1. משוואת הרציפות וזרימה יציבה
משוואת הרציפות נתונה על־ידי:
\[\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \vec{j} = 0\]כאשר:
- $\rho(\vec{r},t)$ היא צפיפות המטען החשמלי המקומית בזמן $t$
- $\vec{j}=\rho \vec{v}$ היא צפיפות הזרם המקומית בכל זמן $t$.
זרימה יציבה מוגדרת כזרימה שעבורה שדה המהירויות חסר שפיעה:
\[\vec{\nabla} \cdot \vec{v} = 0\]הגדרה זו תקפה הן בחשמל והן בזורמים.
א. כלל לייבניץ לדיברגנס
יהי $\vec{X}$ שדה וקטורי גזיר, ו־$\alpha$ שדה סקלרי גזיר. הוכיחו:
\[\nabla \cdot (\alpha \vec{X}) = (\nabla \alpha) \cdot \vec{X} + \alpha (\nabla \cdot \vec{X})\]במילים - זה כלל לייבניץ לדיברנס של המכפלה $\alpha X$.
נכתוב את הדיברגנס בצורה מפורשת לפי הגדרה:
\[\nabla \cdot (\alpha \vec{X}) = \frac{\partial (\alpha X_x)}{\partial x} + \frac{\partial (\alpha X_y)}{\partial y} + \frac{\partial (\alpha X_z)}{\partial z}\]הכלל לגזירת מכפלה של שתי פונקציות (כלל המכפלה) הוא:
\[(fg)' = f'g + fg'\]הערה: לא להבלבל עם כלל השרשרת - לנגזרת של פונקציה מורכבת:
\[[f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x)\]
נפעיל את כלל המכפלה על כל אחד מהרכיבים בדיברגנס, למשל:
\[\frac{\partial (\alpha X_x)}{\partial x} = \frac{\partial \alpha}{\partial x} X_x + \alpha \frac{\partial X_x}{\partial x}\]הבהרה:
$\alpha$ הוא שדה סקלרי שתלוי במיקום, כלומר $\alpha(x,y,z)$. הנגזרת החלקית שלו לפי איקס היא לא בהכרס אפס.
באופן דומה:
\[\frac{\partial (\alpha X_x)}{\partial y} = \frac{\partial \alpha}{\partial y} X_x + \alpha \frac{\partial X_x}{\partial y}\] \[\frac{\partial (\alpha X_x)}{\partial z} = \frac{\partial \alpha}{\partial z} X_x + \alpha \frac{\partial X_x}{\partial z}\]סך הכך נקבל:
\[\nabla \cdot (\alpha \vec{X}) = \left(\frac{\partial \alpha}{\partial x} X_x + \alpha \frac{\partial X_x}{\partial x}\right) + \left(\frac{\partial \alpha}{\partial y} X_x + \alpha \frac{\partial X_x}{\partial y}\right) + \left(\frac{\partial \alpha}{\partial z} X_x + \alpha \frac{\partial X_x}{\partial z}\right)\]נסדר מחדש ונקבל את הביטוי שביקשו. בעיקר טכני.
ב. ניסוח משוואת הרציפות בזרימה יציבה
בהסתמך על הזהות לעיל, הראו כי בזרימה יציבה מתקיים:
\[\frac{\partial \rho}{\partial t} + \vec{v} \cdot \nabla \rho = 0\]
צפיפות הזרם קשורה לצפיפות המטען ולמהירות על ידי:
\[\vec{j} = \rho \vec{v}\]נציב את זה במשוואת הרציפות, ונשתמש בזהות מסעיף א׳.
משוואת הרציפות:
\[\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \vec{j} = 0\]נציב:
\[\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \rho \vec{v} = 0\]מהשאלה הקודמת:
…
2. כדור מבודד מסתובב
כדור מבודד שמרכזו בראשית הצירים מסתובב סביב צירו במהירות זוויתית תלויה בזמן $\vec{\omega}(t)$, אחידה לכל נקודות הכדור.
מהירות משיקית של נקודה שמיקומה $\vec{r}$ נתונה על־ידי:
\[\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}\]
א. קשר למכניקה ניוטונית
קשרו ביטוי זה לביטוי למהירות משיקית בקואורדינטות פולריות.
תובנה חשובה: כמו שהוזכר בשיעור 8 של פיזיקה א׳, בקואורדינטות פולריות, המהירות המשיקית של נקודה שמסתובבת במרחק $r$ מהציר היא $v = r\omega$ (לשלמות התמונה, הדבר הוזכר בהקשר של תלמידי תיכון ובקורס דווקא נלמד בצורה שונה).
אם נחשוב על מכפלה וקטורית $(\vec{\omega} \times \vec{r})$: הגודל של
\[|\vec{\omega} \times \vec{r}|\]כשהזווית בין הוקטורים היא $90°$, שווה:
\[|\vec{\omega} \times \vec{r}| = |\omega| \cdot |r| \cdot \sin(90°) = \omega r\]כי $\sin(90)=1$, וזה בדיוק $v = \omega r$ מקואורדינטות פולריות.
מכאן הקשר:
\[\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r} \implies |\vec{v}| = \omega r\]במילים לא פשוטות - הנוסחה הווקטורית $\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}$ היא ההכללה התלת־ממדית של $v = \omega r$ המוכר (לחלקנו ובפרט למי שלמדו פיזיקה בתיכון) ממכניקה.
ב. צפיפות זרם בכדור טעון
אם צפיפות המטען בכדור הטעון היא $\rho(\vec{r})$, הראו שמנקודת מבטו של צופה חיצוני נייח צפיפות הזרם החשמלי מקיימת את הקשר:
\[\vec{\nabla} \cdot \vec{j} = \vec{\omega} \cdot (\vec{r} \times \nabla \rho)\]
צפיפות הזרם נתונה על ידי:
\[\vec{j} = \rho \vec{v} = \rho(\vec{\omega} \times \vec{r})\]נשתמש בזהות:
\[\nabla \cdot (f\vec{A}) = f(\nabla \cdot \vec{A}) + \vec{A} \cdot \nabla f\]ובמכפלה הסקלרית המשולשת (cyclic property):
\[(\vec{A} \times \vec{B}) \cdot \vec{C} = \vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C})\]לא הצלחתי לפתור לבד. להלן הפתרון של Claude Opus 4.5:
שלב 1: נכתוב את צפיפות הזרם
\[\vec{j} = \rho(\vec{\omega} \times \vec{r})\]שלב 2: נפעיל דיברגנץ עם הזהות
\[\nabla \cdot \vec{j} = \rho \underbrace{\nabla \cdot (\vec{\omega} \times \vec{r})}_{= 0} + (\vec{\omega} \times \vec{r}) \cdot \nabla \rho\]האיבר הראשון מתאפס כי $\vec{\omega}$ קבוע (לא תלוי במיקום).
שלב 3: נשאר עם
\[\nabla \cdot \vec{j} = (\vec{\omega} \times \vec{r}) \cdot \nabla \rho\]שלב 4: נשתמש בזהות המכפלה המשולשת - אפשר “לסובב” את הוקטורים:
\[(\vec{A} \times \vec{B}) \cdot \vec{C} = \vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C})\]עם $\vec{A}=\vec{\omega}$, $\vec{B}=\vec{r}$, $\vec{C}=\nabla\rho$:
\[(\vec{\omega} \times \vec{r}) \cdot \nabla \rho = \vec{\omega} \cdot (\vec{r} \times \nabla \rho)\]התוצאה:
\[\boxed{\nabla \cdot \vec{j} = \vec{\omega} \cdot (\vec{r} \times \nabla \rho)}\]
ג. מקרה רדיאלי
הראו כי אם $\nabla \rho$ מצביע בכיוון וקטור המקום (רדיאלי), אז:
- צפיפות הזרם חסרת שפיעה
- צפיפות המטען אינה משתנה בזמן
אם $\nabla \rho$ רדיאלי, אז $\nabla \rho \parallel \vec{r}$ (מקבילים).
מה קורה למכפלה וקטורית $(\vec{r} \times \nabla \rho)$ כשהווקטורים מקבילים? מתאפסת!
בסעיף ב הראינו ש:
\[\nabla \cdot \vec{j} = \vec{\omega} \cdot (\vec{r} \times \nabla \rho)\]אם $(\vec{r} \times \nabla \rho) = 0$, אז:
\[\nabla \cdot \vec{j} = 0 \quad \text{(divergence-free aka no sources or sinks)}\]ממשוואת הרציפות:
\[\nabla \cdot \vec{j} + \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0\]נציב $\nabla \cdot \vec{j} = 0$:
\[\frac{\partial \rho}{\partial t} = 0 \quad \text{(time-independent density)}\]3. דפורמציה של שדות ומשוואות מקסוול
נגדיר דפורמציה של שדה וקטורי:
\[\vec{V} \mapsto \vec{V}' = \vec{V} + \vec{W}\]כאשר כל השדות תלויים בזמן ובמקום.
הראו כי הזוג הראשון של משוואות מקסוול נשמר תחת הדפורמציה:
\[\vec{D}' = \vec{D} + \nabla \times \vec{G}\] \[\vec{H}' = \vec{H} - \frac{\partial \vec{G}}{\partial t}\]כאשר $\vec{G}(\vec{r},t)$ שדה וקטורי גזיר.
במילים אחרות: הראו כי $\vec{D}’$ ו־$\vec{H}’$ מקיימים גם הם את הזוג הראשון של משוואות מקסוול.
לא הצלחתי, להלן פתרון של Claude Opus 4.6:
זיהוי הזוג הראשון של משוואות מקסוול
הזוג הראשון (המשוואות עם המקורות החופשיים) הוא:
\[\text{(I)}\quad \nabla \cdot \vec{D} = \rho_f\] \[\text{(II)}\quad \nabla \times \vec{H} = \vec{J}_f + \frac{\partial \vec{D}}{\partial t}\]ניתנת הדפורמציה:
\[\vec{D}' = \vec{D} + \nabla \times \vec{G}, \qquad \vec{H}' = \vec{H} + \frac{\partial \vec{G}}{\partial t}\]כאשר $\vec{G}(\vec{r},t)$ שדה וקטורי גזיר (חלק) שרירותי. נראה ש־$\vec{D}’$ ו־$\vec{H}’$ מקיימים את אותן משוואות.
בדיקת משוואה (I): $\nabla \cdot \vec{D}’ = \rho_f$
\[\nabla \cdot \vec{D}' = \nabla \cdot \vec{D} + \nabla \cdot (\nabla \times \vec{G})\]נשתמש בזהות הוקטורית הידועה - הדיברגנס של רוטור תמיד מתאפס:
\[\nabla \cdot (\nabla \times \vec{G}) = 0\]ולכן:
\[\boxed{\nabla \cdot \vec{D}' = \nabla \cdot \vec{D} = \rho_f \quad\checkmark}\]
בדיקת משוואה (II): $\nabla \times \vec{H}’ = \vec{J}_f + \dfrac{\partial \vec{D}’}{\partial t}$
נחשב את אגף שמאל:
\[\nabla \times \vec{H}' = \nabla \times \vec{H} + \nabla \times \frac{\partial \vec{G}}{\partial t}\]מכיוון ש־$\vec{G}$ גזיר, מותר להחליף את סדר הגזירה (משפט שוורץ):
\[\nabla \times \frac{\partial \vec{G}}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t}\left(\nabla \times \vec{G}\right)\]נציב ונשתמש בכך ש־$\vec{H}$ מקיים את המשוואה המקורית:
\[\nabla \times \vec{H}' = \underbrace{\nabla \times \vec{H}}_{= \,\vec{J}_f + \dot{\vec{D}}} + \frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times \vec{G})\] \[= \vec{J}_f + \frac{\partial \vec{D}}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times \vec{G})\] \[= \vec{J}_f + \frac{\partial}{\partial t}\!\left(\vec{D} + \nabla \times \vec{G}\right)\] \[\boxed{\nabla \times \vec{H}' = \vec{J}_f + \frac{\partial \vec{D}'}{\partial t} \quad\checkmark}\]סיכום
שתי המשוואות נשמרות הודות לשני עקרונות:
| משוואה | מה מבטיח את השימור |
|---|---|
| $\nabla \cdot \vec{D}’ = \rho_f$ | הזהות $\nabla \cdot (\nabla \times \vec{G}) \equiv 0$ |
| $\nabla \times \vec{H}’ = \vec{J}_f + \dot{\vec{D}}’$ | החלפת סדר גזירה: $\nabla \times \dot{\vec{G}} = \frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times \vec{G})$ |
הדפורמציה על ידי $\vec{G}$ אינה משנה את התוכן הפיזי של משוואות מקסוול - היא מבטאת דרגת חופש (gauge freedom) בהגדרת השדות $\vec{D}$ ו־$\vec{H}$ בתווך. $\blacksquare$
4. פתרון פורמלי של הזוג השני של משוואות מקסוול
הראו כי הזוג השני נפתר זהותית באמצעות ההצבות:
\[\vec{B} = \nabla \times \vec{A}\] \[\vec{E} = -\nabla \phi - \frac{\partial \vec{A}}{\partial t}\]כאשר:
- $\vec{A}$ הוא הפוטנציאל המגנטי
- $\phi$ הוא הפוטנציאל האלקטרוסטטי
להלן פתרון של קלוד.
פתרון: הזוג השני של משוואות מקסוול נפתר זהותית
הזוג השני של משוואות מקסוול הוא:
\[\nabla \cdot \vec{B} = 0 \qquad (1)\] \[\nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \qquad (2)\]נראה שההצבות $\vec{B} = \nabla \times \vec{A}$ ו־$\vec{E} = -\nabla\phi - \frac{\partial \vec{A}}{\partial t}$ מספקות את שתי המשוואות זהותית (כלומר, לכל בחירה של $\vec{A}$ ו־$\phi$).
משוואה (1): $\nabla \cdot \vec{B} = 0$
נציב $\vec{B} = \nabla \times \vec{A}$:
\[\nabla \cdot \vec{B} = \nabla \cdot (\nabla \times \vec{A})\]זאת זהות וקטורית ידועה: הדיברגנס של רוטור של כל שדה וקטורי שווה תמיד לאפס:
\[\boxed{\nabla \cdot (\nabla \times \vec{A}) \equiv 0 \quad \checkmark}\]משוואה (2): $\nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$
אגף שמאל – נציב את $\vec{E}$:
\[\nabla \times \vec{E} = \nabla \times \left(-\nabla\phi - \frac{\partial \vec{A}}{\partial t}\right)\] \[= -\nabla \times (\nabla\phi) - \nabla \times \frac{\partial \vec{A}}{\partial t}\]כעת נשתמש בעוד זהות וקטורית: הרוטור של גרדיאנט של כל שדה סקלרי שווה תמיד לאפס:
\[\nabla \times (\nabla\phi) \equiv 0\]ולכן:
\[\nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times \vec{A})\]אגף ימין – נציב את $\vec{B}$:
\[-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} = -\frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times \vec{A})\]קיבלנו:
\[\boxed{\nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times \vec{A}) = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \quad \checkmark}\]סיכום - משוואות מקסוול
השתמשנו בשתי זהויות וקטוריות בלבד:
דיברגנס של רוטור:
\[\nabla \cdot (\nabla \times \vec{F}) \equiv 0\]רוטור של גרדיאנט:
\[\nabla \times (\nabla f) \equiv 0\]זהויות אלה מבטיחות שלכל בחירה של $\vec{A}$ ו־$\phi$, הזוג השני של מקסוול מתקיים אוטומטית. זו בדיוק הסיבה שנוח לעבוד עם פוטנציאלים - הם מצמצמים את מספר המשוואות שצריך לפתור.
5. חומרים, חוק אוהם ודעיכת מטען
בתוך חומר מתקיימים:
א. קשרי מבנה
הקבועים האוניברסליים מוחלפים בקבועי חומר:
\[\vec{D} = \varepsilon \vec{E}, \qquad \vec{H} = \frac{1}{\mu}\vec{B}\]כאשר:
- $\varepsilon$ – פרמיטיביות
- $\mu$ – פרמביליות
ב. חוק אוהם המקומי
\[\vec{j} = \sigma \vec{E}\]כאשר $\sigma$ היא המוליכות החשמלית.
ג. משוואת התפתחות צפיפות המטען
שילוב חוק אוהם עם משוואות מקסוול מוביל ל:
\[\frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\sigma}{\varepsilon}\rho = 0\]פתרון המשוואה:
\[\rho(t) = \rho_0 e^{-t/\tau}\]כאשר:
- $\tau = \frac{\varepsilon}{\sigma}$ – זמן דעיכה אופייני
- $\rho_0$ – צפיפות המטען ההתחלתית
ד. חישובים יישומיים
- מצאו $\tau$ עבור נחושת
- מצאו $\tau$ עבור חומר קרמי
- השוו בין מוליך למבודד
6. פוטנציאל אלקטרוסטטי סימטריה רדיאלית
נתון:
\[\phi(r) = K \frac{e^{-\lambda r}}{r}\]
א. יחידות הפרמטרים
מצאו את יחידות $K$ ו־$\lambda$.
הביטוי $\phi(r)$ הוא פוטנציאל חשמלי, ולכן היחידות שלו הן וולט:
\[[\phi] = \text{V}\]האקספוננט $\lambda r$ חייב להיות חסר יחידות, ו־$r$ ביחידות מטר, לכן:
\[\boxed{[\lambda] = \frac{1}{\text{m}} = \text{m}^{-1}}\]ומתוך:
\[[\phi] = [K]\cdot\frac{1}{[r]} \implies [K] = [\phi]\cdot[r] = \text{V}\cdot\text{m}\] \[\boxed{[K] = \text{V}\cdot\text{m}}\]ב. צפיפות מטען $\rho(\vec{r})$
בעזרת ביטויי גרדיאנט ודיברגנס בקואורדינטות כדוריות, חשבו את:
\[\rho(\vec{r})\]
לא הצלחתי בעצמי - להלן פתרון של קלוד.
משוואת פואסון
\[\nabla^2 \phi = -\frac{\rho}{\varepsilon_0} \implies \rho = -\varepsilon_0 \nabla^2 \phi\]חישוב הלפלסיאן בקואורדינטות כדוריות (סימטריה רדיאלית)
\[\nabla^2 \phi = \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2 \frac{d\phi}{dr}\right)\]שלב 1 – נגזרת ראשונה
\[\phi = K\frac{e^{-\lambda r}}{r}\] \[\frac{d\phi}{dr} = K\left(\frac{-\lambda r \cdot e^{-\lambda r} - e^{-\lambda r}}{r^2}\right) = -K\,e^{-\lambda r}\left(\frac{\lambda}{r} + \frac{1}{r^2}\right)\]שלב 2 – הכפלה ב־$r^2$
\[r^2\frac{d\phi}{dr} = -K\,e^{-\lambda r}(\lambda r + 1)\]שלב 3 – גזירה נוספת
\[\frac{d}{dr}\left[-K\,e^{-\lambda r}(\lambda r + 1)\right]\]נשתמש בכלל המכפלה:
\[= -K\left[-\lambda e^{-\lambda r}(\lambda r + 1) + e^{-\lambda r}\cdot\lambda\right]\] \[= -K\,e^{-\lambda r}\left[-\lambda^2 r - \lambda + \lambda\right]\] \[= -K\,e^{-\lambda r}\cdot(-\lambda^2 r) = K\lambda^2 r\,e^{-\lambda r}\]שלב 4 – חלוקה ב־$r^2$
\[\nabla^2\phi = \frac{1}{r^2}\cdot K\lambda^2 r\,e^{-\lambda r} = \frac{K\lambda^2 e^{-\lambda r}}{r}\]אבל! – אל נשכח את הנקודה הסינגולרית
הפונקציה $\frac{1}{r}$ מקיימת:
\[\nabla^2\left(\frac{1}{r}\right) = -4\pi\,\delta^3(\vec{r})\]לכן הלפלסיאן המלא הוא:
\[\nabla^2\phi = \frac{K\lambda^2 e^{-\lambda r}}{r} - 4\pi K\,\delta^3(\vec{r})\]התוצאה הסופית
\[\boxed{\rho(\vec{r}) = -\varepsilon_0\left(\frac{K\lambda^2 e^{-\lambda r}}{r} - 4\pi K\,\delta^3(\vec{r})\right) = 4\pi K\varepsilon_0\,\delta^3(\vec{r}) - \frac{\varepsilon_0 K\lambda^2 e^{-\lambda r}}{r}}\]הפירוש הפיזיקלי: יש מטען נקודתי בראשית (איבר הדלתא) וענן מטען רציף שדועך אקספוננציאלית סביבו - זהו למעשה מודל יוקאווה (פוטנציאל מסוכך).
הפתרון הרשמי שפורסם היה שונה:
\[\rho(r) = -\lambda^2 k\varepsilon_0 \frac{e^{-\lambda r}}{r}\]להלן ההסבר על ההבדלים.
ההבדל בין שתי הגישות
מבחינת השיטה
המרצה פירק את החישוב לשני שלבים מפורשים:
- חישוב $\vec{E} = -\nabla\phi = -\frac{\partial\phi}{\partial r}\hat{r}$ (גרדיאנט)
- חישוב $\rho = \varepsilon_0 \nabla \cdot \vec{E}$ באמצעות $\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(r^2 E_r)$ (דיברגנס)
קלוד השתמש במשוואת פואסון ישירות:
\[\rho = -\varepsilon_0 \nabla^2\phi\]וחישב את הלפלסיאן בצעד אחד.
מתמטית זה אותו דבר - לפלסיאן הוא דיברגנס של גרדיאנט.
מבחינת התוצאה
ההבדל המהותי: המרצה לא כלל את איבר פונקציית הדלתא $\delta^3(\vec{r})$ בראשית, וקלוד כן.
הפתרון של קלוד כולל:
\[\rho = 4\pi K\varepsilon_0\,\delta^3(\vec{r}) - \frac{\varepsilon_0 K\lambda^2 e^{-\lambda r}}{r}\]המרצה קיבל רק:
\[\rho(r) = -\lambda^2 k\varepsilon_0 \frac{e^{-\lambda r}}{r}\]הסיבה היא שכאשר מחשבים את הגרדיאנט ואז את הדיברגנס עבור $r \neq 0$ בלבד (כפי שהמרצה עשה), הסינגולריות בראשית “נעלמת” מהחישוב. איבר הדלתא מגיע מהזהות $\nabla^2(1/r) = -4\pi\delta^3(\vec{r})$ שהיא תוצאה דיסטריבוציונית - היא רלוונטית רק בנקודה $r=0$.
שני הפתרונות נכונים - המרצה פשוט התמקד בתחום $r > 0$, וכתב שצפיפות המטען מתפלגת מרחבית כמו הפוטנציאל.
אני לא בטוח שהבנתי את ההסבר, והוא מובא כאן לעיונכם לשלמות התמונה בלבד.
דור פסקל