מהו מעגל היחידה?
מעגל היחידה הוא מעגל שרדיוסו 1 יחידה ומרכזו בראשית הצירים (0,0). הוא מהווה כלי יסודי בהבנת פונקציות טריגונומטריות.
בכל נקודה על מעגל היחידה:
- הקואורדינטה x שווה ל-cos(θ)
- הקואורדינטה y שווה ל-sin(θ)
- היחס ביניהם (y/x) שווה ל-tan(θ)
למה רדיאנים?
רדיאן מוגדר כיחס בין אורך הקשת לרדיוס המעגל. במעגל היחידה, שרדיוסו 1:
- 2π רדיאנים = סיבוב שלם = 360°
- π רדיאנים = חצי סיבוב = 180°
- π/2 רדיאנים = רבע סיבוב = 90°
רדיאנים הם יחידת המידה הטבעית למעגל היחידה, כי הם מבטאים ישירות את אורך הקשת על המעגל.
sin(θ) = 0
cos(θ) = 1
tan(θ) = 0
θ (רדיאנים) = 0
ערכים מיוחדים במעגל היחידה
| זווית (רדיאנים) | sin(θ) | cos(θ) | tan(θ) |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| π/6 (30°) | 1/2 | √3/2 | 1/√3 |
| π/4 (45°) | 1/√2 | 1/√2 | 1 |
| π/3 (60°) | √3/2 | 1/2 | √3 |
| π/2 (90°) | 1 | 0 | לא מוגדר |
זהויות טריגונומטריות בסיסיות
מעגל היחידה מדגים מספר זהויות חשובות:
sin²(θ) + cos²(θ) = 1
זהות זו נובעת מכך שכל נקודה על מעגל היחידה מקיימת את משוואת המעגל x² + y² = 1
tan(θ) = sin(θ)/cos(θ)
זהות זו מייצגת את היחס בין הצלע הנגדית לצלע הסמוכה במשולש ישר זווית