נוסחאות ומושגים חשובים
שאלה 1: אפקט פוטואלקטרי בפלטינה
תדירות הסף של האור שפוגע בפלטינה ויוציא ממנה אלקטרון היא sec⁻¹ 1.3×10¹⁵.
א. מהו אורך הגל המתאים לתדירות זו מבוטא ב-Å, ננומטר ופיקומטר?
1. נשתמש במשוואת הקשר בין מהירות האור, תדירות ואורך גל:
$λ = \frac{c}{ν} = \frac{3 × 10^8}{1.3 × 10^{15}} = 2.3 × 10^{-7}$ m
2. המרת יחידות:
$2.3 × 10^{-7}$ m = 230 nm
$2.3 × 10^{-7}$ m = 230769.2 pm
- 2307.69 Å
- 230 nm
- 230769.2 pm
ב. מה יקרה כשיקרינו את המתכת באור בעל אורך גל של 2000Å?
1. נחשב את תדירות האור הפוגע:
$ν = \frac{c}{λ} = \frac{3 × 10^8}{2 × 10^{-7}} = 1.5 × 10^{15}$ Hz
2. השוואה לתדירות הסף:
תדירות הסף: $1.3 × 10^{15}$ Hz
$1.5 × 10^{15} > 1.3 × 10^{15}$
ג. מה תהיה האנרגיה של אלקטרון שיפלט?
1. נחשב את אנרגיית הפוטון הפוגע:
$= \frac{19.878 × 10^{-26}}{2 × 10^{-7}}$
$= 9.939 × 10^{-19}$ J
2. נחשב את אנרגיית הסף:
$= 8.614 × 10^{-19}$ J
3. נחשב את האנרגיה הקינטית של האלקטרון:
$= 9.939 × 10^{-19} - 8.614 × 10^{-19}$
$= 1.325 × 10^{-19}$ J
ד. מה תהיה מהירות האלקטרון?
נשתמש במשוואת האנרגיה הקינטית:
$= \sqrt{\frac{2(1.325 × 10^{-19})}{9.109 × 10^{-31}}}$
$= \sqrt{2.91 × 10^{11}}$
$= 5.39 × 10^5$ m/s
שאלה 2: מעבר אלקטרונים באטום מימן
חשבו את האנרגיה המשתחררת במעבר אלקטרון מרמה 3 לרמה 2 באטום מימן.
1. נשתמש בנוסחת האנרגיה של בוהר:
כאשר:
- $R_H = 2.179 × 10^{-18}$ J (קבוע רידברג)
- $n_i = 3$ (רמה התחלתית)
- $n_f = 2$ (רמה סופית)
2. נציב במשוואה:
$= 2.179 × 10^{-18}(\frac{1}{4} - \frac{1}{9})$
$= 2.179 × 10^{-18}(\frac{9-4}{36})$
$= -3.028 × 10^{-19}$ J
א. מהי תדירות האור הנפלט במעבר אלקטרוני זה? האם תדירות זו בתחום הנראה לעין האנושית?
1. כבר חישבנו את האנרגיה המשתחררת:
2. נחשב את התדירות:
3. נבדוק אם זה בתחום הנראה על ידי חישוב אורך הגל:
ב. מהו רדיוס בור עבור הרמות 2 ו-3?
נשתמש בנוסחת רדיוס בור:
עבור רמה 2:
עבור רמה 3:
- רדיוס ברמה 2: 2.116 Å
- רדיוס ברמה 3: 4.761 Å
שאלה 3: מודל בוהר לאטומים דמויי מימן
נוסחת בור לאטום מימן טובה גם עבור אטומים חד אלקטורניים, כדוגמת $He^+$ ו $Li^{+2}$. נוסחת בור $E_n = -\frac{Z^2R_H}{n^2}$ מתאימה לאטומים כאלה, כאשר Z הוא מספר הפרוטונים בגרעין, כלומר מספר אטומי.
א) חשב את אורך הגל של המעבר בין רמת האנרגיה n=1 לרמת האנרגיה n=3 עבור אטום $He^+$
ב) חשב את אורך הגל של המעבר בין רמת האנרגיה n=2 לרמת האנרגיה n=4 עבור אטום $Li^{+2}$
ג) מהו הרדיוס (ביחידות של פיקומטר pm) של אלקטרון ברמת האנרגיה n=3 באטום מימן?
ד) האם תיתכן עבור אטום $Li^{+2}$ רמת אנרגיה שערכה $-1.961x10^-17J$
א. חישוב אורך הגל של המעבר n=1 → n=3 עבור אטום $He^+$
1. נחשב את הפרש האנרגיה באמצעות נוסחת בוהר:
$Z = 2$ (עבור הליום)
$\Delta E = -\frac{4 × 2.179×10^{-18}}{3^2} + \frac{4 × 2.179×10^{-18}}{1^2}$
$= -0.968×10^{-18} + 8.716×10^{-18}$
$= 7.748×10^{-18}$ J
2. נחשב את אורך הגל באמצעות הקשר $E = \frac{hc}{\lambda}$:
$= \frac{(6.626×10^{-34})(3×10^8)}{7.748×10^{-18}}$
$= 25.7×10^{-9}$ m = 25.7 nm
ב. חישוב אורך הגל של המעבר n=2 → n=4 עבור אטום $Li^{+2}$
1. נחשב את הפרש האנרגיה:
$\Delta E = -\frac{9 × 2.179×10^{-18}}{4^2} + \frac{9 × 2.179×10^{-18}}{2^2}$
$= -1.228×10^{-18} + 4.903×10^{-18}$
$= 3.675×10^{-18}$ J
2. נחשב את אורך הגל:
$= \frac{(6.626×10^{-34})(3×10^8)}{3.675×10^{-18}}$
$= 54.1×10^{-9}$ m = 54.1 nm
ג. חישוב רדיוס האלקטרון ברמה n=3 באטום מימן
נשתמש בנוסחת רדיוס בוהר:
$Z = 1$ (עבור מימן)
$r = \frac{3^2}{1} × 0.529$ Å
$= 4.761$ Å
$= 476.1$ pm
ד. בדיקת אפשרות רמת אנרגיה $-1.961×10^{-17}$ J עבור $Li^{+2}$
נציב בנוסחת האנרגיה ונחפש את n:
$n^2 = \frac{9 × 2.179×10^{-18}}{1.961×10^{-17}} = 1$
$n = 1$
שאלה 4: משוואת דהברולי
א) מהו אורך הגל הנלווה למולקולת חמצן הנעה במהירות 444 מטרה לשניה?
א. מהו אורך הגל הנלווה למולקולת חמצן הנעה במהירות 444 מטר לשניה?
1. נחשב את מסת מולקולת חמצן בודדת:
$m_{O2} = \frac{32 × 10^{-3}}{6.022 × 10^{23}}$ kg
$m_{O2} = 5.32 × 10^{-26}$ kg
2. נציב במשוואת דה-ברולי:
כאשר:
$h = 6.626 × 10^{-34}$ J·s
$m = 5.32 × 10^{-26}$ kg
$v = 444$ m/s
3. חישוב אורך הגל:
$λ = \frac{6.626 × 10^{-34}}{2.362 × 10^{-23}}$
$λ = 2.81 × 10^{-11}$ מטר
הערה: אורך גל זה הוא מיקרוסקופי מאוד, כמצופה עבור חלקיק בעל מסה מקרוסקופית כמו מולקולת חמצן. תופעות גליות יהיו משמעותיות יותר עבור חלקיקים קלים יותר כמו אלקטרונים.
ב. מהו אורך הגל הנלווה למכונית שמשקלה 1043 ק"ג הנעה במהירות 27 מטר לשניה?
נציב ישירות במשוואת דה-ברולי:
$λ = \frac{6.626 × 10^{-34}}{(1043)(27)}$
$λ = \frac{6.626 × 10^{-34}}{28161}$
$λ = 2.35 × 10^{-38}$ מטר
הערה: אורך גל זה הוא קטן באופן קיצוני, עד כדי כך שאין לו משמעות פיזיקלית מעשית. זה ממחיש מדוע איננו מבחינים בתופעות גליות עבור עצמים מאקרוסקופיים.
ג. מה מהירות מולקולת המימן שאורך הגל הנלווה לתנועתה הוא 1.12×10⁻¹⁰ מטר?
1. נחשב את מסת מולקולת מימן:
$m_{H2} = \frac{2 × 10^{-3}}{6.022 × 10^{23}}$
$m_{H2} = 3.32 × 10^{-27}$ kg
2. נפתור את משוואת דה-ברולי עבור המהירות:
$v = \frac{h}{mλ}$
$v = \frac{6.626 × 10^{-34}}{(3.32 × 10^{-27})(1.12 × 10^{-10})}$
$v = 1782$ מטר/שניה