שאלות ממועד 2025 ב׳
שאלה עם $\ln$ - תאוצה זוויתית
מיקום גוף נע מתואר בקואורדינטות x ו y באופן הבא (לא זוכר במדיוק):
\[x(t) = A\ln\left(1 + \frac{t}{\tau}\right) \cos\left(2A\omega\left[(t + \tau)\ln\left(1 + \frac{t}{\tau}\right) - t\right]\right)\] \[y(t) = A\ln\left(1 + \frac{t}{\tau}\right) \sin\left(2A\omega\left[(t + \tau)\ln\left(1 + \frac{t}{\tau}\right) - t\right]\right)\]$\omega, A, \tau$ הם קבועים ביחידות המתאימות.
מה התאוצה הזוויתית של הגוף? ($a_\theta$)
התשובה הנכונה הייתה ככל הנראה:
\[\boxed{a_\theta = \frac{2A\omega}{t + \tau}}\]בשלב הראשון נדרש להבין מהנתונים ש:
\[R = A\ln\left(1 + \frac{t}{\tau}\right)\]וש-
\[\theta = 2A\omega\left[(t + \tau)\ln\left(1 + \frac{t}{\tau}\right) - t\right]\]גזירה ראשונה של $\theta$ נותנת (שימו לב שבשביל $\ln$ צריך את כלל השרשרת):
\[\frac{d}{dt} \theta = 2A\omega \frac{d}{dt}\left[(t + \tau)\ln\left(1 + \frac{t}{\tau}\right) - t\right]\]נפתח את הנגזרת של הביטוי בתוך הסוגריים המרובעים בעזרת נגזרת של מכפלה ($(ab)’=a’b + b’a$):
\[\frac{d}{dt}\left[(t + \tau)\ln\left(1 + \frac{t}{\tau}\right) - t\right] = \frac{d}{dt}\left[\ln\left(1 + \frac{t}{\tau}\right)\right](t + \tau) + \underbrace{\frac{d}{dt}\left[(t + \tau)\right]}_{=1}\ln\left(1 + \frac{t}{\tau}\right) - 1\] \[\frac{d}{dt}\left[\ln\left(1 + \frac{t}{\tau}\right)\right](t + \tau) = \frac{1}{1+\frac{t}{\tau}}\cdot\frac{1}{\tau} (t+ \tau) = 1\]מכאן שהביטוי המפחיד מצטמצם עם 1:
\[\frac{d}{dt}\left[(t + \tau)\ln\left(1 + \frac{t}{\tau}\right) - t\right] = \cancel{\frac{d}{dt}\left[\ln\left(1 + \frac{t}{\tau}\right)\right](t + \tau)} + \frac{d}{dt}\left[(t + \tau)\right]\ln\left(1 + \frac{t}{\tau}\right) - \cancel{1}\] \[=\ln\left(1 + \frac{t}{\tau}\right)\]נמשיך עם הנגזרת השנייה:
\[\frac{d^2 \theta}{dt} = 2A\omega \frac{d}{dt}\left[\ln\left(1 + \frac{t}{\tau}\right)\right] = 2A\omega\left(\frac{1}{1+\frac{t}{\tau}}(\frac{1}{\tau})\right)\] \[\boxed{a_\theta = \frac{2A\omega}{t + \tau}}\]\[T = (m + M)g + \frac{m^2v_0^2}{2L(M+m)}\]שאלת קליע - מתיחות בחוט
קליע במשקל $m$ שנע במהיות $v_0$ נתקבע בבול עץ במשקל $M$ שתלוי מחוט באורך $L$ (מטוטלת בליסטית?), מה המתיחות של החוט שמחזיק את הקליע בנקודת שיא הגובה?
\[\sqrt{v_0 + \frac{2GM(R-a)}{Ra}}\]שאלת כוכב - מהירות יציאה מהפלנטה
נתון שגוף שמימי מגיע למרחק של $a$ ושואלים לגבי המהירות שבה הוא עוזב.
\[\ddot{r} -(\dot{\theta}^2 -\omega^2)r - \omega^2 r_0 = 0\]שאלת קפיץ פולארי
מה המשוואה שמתארת את המערכת של קפיץ מסתובב? כלומר, הקפיץ נראה כמחוג שעון.
המשוואה הרגילה
\[\tan{\theta} \leq \frac{\mu g + A}{g-\mu A}\]שאלת חיכוך
שאלת אנרגיה
נתון כוח משמר שפועל על גוף ושואלים על השינוי באנרגיה שלו בין שתי נקודות.
כדי לפתור את התרגיל היה נדרש תחילה לגזור את וקטור המקום כדי לקבל את וקטורי המהירות, וכן הלאה. מומלץ להסתכל על פתרון תרגיל דומה מהתרגול.
\[-36 \, \mathrm{J}\]\[A = \frac{m_1 v_1}{\sqrt{k m_2}}\] דור פסקלשאלת אמפליטודה של תנודות
נתון פיצוף שמעיף חצי אחד כלפי חוץ וחצי שני שמחובר לקיר עם קפיץ כלפי הקיר.