הדף עדיין בשלבי כתיבה ויעודכן בהמשך.
1. משוואת הרציפות וזרימה יציבה
משוואת הרציפות נתונה על־ידי:
\[\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \vec{j} = 0\]כאשר:
- $\rho(\vec{r},t)$ היא צפיפות המטען החשמלי המקומית בזמן $t$
- $\vec{j}=\rho \vec{v}$ היא צפיפות הזרם המקומית בכל זמן $t$.
זרימה יציבה מוגדרת כזרימה שעבורה שדה המהירויות חסר שפיעה:
\[\vec{\nabla} \cdot \vec{v} = 0\]הגדרה זו תקפה הן בחשמל והן בזורמים.
א. כלל לייבניץ לדיברגנס
יהי $\vec{X}$ שדה וקטורי גזיר, ו־$\alpha$ שדה סקלרי גזיר. הוכיחו:
\[\nabla \cdot (\alpha \vec{X}) = (\nabla \alpha) \cdot \vec{X} + \alpha (\nabla \cdot \vec{X})\]במילים - זה כלל לייבניץ לדיברנס של המכפלה $\alpha X$.
נכתוב את הדיברגנס בצורה מפורשת לפי הגדרה:
\[\nabla \cdot (\alpha \vec{X}) = \frac{\partial (\alpha X_x)}{\partial x} + \frac{\partial (\alpha X_y)}{\partial y} + \frac{\partial (\alpha X_z)}{\partial z}\]הכלל לגזירת מכפלה של שתי פונקציות (כלל המכפלה) הוא:
\[(fg)' = f'g + fg'\]הערה: לא להבלבל עם כלל השרשרת - לנגזרת של פונקציה מורכבת:
\[[f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x)\]
נפעיל את כלל המכפלה על כל אחד מהרכיבים בדיברגנס, למשל:
\[\frac{\partial (\alpha X_x)}{\partial x} = \frac{\partial \alpha}{\partial x} X_x + \alpha \frac{\partial X_x}{\partial x}\]הבהרה:
$\alpha$ הוא שדה סקלרי שתלוי במיקום, כלומר $\alpha(x,y,z)$. הנגזרת החלקית שלו לפי איקס היא לא בהכרס אפס.
באופן דומה:
\[\frac{\partial (\alpha X_x)}{\partial y} = \frac{\partial \alpha}{\partial y} X_x + \alpha \frac{\partial X_x}{\partial y}\] \[\frac{\partial (\alpha X_x)}{\partial z} = \frac{\partial \alpha}{\partial z} X_x + \alpha \frac{\partial X_x}{\partial z}\]סך הכך נקבל:
\[\nabla \cdot (\alpha \vec{X}) = \left(\frac{\partial \alpha}{\partial x} X_x + \alpha \frac{\partial X_x}{\partial x}\right) + \left(\frac{\partial \alpha}{\partial y} X_x + \alpha \frac{\partial X_x}{\partial y}\right) + \left(\frac{\partial \alpha}{\partial z} X_x + \alpha \frac{\partial X_x}{\partial z}\right)\]נסדר מחדש ונקבל את הביטוי שביקשו. בעיקר טכני.
ב. ניסוח משוואת הרציפות בזרימה יציבה
בהסתמך על הזהות לעיל, הראו כי בזרימה יציבה מתקיים:
\[\frac{\partial \rho}{\partial t} + \vec{v} \cdot \nabla \rho = 0\]
צפיפות הזרם קשורה לצפיפות המטען ולמהירות על ידי:
\[\vec{j} = \rho \vec{v}\]נציב את זה במשוואת הרציפות, ונשתמש בזהות מסעיף א׳.
משוואת הרציפות:
\[\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \vec{j} = 0\]נציב:
\[\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \rho \vec{v} = 0\]מהשאלה הקודמת:
…
2. כדור מבודד מסתובב
כדור מבודד שמרכזו בראשית הצירים מסתובב סביב צירו במהירות זוויתית תלויה בזמן $\vec{\omega}(t)$, אחידה לכל נקודות הכדור.
מהירות משיקית של נקודה שמיקומה $\vec{r}$ נתונה על־ידי:
\[\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}\]
א. קשר למכניקה ניוטונית
קשרו ביטוי זה לביטוי למהירות משיקית בקואורדינטות פולריות.
תובנה חשובה: כמו שהוזכר בשיעור 8 של פיזיקה א׳, בקואורדינטות פולריות, המהירות המשיקית של נקודה שמסתובבת במרחק $r$ מהציר היא $v = r\omega$ (לשלמות התמונה, הדבר הוזכר בהקשר של תלמידי תיכון ובקורס דווקא נלמד בצורה שונה).
אם נחשוב על מכפלה וקטורית $(\vec{\omega} \times \vec{r})$: הגודל של
\[|\vec{\omega} \times \vec{r}|\]כשהזווית בין הוקטורים היא $90°$, שווה:
\[|\vec{\omega} \times \vec{r}| = |\omega| \cdot |r| \cdot \sin(90°) = \omega r\]כי $\sin(90)=1$, וזה בדיוק $v = \omega r$ מקואורדינטות פולריות.
מכאן הקשר:
\[\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r} \implies |\vec{v}| = \omega r\]במילים לא פשוטות — הנוסחה הווקטורית $\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}$ היא ההכללה התלת-ממדית של $v = \omega r$ המוכר (לחלקנו ובפרט למי שלמדו פיזיקה בתיכון) ממכניקה.
ב. צפיפות זרם בכדור טעון
אם צפיפות המטען בכדור הטעון היא $\rho(\vec{r})$, הראו שמנקודת מבטו של צופה חיצוני נייח צפיפות הזרם החשמלי מקיימת את הקשר:
\[\vec{\nabla} \cdot \vec{j} = \vec{\omega} \cdot (\vec{r} \times \nabla \rho)\]
צפיפות הזרם נתונה על ידי:
\[\vec{j} = \rho \vec{v} = \rho(\vec{\omega} \times \vec{r})\]נשתמש בזהות:
\[\nabla \cdot (f\vec{A}) = f(\nabla \cdot \vec{A}) + \vec{A} \cdot \nabla f\]ובמכפלה הסקלרית המשולשת (cyclic property):
\[(\vec{A} \times \vec{B}) \cdot \vec{C} = \vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C})\]לא הצלחתי לפתור לבד. להלן הפתרון של Claude Opus 4.5:
שלב 1: נכתוב את צפיפות הזרם
\[\vec{j} = \rho(\vec{\omega} \times \vec{r})\]שלב 2: נפעיל דיברגנץ עם הזהות
\[\nabla \cdot \vec{j} = \rho \underbrace{\nabla \cdot (\vec{\omega} \times \vec{r})}_{= 0} + (\vec{\omega} \times \vec{r}) \cdot \nabla \rho\]האיבר הראשון מתאפס כי $\vec{\omega}$ קבוע (לא תלוי במיקום).
שלב 3: נשאר עם
\[\nabla \cdot \vec{j} = (\vec{\omega} \times \vec{r}) \cdot \nabla \rho\]שלב 4: נשתמש בזהות המכפלה המשולשת — אפשר “לסובב” את הוקטורים:
\[(\vec{A} \times \vec{B}) \cdot \vec{C} = \vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C})\]עם $\vec{A}=\vec{\omega}$, $\vec{B}=\vec{r}$, $\vec{C}=\nabla\rho$:
\[(\vec{\omega} \times \vec{r}) \cdot \nabla \rho = \vec{\omega} \cdot (\vec{r} \times \nabla \rho)\]התוצאה:
\[\boxed{\nabla \cdot \vec{j} = \vec{\omega} \cdot (\vec{r} \times \nabla \rho)}\]
ג. מקרה רדיאלי
הראו כי אם $\nabla \rho$ מצביע בכיוון וקטור המקום (רדיאלי), אז:
- צפיפות הזרם חסרת שפיעה
- צפיפות המטען אינה משתנה בזמן
אם $\nabla \rho$ רדיאלי, אז $\nabla \rho \parallel \vec{r}$ (מקבילים).
מה קורה למכפלה וקטורית $(\vec{r} \times \nabla \rho)$ כשהוקטורים מקבילים? מתאפסת!
בסעיף ב הראינו ש:
\[\nabla \cdot \vec{j} = \vec{\omega} \cdot (\vec{r} \times \nabla \rho)\]אם $(\vec{r} \times \nabla \rho) = 0$, אז:
\[\nabla \cdot \vec{j} = 0 \quad \text{(divergence-free aka no sources or sinks)}\]ממשוואת הרציפות:
\[\nabla \cdot \vec{j} + \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0\]נציב $\nabla \cdot \vec{j} = 0$:
\[\frac{\partial \rho}{\partial t} = 0 \quad \text{(time-independent density)}\]3. דפורמציה של שדות ומשוואות מקסוול
נגדיר דפורמציה של שדה וקטורי:
\[\vec{V} \mapsto \vec{V}' = \vec{V} + \vec{W}\]כאשר כל השדות תלויים בזמן ובמקום.
הראו כי הזוג הראשון של משוואות מקסוול נשמר תחת הדפורמציה:
\[\vec{D}' = \vec{D} + \nabla \times \vec{G}\] \[\vec{H}' = \vec{H} - \frac{\partial \vec{G}}{\partial t}\]כאשר $\vec{G}(\vec{r},t)$ שדה וקטורי גזיר.
במילים אחרות: הראו כי $\vec{D}’$ ו־$\vec{H}’$ מקיימים גם הם את הזוג הראשון של משוואות מקסוול.
המשך יבוא.
דור פסקל