הקדמה
להלן שחזור אפשרי ללא אחריות לבחינת הגמר שנערכה ביום 14 ביולי 2025 (מועד א׳). הבחינה לא הייתה קלה, לעניות דעתי, והתשובות שלהלן מובאות כניחוש בלבד.
אנא אל תפנו אלא לצורך סיוע ותרומה למאמץ. בפרט, שאלות בסגנון של ״מה הייתה השאלה המלאה בשאלה X?״ ״למה התכוונו בשאלה Y?״ ״למה שלא תעשו כך וכך?״ לא יענו.
בכל שאלה אישית או בקשה, נציע לכם לפנות לצוות ההוראה או לפעול בדרכים אחרות, ולעדכן במידע מסייע לאחר מעשה.
בהצלחה!
שאלה 1 - אינטגרציה כפולה
נוסח השאלה המקורי לא זכור לי. ככל הנראה היה חלקיק במסה $m=1$ שפועל עליו כוח וצריך לחשב את המיקום שלו.
הפתרון:
\[\frac{t^3}{6} \mathbf{\hat{x}} - \frac{t^2}{2} \mathbf{\hat{y}}\]אינטגרציה כפולה. הייתה רק תשובה אחת שקיימה את הנדרש בציר $x$.
\[-k X - N \sin{\alpha}\]שאלה 2 - מסה מחוברת בקפיץ שמונחת עליה מסה קטנה
שאלה 3 - חישוב מהירות יחסית
לא זוכר את הביטוי המדויק, בערך.
שאלה 4 - זוית תנודות מואצת
מהי $\omega$ של מטוטלת בתוך גוף שמאיץ לצד? השתמשו בקירובים לזוויות קטנות ביחס לזווית שיווי המשקל של המטוטלת.
התשובה הנכונה היא ככל הנראה:
\[\omega^2 = \frac{\sqrt{g^2 + a^2}}{R}\]הערה חשובה: צוות ההוראה בקורס היה טוב, אבל בשאלה הזו הייתה לדעתי אי-בהירות שלא הובהרה מספיק בהרצאות - ההבחנה בין $g$ כגודל סקלרי לבין $\vec{g}$ כווקטור. כתבתי על חוסר ההבחנה הזה גם בסיכומים שלי לאורך הסמסטר.
במבחן, אחת האפשרויות הייתה:
\[\omega^2 = \frac{g + a}{R}\]אפשרות זו בעייתית מכמה סיבות:
- אם מפרשים אותה כחיבור וקטורי $\frac{\vec{g} + \vec{a}}{R}$, היא שגויה מתמטית (לא ניתן לחלק וקטור בסקלר ולקבל סקלר)
- אם מפרשים אותה כחיבור סקלרי של גדלים, היא מתעלמת מכיווני הכוחות
עם זאת, לאורך הקורס לא הוקפד על ההבחנה הזאת:
בהרצאה מיום 22 במאי 2025 (קישור): המרצה פתר תרגיל זהה (מטוטלת במעלית) והתייחס ל-$g$ כגודל סקלרי, כאשר כתב $g_{\text{eff}} = g + a$ למקרה של תאוצה כלפי מעלה
בתרגולים (למשל בקובץ
tuttorial7_physics_sol.pdf): לא הופיעה הבחנה ברורה בין $g$ סקלרי ל-$\vec{g}$ וקטוריהסימון המקובל בקורס: השתמשו ב-$g\hat{z}$ או $g\vec{z}$ כדי לציין את וקטור התאוצה הכבידתית, מה שמרמז ש-$g$ עצמו הוא סקלר (הגודל)
הבעיה המתמטית: גם כאשר הכוחות פועלים באותו כיוון, הביטוי $\sqrt{(g+a)^2} = g+a$ נכון רק אם $g,a > 0$. במקרה הכללי:
\[|\vec{g} + \vec{a}| = \sqrt{|\vec{g}|^2 + |\vec{a}|^2 + 2\vec{g} \cdot \vec{a}}\]מכיוון שהקונבנציה בקורס הייתה להשתמש ב-$g$ כגודל סקלרי ($\approx 10 \, \mathrm{m/s^2}$) ולא הונהג שימוש עקבי בסימונים $\vec{g}$ או $\mathbf{g}$, סביר להניח שסטודנטים רבים פירשו את התשובה כחיבור של גדלים אפקטיביים. לדעתי, יש מקום לשקול מתן ניקוד חלקי או מלא לסטודנטים שסימנו את התשובה הזאת בהתבסס על הפרשנות הסקלרית שהייתה מקובלת בקורס.
שאלה 6 - התנגשות אלסטית של שתי מסות
מסה $m_1$ במהירות $u$ מתקרבת למסה $m_2$ שנמצאת במנוחה. למסה $m_2$ מחובר קפיץ עם קבוע $k$, בכיוון שממנו מתקרבת המסה $m_1$.
המסה $m_1$ מתנגשת התנשות אלסטית בקפיץ שמחובר למסה $m_2$.
מה התכווצות הקפיץ $d$ המקסימלית? (רמז: מהירות יחסית של המסות).
ככל הנראה:
\[d = \sqrt{\frac{m_1 m_2}{k(m_1 + m_2)}} u\]לא בטוח כלל וכלל.
שאלה 7 - באנג׳י
אדם עושה באנג’י.
מגדירים ב-z(t) את המרחק המתוח של חבל הבאנג’י (לאחר שקפץ).
כוח הגרר של האוויר מסומן:
\[F_{\text{drag}} = -b \dot{z}\]משוואת התנועה היא:
\[z(t) = \frac{mg}{k} \left(1 - e^{-\alpha t}\right)\]השאלה: איזו משוואה מקיים הפרמטר $\alpha$?
פתרון:
היה ניתן לפסול את רוב התשובות על סמך יחידות מידה בלבד.
משוואת הכוחות:
\[m\ddot{z} = mg - kz - b\dot{z}\]מהפתרון הנתון:
- $\dot{z} = \frac{mg\alpha}{k}e^{-\alpha t}$
- $\ddot{z} = -\frac{mg\alpha^2}{k}e^{-\alpha t}$
הצבה במשוואת הכוחות:
\[m\left(-\frac{mg\alpha^2}{k}e^{-\alpha t}\right) = mg - k\left(\frac{mg}{k}(1 - e^{-\alpha t})\right) - b\left(\frac{mg\alpha}{k}e^{-\alpha t}\right)\]פישוט:
\[-\frac{m^2g\alpha^2}{k}e^{-\alpha t} = mge^{-\alpha t} - \frac{bmg\alpha}{k}e^{-\alpha t}\]חלוקה ב-$e^{-\alpha t}$:
\[-\frac{m^2g\alpha^2}{k} = mg - \frac{bmg\alpha}{k}\]העברת אגפים:
\[\frac{m^2g\alpha^2}{k} - \frac{bmg\alpha}{k} - mg = 0\]חלוקה ב-$mg$:
\[\boxed{\frac{m\alpha^2}{k} - \frac{b\alpha}{k} - 1 = 0}\]בכל מקרה הביטוי המקובל לאלפא הוא בדיעבד:
\[m\alpha^2 - b\alpha - k = 0\]טעיתי בשאלה הזאת בגלל חוסר תשומת לב. סימנתי אותה ושיניתי כיוון שהצבה של $\alpha \to 0$ גרמה לי לחשוב שמדובר בסתירה: $-1\ne 0$.
שאלה 8 - זמן לנפילה של גולה
\[t=\frac{\cosh^{-1}\left(2\right)}{\omega}\]הפתרון זמין בסיכום שיעור התגבור.
למי שמתעצלים לחפש:
ניסוח הבעיה
גליל אופקי באורך $L$ מסתובב נגד כיוון השעון במהירות זוויתית קבועה $\omega$. מסה $m$ מתחילה במרכז הגליל (במיקום $r = L/2$) ממצב מנוחה, ונעה תחת השפעת הכוח הצנטריפוגלי בלבד.
נתונים:
תנאי התחלה:
- $r(t=0) = \frac{L}{2}$ (מיקום התחלתי במרכז הגליל)
- $\dot{r}(t=0) = 0$ (מהירות רדיאלי התחלתי אפס - ממנוחה)
הפרמטרים של המערכת:
- $\omega$ = מהירות זוויתית קבועה של הגליל
- $L$ = אורך הגליל
- $m$ = מסת הגוף
מטרה: למצוא את התנועה $r(t)$ של המסה והזמן ($t$) שבו היא מגיעה לקצה הגליל ($r = L$).
שלב 1: יישום חוק ניוטון השני במערכת ייחוס מסתובבת
במערכת ייחוס מסתובבת עם מהירות זוויתית קבועה $\omega$, הכוח הצנטריפוגלי פועל על מסה הנמצאת במרחק $r$ מהמרכז:
\[\mathbf{F}_{\text{centrifugal}} = m\omega^2 r\]הכוח מכוון החוצה ברכיב הרדיאלי $\hat{r}$.
שלב 2: משוואת התנועה
יישום החוק השני של ניוטון בכיוון הרדיאלי:
\[m\ddot{r} = m\omega^2 r\]המסה מצטמצמת:
\[\ddot{r} = \omega^2 r \tag{1}\]שלב 3: פתרון המשוואה הדיפרנציאלית
משוואה (1) היא משוואה דיפרנציאלית לינארית הומוגנית מסדר שני עם מקדמים קבועים.
המשוואה האופיינית:
\[\lambda^2 = \omega^2\]הפתרונות: $\lambda = \pm\omega$
הפתרון הכללי:
\[r(t) = A e^{\omega t} + B e^{-\omega t}\]או בצורה היפרבולית שקולה:
\[r(t) = C \cosh(\omega t) + D \sinh(\omega t) \tag{2}\]שלב 4: יישום תנאי התחלה
תנאי התחלה:
- $r(0) = \frac{L}{2}$
- $\dot{r}(0) = 0$
מהתנאי הראשון:
\[r(0) = C = \frac{L}{2}\]לכן:
\[r(t) = \frac{L}{2} \cosh(\omega t) + D \sinh(\omega t)\]מהתנאי השני:
\[\dot{r}(t) = \frac{L}{2} \omega \sinh(\omega t) + D \omega \cosh(\omega t)\] \[\dot{r}(0) = D \omega = 0\]לכן: $D = 0$
שלב 5: הפתרון הסופי
\[r(t) = \frac{L}{2} \cosh(\omega t) \tag{3}\] \[\dot{r}(t) = \frac{L \omega}{2} \sinh(\omega t) \tag{4}\] \[\ddot{r}(t) = \frac{L \omega^2}{2} \cosh(\omega t) \tag{5}\]שלב 6: חישוב זמן ההגעה לקצה הגליל
המסה מגיעה לקצה הגליל כאשר $r(t) = L$:
\[L = \frac{L}{2} \cosh(\omega t)\] \[2 = \cosh(\omega t)\] \[\omega t = \cosh^{-1}(2)\] \[\boxed{t = \frac{\cosh^{-1}(2)}{\omega}}\]דור פסקלהערה: טעיתי ובחרתי באפשרות של $t = \frac{\sinh^{-1}(2)}{\omega}$ מחוסר תשומת לב.
נתראה במועד הבא, בהצלחה!