נוסחאות בסיסיות
נוסחת השורשים
\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]$(a+b)^3$ ו-$(a-b)^3$
\[\begin{aligned} (a+b)^3 &= a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \\ (a-b)^3 &= a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 \end{aligned}\]חוקי חזקות
\[\begin{aligned} a^0 &= 1 \\ a^1 &= a \\ a^{-1} &= \frac{1}{a} \\ a^{m+n} &= a^m \cdot a^n \\ (a^m)^n &= a^{mn} \\ a^{\frac{m}{n}} &= \sqrt[n]{a^m} \\ a^m \cdot b^m &= (ab)^m \\ \frac{a^m}{a^n} &= a^{m-n} \\ \frac{a^m}{b^m} &= \left(\frac{a}{b}\right)^m \end{aligned}\]לוגריתמים
\[\begin{aligned} e^{\ln(x)} &= x \\ \ln(e^x) &= x \\ a^x \cdot a^y &= a^{x+y} \\ (a^x)^y &= a^{xy} \\ \ln(xy) &= \ln(x) + \ln(y) \\ \ln\left(\frac{x}{y}\right) &= \ln(x) - \ln(y) \\ \ln(x^n) &= n \ln(x) \\ \ln(1) &= 0 \\ \ln(e) &= 1 \\ \ln(e^x) &= x \\ \ln(e^{x^2}) &= x^2 \end{aligned}\]טריגונומטריה
זהויות בסיסיות
\[\begin{aligned} \sin^2(x) + \cos^2(x) &= 1 \\ \sin(2x) &= 2\sin(x)\cos(x) \\ \cos(2x) &= \cos^2(x) - \sin^2(x) \\ &= 2\cos^2(x) - 1 \\ &= 1 - 2\sin^2(x) \\ \tan(2x) &= \frac{2\tan(x)}{1 - \tan^2(x)} \end{aligned}\]נוסחאות חיבור וחיסור
\[\begin{aligned} \sin(x \pm y) &= \sin(x)\cos(y) \pm \cos(x)\sin(y) \\ \cos(x \pm y) &= \cos(x)\cos(y) \mp \sin(x)\sin(y) \\ \tan(x \pm y) &= \frac{\tan(x) \pm \tan(y)}{1 \mp \tan(x)\tan(y)} \end{aligned}\]זהויות טריגונומטריות נוספות
\[\begin{aligned} \tan^2\left(\frac{x}{2}\right) &= \frac{1 - \cos(x)}{1 + \cos(x)} \\ \tan^2(x) + 1 &= \frac{1}{\cos^2(x)} \\ \cot^2(x) + 1 &= \frac{1}{\sin^2(x)} \end{aligned}\]נוסחאות חצי זווית
\[\begin{aligned} \sin\left(\frac{x}{2}\right) &= \pm \sqrt{\frac{1 - \cos(x)}{2}} \\ \cos\left(\frac{x}{2}\right) &= \pm \sqrt{\frac{1 + \cos(x)}{2}} \end{aligned}\]טבלת זוויות מיוחדות
| זווית | סינוס | קוסינוס | טנגנס |
|---|---|---|---|
| $0°$ | $0$ | $1$ | $0$ |
| $30°$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{1}{\sqrt{3}}$ |
| $45°$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $1$ |
| $60°$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $\sqrt{3}$ |
| $90°$ | $1$ | $0$ | $\infty$ |
פונקציות היפרבוליות
לכל הפונקציות, הגרסאות ההופכיות שלהן ותמונות, מומלץ לצפות בדף בנושא פונקציות היפרבוליות.
\[\begin{aligned} \sinh (x) &= \frac{e^x - e^{-x}}{2} \\ \cosh (x) &= \frac{e^x + e^{-x}}{2} \\ \tanh (x) &= \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)} \\ \cosh^2(x) - \sinh^2(x) &= 1 \\ 1 - \tanh^2(x) &= \text{sech}^2(x) \end{aligned}\]היפוך של פונקציות היפרבוליות
שימו לב שההגדרה הראשונה היא לא של פנוקציה הפוכה $f^{-1}(x)$, אלא רק צורת רישום מקובלת באנגלית.
\[\begin{aligned} \coth (x) &= \frac{1}{\tanh(x)} \\ \tanh^{-1}(x) &= \frac{1}{2} \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right) \\ \sinh^{-1}(x) &= \ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) \\ \cosh^{-1}(x) &= \ln(x + \sqrt{x^2 - 1}) \end{aligned}\]זהויות היפרבוליות
\[\begin{aligned} \sinh(x \pm y) &= \sinh(x)\cosh(y) \pm \cosh(x)\sinh(y) \\ \cosh(x \pm y) &= \cosh(x)\cosh(y) \pm \sinh(x)\sinh(y) \\ \tanh(x \pm y) &= \frac{\tanh(x) \pm \tanh(y)}{1 \pm \tanh(x)\tanh(y)} \end{aligned}\]נגזרות
חוקי נגזרת
\[\begin{aligned} \frac{d}{dx}(c) &= 0 \\ \frac{d}{dx}(x^n) &= nx^{n-1} \\ \frac{d}{dx}(e^x) &= e^x \\ \frac{d}{dx}(\ln(x)) &= \frac{1}{x} \\ \frac{d}{dx}(a^x) &= a^x \ln(a) \end{aligned}\]נגזרות של פונקציות טריגונומטריות
\[\begin{aligned} \frac{d}{dx}(\sin(x)) &= \cos(x) \\ \frac{d}{dx}(\cos(x)) &= -\sin(x) \\ \frac{d}{dx}(\tan(x)) &= \frac{1}{\cos^2(x)} \\ \frac{d}{dx}(\cot(x)) &= -\frac{1}{\sin^2(x)} \\ \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\cos x}\right) &= \left(\frac{1}{\cos x}\right)\tan(x) \\ \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\sin x}\right) &= -\left(\frac{1}{\sin x}\right)\cot(x) \end{aligned}\]חוקי נגזרת לפונקציות מורכבות
\[\begin{aligned} \frac{d}{dx}(f(x) \pm g(x)) &= f'(x) \pm g'(x) \\ \frac{d}{dx}(f(x) \cdot g(x)) &= f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) \\ \frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) &= \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{(g(x))^2} \\ \frac{d}{dx}(f(g(x))) &= f'(g(x)) \cdot g'(x) \end{aligned}\]נגזרת של פונקציות היפרבוליות
\[\begin{aligned} \frac{d}{dx}(\sinh(x)) &= \cosh(x) \\ \frac{d}{dx}(\cosh(x)) &= \sinh(x) \\ \frac{d}{dx}(\tanh(x)) &= \text{sech}^2(x) \\ \frac{d}{dx}(\text{csch}(x)) &= -\text{csch}(x) \cdot \coth(x) \\ \frac{d}{dx}(\text{sech}(x)) &= -\text{sech}(x) \cdot \tanh(x) \\ \frac{d}{dx}(\text{coth}(x)) &= -\text{csch}^2(x) \end{aligned}\]נגזרות של הפונקציות ההיפרבוליות ההפוכות
\[\begin{aligned} \frac{d}{dx}(\text{arsinh}(x)) &= \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} \\ \frac{d}{dx}(\text{arcosh}(x)) &= \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} \\ \frac{d}{dx}(\text{artanh}(x)) &= \frac{1}{1 - x^2} \end{aligned}\]גזירה פרמטרית
\[\begin{aligned} \frac{dy}{dx} &= \frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx} \\ \frac{dy}{dx} &= \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx} \end{aligned}\]גבולות חשובים
גבולות טריגונומטריים
\[\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} &= 1 \\ \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} &= 1 \\ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} &= \frac{1}{2} \\ \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x}{x^2} &= 1 \\ \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x} &= 0 \\ \lim_{x \to 0} \frac{\arcsin x}{x} &= 1 \\ \lim_{x \to 0} \frac{\arctan x}{x} &= 1 \end{aligned}\]גבולות אקספוננציאליים ולוגריתמיים
\[\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} &= 1 \\ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} &= 1 \\ \lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} &= \ln(a) \\ \lim_{x \to 0} \frac{\log_a(1+x)}{x} &= \frac{1}{\ln(a)} \\ \end{aligned}\]פיתוח נחמד שאולי יהיה שימושי:
\[\begin{aligned} \lim_{x \to \infty} \frac{\ln\left(1 + \frac{1}{x}\right)}{\frac{1}{x}} &= 1 \\ \lim_{x \to \infty} \frac{\ln\left(1 + \frac{k}{x}\right)}{\frac{k}{x}} = 1 &\Rightarrow \lim_{x \to \infty} x \cdot \ln \left(1 + \frac{k}{x}\right) = k \end{aligned}\]גבולות של $e$
\[\begin{aligned} \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x &= e \\ \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{k}{x}\right)^x &= e^k \\ \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{kx} &= e^k \\ \lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} &= e \\ \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n &= e^x \\ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} &= 1 \\ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} &= 1 \quad \text{(when } a > 0\text{)} \\ \end{aligned}\]גבולות היפרבוליים
\[\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \frac{\sinh x}{x} &= 1 \\ \lim_{x \to 0} \frac{\tanh x}{x} &= 1 \\ \lim_{x \to 0} \frac{\cosh x - 1}{x^2} &= \frac{1}{2} \\ \end{aligned}\]גבולות אי-מוגדרים מיוחדים
\[\begin{aligned} \lim_{x \to 0} x \ln x &= 0 \\ \lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} &= 0 \\ \lim_{x \to \infty} \frac{x^a}{e^x} &= 0 \quad \text{(for } a \in \mathbb{R}\text{)} \\ \lim_{x \to \infty} x^n e^{-x} &= 0 \quad \text{(for } n \in \mathbb{N}\text{)} \\ \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x^n} &= \infty \quad \text{(for } n \in \mathbb{N}\text{)} \end{aligned}\]גרפים
פונקציות חשובות לזכור
פונקציות אקספוננציאליות ולוגריתמיות
- $e^x$: עולה במהירות, עוברת דרך הנקודה $(0,1)$
- $\ln(x)$: עולה לאט, עוברת דרך הנקודה $(1,0)$, אסימפטוטה אנכית ב-$x=0$
פונקציות טריגונומטריות
- $\sin(x)$: תנודות בין -1 ל-1, מחזור $2\pi$, נקודות אפס ב-$n\pi$
- $\cos(x)$: תנודות בין -1 ל-1, מחזור $2\pi$, נקודות אפס ב-$(n+\frac{1}{2})\pi$
- $\tan(x)$: אסימפטוטות אנכיות ב-$(n+\frac{1}{2})\pi$, מחזור $\pi$
פונקציות רציונליות
- $\frac{1}{x}$: אסימפטוטה אנכית ב-$x=0$, אסימפטוטה אופקית ב-$y=0$
- $\frac{1}{x^2}$: תמיד חיובית, אסימפטוטה אנכית ב-$x=0$, אסימפטוטה אופקית ב-$y=0$
פרמטרים משפיעים על גרפים
| פרמטר | השפעה על הגרף |
|---|---|
| $f(x) + c$ | הזזה אנכית למעלה/למטה |
| $f(x+c)$ | הזזה אופקית ימינה/שמאלה |
| $cf(x)$ | מתיחה/כיווץ אנכי |
| $f(cx)$ | מתיחה/כיווץ אופקי |
| $-f(x)$ | שיקוף סביב ציר x |
| $f(-x)$ | שיקוף סביב ציר y |