סיכום השיעור והתרגולים בנושא נגזרות בקובץ PDF
חזרה - נגזרות
נזכיר כמה כללים שראינו:
\[(f \pm g)' = f' \pm g'\]מכאן נובע למשל:
\[(\sin x + e^x)' = \cos x + e^x\]נגזרת של מכפלה - כלל לייבניץ $\left( f(x) \cdot g(x) \right)’$
הנגזרת של מכפלה לפי כלל לייבניץ לגזירה של מכפלה של פונקציות:
\[(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'\]ניתן להכליל את הכלל למספר פונקציות:
\[(f_1 \cdot f_2 \cdot \ldots \cdot f_n)' = f_1' \cdot f_2 \cdot \ldots \cdot f_n + f_1 \cdot f_2' \cdot \ldots \cdot f_n + \ldots + f_1 \cdot f_2 \cdot \ldots \cdot f_n'\] \[\left( \prod_{i=1}^{n} f_i \right)' = \sum_{i=1}^{n} \left( \prod_{j=1, j \neq i}^{n} f_j \right) \cdot f_i'\]ובאופן פשוט יותר, נוכל לקבל:
\[( ( \sin x ) e ^ x )' = \cos x e ^ x + \sin x e ^ x\] \[= e ^ x ( \cos x + \sin x )\]דוגמה נוספת:
\[( x^2 \cdot \ln x \cdot \cos x)' = 2x \cdot \ln x \cdot \cos x + x \cdot \cos x - x^2 \cdot \ln x \cdot \sin x\]נגזרת של הרכבה - כלל השרשרת $\frac{du}{dx} = \frac{du}{dy} \cdot \frac{dy}{dx}$
תהיי $y=g(x)$ ו-$u=f(y) \Rightarrow u(x)=f(g(x))$, אזי בכתיבת לייבניץ:
\[u'(x) = \frac{du}{dx} = \frac{df}{dx} = \frac{df}{dg} \cdot \frac{dy}{dx}\]נזכיר שבכתיבה לפי גבולות:
\[f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{df}{dx}\]אבל מה המשמעות של $\frac{df}{dg} \cdot \frac{dg}{dx}$? זה פשוט גזירה מקוננת: גזור את החיצונית לפי הפנימית ואת הפנימית לפי היותר פנימית. כלומר $f$ תלויה בארגומנט $g$ ו-$g$ תלויה ב-$x$.
דוגמה:
\[f(x)= \sin x^2 \Rightarrow f(u) = \sin u , u = x^2\] \[\frac{df}{dx} = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \cos \underbrace{u}_{x^2} \cdot 2x = 2x \cos x^2\]דוגמה $\left( e^{\sin x} \right)’ = e^{\sin x} \cdot \cos x$
דוגמה נוספת: נוכל להציב $f$ ו-$g$ ולחשב את הנגזרת:
\[f(x) = e^x \Rightarrow f'(x) = e^x\] \[g(x) = \sin x \Rightarrow g'(x) = \cos x\] \[\left( e^{\sin x} \right)' = e^{\sin x} \cdot \cos x\]דוגמה: $\frac{d}{dx}\bigl[\sin(\cosh(x^3))\bigr] = \cos\bigl(\cosh(x^3)\bigr) \cdot \sinh(x^3) \cdot 3x^2$
דוגמה נוספת: נוכל להציב $f$, $g$ ו-$h$ ולחשב את הנגזרת:
\[f(g) = \sin h \Rightarrow f'(g) = \cos h\] \[g(h) = \cosh h \Rightarrow g'(h) = \sinh h\] \[h(x) = x^3 \Rightarrow h'(x) = 3x^2\]לכן:
\[\frac{df}{dx} = \frac{df}{dg} \cdot \frac{dg}{dh} \cdot \frac{dh}{dx} = \cos \cosh x^3 \cdot \sinh x^3 \cdot 3x^2\]הוכחת נגזרת של מנה: $\left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)’ = \frac{f’ \cdot g - f \cdot g’}{g^2}$
תהי $f(x) = \frac{1}{g(x)}$, אז אפשר להסתכל על $f$ כפונקציה של $g$ ולהשתמש בכלל השרשרת:
\[\frac{df}{dx} = \frac{df}{dg} \cdot \frac{dg}{dx} = - \frac{1}{g^2} \cdot g'\]שכן:
\[\left( \frac{1}{x} \right)' = \left(x^{-1} \right)' = -1(x)^{-2} = - \frac{1}{x^2}\]מכאן נוכל גם להגיע לכלל המנה:
\[\left( \frac{f}{g} \right)' = \left( \frac{1}{g} \cdot f \right)' = \left( \frac{1}{g} \right)' \cdot f + \frac{1}{g} \cdot f'\] \[= - \frac{1}{g^2} \cdot g' \cdot f + \frac{f'}{g} = \frac{f' \cdot g - f \cdot g'}{g^2}\]דוגמה $\left( \tan x \right)’ = \frac{1}{\cos^2 x}$
מתקיים:
\[\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\] \[\left( \tan x \right)' = \frac{\overbrace{(\sin x)'}^{\cos x} \cdot \cos x - \sin x \cdot \overbrace{(\cos x)'}^{-\sin x}}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x}\]דוגמה $\left( \frac{e^x}{\tan x} \right)’ = \frac{e^x \cdot \tan x - \frac{e^x}{\cos ^2 x}}{\tan ^2 x}$
מתקיים: …
דוגמה $\left( \sin ^{-1} x \right)’ = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
נעזר במשתנה עזר:
\[y = \sin ^{-1} x \Leftrightarrow \sin y = x\]מכאן:
\[\sin (y(x)) = \sin( \sin ^{-1} x) = x\] \[\sin y(x) = x\] \[[\cos y(x)] \cdot y'(x) = 1\] \[y'(x) = \frac{1}{\cos y(x)} = \frac{1}{\sqrt{1-sin^2 y(x)}} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\]דוגמה $\left( \tan ^{-1} x \right)’ = \frac{1}{1+x^2}$
נעזר במשתנה עזר:
\[y = \tan ^{-1} x \Leftrightarrow \tan y = x\]מכאן:
\[\frac{y'}{\cos ^2 y} = 1 \Rightarrow y' = \cos ^2 y = \frac{1}{\tan ^2 y} = \frac{1}{1 + x^2}\]דוגמה - נגזרת של פונקציה הפוכה $\left( \tanh ^{-1} x \right)’ = \frac{1}{1-x^2}$
נציב בהגדרת $\tanh x$:
\[\left( \tanh x \right)' = \left( \frac{\sinh x}{\cosh x} \right)' = \frac{\cosh x \cdot \cosh x - \sinh x \cdot \sinh x}{\cosh ^2 x} = \frac{1}{\cosh ^2 x}\]נשתמש שוב ב $y$ כמשתנה עזר:
\[y = \tanh ^{-1} x = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{1+x}{1-x} \right) \Leftrightarrow \tanh y = x\]מכאן:
\[\frac{y'}{\cosh ^2 y} = 1 \Rightarrow y' = \cosh ^2 y = \frac{1}{\tanh ^2 y} = \frac{1}{1 - \tanh ^2 y} = \frac{1}{1 - x^2}\]נחשב גם ישירות:
\[\left( \frac{1}{2} \ln \left( \frac{1+x}{1-x} \right) \right)' = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1+x}{1-x}} \cdot \frac{1-x - (1+x)}{(1-x)^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1+x}{1-x}} \cdot \frac{-2x}{(1-x)^2}\] \[= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1+x}{1-x}} \cdot \frac{-2x}{(1-x)^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1-x}{1+x} \cdot \frac{-2x}{(1-x)^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{-2x}{1+x} = \frac{1}{1-x^2}\]נגזות של $\ln$
יושלם בע״ה.
גזירה כשהפונקציה ניתנת בצורה פרמטרית
נניח ש- $y=f(x)$ ניתן באופן פרמטרי. למשל:
\[f(x) = \begin{cases} y(t) \\ x(t) \end{cases}\]למשל:
\[x^2 + y^2 = R^2 \begin{cases} y(t) = R \sin t \\ x(t) = R \cos t \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y=\sqrt{R^2-x^2} \\ y=-\sqrt{R^2-x^2} \end{cases}\]נסמן:
\[y = f(t)\] \[x = g(t)\]אזי:
\[\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{\overset{\cdot}{y}}{\underset{\cdot}{x}}\]למשל אם:
\[x=t^3\] \[y=t^2\]אזי:
\[\frac{dy}{dx} = \frac{\overset{\cdot}{y}}{\underset{\cdot}{x}}=\frac{2t}{3t^2} = \frac{2}{3t} = \dots\]יושלם בעתיד בע״ה.
תרגול
2. גזרו באמצעות הגדרת הנגזרת: א. $f(x) = \sqrt{2x-1}$ בנקודה $x_0 = 5$
פתרון:
\[f'(5) = \lim_{h \to 0} \frac{f(5+h) - f(5)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{2(5+h)-1} - \sqrt{2 \cdot 5-1}}{h}\] \[= \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{9+2h} - 3}{h}\] \[= \lim_{h \to 0} \frac{(\sqrt{9+2h} - 3)(\sqrt{9+2h} + 3)}{h(\sqrt{9+2h} + 3)}\] \[= \lim_{h \to 0} \frac{9+2h - 9}{h(\sqrt{9+2h} + 3)} = \lim_{h \to 0} \frac{2}{(\sqrt{9+2h} + 3)} = \frac{1}{3}\]4. נתונה הפונקציה $f(x) = \begin{cases} \frac{x^3-1}{x-1}, & x \neq 1 \ 3, & x = 1 \end{cases}$
א. מצאו את נגזרת הפונקציה לכל $x$. ב. האם הנגזרת רציפה בנקודה 1?
פתרון: לכל x≠1 נבצע חלוקה ארוכה לגזירה קלה יותר
לבעבוע קודם מחלקים ארוכים ומקבלים:
\[f(x) = \frac{x^3-1}{x-1} = \frac{(x-1)(x^2+x+1)}{(x-1)} = x^2+x+1\]וכעת מכה יותר קל לגזור את הפולינום ולקבל:
\[f'(x) = 2x+1 \quad \text{לכל } x \neq 1\]לגבי הגדרה:
\[f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(1+h)-f(1)}{h}\] \[= \lim_{h \to 0} \frac{(1+h)^2+(1+h)+1-3}{h}\] \[= \lim_{h \to 0} \frac{1+2h+h^2+1+h+1-3}{h}\] \[= \lim_{h \to 0} \frac{3h+h^2}{h} = 3\]לכן $f’(x)$ הוא פונקציה רציפה בנקודה 1 כי:
\[\lim_{x \to 1} f'(x) = \lim_{x \to 1} (2x+1) = 3 = f'(1)\]והפונקציה רציפה לכל x.
6. גזרו את הפונקציות הבאות בכל דרך שתיראה לכם:
א. $f(x) = \sqrt{\sin x - x \cos x}$
פתרון:
נגדיר $h(x)=\sin x - x\cos x$, $g(x)=\sqrt{x}$
\[f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)\] \[= \frac{1}{2\sqrt{\sin x - x\cos x}} \cdot (\cos x - \cos x + x\sin x)\] \[= \frac{x\sin x}{2\sqrt{\sin x - x\cos x}}\]ו. $f(x) = (\sin x)^{\cos x}$
פתרון:
נכתוב כלוג ונגזור:
\[\ln f(x) = \cos x \ln(\sin x)\]נשים לב ש-$\sin x > 0$ ונגזור לפי שרשרת:
\[f'(x) = (\sin x)^{\cos x} \cdot [-\sin x \ln(\sin x) + \cos x \cdot \frac{\cos x}{\sin x}]\]י. $f(x) = \sinh x (\cos x (\ln x))$
זה נדרש תחום הגדרה של הפונקציה $x>0$
נגזור לפי כלל המכפלה:
\[f'(x) = \sinh x \cdot \cos x \cdot \ln x + \sinh x\cos x \cdot \frac{1}{x} + \cosh x \cos x \ln x - \sinh x \sin x \ln x\]גזירת הפיכות
- גזרו את הפונקציות ההפוכות באמצעות שתי שיטות, פעם אחת באמצעות הגדרת הפונקציה ההפוכה ופעם שניה באמצעות הביטוי המפורש של הפונקציה ההפוכה למשל:
בדקו שאתם מגיעים לאותן תוצאות בשתי השיטות.
א. $f(x) = \sinh^{-1} x$
דרך ראשונה:
\[x = \sinh(y) = \sinh(\sinh^{-1}(x))\] \[1 = \sinh\left(\sinh^{-1}(x)\right) = \cosh \left(\sinh^{-1}(x)\right) \cdot \left(\sinh^{-1}(x)\right)'\] \[\Rightarrow \left(\sinh^{-1}(x)\right)' = \frac{1}{\cosh \left(\sinh^{-1}(x)\right)} = \frac{1}{\sqrt{1+\sinh^2(\sinh^{-1}(x))}} = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\]דרך שניה:
ידוע ש-$\sinh^{-1}(x) = \ln(x+\sqrt{x^2+1})$
\[(\sinh^{-1}(x))' = \frac{\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)'}{x+\sqrt{x^2+1}} = \frac{1+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{x+\sqrt{x^2+1}} = \frac{\cancel{\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)}}{\sqrt{x^2+1}\cancel{(x+\sqrt{x^2+1})}} = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\]דרך שלישית לפי נגזרת של פונקציה הפוכה:
\[(f^{-1}(x))' = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}\]9. גזרו את הפונקציות ההפוכות:
א. $f(x) = \cos^{-1}(\sin x)$
לפי כלל נגזרת הפונקציה ההפוכה + כלל פונקציה מורכבת:
\[(\cos^{-1}(h(x)))' = \frac{h'(x)}{\cos(\cos^{-1}(h(x)))} = \frac{h'(x)}{-\sin(\cos^{-1}(h(x)))}\]כאשר $h(x) = \sin x$, נציב:
\[(\cos^{-1}(\sin x))' = \frac{-\cos x}{\sin(\frac{\pi}{2}-x+k\pi)} = \frac{-\cos x}{|\cos x|} = \begin{cases} -1 & \cos x > 0 \\ 1 & \cos x < 0 \\ \text{undefined} & \cos x = 0 \end{cases}\]כאשר $\frac{\pi}{2} - x + k\pi \in (2\pi)$
$0 \leq \frac{\pi}{2} - x + k\pi < \pi$
$-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{k} \leq x \leq \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{k}$