חלק 1: סיכום השיעור הקודם - וקטורים ותנועה
וקטור התאוצה ומשמעותו
בשיעור שעבר ראינו שוקטור התאוצה, שהוא הנגזרת לפי הזמן של וקטור המהירות, מבטא בעצם את קצב שינוי המהירות. כשם שהמהירות היא קצב שינוי המקום, כך וקטור התאוצה הוא קצב שינוי קצב שינוי המקום.
כאשר אנו אומרים שגוף נע בתאוצה של $X$ מטר לשנייה בריבוע, כוונתנו היא שהגוף משנה את מהירותו בכל שנייה ב-$X$ מטר לשנייה. למשל, אם אני נופל בתאוצה של $10$ מטר לשנייה בריבוע (תאוצת הנפילה החופשית בקרבת פני כדור הארץ), פירוש הדבר שבכל שנייה גדלה מהירותי ב-$10$ מטר לשנייה.
לדוגמה, אם אני עומד על גג מגדל עזריאלי ועושה צעד קדימה ונופל:
- ברגע $t = 0$ מהירותי היא $0$ מטר לשנייה
- ברגע $t = 1$ שנייה מהירותי היא $10$ מטר לשנייה
- ברגע $t = 2$ שניות מהירותי היא $20$ מטר לשנייה
- ברגע $t = 3$ שניות מהירותי היא $30$ מטר לשנייה
זוהי המשמעות כאשר אנו אומרים שתאוצת הנפילה החופשית היא $10$ מטר לשנייה בריבוע.
אופי וקטורי של מהירות ותאוצה
חשוב להזכיר שוקטור המקום הוא וקטור ולא סקלר. המשמעות היא שקצב שינוי וקטור המקום לפי הזמן, וקטור המהירות, יש לו גודל וכיוון. כך גם לגבי וקטור התאוצה - יש לו גודל וכיוון.
בתנועה מעגלית קצובה, וקטור המקום תלוי בזמן, משום שאנו נמצאים בכל רגע ורגע בנקודה אחרת על פני המעגל. וקטור המהירות משיק למסלול המעגלי וגם הוא תלוי בזמן. העובדה שגודל המהירות הוא קבוע אינה אומרת שוקטור המהירות הוא קבוע - הוא כל הזמן משתנה בכיוונו.
לכן, כאשר נגזור את וקטור המהירות לפי הזמן בתנועה מעגלית, לא נקבל אפס. ראינו שבתנועה מעגלית, וקטור התאוצה שונה מאוד מאפס והוא למעשה מכוון לעבר מרכז המעגל.
סיכום מתמטי
\[\vec{r}(t) = \text{וקטור המקום}\] \[\vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}}{dt} = \dot{\vec{r}} = \text{וקטור המהירות}\] \[\vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}}{dt} = \ddot{\vec{r}} = \text{וקטור התאוצה}\]בתנועה מעגלית קצובה התקיים:
\[\vec{a}(t) = -\omega^2 \vec{r}(t)\]משמעות הקשר הזה היא שהתאוצה מכוונת לעבר מרכז המעגל (הסימן השלילי). $\vec{r}$ יוצא ממרכז המעגל החוצה, ולכן $-\vec{r}$ מכוון לעבר מרכז המעגל. $\omega^2$ הוא המהירות הזוויתית בריבוע, שהוא גודל סקלרי חיובי.
עוד ראינו כי מתקיים:
\[\vec{v} \cdot \vec{r} = 0\]כלומר, המהירות תמיד ניצבת לוקטור המקום.
קשר בין תאוצה, מהירות ומיקום באמצעות אינטגרלים
אם נתון $\vec{a}(t)$, ניתן לקבל את $\vec{v}(t)$ באמצעות אינטגרציה:
\[\vec{v}(t) = \int \vec{a}(t) dt + \vec{v}_0\]כאשר $\vec{v}_0$ הוא וקטור קבוע (לדוגמה, המהירות בזמן $t=0$).
באופן דומה:
\[\vec{r}(t) = \int \vec{v}(t) dt + \vec{v}_0 \cdot t + \vec{r}_0\]כאשר $\vec{r}_0$ יכול להיות המיקום בזמן $t=0$.
במקרה של תנועה בתאוצה קבועה, האינטגרציות הן פשוטות (אינטגרל על קבוע).
חלק 2: מבוא לפיזיקה ניוטונית
המעבר מקינמטיקה לפיזיקה
מה שעשינו עד כה הוא למעשה קינמטיקה - אין בזה שום פיזיקה, אלא רק מתמטיקה. זהו חשבון אינפיניטסימלי שבו אנו משווים פונקציות וקטוריות. כל מה שעשינו היו הגדרות של מושגים:
- הגדרנו את וקטור המקום בצורה אינטואיטיבית
- הגדרנו את קצב שינוי המקום וקראנו לזה מהירות
- הגדרנו את קצב שינוי המהירות וקראנו לזה תאוצה
מהי פיזיקה?
כשאנו עוסקים בפיזיקה, אנו שואלים את השאלה: מהי החוקיות שלפיה מתנהלת המציאות? לאיזו חוקיות מצייתת המציאות הפיזיקלית שסובבת אותנו?
אם לא הייתה שום חוקיות, המציאות שסובבת אותנו הייתה קאוטית לחלוטין, ושום דבר מסודר לא היה יכול להתקיים בה. המציאות שאנו חיים בה היא מציאות מסודרת ביותר. כל אחד מאיתנו הוא דוגמה חיה לאיך נראה עולם מסודר - אוסף אדיר של גופיפים מסודרים מאוד, וכל גופיף כזה בתוכו יש מבנה פנימי מסודר מאוד. אפשר לרדת עוד ועוד עד לרמה של גרעיני אטומים, וגם שם מתקיימת חוקיות ומתקיים סדר.
חשיבות הסדר והמידול המתמטי
כשאנו עוסקים בפיזיקה, אנו מנסים להתחקות אחרי הסדר הזה. אם אנו עושים זאת בצורה מדויקת, יש לנו לא רק תיאור של המציאות, אלא גם תיאור של האופן שבו היא מתפתחת בזמן. אם אנו מכירים את החוקיות, היא מאפשרת לנו לראות איך מצב מתפתח למצב אחר.
אם ניתנת לנו מערכת פיזיקלית ואנו מכירים את החוקיות שלה, אנו יכולים לבנות למערכת מודל מתמטי שמבטא את החוקיות הזו, והמודל המתמטי הזה יאפשר לנו לדעת את מצב המערכת בכל זמן עתידי. הישג זה הושג לראשונה בתקופתו של ניוטון עם שלושת החוקים שלו.
מרגע שעלינו על החוקיות וידענו לנסח אותה בשפה מתמטית מדויקת, אנו יכולים להשתמש בשפה המתמטית הזו כדי לגזור אמיתות על המציאות, לגזור תובנות עליה, ויותר מכך - לגזור ניבויים (פרדיקציות) לגביה.
חלק 3: מושגי יסוד בפיזיקה ניוטונית
לתיאור מדויק של חוקי ניוטון, נגדיר כמה מושגי יסוד:
מערכת ייחוס
מערכת ייחוס היא מושג בסיסי ביותר בפיזיקה. בשבילנו, בשלב ראשון, מערכת ייחוס היא מערכת צירים עם ראשית שנבחרת כרצוננו.
לדוגמה, אני יכול לבחור את הכיתה כמערכת ייחוס - לשים את הראשית במקום כלשהו, ולפרוס ממנה שלוש קואורדינטות במרחב התלת-מימדי. כל נקודה בכיתה ובעולם ניתנת לתיאור במערכת הייחוס הזו.
אני גם יכול לחשוב על מערכת ייחוס אחרת - למשל, מערכת שצמודה למכונית הנוסעת ברחוב. הראשית יכולה להיות, למשל, הפופיק של הנהג, וממנו יוצאים שלושה צירים.
חשוב לציין: המציאות כשלעצמה איננה תלויה בבחירת מערכת הייחוס. אם אני מתאר דברים במערכת הייחוס של הכיתה, אני צריך להיות מסוגל לפתח חוקי טרנספורמציה שיעבירו אותי ממערכת זו למערכת הייחוס שצמודה לנהג.
אינטראקציה
אינטראקציה היא השפעה שמתרחשת בין שני גופים כלשהם הממוקמים במרחב. הם לא חייבים לגעת זה בזה, הם יכולים להיות רחוקים זה מזה, אך החשוב הוא שבאינטראקציה מתקיימת פעולת גומלין - כל גוף משפיע על משנהו.
יש הרבה סוגים של אינטראקציות. בכימיה מכירים אינטראקציות כימיות, שהן פעולות גומלין בין אטומים ומולקולות. האינטראקציה במקרה של הכימיה מתבצעת באמצעות כוחות חשמליים.
ארבע האינטראקציות היסודיות בטבע
בטבע יש ארבע אינטראקציות אלמנטריות שאנו מכירים כיום:
- אינטראקציה כבידתית - קשורה בכוח המשיכה בין מסות
- אינטראקציה אלקטרומגנטית - קשורה בכל התהליכים הכימיים, יצירת אור וכל התופעות החשמליות
- אינטראקציה גרעינית חלשה - אינטראקציה שמתרחשת בליבות של כוכבים, משנה את הזהות של חלקיקים אלמנטריים ואחראית לקרינה רדיואקטיבית
- אינטראקציה גרעינית חזקה - מקורה בגרעיני אטומים, מתבצעת בין חלקיקים הנקראים קוורקים
כוחות אפקטיביים
בעולם המכניקה, אנו פחות עוסקים באינטראקציות היסודיות (למעט אולי האינטראקציה הכבידתית) ויותר בכוחות אפקטיביים.
דוגמה לכוח אפקטיבי: כאשר אני עומד על הרצפה, הרצפה מפעילה עלי כוח כלפי מעלה. אנו קוראים לזה הכוח הנורמלי. כל שני גופים שבאים במגע מרגישים כוח שאחד מפעיל על השני, והכוח הזה נמצא בניצב למישור המגע בין שני הגופים.
הערות סיום
בהמשך נדבר על:
- מערכת מנוחה
- מסה
- טרנספורמציית גלילאו
- שלושת חוקי ניוטון
- סוגי כוחות מעולם המעבדה
חשוב לציין: שיעורי התגבור בקורס זה הם חיוניים ביותר, ומומלץ לכולם להגיע אליהם. הקורס אינו קל לעיכול, ושיעורי התגבור יעזרו לסגור פינות של אי-ודאות. בשיעורי התגבור ניתן לשאול כל שאלה הן מהשיעור והן מהתרגול.
אינטראקציות אלקטרומגנטיות
כל כוח בסיסי בטבע או כוח אפקטיבי מקורו למעשה באינטראקציה אלקטרומגנטית. פחות או יותר, מבלי להיכנס לדקויות, רוב הכוחות שאנו מרגישים ביומיום הם תוצאה של אינטראקציה אלקטרומגנטית.
מבנה האטום והריק
אתם בוודאי יודעים שהאטומים הם בבסיסם ריק כמעט מושלם. קוטר האטום הוא גדול פי 100,000 מקוטר גרעין האטום. מכיוון שנפח של כדור הולך כמו הרדיוס בשלישית, נפח האטום גדול ב-15 סדרי גודל מנפח הגרעין:
- רדיוס האטום גדול בחמישה סדרי גודל (פי 100,000) מגרעין האטום
- נפח האטום גדול ב-15 סדרי גודל: $100,000 \times 100,000 \times 100,000 = 10^{15}$
- $10^{15}$ זה מיליון מיליארדים
לסבר את האוזן, אם אני מסתכל על הנפח האמיתי של החומר שנמצא בגוף אנושי:
- נניח שמשקלי 100 קילוגרם ואני בעיקר מים
- 100 קילוגרם מים זה 0.1 מטר מעוקב (עשירית קוב)
- הנפח האמיתי של החומר שבי (ללא הריק) הוא 15 סדרי גודל קטן יותר
- כלומר: $0.1 \text{ מ”ק} \div 10^{15} = 10^{-16} \text{ מ”ק}$
- $10^{-16} \text{ מ”ק} = 100 \times 10^{-18} \text{ מ”ק} = 100 \text{ מיקרון מעוקב}$
כל אחד מאיתנו, מבחינת החומר ממשי שבו, הוא בגודל של בקטריה גדולה - רק שזו “בקטריה” שמשקלה 70-100 ק”ג.
מדוע אנחנו תופסים נפח?
מה הופך אותנו לגוף בסדר גודל של מטר? מדוע כשאני דוחף את הקיר אני לא מצליח להכניס את היד לתוכו, אם הקיר והיד שלי הם כמעט לגמרי חלל ריק?
הסיבה היא שהאטומים עטופים בשדות אלקטרומגנטיים. גם בקיר וגם ביד שלי יש שדות אלקטרומגנטיים שלא מאפשרים לי לדחוף את היד לתוך הקיר - יש התנגדות אינטראקציה אלקטרומגנטית שמונעת זאת.
אם האינטראקציה הזאת לא הייתה קיימת, הייתי יכול לדחוף את היד לתוך הקיר בלי כל קושי, וגם הייתי נופל לעבר מרכז כדור הארץ בלי כל קושי. אלו האינטראקציות האלקטרומגנטיות שמונעות מאיתנו שחומר ייכנס בחומר.
כוח נורמלי
מנקודת המבט של המעבדה, אנחנו רואים לא יותר מאשר כוח נורמלי. אנחנו מסמנים אותו באות $N$ מהמילה “נורמלי”.
הכוח הנורמלי תמיד:
- נובע ממגע בין גופים
- תמיד ניצב למשטח המגע ביניהם
חשוב להבין שכשאני מדבר על כוח נורמלי, מקורו בכוח האלקטרומגנטי, אבל אנחנו מתייחסים אליו באופן אפקטיבי כאל כוח ששני גופים מפעילים זה על זה כשהם נוגעים זה בזה.
עוד כוח שנובע מהאינטראקציה האלקטרומגנטית הוא כוח החיכוך, שגם הוא סוג של כוח מגע, עליו נדבר בהמשך.
אינטראקציות יסודיות נוספות
האינטראקציות הגרעיניות החלשות והאינטראקציות הגרעיניות החזקות פחות רלוונטיות לקורס שלנו, למרות שבעקיפין אתם תעשו בהן שימוש בתור רופאים (למשל, בשימוש בקרינה רדיואקטיבית לאבחונים).
רוב האינטראקציות שנדבר עליהן מקורן באינטראקציות אלקטרומגנטיות, ואולי גם נדבר קצת על אינטראקציות כבידתיות (הקשורות בעובדה שגופים נושאים מסות).
מסת התמדה
לכל חלקיק אלמנטרי יש תכונה אלמנטרית שבאה עם תעודת הזהות שלו, שמגדירה אותו, והתכונה הזאת נקראת התמדה.
מסת התמדה היא:
- ההתנגדות של הגוף לשינוי במצבו תחת פעולת כוח
- כמה התמדה יש ב”אישיות” של הגוף
- כמה יש בו אינרציה, כמה הוא מתנגד לשינוי במצבו
חוקי ניוטון
עכשיו אציג את שלושת חוקי ניוטון, שמשמשים בסיס לכל המכניקה הניוטונית ששלטה בכיפה המדעית במשך כ-250 שנה, ובאמצעותם אפשר לעשות הרבה מאוד, כפי שתראו בהמשך.
מושג הטנה (Momentum)
נגדיר גודל וקטורי דינמי שנקרא טנה (באנגלית: “מומנטום”):
\[\vec{p} = m\vec{v}\]כאשר:
- $\vec{p}$ הוא הטנה
- $m$ היא המסה של הגוף או של מערכת הגופים
- $\vec{v}$ הוא וקטור המהירות של הגוף
המסה נמדדת ביחידות של קילוגרם, והיא מבטאת את מידת ההתמדה של הגוף:
- המסה שלי היא 80 קילוגרם (זו לא המשקל שלי, זו המסה שלי)
- מידת ההתמדה של זבוב היא חצי גרם
- מידת ההתמדה של נושאת מטוסים היא כ-200 מיליון קילוגרם
יש הבדל גדול בין מסה למשקל:
- משקל זה כוח
- מסה זה מידת התמדה
אם מישהו ינסה לעצור נושאת מטוסים ביד בזמן שהיא שטה באוקיינוס, הוא יתקשה מאוד - יש לה המון התמדה. לעומת זאת, עצירת אדם או זבוב קלה יותר בהתאם למסתם הקטנה יותר.
הטנה מבטא במידה רבה את המדד הווקטורי לתנועתיות הקווית של הגוף - זה גם הכמות של התנועתיות וגם הכיוון של התנועתיות.
שימו לב שהטנה מאוד תלוי במערכת ייחוס. אם הגוף נמצא בתנועה במהירות מסוימת, יש לו טנה ששונה מאפס. אם הוא נמצא במנוחה, הטנה שלו שווה לאפס. אבל זה תלוי במערכת הייחוס שבה מודדים אותו. הטנה הוא לא גודל אבסולוטי, אלא גודל שבכל מערכת ייחוס מקבל ערך אחר.
החוק הראשון של ניוטון
החוק הראשון של ניוטון אומר:
בהיעדר השפעות חיצוניות (או בהיעדר אינטראקציות), הטנה נשמר בזמן:
\[\vec{p} = \text{קבוע}\]בקונטקסט מסוים קוראים לזה “חוק שימור הטנה”.
המשמעות היא שאם גוף נמצא בתנועה בכיוון מסוים או במהירות מסוימת, ולא פועלים עליו כוחות חיצוניים, הגוף ימשיך לנוע באותה מהירות ובאותו כיוון עד סוף כל הדורות (כל עוד לא פועלים עליו כוחות חיצוניים).
החוק הראשון נקרא גם “תנאי ההתמדה”.
זה מנוגד לחלוטין לאינטואיציה של אריסטו, שסבר שאם הוא מקנה מהירות לגוף מסוים, הגוף בהתחלה יקבל את התנופה שלו, אבל לאט לאט התנופה תדעך והוא יעצור. לפי ניוטון, בהיעדר השפעות חיצוניות, הגוף ימשיך לנוע עם התנופה שהוקנתה לו מלכתחילה עד סוף כל הדורות.
החוק השני של ניוטון
נגדיר כוח כהשפעה חיצונית ונסמן אותו ב-$\vec{F}$.
כוח הוא וקטור כי השפעה חיצונית יכולה להיות גם בגודל מסוים וגם בכיוון מסוים. מישהו יכול לדחוף אותי בכיוון מסוים בכוח מסוים, או בכיוון אחר בכוח אחר.
יכולות להיות הרבה השפעות חיצוניות. נסמן כוחות בודדים ב-$\vec{F}_i$ כאשר $i$ הוא אינדקס ($\vec{F}_1$, $\vec{F}_2$, $\vec{F}_3$, וכו’).
שקול הכוחות יסומן ב-$\vec{F}$ והוא יהיה:
\[\vec{F} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + ... + \vec{F}_n\]החוק השני של ניוטון אומר:
שקול הכוחות שווה לקצב השינוי של הטנה:
\[\vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt}\]שימו לב לעובדה המעניינת הבאה: כאשר שקול הכוחות שווה לאפס, קצב השינוי בטנה שווה לאפס, ואינטגרציה לפי הזמן נותנת $\vec{p} = \text{קבוע}$, וכך אנחנו חוזרים אל החוק הראשון של ניוטון.
כאשר $\vec{F} = 0$, אז $\frac{d\vec{p}}{dt} = 0$, ומכאן $\vec{p}$ אינו תלוי בזמן.
בקונטקסט זה, החוק הראשון הוא חוק שימור הטנה. כלומר, כאשר אנחנו מבינים שבמערכת שקול הכוחות מתאפס, אנחנו יודעים שהטנה נשמר בזמן.
הקשר בין כוח ותאוצה
נזכור ש-$\vec{p} = m\vec{v}$, ולכן:
\[\vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt} = \frac{d(m\vec{v})}{dt} = \frac{dm}{dt}\vec{v} + m\frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{dm}{dt}\vec{v} + m\vec{a}\]כאשר $\frac{d\vec{v}}{dt} = \vec{a}$ (התאוצה).
ברוב המקרים אנחנו נטפל בבעיות שבהן המסה היא גודל קבוע, ולכן כאשר המסה אינה משתנה בזמן:
\[\vec{F} = m\vec{a}\]זוהי הצורה המוכרת יותר של החוק השני של ניוטון.
אולם, יש סיטואציות שבהן המסה כן משתנה בזמן. לדוגמה, כאשר משגרים טיל או רקטה ושורפים דלק, המסה של הרקטה משתנה בזמן. טילים גדולים כמו אלה של SpaceX שורפים דלק בקצב של מאות קילוגרמים בשנייה, ואז האיבר $\frac{dm}{dt}\vec{v}$ יש לו משמעות.
משוואת תנועה דיפרנציאלית
הקשר $\vec{F} = m\vec{a}$ נראה תמים, אבל זוהי משוואת מפתח - משוואת מחץ.
מכיוון ש-$\vec{a} = \frac{d^2\vec{r}}{dt^2}$, הכוח החיצוני יכול להיות תלוי במקום של הגוף או במהירות הגוף:
\[\vec{F}(\vec{r}, \dot{\vec{r}}) = m\ddot{\vec{r}}\]זוהי משוואה דיפרנציאלית עבור $\vec{r}(t)$ - וקטור המקום כפונקציה של הזמן - שמכילה את הנגזרות של $\vec{r}(t)$: את $\dot{\vec{r}}$ (המהירות) ואת $\ddot{\vec{r}}$ (התאוצה).
למשוואה שמכילה את הפונקציה ונגזרותיה אנחנו קוראים משוואה דיפרנציאלית, והפתרון של המשוואה הדיפרנציאלית נותן לנו את הנעלם שהוא הפונקציה הווקטורית $\vec{r}(t)$.
לפעמים קורה שהכוח תלוי רק במהירות:
\[\vec{F}(\dot{\vec{r}}) = m\ddot{\vec{r}}\]ואז זו תהיה משוואה דיפרנציאלית ביחס לווקטור המהירות.
החוק השני של ניוטון - משמעות עמוקה
יש לי פה משוואה יותר פשוטה. זו משוואה שמכילה לא את $\vec{r}$ עם $\dot{\vec{r}}$ ו-$\ddot{\vec{r}}$, אלא רק את $\dot{\vec{v}}$ ו-$\vec{v}$.
החוק השני של ניוטון הוא בעצם משוואת המפתח. הפתרון שלו, ברגע שאני מתאר את המציאות באמצעות החוק השני של ניוטון, שקול הכוחות שווה למסה כפול תאוצה, זה חוק טבע. זה לא רשום בעולם המתמטיקה - זו תוצאה של הבנת המציאות, הבנת החוקיות במציאות.
אני לוקח את ההבנה של החוקיות במציאות, מיישם אותה על מערכת פיזיקלית מסוימת, מקבל ממנה משוואה דיפרנציאלית עבור וקטור המקום של הגוף, ופתרון המשוואה נותן לי את וקטור המקום של הגוף כפונקציה של הזמן בכל זמן $t$, ובפרט בזמן $t$ עתידי.
הנגזרות תמיד הן לפי הזמן. נדבר בהמשך על מושגים שגם דורשים אינטגרציה לפי מקום, אבל נניח לזה לעוד חודש בערך.
מקור החוק השני
מאיפה החוק הזה מגיע? ניוטון הגיע לחוק הזה בצורה אמפירית. הוא לקח מערכות של גופים, בדק את קצב שינוי הטנה שלהם, וגילה שהוא פשוט מתכונתי לשקול הכוחות.
אפשר לומר במידה רבה מאוד שהשינוי בטנה מגדיר את שקול הכוחות שפועל על הגוף, אבל זה קצת התחכמות פילוסופית. ניוטון הגיע לזה באופן אמפירי - המשוואות האלו הן משוואות שהגיעו מתוך תובנות אמפיריות.
היום אנחנו מבינים למה זה ולא רק איך זה. אם את שואלת אותי למה זה, כי המשוואה הזאת היא משוואה שבעצם ממקסמת, או יותר נכון, ממזערת, איזושהי פונקציה שמתארת את המציאות, ושצריכה לקבל מינימום כדי שהמציאות תתגלגל כפי שהיא מתגלגלת. זה פורמליזם מורכב, מסובך, עמוק ומעניין, אבל לא נכנס אליו כעת.
אגב, בכל מקרה זה גם פורמליזם קלאסי. הדבר האמיתי זה תורת היחסות, שמחליפה את המכניקה הניוטונית, ותורת היחסות היא כבר נותנת פרספקטיבה אחרת לגמרי על המציאות.
החוק השלישי של ניוטון
החוק השלישי של ניוטון אומר את הדבר הבא: אם שני גופים באים במגע, כל אחד מפעיל על הגוף השני כוח ששווה בגודלו והפוך בכיוונו לכוח שהגוף השני מפעיל עליו.
במילים אחרות, באינטראקציה:
\[\vec{F}_{1\rightarrow2} = -\vec{F}_{2\rightarrow1}\]אם גוף אחד מפעיל על גוף שניים כוח $\vec{F}$ בכיוון מסוים, הרי שגוף שניים יפעיל על גוף אחד את אותו כוח רק בכיוון ההפוך. כוחות אלה נקראים “כוחות פעולה ותגובה”.
אלו הם שלושת החוקים של ניוטון, ואיתם אפשר לעשות נפלאות. אציג כמה דוגמאות לנפלאות שאפשר לעשות עם החוקים האלו.
יישום חוקי ניוטון
אם חל תנאי ההתמדה (החוק הראשון) בציר מסוים, אז בציר הזה יש לי משוואה אלגברית שמסכמת את הכוחות לאפס.
אם חל החוק השני, אז יכולה להיות אחת משתי אפשרויות: אני מקבל או משוואה אלגברית עבור התאוצה, או משוואה דיפרנציאלית עבור המהירות או המקום.
הקשר בין כיוון הכוח וכיוון התנועה
דבר אחד חשוב לפני שניגש לדוגמאות ספציפיות: זוכרים שדיברנו על כך בשיעור שעבר שהמהירות קובעת את כיוון תנועת הגוף? וקטור המהירות תמיד משיק למסלול תנועתו של הגוף.
מהחוק השני של ניוטון, $\vec{F} = m\vec{a}$, אנחנו מיד רואים את הדבר הבא: הכוח הוא בכיוון התאוצה והתאוצה היא בכיוון הכוח. כלומר, וקטור התאוצה בכיוון וקטור שקול הכוחות.
זה מאוד מעניין ומאוד לא אינטואיטיבי. בפירוש יכול להיות שהתאוצה שלי תהיה ניצבת למהירות שלי.
לדוגמה, אם אני זורק חפץ בכיוון אופקי, כוח המשיכה של כדור הארץ מושך אותו למטה, אבל המהירות ההתחלתית שנתתי לו גורמת לו להמשיך בכיוון אופקי. בכיוון שניצב לרדיוס כדור הארץ לא פועלים כוחות, אז אם הענקתי לו מהירות $v_0$ בכיוון אופקי, הוא ימשיך לנוע באותה מהירות כל הזמן בכיוון האופקי. אבל פועל עליו כוח בכיוון אנכי שמאיץ אותו כלפי מטה.
כלומר, הוא יואץ כלפי מטה, התאוצה תהיה בכיוון מטה, מהירות קבועה תהיה בכיוון אופקי (כי החוק הראשון חל בכיוון זה), ואני אקבל כתוצאה מכך תנועה פרבולית כלפי מטה.
התאוצה היא לא בכיוון המהירות, התאוצה היא כלפי מטה. למרות שהמהירות היא מהירות שמשיקה לפרבולה, התאוצה תהיה כלפי מטה.
זו נקודה מאוד חשובה: התאוצה תמיד בכיוון שקול הכוחות, שקול הכוחות תמיד בכיוון התאוצה. המהירות תמיד משיקה למסלול התנועה. לא חייב להיות שום קשר בין המהירות לבין שקול הכוחות, למעט בתנועה בממד אחד. בממד אחד המהירות, התאוצה ושקול הכוחות עשויים להיות באותו כיוון או בכיוון מנוגד.
דוגמה 1: מסה תלויה משני חוטים
הנה דוגמה טריוויאלית: יש לי תקרה, ויש לי חוט, ויש לי זווית $\alpha$ וזווית $\beta$, ויש לי מסה שתלויה מהתקרה באמצעות שני חוטים. כפי שאתם רואים, בסיטואציה הזאת, המערכת נמצאת במנוחה. המסה נמצאת במנוחה.
אם היא נמצאת במנוחה, איזה חוק משלושת חוקי ניוטון רלוונטי לגביה? החוק הראשון. זאת אומרת, חל על המסה תנאי ההתמדה, ולכן רלוונטי לגביה החוק הראשון.
ראשית חוכמה, בואו נאתר את כל הכוחות שפועלים על המסה. שימו לב, כשאני מבצע בדיקה פיזיקלית על מסה מסוימת, מה שמסביב לא מעניין אותי, מעניין אותי המסה הספציפית הזאת.
יש פה שני חוטים. יש כוח שאני צריך להגדיר - מהו הכוח שהחוט מפעיל על המסה. אני קורא לזה המתיחות בחוט. מה המקור של המתיחות בחוט? מאיזו אינטראקציה יסודית מגיעה המתיחות בחוט? מאינטראקציה אלקטרומגנטית. זה הכוח המשיכה בין האטומים שבונים את החוט. כלומר, המשיכה החשמלית, האלקטרומגנטית, הקשרים הקובלנטיים או מה שיש בין האטומים בחוט - משם זה מגיע.
אבל במעבדה אני מסתכל על זה באופן אפקטיבי כמתיחות בחוט. אני לא יודע מה הן המתיחויות והבעיה היא לא סימטרית, ולכן אני קורא לזה $T_1$ ולזה אני קורא $T_2$. האות $T$ היא מהמילה tension (מתיחות) בחוט.
אגב, בקירוב שלנו לבעיה הספציפית הזאת, החוטים חסרי מסה. כי אם יהיה להם מסה, נצטרך לקחת בחשבון את המסה שלהם.
המסה הזאת לא הייתה מרגישה שום מתיחות בחוט אם כדור הארץ לא היה מושך אותה כלפי מטה. לכוח המשיכה שבו כדור הארץ מושך כלפי מטה אנחנו נקרא $W$, מהמילה Weight (משקל). משקל זה לא מסה, ואם תכתבו בבחינה שמשקל שווה מסה, תאבדו נקודות. משקל זה למעשה בסיטואציה הנוכחית מבטא את כוח המשיכה.
ניתוח הכוחות במערכת
עכשיו אני רוצה להפעיל את החוק הראשון על הגוף הזה. החוק הראשון נותן לי משוואה וקטורית:
\[\vec{T}_1 + \vec{T}_2 + \vec{W} = 0\]זאת המשוואה הוקטורית שמתארת את הבעיה. החוק הראשון אומר ששקול הכוחות שווה לאפס.
עכשיו אני לוקח את המשוואה הזאת ומפרק אותה לרכיביה. מה זאת אומרת לפרק לרכיביה? אני מחפש שני צירים שיהיו נוחים לי, עדיף שאחד הצירים לפחות יתלכד עם אחד הכוחות, ואני בונה את שיווי המשקל הזה בכל אחד מהצירים.
אם אני בוחר את ציר $x$ בכיוון אופקי וציר $y$ בכיוון אנכי, בציר $x$ מתקיים:
\[T_2 \cos\beta - T_1 \cos\alpha = 0\]ובציר $y$:
\[T_2 \sin\beta + T_1 \sin\alpha - W = 0\]האמת היא שהייתי רושם את זה כך:
\[T_1 \cos\alpha = T_2 \cos\beta\]כלומר שני הכוחות בציר $x$ נוטים באופן כזה שהם מתאפסים, וכמובן מתקיים:
\[T_1 \sin\alpha + T_2 \sin\beta = W\]הזוויות $\alpha$ ו-$\beta$ הן זוויות נתונות, $T_1$ ו-$T_2$ הם לא ידועים (המתיחות לא ידועה), $W$ (המשקל) הוא בדרך כלל נתון. זאת אומרת שקיבלתי פה שתי משוואות בשני נעלמים: הגודל של $T_1$ והגודל של $T_2$, ומתוך שתי המשוואות האלו אני יכול לחלץ כמובן את $T_1$ ו-$T_2$ במונחים של $\alpha$, $\beta$ ו-$W$.
מקרה מיוחד: זוויות זהות
שימו לב למקרה המעניין הספציפי שבו הזוויות הן אותן זוויות. זאת אומרת, יש לי מצב שבו המסה תלויה כך שבשני הצדדים יש את אותה זווית $\alpha$.
רואים מיד שמתנאי שיווי המשקל בציר $x$ מתקיים:
\[T_1 \cos\alpha = T_2 \cos\alpha\]או $T_1 = T_2 = T$. מהמשוואה השנייה בציר $y$ אנחנו מקבלים:
\[T \sin\alpha + T \sin\alpha = W\]כלומר, $2T \sin\alpha = W$. מכאן:
\[T = \frac{W}{2\sin\alpha}\]המתיחות בחוט הולכת כמו אחד חלקי סינוס הזווית.
שימו לב, כאשר $\alpha = \frac{\pi}{2}$ (זווית ישרה), $\sin\alpha = 1$, ואז $T = \frac{W}{2}$. כלומר, כל חוט נושא מחצית המשקל, וזה מאוד הגיוני.
אבל מה קורה כאשר $\alpha = 0$ (החוטים אופקיים)? אז $\sin\alpha = 0$ ו-$T = \infty$. לא יכול להתקיים מצב כזה שבו המסה נמצאת במרכז ושני חוטים אופקיים תומכים בה. למה זה לא יכול להיות? כי בציר ה-$y$ אין מה שיאזן את המשקל $W$. אין לי מרכיב אנכי בציר $y$ מהמתיחות בחוטים, אין מה שיאזן את $W$. אני צריך כוח אינסופי כדי להחזיק את החוטים במצב מאוזן.
דוגמה 2: גוף על מישור משופע
עכשיו נתבונן בגוף על מישור משופע בזווית $\alpha$. יש לי פה כוח שגודלו $W$ - זה כוח המשיכה של כדור הארץ, ופועל גם כוח $N$ - זה הכוח הנורמלי שהמשטח מפעיל על הגוף.
אתם זוכרים שדיברנו ששני גופים במגע פועלים ביניהם כוחות נורמליים שניצבים למשטח המגע ביניהם.
אלו הם הכוחות שפועלים על הגוף. אם זו זווית $\alpha$, אז ניתן להרכיב את כוח המשיכה $W$ לשני רכיבים: רכיב מקביל למישור שגודלו $W \sin\alpha$, ורכיב ניצב למישור שגודלו $W \cos\alpha$.
אתם מבינים בעצמכם שעל הציר שניצב למישור, המסה עצמה נשארת קבועה - היא לא קופצת מהמישור והיא לא חודרת אותו. כלומר בציר הזה מתקיים כלל ההתמדה, ולכן:
\[N = W \cos\alpha\]זאת אומרת, תנאי ההתמדה בכיוון הניצב למישור מתקבל מהפעלת החוק הראשון של ניוטון.
בעוד שבציר המקביל למישור, יש רק כוח אחד שפועל - רכיב המשקל $W \sin\alpha$ - ואין מה שיאזן אותו. ולכן מתקיים החוק השני של ניוטון שאומר:
\[ma = W \sin\alpha\]אוקיי, אז יש לי שתי משוואות שמתארות שתי תנועות. בכיוון מקביל למישור יש לי תאוצה:
\[ma = W \sin\alpha\]ובכיוון ניצב למישור יש לי תנאי התמדה (אין תנועה):
\[N = W \cos\alpha\]בשיעור הבא נציג דוגמאות הרבה יותר מורכבות, הרבה יותר עמוקות, עם הרבה יותר פיזיקה וגם הרבה יותר מתמטיקה.
דור פסקלחזרה לעמוד הראשי
צפה בתרגול בנושא חשבון וקטורי