הדף עדיין בשלבי כתיבה ויעודכן בהמשך.
1. משוואת הרציפות וזרימה יציבה
משוואת הרציפות נתונה על־ידי:
\[\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \vec{j} = 0\]כאשר:
- $\rho(\vec{r},t)$ היא צפיפות המטען החשמלי המקומית בזמן $t$
- $\vec{j}=\rho \vec{v}$ היא צפיפות הזרם המקומית בכל זמן $t$.
זרימה יציבה מוגדרת כזרימה שעבורה שדה המהירויות חסר שפיעה:
\[\vec{\nabla} \cdot \vec{v} = 0\]הגדרה זו תקפה הן בחשמל והן בזורמים.
א. כלל לייבניץ לדיברגנס
יהי $\vec{X}$ שדה וקטורי גזיר, ו־$\alpha$ שדה סקלרי גזיר. הוכיחו:
\[\nabla \cdot (\alpha \vec{X}) = (\nabla \alpha) \cdot \vec{X} + \alpha (\nabla \cdot \vec{X})\]במילים - זה כלל לייבניץ לדיברנס של המכפלה $\alpha X$.
נכתוב את הדיברגנס בצורה מפורשת לפי הגדרה:
\[\nabla \cdot (\alpha \vec{X}) = \frac{\partial (\alpha X_x)}{\partial x} + \frac{\partial (\alpha X_y)}{\partial y} + \frac{\partial (\alpha X_z)}{\partial z}\]הכלל לגזירת מכפלה של שתי פונקציות (כלל המכפלה) הוא:
\[(fg)' = f'g + fg'\]הערה: לא להבלבל עם כלל השרשרת - לנגזרת של פונקציה מורכבת:
\[[f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x)\]
נפעיל את כלל המכפלה על כל אחד מהרכיבים בדיברגנס, למשל:
\[\frac{\partial (\alpha X_x)}{\partial x} = \frac{\partial \alpha}{\partial x} X_x + \alpha \frac{\partial X_x}{\partial x}\]הבהרה:
$\alpha$ הוא שדה סקלרי שתלוי במיקום, כלומר $\alpha(x,y,z)$. הנגזרת החלקית שלו לפי איקס היא לא בהכרס אפס.
באופן דומה:
\[\frac{\partial (\alpha X_x)}{\partial y} = \frac{\partial \alpha}{\partial y} X_x + \alpha \frac{\partial X_x}{\partial y}\] \[\frac{\partial (\alpha X_x)}{\partial z} = \frac{\partial \alpha}{\partial z} X_x + \alpha \frac{\partial X_x}{\partial z}\]סך הכך נקבל:
\[\nabla \cdot (\alpha \vec{X}) = \left(\frac{\partial \alpha}{\partial x} X_x + \alpha \frac{\partial X_x}{\partial x}\right) + \left(\frac{\partial \alpha}{\partial y} X_x + \alpha \frac{\partial X_x}{\partial y}\right) + \left(\frac{\partial \alpha}{\partial z} X_x + \alpha \frac{\partial X_x}{\partial z}\right)\]נסדר מחדש ונקבל את הביטוי שביקשו. בעיקר טכני.
ב. ניסוח משוואת הרציפות בזרימה יציבה
בהסתמך על הזהות לעיל, הראו כי בזרימה יציבה מתקיים:
\[\frac{\partial \rho}{\partial t} + \vec{v} \cdot \nabla \rho = 0\]
צפיפות הזרם קשורה לצפיפות המטען ולמהירות על ידי:
\[\vec{j} = \rho \vec{v}\]נציב את זה במשוואת הרציפות, ונשתמש בזהות מסעיף א׳.
משוואת הרציפות:
\[\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \vec{j} = 0\]נציב:
\[\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \rho \vec{v} = 0\]מהשאלה הקודמת:
…
דור פסקל