאני נע במהירות של מאה כמש אלא שאלה באיזה כיוון, אני נע במאה כמש לכיוון צפון, לכיוון דרום, לכיוון מזרח או טבע.”
תנועה מעגלית קצובה
המרצה הציג דוגמה של תנועה מעגלית קצובה והסביר:
“הזווית $\theta$, אם מדובר בתנועה קצובה, זה אומר שהזווית משתנה, הזווית של התנועה משתנה בקצב קבוע. תנועה מעגלית קצובה פירושו של דבר, שהזווית משתנה בקצב קבוע, כלומר, הזווית לינארית בזמן.”
הוא רשם:
\[\theta(t) = \omega t\]”$\theta$ של-טי, הנה אני רושם, $\theta$ של-טי, הזווית $\theta$ של-טי שווה לאומגא-טי, זה הזווית, הזווית גדלה בזמן, באופן לינארי, לינארי.”
בתגובה לשאלת סטודנט על יחידות, המרצה הסביר:
“באיזה יחידות לקבוע גודל לאומגא? מה היחידות של זווית? אוקיי, רדיאן, בסדר, רדיאן אז מה הן היחידות של אומגא? רדיאן לשנייה. רדיאן לשנייה כפול שנייה יתן לי רדיאן. לגודל לאומגא קוראים גם, אומגא נקרא גם מהירות, אומגא נקרא גם ׳מהירות זוויתית׳.”
וקטור המקום בתנועה מעגלית
המרצה רשם את וקטור המקום בתנועה מעגלית:
\[\vec{R}(t) = R\cos(\omega t)\hat{x} + R\sin(\omega t)\hat{y}\]“R של T שווה ל-R קוסינוס $\omega t$ כפול X ייחידה שווה ל-R סינוס $\omega t$ כפול Y ייחידה. אוקיי, זהו וקטור המקום של הגוף שנע בתנועה מעגלית קצובה.”
הוא הוכיח שאורך וקטור המקום הוא קבוע:
\[\vec{R} \cdot \vec{R} = R^2\cos^2(\omega t) + R^2\sin^2(\omega t) = R^2(\cos^2(\omega t) + \sin^2(\omega t)) = R^2 \cdot 1 = R^2\] \[|\vec{R}| = R\]“עכשיו אתם יכולים לראות גם שמתקיים הקשר ש-R דוט-R זה צריך להיות שווה מן הסתם ל-X בריבוע ועוד Y בריבוע שווה ל-R בריבוע קוסינוס בריבוע $\omega t$ ועוד R בריבוע סינוס בריבוע $\omega t$ שווה ל-R בריבוע קוסינוס בריבוע $\omega t$ ועוד סינוס בריבוע $\omega t$ שווה ל-R בריבוע. ובאמת, לכל זמן T כי קוסינוס בריבוע וסינוס בריבוע שווה ל-1 לכל זמן T, לכל זווית.”
וקטור המהירות בתנועה מעגלית
המרצה חישב את וקטור המהירות בתנועה מעגלית:
\[\vec{v}(t) = \frac{d\vec{R}}{dt} = -\omega R\sin(\omega t)\hat{x} + \omega R\cos(\omega t)\hat{y}\]“v של t שווה ל-r dot כלומר, זה שווה ל-dr ל-dt אני גוזר את זה לפי הזמן ואני מקבל שזה שווה למינוס אומגה r סינוס $\omega t$ x יחידה ועוד אומגה r קוסינוס $\omega t$ y יחידה. זהו וקטור המהירות.”
גודל המהירות:
\[|\vec{v}|^2 = \vec{v} \cdot \vec{v} = \omega^2 R^2 \sin^2(\omega t) + \omega^2 R^2 \cos^2(\omega t) = \omega^2 R^2\]“הגודל של המהירות v בריבוע יהיה שווה ל-v dot v. אני עכשיו מסתכל על גודל המהירות בסדר? זה צריך להיות שווה ל-vx בריבוע ועוד vy בריבוע… אומגה בריבוע r בריבוע סינוס בריבוע $\omega t$ ועוד קוסינוס בריבוע $\omega t$ זה שווה ל-אומגה בריבוע r בריבוע.”
המסקנה:
\[|\vec{v}| = \omega R\]“v או הגודל של המהירות שווה ל-אומגה r.”
הוכחה שהמהירות משיקית למסלול
המרצה הציג שאלה:
“יבוא התלמיד האינטליגנט הוא באמת אינטליגנט ויאמר לי ממה פתאום אתה מניח שהמהירות היא משיקית? למה שהיא תהיה משיקית? מי אמר לך שהמהירות היא משיקית? שווקטור המהירות משיק לתנועה המעגלית אולי עוד בזווית כלשהי.”
הוא הסביר:
“הרי יש לי את הרדיוס וקטור ואנחנו למדנו בכיתה ג’ שהמשיק ניצב לרדיוס במעגל נכון? זאת אומרת, אם אני מצליח להראות ש-v dot r שווה ל-0 אני יודע בוודאות שווקטור המהירות מתאר בעצם את המהירות המשיקית.”
הוא חישב את המכפלה הסקלרית של וקטור המהירות ווקטור המקום:
\[\vec{R} \cdot \vec{v} = R\cos(\omega t) \cdot (-\omega R\sin(\omega t)) + R\sin(\omega t) \cdot (\omega R\cos(\omega t))\] \[= -\omega R^2 \cos(\omega t)\sin(\omega t) + \omega R^2 \sin(\omega t)\cos(\omega t) = 0\]“r dot v שווה אני צריך לקחת את זה זה פשוט יהיה xvx ועוד yvy זה מכפלה סקלרית לא צריך להכניס פה זוויות זה שווה ל-r_4_2_ω r_4_2_ω cos(ωt) sin(ωt) +r_4_2_ω cos sin(ωt) cos(ωt) ואיניכם הרות? זה שווה ל-0 לכל t.”
המסקנה:
“זאת אומרת, באמת המהירות משיקה למיקום בכל זמן $t$. אבל המיקום הוא בכיוון הרדיוס זאת אומרת שהמהירות היא ניצבת לרדיוס בהכרח כי המכפלה הסקלרית שלהם היא 0. בתנועה מעגלית התנועה היא משיקית כי הvector ניצב ל-radius vector.”
כיוון המהירות
המרצה חישב את וקטור היחידה בכיוון המהירות:
\[\hat{v} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \frac{\vec{v}}{\omega R} = -\sin(\omega t)\hat{x} + \cos(\omega t)\hat{y}\]“כיוון המהירות v יחידה יהיה שווה ל-vector v חלקי הגודל של v. הגודל של v, ראינו שזה אומג-r זה שווה ל-v חלקי אומג-r, זה היה הגודל של המהירות. כלומר זה יהיה שווה ל-vector אני פשוט לוקח את החיה הזאת והחיה הזאת מספרת לי שזה minus סינוס $\omega t$ x יחידה פלוס קוסינוס $\omega t$ ווואי יחידה.”
הוא הדגים:
“את יכולה לראות שבכל זמן $t$… את בכל זמן טי כיוון המהירות הוא שונה בזמן טי אחר אני כאן אז יש לי פה את וי יחידה זה וי של טי טי אחת וזה וי יחידה של טי שתיים אז באמת יכולה לראות שהוא תלוי בטי.”
סיכום והודעה על השיעור הבא
בסיום, המרצה אמר:
“טוב אני רואה שאתם בהלם. תסגלו לעצמכם את החשיבה הזאת, יש לכם תרגול ובשיעור הבא אנחנו ניקח את הדברים האלו שלב אחד יותר גבוה.”
הוא ציין שבשיעור הבא יוצג וקטור התאוצה:
דור פסקל“אני אציג לכם את וקטור התאוצה שהוא וקטור כנראה החשוב אני אתן לכם אולי דוגמה נוספת על תנועה על פני אליפסה מהסוג הזה או תנועה אחרת כלשהי. גם בתרגול תעשו תנועות מסוגים שונים ומשונים ואחרי השיעור השלישי אני מקווה, או במהלך השיעור השלישי אנחנו נתחיל לקפוץ אל הבריכה של חוקנו יותר, שזה התחלה של דינמיקה.”